Моделирование фазовых переходов в спиновых системах методом Ванга-Ландау

Размещено на http://www.allbest.ru/

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ В СПИНОВЫХ СИСТЕМАХ МЕТОДОМ ВАНГА-ЛАНДАУ

В.Е. Ложников, П.В. Прудников

Аннотация

ванга ландау энергетический плотность

Метод Ванга-Ландау приобретает актуальность и активно применяется для исследования фазовых переходов в сложных спиновых системах, спиновых стеклах, в химии для исследования сворачивания белка. Данный метод представляет интерес в первую очередь вследствие того, что он позволяет преодолеть эффект критического замедления, который возникает вблизи температуры фазового перехода и существенно увеличивает время моделирования традиционными методами Монте-Карло. Алгоритм Ванга-Ландау позволяет путем единичного моделирования получить плотность энергетических состояний, из которых возможно вычислить термодинамические величины, включая свободную энергию и энтропию. Но для данного алгоритма на больших решетках наблюдается расходимость плотности энергетических состояний, что осложняет исследование больших спиновых систем. Целью исследования является реализация параллельной версии данного алгоритма применительно к большому количеству энергетических состояний системы. Для этого с помощью библиотеки OpenMP реализована параллельная версия алгоритма Ванга-Ландау для систем с общей памятью. Получены результаты для многопоточной версии алгоритма, которые коррелируют с результатами, полученными для однопоточного алгоритма. Из вышесказанного следует вывод, что параллельная версия может быть применена к исследованию больших спиновых систем.

Ключевые слова: алгоритм Ванга-Ландау, методы Монте-Карло, параллельное программирование, энтропическое моделирование.

Основная часть

Алгоритм Ванга-Ландау представляет собой метод компьютерного моделирования, который основан на предположении, что совершая случайное блуждание в пространстве энергии с вероятностью перехода пропорциональной 1/G[E], можно получить гистограмму посещений энергетических уровней близкую к плоской. Данный метод позволяет, единожды вычислив плотность энергетических состояний системы, получить такие термодинамические величины как внутренняя энергия, теплоемкость, свободная энергия, энтропия [1]. Последние две величины не вычислимы традиционными методами Монте-Карло. Так же, для данного метода существуют методики вычисления намагниченности и, следовательно, восприимчивости, что позволяет использовать данный метод компьютерного моделирования в качестве альтернативы методам Монте-Карло, особенно учитывая тот факт, что влияние эффекта критического замедления для него нивелировано и есть возможность исследования низкотемпературной области.

Существует ограничение, которое связано с расходимостью (гистограмма посещений никогда не становится плоской) данного метода для решеток больших размеров, что приводит к сложностям в моделировании трехмерных систем и больших двумерных решеток, которые связаны с большим или неопределенным временем моделирования [2]. Преодолеть данное ограничение возможно при помощи параллелизации алгоритма путем разделения общего энергетического интервала на пересекающиеся подчасти, каждая из которых будет обрабатываться отдельной репликой алгоритма (рис. 1). Между данными репликами будет происходить обмен для соблюдения принципа детального баланса. Суть параллельного алгоритма состоит в уменьшении размера обрабатываемого энергетического пространства, что должно привести к лучшей сходимости для каждой отдельной реплики, и, следовательно, при увеличении количества потоков, которые работают с каждым энергетическим интервалом по отдельности, будет наблюдаться все лучшая сходимость и меньшее время моделирование больших систем.

Рис. 1 Варианты разбиения общего энергетического интервала на пересекающиеся подчасти a) разбиение общего интервала на равные подчасти; b) разбиение общего интервала на подчасти с различным коэффициентом перекрытия с динамической балансировкой для улучшения сходимости реплик алгоритма

В работе рассмотрена применимость параллельной версии алгоритма к исследованию критических свойств двумерной и трехмерной моделей Изинга. Для данной модели существует только фазовый переход второго рода, который будет определяться пиком теплоемкости.

