Законы механодинамики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Законы механодинамики

Канарёв Ф.М.

1. Общие сведения о механодинамике

Понятие «Динамика» родилось давно и уже получило различные приставки, которые ограничивают смысл, заложенный в этом понятии, и таким образом конкретнее отражают суть описываемых явлений и процессов. Например, давно используются понятия: «Электродинамика», «Гидродинамика» и «Аэродинамика». В результате возникает необходимость выделить динамику, описывающую только механику твёрдых тел. С учётом этого вводим понятие «Механодинамика», в которое закладывается смысл динамики механических движений твёрдых тел, которые описывались до этого понятием «Динамика».

Механодинамика - раздел теоретической механики, в котором устанавливается и изучается связь между движением материальных точек и тел, и силами, действующими на них.

Основные модели реальных объектов в механодинамике - материальная точка и абсолютно твердое тело. В качестве материальных точек рассматриваются такие реальные объекты, у которых различиями в движении отдельных точек можно пренебречь. Если же этого сделать нельзя, то движение такого объекта рассматривается, как движение твердого тела.

Абсолютно твердое тело - это совокупность материальных точек, расстояния между которыми не меняются со временем. Из этого следует, что материальная точка - частный случай твёрдого тела.

Совокупность материальных тел, в которой они не могут двигаться независимо друг от друга, благодаря связям между ними, называется механической системой.

Законы механодинамики базируются на фундаментальных аксиомах Естествознания: пространство и время абсолютны, пространство, материя и время не разделимы. Достоверность аксиом следует из очевидности их утверждений. Достоверность законов механодинамики, не очевидна и доказывается экспериментальным путём, поэтому законы механодинамики нельзя считать аксиомами, они - постулаты.

2. Классификация движений и последовательность решения задач механодинамики

Начало решения любой задачи механодинамики начинается с установления вида и фазы движения материальной точки, твёрдого тела или механической системы. Существуют следующие виды движений материальных точек, твёрдых тел и механических систем: прямолинейное, криволинейное, вращательное, плоскопараллельное и сложное движения. Все виды этих движений имеют фазы. Первая фаза - ускоренное движение, вторая - равномерное движение и третья - замедленное движение. В некоторых случаях движение может состоять из двух фаз: ускоренного и замедленного. Например, тело, брошенное в поле силы тяжести вверх, имеет только две фазы движения: ускоренное и замедленное.

После установления вида движения материальной точки, твёрдого тела или механической системы определяются фазы их движения. При этом надо помнить, что любое движение любого материального объекта всегда начинается с фазы ускоренного движения, поэтому для получения полной достоверной информации о движении любого материального объекта надо начинать с анализа фазы его ускоренного движения. Для этого объект исследования изображается графически, упрощённо и к нему прикладываются векторы всех сил и моментов, действующих на этот объект в фазе его ускоренного движения.

Первыми составляются кинематические уравнения движения объекта в фазе ускоренного движения и при наличии исходных данных определяются скорость и ускорение ускоренно движущегося объекта.

Затем составляются векторные уравнения сил и моментов, приложенных к объекту в фазе его ускоренного движения. Если для решения задачи необходимо иметь проекции сил и моментов на координатные оси, то составляются уравнения сил и моментов, приложенных к объекту в проекциях на оси координат.

После этого начинается определение всех остальных механических показателей, характеризующих ускоренное движение объекта.

На практике часто встречаются задачи с фазой ударного действия силы на объект, поэтому фаза движения материального объекта под действием ударной силы также анализируется отдельно.

3. Основной закон механодинамики

Многовековой опыт использования второго закона Ньютона показал его безупречную достоверность, поэтому у нас есть основания поставить его на первое место и назвать основным законом механодинамики.

Согласно основному закону механодинамики сила , действующая на материальное тело, движущееся с ускорением , всегда равна массе тела, умноженной на ускорение и совпадает с направлением ускорения.

