Кориолисово замедление

Размещено на http://www.allbest.ru/

КОРИОЛИСОВО ЗАМЕДЛЕНИЕ

Канарёв Ф.М.

1. Сложное движение точки

Из кинематики известно, что в общем случае абсолютное ускорение точки равно

(1)

где - переносное, относительное и кориолисово ускорения точки M соответственно (рис. 1).

Рис. 1 Схема к анализу сложного движения точки

Однако, надо иметь в виду, что кинематическое уравнение (1) получено без учета массы точки и сил, действующих на неё, поэтому при рассмотрении механодинамики сложного движения точки, это уравнение (1) становится неполным, так как не учитывает замедления, генерируемые силами инерции.

С учетом изложенного необходимо к ускорениям, действующим на точку при её сложном движении, добавить замедления движения точки, которые будут формироваться силами инерции. Замедления , также как и ускорения, - величины векторные.

Переносное ускорение будет формировать переносную силу инерции , которая будет замедлять движение точки в её переносном движении. Обозначим это замедление так .

Относительное ускорение будет формировать относительную силу инерции . Она тоже будет замедлять относительное движение точки. Обозначим это замедление символом .

Так как кориолисова сила имеет инерциальную природу, то она тоже формирует замедление , направление которого совпадает с направлением вектора кориолисовой силы. Из этого следует ошибочность существовавшего до этого представления о том, что кориолисова сила инерции равна произведению массы точки на кориолисово ускорение и направлена противоположно этому ускорению. Из изложенного следует, что кориолисова сила инерции совпадает с направлением не кориолисова ускорения , а с направлением кориолисова замедления , которое направлено в противоположно ускорению, названному кориолисовым.

Кроме перечисленных сил, на точку в сложном движении действуют силы сопротивления, которые также формируют замедление её движения. Обозначим результирующую этих сил так , а результирующее замедление, формируемое силами сопротивления, через . Тогда уравнение ускорений и замедлений, действующих на материальную точку в её сложном движении, в общем виде запишется так

. (2)

Уравнение сил, действующих на материальную точку в её сложном движении, принимает вид

. (3)

Из этого следует

. (4)

Тогда общее уравнение механодинамики относительного движения материальной точки становится таким

. (5)

Итак, общие уравнения сил, действующих на материальную точку при её сложном (4) и относительном (5) движениях, составлены. Учитывая, что проекции относительного ускорения точки на подвижные оси координат равны:

(6)

и проектируя векторное уравнение (5) на эти оси, имеем:

; (7)

; (8)

. (9)

Это дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки в координатной форме.

Следующий этап - использование уравнения (5) для частных случаев относительного движения материальной точки. Таких случаев может быть несколько, но мы не будет составлять уравнения для каждого из них, а лишь перечислим эти случаи:

1-ускоренные переносное и относительное движения точки;

2-ускоренное переносное и равномерное относительное движения точки;

3-ускоренное переносное и замедленное относительное движения точки;

4-равномерное переносное движение и ускоренное относительное движения точки;

5-равномерное переносное и равномерное относительное движения точки;

6-рвномерное переносное и замедленное относительное движения точки;

7-замедленное переносное движение и ускоренное относительное движения точки;

8-замедленное переносное и равномерное относительное движения точки;

9-замедленное переносное и замедленное относительное движения точки.

Кроме этого подвижная система отсчёта может двигаться поступательно или криволинейно. Каждый из указанных случаев описывается отдельным уравнением:

1- подвижная система XOY движется поступательно. В этом случае и , поэтому для этого случая, имеем

. (10)

2) подвижная система XOY движется поступательно, прямолинейно и равномерно. В этом случае: и , поэтому

; (11)

3) если точка под действием приложенных к ней сил находится в покое относительно подвижной системы отсчета, то , поэтому и уравнение его движения становится таким

; (12)

2. Кориолисово замедление

ускорение замедление кориолисовый инерция

Рассмотрим процесс формирования ускорений ползуна, движущегося вдоль ускоренно вращающегося стрежня в горизонтальной плоскости. Схема сил, приложенных к ползуну, при таком его движении, представлена на рис. 2.

Рис. 2 Схема сил, действующих на ползун М

Прежде чем приступать к схематическому показу сил, действующих на ползун (рис. 2), обратим внимание на связь между вращательным (переносным) движением и линейным (относительным) движением ползуна вдоль стержня. Совокупность этих движений значительно отличается от перемещения, например, пассажира вдоль движущегося трамвая. Пассажир может менять свою относительную скорость произвольно, а ползун лишён такой возможности. Его переносная и относительная скорости связаны друг с другом. Такая же связь и у сил, действующих на ползун. Поэтому, составляя схему сил, действующих на ползун, обязательно надо учитывать указанную взаимосвязь между его переносным и относительным движениями (рис. 2).

С учётом изложенного, тщательный анализ процесса движения ползуна (рис. 2) показывает, что на него действуют следующие силы: переносная сила , вектор которой направлен по нормали к стержню в сторону вращения и равен нормальной реакции стержня на ползун; сила трения направлена противоположно движению ползуна относительно стержня и связана с нормальной реакцией через угол трения и коэффициент трения (). Результирующая сила силы трения и нормальной реакции образуют угол трения .