В классическом алгоритме Ванга-Ландау совершается случайное блуждание в интервале энергии [E_min, E_max] принимая вероятность перехода как P = min { 1,G[E_old]/G[E_new] }, где E_old - текущее энергетическое состояние, E_new - принимаемое с указанной вероятностью. Принятие новой конфигурации увеличивает гистограмму посещения данного энергетического уровня на единицу, увеличивает значение плотности энергетических состояний по следующему соотношению G[E] = G[E]*f, где f - множитель, равный экспоненте в начале вычислений, и изменяющийся на каждой итерации алгоритма по следующему рекуррентному соотношению f = f^(1/2). Если гистограмма посещений становится существенно плоской, то множитель изменяется по вышеуказанному соотношению. Вычисления продолжаются пока f не достигнет некоторого f_min, которое принимается равным значению, близкому к единице. Отличие параллельной версии данного алгоритма от последовательной заключается в том, что общий энергетический интервал разбивается на перекрывающиеся подчасти с уровнем перекрытия около 75%. Полученные энергетические зоны обрабатываются отдельными репликами алгоритма. После определенного количества шагов Монте-Карло происходит обмен энергетическими состояниями между репликами внутри всего пересекающегося интервала с вероятностью Ѕ.

Кроме того, для сохранения принципа детального баланса между репликами на каждой итерации происходит обмен с вероятностью P = min {1, (G_i[E(X)]*G_j[E(Y)])/(G_i[E(Y)]*G_j[E(X)]) } [1]. Если попадаем в вероятность, то производится инкремент значений плотностей энергетических состояний и гистограмм для данных энергетических состояний. Когда все независимые реализации будут иметь плоские гистограммы, производится усреднение и перераспределение плотностей энергетических состояний для всех реплик. На каждой итерации алгоритма полученные гистограммы должны обнуляться.

Данный метод был реализован с использованием технологии OpenMP для систем с общей памятью, но есть возможность реализации с использованием MPI для распределенных систем [3]. Так же для упрощения машинного счета реализован так называемый энтропический алгоритм, где используется не плотность энергетических состояний, а ее логарифм.

С помощью данного метода для двумерной модели Изинга получены результаты, которые согласуются с результатами, полученными при использовании последовательного алгоритма. Это можно видеть на примере плотности энергетических состояний, которая является основной вычисляемой величиной. Из нее можно получить остальные термодинамические величины (рис. 2).

Рис. 2 Плотность энергетических состояний, полученная для двумерной модели Изинга с размером решетки L=32 при распределении на разное количество потоков PP=2,4,8,16 в сравнении с последовательной версией

На рисунке 2 видно, что отклонение полученных результатов от последовательной версии алгоритма минимально, но в то же время наблюдается накопление систематической ошибки с увеличением числа потоков.

Данный алгоритм может быть успешно применен к трехмерной модели Изинга (рис. 3).

Рис. 3 График теплоемкости для трехмерной модели Изинга, полученный алгоритмом Ванга-Ландау для решеток размера L = 8, 24, 32 при разделении энергетического интервала на 4 подчасти

График теплоемкости трехмерной модели показывает, что для параллельной версии получаемая теплоемкость имеет пик в точке фазового перехода второго рода и согласуется с данными, полученными другими методами, такими как алгоритм Метрополиса, кластерные алгоритмы Вольфа и Свендсена-Ванга [3].

Библиографический список

1. Wang.F.,Landau D.P., Efficient, Multiple-Range Random Walk Algorithm to Calculate the Density of States // Phys. Rev. Lett. 2001 V. 86, P. 2050.

2. Vogel T., Li Y.W., Wust T., Landau D.P., Generic, Hierarchical Framework for Massively Parallel Wang-Landau Sampling // Phys. Rev. Letters. 2013, P.5.

3. Wolf U., Collective Monte Carlo Updating for Spin Systems. // Phys. Rev. Lett. 1989 V. 62. P. 361.

Размещено на Allbest.ru