(1)

Чтобы отличать силу , формирующую ускорение, от других сил, назовём её ньютоновской силой. Она всегда совпадает с направлением ускорения , которое она формирует. Все остальные силы являются силами сопротивления движению и формируют не ускорения, а замедления, которые мы обозначаем символом .

4. Главный принцип механодинамики

В 1743 г. Даламбер дополнил основной закон Ньютона своим постулатом: в каждый данный момент времени на движущееся тело действует сила инерции, равная произведению массы тела на ускорение его движения . Эта сила направлена противоположно ньютоновской силе (1). С тех пор этот постулат начали называть принципом Даламбера. При этом игнорировался тот факт, что ускоренно тело движет только ньютоновская сила , а все остальные силы, в том числе и сила инерции, тормозят движение. Из этого автоматически следует, что модуль силы инерции не равен произведению массы тела на ускорение его движения. Обусловлено это тем, что сила инерции является лишь одной из сил сопротивления ускоренному движению и поэтому наряду с другими силами сопротивления генерирует замедление, а не ускорение. Поскольку ньютоновская сила - единственная движущая сила, то, ускорение, генерируемое ею, должно быть равно сумме замедлений, генерируемых всеми силами, тормозящими ускоренное движение, в том числе и - замедлению силы инерции.

Изложенное выше следует из эксперимента Галилея, который он провёл в начале 17 века. Суть его показана на рис. 1. Если одному металлическому шару предоставить возможность свободно падать на Землю, а второму - опускаться на парашюте, то шар без парашюта, имея меньшее сопротивление воздуха, будет падать на Землю быстрее шара с парашютом. Сила тяжести , приложенная к шару, выполняет роль ньютоновской активной силы (рис. 1, а). Поскольку шар опускается ускоренно, то, согласно принципу Даламбера, на него действует сила инерции, направленная противоположно ньютоновской силе и равная . Кроме этих сил на шар действует ещё сила сопротивления воздуха . Вполне естественно, что у шара с парашютом сила сопротивления воздуха больше и он снижается на Землю медленнее шара без парашюта.

Рис. 1. Современное представление эксперимента Галилея

Итак, сила тяжести единственная сила, движущая шар. Движению шара к Земле сопротивляются две силы: сила инерции и сила сопротивления воздуха . Согласно принципу Даламбера в каждый данный момент сумма сил, действующих на ускоренно движущееся тело, равна нулю (рис. 1, а), то есть

. (2)

Странный результат (2). При равенстве ускорений ньютоновской силы и силы инерции сила сопротивления воздуха, действующего на шар, равна нулю . Противоречие очевидное, чтобы устранить это противоречие, введём понятие замедление движения, обозначим его символом , и будем считать, что модули всех сил сопротивления движению равны произведениям массы материальной точки или тела умноженной на замедления, которые они генерируют. Тогда уравнение (2) запишется так

, (3)

где - замедление, генерируемое силой инерции; - замедление, генерируемое силой сопротивления воздуха.

В общем случае ускорение, генерируемое ньютоновской силой, обозначается символом . Тогда, если на ускоренно движущуюся точку или тело действует несколько сил сопротивления движению, то каждая из них будет генерировать замедление и уравнение (3) принимает вид

. (4)

Таким образом, Даламбер ошибся, утверждая, что сила инерции равна произведению массы материальной точки или тела на ускорение его движения и направлена противоположно действию Ньютоновской силы. Теперь мы видим, что сила инерции при ускоренном движении материальной точки или тела, является лишь одной из сил, препятствующих их движению и совместно с другими силами сопротивления движению генерирует замедление, которое является частью общей суммы замедлений, генерируемых всеми силами сопротивления движению (4).