Известно, что ползун начнёт ускоренное движение вдоль стержня (вдоль оси ) лишь тогда, когда вектор результирующей силы отклонится от нормали на угол больший угла трения в сторону относительного движения ползуна. Начало движения ползуна обеспечивается незначительным превышением угла над углом терния , поэтому угол отклонения результирующей от нормали в момент начала ускоренного относительного движения ползуна можно принимать равным углу трения . Направление абсолютного ускорения , совпадает с направлением вектора результирующей силы .

Составляющая результирующей силы , направленная вдоль оси ОХ, является относительной силой . Эта сила генерирует ускорение . Поскольку движущая сила, то вектор ускорения этой силы совпадает с направлением её действия, то есть вектор ускорения в данном конкретном случае направлен от центра вращения, поэтому оно называется центробежным ускорением.

Если ползун будет жёстко связан с вращающимся стержнем, то на него будет действовать связь в виде стержня, которая будет удерживать ползун от перемещения вдоль стержня. В результате координата относительного перемещения стержня станет постоянной величиной и её в таких случаях называют радиусом. Реакция связи, удерживающая ползун от относительного перемещения вдоль стержня, будет направлена к центру вращения и будет выполнять функции активного воздействия на ползун. Вполне естественно, что ускорение, генерируемое этой связью, также будет направлено к центру вращения. В этом случае оно называется центростремительным ускорением .

Далее, надо учесть существование предельно большой величины силы трения соответствующей коэффициенту трения , который связан с углом трения зависимостью . При ускоренной фазе вращения стержня с угловым ускорением результирующая сила достигнет предельно большой величины, определяемой силой трения. Обозначим её через (рис. 2). Но как только ползун начнёт движение вдоль стержня, увеличение силы трения почти прекратится, но увеличение результирующей силы, которую мы обозначили символом , продолжится за счёт продолжающегося увеличения переносного и относительного ускорений, поэтому результирующую силу, независящую от силы трения, обозначим символом .

А теперь обратим внимание на две причины ускоренного движения ползуна. Первая обусловлена увеличением угловой скорости от нуля до постоянной величины , вторая - увеличением радиуса, равного переменной координате .

3. Переносное ускорение

Так как в этом случае две переменные и , то математическая модель для определения переносного касательного ускорения имеет вид

. (13)

Таким образом, из формулы (13) следует, что при ускоренном вращении стержня результирующая касательного (переносного) ускорения ползуна состоит из двух составляющих. Первая составляющая - генерируется переменной угловой скоростью , а вторая - переменным радиусом вращения .

При постоянной угловой скорости и , поэтому переносное касательное ускорение увеличивается по мере удаления ползуна от центра вращения (О) только за счёт увеличения радиуса вращения, то есть - координаты . Действие стержня на ползун передаётся через нормальную реакцию стержня, которая равна активной переносной силе . Кроме этого, переменная величина формирует переносную силу инерции, направленную противоположно и равную проекции результирующей силы инерции на нормаль. Это - кориолисова сила инерции . Так как любая сила инерции формирует замедление движения тела, совпадающее с направлением самой силы инерции, то кориолисова сила инерции также формирует замедление переносного движения ползуна, которое совпадает по направлению с вектором кориолисовой силы инерции (рис. 2).

Чтобы найти модуль кориолисова замедления воспользуемся главным принципом механодинамики, согласно которому в каждый данный момент времени сумма активных сил, сил сопротивления движению и сил инерции, действующих на ползун, равна нулю. Векторное уравнение сил в этом сложном движении ползуна имеет вид

. (14)

Проектируя силы, приложенные к ползуну, на оси ОХ и ОУ, имеем:

; (15)

(16)

Преобразуем уравнение (16) таким образом

(17)

Итак, сумма проекций сил на ось ОУ, действующих на ползун, состоит из двух составляющих. Первая составляющая равна сумме переносной активной силы , действующей на ползун в переносном движении, и равной ей нормальной реакции стержня на ползун. Это две активные силы, приложенные к ползуну в переносном движении. Обращаем внимание на то, что суммарное переносное ускорение, генерируемое этими силами, равно . Оно совпадает с направлением силы и с давно используемым кориолисовым ускорением..

На рис. 2 кориолисова сила инерции направлена противоположно нормальной реакции , а значит и противоположно ускорению , которое фактически не является кориолисовым ускорением. Это сумма ускорений, формируемых силами и . Она не имеет никакого отношения к кориолисовой силе инерции, которая формирует не ускорение движения ползуна, а его замедление , вектор которого совпадает с направлением кориолисовой силы инерции (рис. 2). Из формулы (17) следует совпадение численных значений модуля ускорения , генерируемого силой и реакцией связи , с численным значением кориолисова замедления и их противоположная направленноть.

Итак, мы рассмотрели частный случай появления кориолисова замедления при . Для общего случая, когда , процесс генерирования кориолисова замедления рассмотрен в [1]. Однако, новые научные результаты, изложенные в этой статье, потребуют некоторой корректировки параграфа [1], в котором рассмотрена эта задача.

Заключение

Кориолисово ускорение является наиболее таинственным. Математическая модель для его расчёта раньше выводилась из анализа процесса кинематики сложного движения точки и использовалась в уравнениях динамики Ньютона. Впервые эта модель получена из уравнения механодинамики сложного движения точки. В результате усилилось понимание физической сути кориолисова замедления, а не ускорения.

Литература

1. Канарёв Ф.М. Механодинамика. 3-й раздел учебного пособия Теоретическая механика. http://www.micro-world.su/ Папка «Учебные пособия».

Размещено на Allbest.ru