А теперь посмотрим на рис. 1, b, где показана суть эксперимента Галилея. Представим, что шар без парашюта и - с парашютом размещены в большом цилиндре, из которого выкачан воздух. Оба они опускаются вниз под действием силы тяжести . (Массу парашюта не учитываем). Аналогичный эксперимент, выполненный Галилеем более 300 лет назад, показал, что тела разной массы и плотности опускаются вниз в трубке с выкаченным воздухом, с одной и той же скоростью. Удивительный эксперимент. Отсутствие сопротивления воздуха оставляет одну силу сопротивления ускоренному движению шара без парашюта и с парашютом - силу инерции . Падение происходит потому, что величина силы тяжести в каждый данный момент превышает величину силы инерции и процесс падения шара без парашюта и с парашютом описывается одним и тем же неравенством

. (5)

Когда действие ньютоновской силы прекращается () и тело начинает двигаться равномерно, то сила инерции , действовавшая при ускоренном движении тела, никуда не исчезает. Она меняет своё направление на противоположное и её действие обеспечивает равномерное движение тела, как говорят, по инерции. Математическая модель, описывающая это движение, становится такой

(6)

Из этого автоматически следует ошибочность первого закона Ньютона, утверждающего, что сумма сил, действующих на равномерно движущееся тело, равна нулю. Из такого утверждения также сразу следует нарушение принципа причинности. Тело не может двигаться без причины. Оно всегда движется только под действием приложенной силы.

Изложенная информация убедительно доказывает, необходимость признания ошибочности и принципа Даламбера, и использования нового главного принципа механодинамики, который формулируется так: в каждый данный момент времени сумма активных сил, приложенных к телу, и сил сопротивления движению, включая силу инерции, равна нулю. При этом, ньютоновское ускорение всегда равно сумме замедлений, генерируемых силами сопротивления движению, включая и силу инерции.

Изложенная исходная информация о видах движения тел, ньютоновской силе и силе инерции достаточна для понимания законов механодинамики и применения их для решения практических задач.

5. Первый закон механодинамики

Более 300 лет считалось, что ньютоновская сила движет тело, а сумма сил сопротивления препятствует этому движению без участия силы инерции , которая также направлена противоположно ускоренному движению (рис. 2, b). Чтобы убедиться в ошибочности такого подхода к решению задач механодинамики, рассмотрим подробно ускоренное движение центра масс автомобиля, как материальной точки (рис. 2, b).

Каждый из нас ездил в автомобиле и знает, что при его ускоренном движении сила инерции прижимает нас к спинке сиденья. Если другой автомобиль ударит наш автомобиль сзади, то ускорение может быть настолько большим, что сила мышц нашего тела и прочность шейного позвоночника окажутся значительно меньше силы инерции, которая увлечёт нашу голову назад. Функции нашего спасения от силы инерции, способной оторвать нам голову, выполняет подголовник. Если же наш автомобиль столкнётся с внезапно возникшим впереди препятствием, то ускорение его движения превратится в замедление, а сила инерции, рождаемая замедлением, окажется направленной в сторону движения автомобиля. Чтобы эта сила не выбросила нас вперёд через лобовое стекло автомобиля, мы пристёгиваемся ремнями.

Рис. 2. Схема сил: a) действующих на ускоренно (OA) движущийся автомобиль (b)

Итак, достоверность описанного процесса появления и изменения направления силы инерции доказана миллионами жизней пассажиров, погибших в автоавариях за время использования автомобилей, а физики и механики - теоретики продолжают игнорировать это, считая, что сила инерции не входит в число сил сопротивления движению , действующих на тело при его ускоренном или замедленном движении. Исправим их ошибку.

При ускоренном движении автомобиля (рис. 2, b) на него действует ньютоновская сила , генерируемая его двигателем; сила инерции , направленная противоположно ускорению автомобиля и поэтому тормозящая его движение; суммарная сила всех внешних сопротивлений, которая также направлена противоположно движению автомобиля. В результате, согласно новому принципу механодинамики, имеем неоспоримое уравнение сил, действующих на ускоренно движущийся автомобиль (рис. 2, b)

. (7)

Это и есть первый закон механодинамики. Он гласит: ускоренное движение тела происходит под действием ньютоновской активной силы и сил сопротивления движению в виде силы инерции , и механических сил сопротивления , сумма которых в любой момент времени равна нулю.

Из нового принципа механодинамики следует, что ньютоновская сила совпадает с направлением ускорения , а силы, тормозящие движение и, таким образом, генерирующие замедление, совпадают с направлениями замедлений , формируемых ими (рис. 2, b). Обозначая замедление, принадлежащее силе инерции, через , а замедление, генерируемое силами механических сопротивлений , через , перепишем уравнение (7) таким образом

. (8)

Это даёт нам основание представить данное уравнение в дифференциальном виде. В проекции на ось ОХ оно становится таким

. (9)

Итак, после интегрирования мы поучим уравнение движения материального тела вдоль оси ОХ. Нетрудно видеть, что при полном отсутствии механических сил сопротивления (в космосе, например) сила инерции равна ньютоновской силе , но тело движется. Это возможно только при условии, когда ньютоновская сила больше силы инерции, поэтому математическая модель, описывающая движение тела в космосе, должна представляться в виде неравенства

, (10)

или

. (11)

Это и есть условие ускоренного движения тела в космосе при отсутствии сопротивлений. Из этого следует, что истинное инерциальное замедление тела можно определить в условиях, когда нет внешних сопротивлений. Вполне естественно, что специалисты по космической технике владеют методами таких определений и имеют экспериментальную информацию об этом.

Таким образом, величина полного ускорения тела, движущегося ускоренно, равна сумме замедлений, генерируемых силами сопротивления движению

. (12)

В старой динамике считалось, что сила инерции , которая также препятствует ускоренному движению тела, не входит в сумму всех сил сопротивлений . Это и есть главная фундаментальная ошибка ньютоновской динамики, которая оставалась незамеченной 322 года. Сила инерции автоматически входила в суммарную силу механических сопротивлений , но все считали, что её там нет. В результате все экспериментальные коэффициенты механических сопротивлений движению тел оказываются ошибочными.

Из уравнения (8) следует, что сила инерции , действующая на автомобиль при его ускоренном движении, равна

, (13)

а скалярная величина инерциального замедления определится по формуле

. (14)

Величина полного ньютоновского ускорения определяется из кинематического уравнения ускоренного движения тела

. (15)

Если начальная скорость автомобиля , то полное ускорение равно скорости автомобиля в момент перехода его от ускоренного к равномерному движению, делённому на время ускоренного движения

. (16)

В принципе, при решении задач, можно принимать величину скорости , равной величине постоянной скорости () тела при его равномерном движении, наступившем после ускоренного движения. Сумма сил сопротивлений - величина экспериментальная, которую следует определять только при равномерном движении, чтобы исключить из неё силу инерции.

Таким образом, имеются все данные необходимые для определения инерциального замедления и расчёта силы инерции по формуле (13). Из неё следует, что инерциальное замедление зависит от сопротивления среды (14).

Если определяются силы сопротивления движению тела, то делать это надо только при его равномерном движении. Если же сумму сил сопротивления движению тела определять при его ускоренном движении, то, в соответствии с формулой (7), сила инерции , препятствующая ускоренному движению тела, автоматически войдёт в сумму сил сопротивлений движению и результат определения сил сопротивлений будет полностью ошибочен.

6. Второй закон механодинамики

Когда автомобиль начинает двигаться равномерно (рис. 3, b), то сила инерции автоматически изменяет своё направление на противоположное и уравнение суммы сил (7), действующих на автомобиль, становится таким

механодинамика движение сила тело

. (17)

Это и есть второй закон механодинамики - закон равномерного прямолинейного движения тела (бывший первый закон ньютоновской динамики). Он гасит: равномерное движение тела при отсутствии сопротивлений (рис. 3, а, интервал АВ) происходит под действием силы инерции (в космосе, например). Равномерное движение тела при наличии сопротивлений также происходит под действием силы инерции , а постоянная активная сила преодолевает силы сопротивления движению (рис. 3, b).

Таким образом, суть второго закона механодинамики заключается в том, что равномерное движение автомобиля (тела) обеспечивает сила инерции , а постоянная сила , генерируемая двигателем автомобиля, например, преодолевает все внешние сопротивления . Сила постоянна потому, что автомобиль движется равномерно и его ускорение равно нулю .

В космосе, где нет механических сопротивлений движению, не требуется постоянная сила для их преодоления. Поэтому в космосе при переходе тела от ускоренного к равномерному движению, сила инерции меняет своё направление на противоположное и таким образом обеспечивает его равномерное прямолинейное движение с постоянной скоростью (рис. 3, интервал АВ).

Рис. 3. Схема сил, действующих на равномерно движущийся автомобиль

А теперь обращаем внимание ещё раз на главную многовековую ошибку механиков. Для этого перепишем уравнение (17) так

, (18)

Это и есть математическая модель второго закона механодинамики (бывшего первого закона динамики). Более 300лет не было математической модели для описания равномерного движения тела. Теперь она есть (17), (18) и мы можем успокоить пилотов. Равномерный полёт их самолёта описывает новый второй закон механодинамики (17). Согласно этому закону сумма сил, действующих на равномерно летящий самолет, не равна нулю (18). Сила, движущая самолёт равномерно, является силой инерции, которая была направлена противоположно его движению, когда он двигался ускоренно (взлетал). Как только самолет начинает лететь равномерно, то сила инерции изменяет своё направление на противоположное и совпадает с силой, создаваемой двигателями самолета. В результате сила инерции начинает обеспечивать равномерный полёт самолета, а силы двигателей самолета - преодолевать силы сопротивления его полету. Таким образом, равномерный полёт самолета управляется новым вторым законом механодинамики (17), согласно которому сумма сил, действующих на него, не равна нолю (18).

7. Третий закон механодинамики

Если выключить коробку передач автомобиля, движущегося равномерно (18), то активная сила исчезнет (рис. 3, b) и останутся две противоположно направленные силы: сила инерции и сумма сил механических сопротивлений движению (рис. 4, b). Поскольку сила инерции не имеет источника, поддерживающего её в постоянном состоянии, то она оказывается меньше сил сопротивления движению () и автомобиль, начиная двигаться замедленно (рис. 4, b), останавливается (рис. 4, a, точка С). С учётом этого есть основания назвать силу инерции пассивной силой, которая не может генерировать ускорение, так как сама является следствием его появления.

Таким образом, надо чётко представлять направленность сил, действующих на автомобиль, при переходе его от равномерного движения к замедленному. Первичная сила инерции (рис. 4, b) не меняет своего направления, а появившееся замедление , генерируемое силами сопротивления движению, оказывается направленным противоположно силе инерции.

Рис. 4. Схема сил, действующих на замедленно движущийся автомобиль

Таким образом, если автомобиль переходит от равномерного движения к замедленному, то прежня сила инерции и силы сопротивления движению не меняют своих направлений. Сила инерции не генерирует ускорение, а неравномерность сил сопротивления приводит к постепенному уменьшению силы инерции и тело останавливается.

. (19)

Это и есть математическая модель 3-го ЗАКОНА механодинамики. Он гласит: замедленное движение твёрдого тела управляется превышением сил сопротивления движению над силой инерции.

Обратим внимание на то, что расстояние движения автомобиля с ускорением меньше расстояния движения с замедлением (рис. 4, a). Обусловлено это тем, что на участке величина сил сопротивлений при разгоне автомобиля больше сил сопротивлений при замедленном движении за счёт того, что при замедленном движении выключен двигатель и коробка передач. Это - главная причина экономии топлива при езде с периодическим выключением передачи.

8. Четвёртый закон механодинамики

4-й ЗАКОН механодинамики (равенство действия противодействию). Силы, с которыми действуют друг на друга два тела (рис. 5), всегда равны по модулю и направлены по прямой, соединяющей центры масс этих тел, в противоположные стороны. Поскольку , то или

(20).

Рис. 5. Схема контактного взаимодействия двух тел

То есть ускорения, которые сообщают друг другу два тела, обратно пропорциональны их массам. Эти ускорения направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Следует особо отметить, что четвёртый закон механодинамики отражает взаимодействие тел, как на расстоянии, так при непосредственном контакте (рис. 5). На рис. 5 показано, что в момент контакта тел A и B силы и их взаимодействия равны по величине и противоположны по направлению. При этом обе силы и являются силами внешнего воздействия и появляются одновременно. Силы инерции и также равны по величине и противоположны по направлению.

9. Пятый закон механодинамики

5-й ЗАКОН механодинамики (независимость действия сил). При одновременном действии на тело или точку нескольких сил сопротивления движению = ньютоновское ускорение материальной точка или тела оказывается равным геометрической сумме замедлений, приходящихся на долю каждой из сил сопротивления движению =. Учитывая, что в уравнении (12) - геометрическая сумма замедлений, приходящихся на долю всех сил сопротивлений =, кроме силы инерции , то есть . Тогда уравнение (12) запишется так

(21)

Это - математическая модель 5-го ЗАКОНА механодинамики. Он гласит: при ускоренном движении твердого тела ньютоновское ускорение, формируемое ньютоновской силой, равно сумме замедлений, формируемых всеми силами сопротивлений движению, в том числе и силы инерции.

Если тело падает в поле силы тяжести Земли, то

. (22)

Масса материального тела равна его весу , деленному на ускорение свободного падения в данном месте земной поверхности.

В качестве единицы измерения силы в системе единиц СИ принят Ньютон (Н). Один Ньютон - сила, сообщающая массе в 1 кг ускорение

В технической системе единиц в качестве единицы измерения силы принят 1кг, а массы - . Поскольку , то или [1]

Новые знания по механодинамике позволяют точно определить силы сопротивления движению любого тела. Метод определения этих сил следует из формул (18). Если определяются силы сопротивления движению автомобиля экспериментально, то надо выбрать прямолинейный горизонтальный участок дороги, проехать по нему заданное расстояние с заданной постоянной скоростью и измерить расход топлива. Энергия этого топлива будет равна работе силы на зафиксированном участке дороги, которая противодействует всем силам сопротивления движению . Из этого следует, что сила равна сумме сил .

Если же подобный эксперимент проводить при ускоренном движении автомобиля, то, в соответствии с формулой (7), сила инерции , препятствующая ускоренному движению автомобиля, автоматически войдёт в сумму сил сопротивлений и результат определения сил сопротивлений будет полностью ошибочен.

Ньютоновская или движущая сила определится по второму закону Ньютона

. (23)

Ньютоновское ускорение удобнее определять в этом случае по формуле (16), а инерциальную составляющую замедления - по формуле (14). Сила инерции определится по формуле (13).

Выводы

1. Все виды движений материальных объектов имеют минимум две фазы движений: ускоренную и замедленную фазу.

2. В Природе и человеческой практике чаще встречаются три фазы движения материальных объектов: ускоренная, равномерная и замедленная.

3. В ускоренной фазе движения материального объекта, сила инерции препятствует его движению.

4. В фазе равномерного движения сила инерции направлена в сторону движения и является силой, способствующей равномерному движению объекта.

5. В фазе замедленного движения сила инерции, является главной силой, движущей объект, который постепенно останавливается, так как силы сопротивления движению больше силы инерции.

6. Невозможно составить единую математическую модель, описывающую одновременно все три фазы движения материального объекта.

7. Современный уровень знаний позволяет корректно описать все три фазы движения материального объекта только порознь.

Литература

1. Канарёв Ф.М. Теоретическая механика. Часть III. Механодинамика. http://www.micro-world.su/ Папка. «Учебные пособия»

Размещено на Allbest.ru