Общие сведения о механодинамике

Если сумма внешних сил, действующих на систему, и сил инерции не равна нулю, но сумма их проекций на какую-либо ось (например, OX) равна нулю , то

Если , то , то есть в данном случае проекция скорости центра масс системы на ось OX - величина постоянная. Если же в этом случае то Отсюда следует, что Это следствие выражает закон сохранения движения центра масс системы.

Пример. Центр масс ротора электромотора смещен от оси вращения A на величину . Масса ротора , масса всех остальных частей (рис. 3.44). Определить, по зкому закону будет двигаться центр масс C электромотора, поставленного на гладкую горизонтальную плоскость, когда ротор вращается с постоянной угловой скоростью . Найти, какое максимальное горизонтальное усилие будет испытывать болт D, если с его помощью закрепить электромотор.

Решение. Движение мотора будет подчиняться закону сохранения движения центра масс системы. Так как плоскость гладкая, и сумма проекций всех внешних сил на ось OX равна нулю, то согласно закону сохранения движения центра масс системы , а это значит, что , то есть центр масс системы не будет перемещаться вдоль оси OX. Следовательно, алгебраическая сумма произведений масс тел системы на проекции абсолютных перемещений их центров масс вдоль оси OX должна быть равна нулю. Поэтому, из рис. 3.44 имеем Поскольку то

Здесь: - масса ротора; - масса статора;

Рис. 3.44. К закону сохранения движения центра масс механической системы

Откуда

Следовательно, мотор будет совершать гармонические колебания с частотой вдоль оси OX. Если его закрепить одним болтом, то в соответствии с теоремой о движении центра масс системы, горизонтальная реакция на болт будет равна



где - координата центра масс системы.

Исходя из рис. 3.41 имеем

Так как то

При наличии болта поэтому, дифференцируя дважды по времени последнее выражение, получим

и сила будет равна Напомним ещё раз, что при синусоидальном законе колебаний механической системы на её центр масс действует не только активная сила, но и сила инерции, которая меняет своё направление также по синусоидальному закону и суммарное её действие на центр масс механической системы за период колебаний, равно нулю.

Пример. Диск массой =20 кг вращается относительно центра O с постоянной угловой скоростью OC=0,5cм. Найти главный вектор внешних сил, действующих на диск (реакцию опоры в точке О, рис. 3.45).



Рис. 3.45. К теореме о движении центра масс системы

Решение. Так как угловая скорость вращения постоянна , то в соответствии с теоремой о движении центра масс системы имеем: Тогда

9.9 Количество движения механической системы

Количество движения механической системы - векторная величина, как и количество движения материальной точки. Она равная геометрической сумме (главному вектору) количеств движений всех точек системы (рис. 3.46).

Рис. 3.46. Схема к определению количества движения механической системы

Проектируя уравнение (3.218) на оси координат, имеем:

Количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс. Как видно, вектор может принимать любые значения и даже оказываться равным нулю, поэтому по величине нельзя судить полностью о характере движения системы (рис. 3.46).

На рис. 3.47, а , но тело (система) движется (вращается). На рис. 3.47, b , значит и . Следовательно, количество движения системы характеризует только поступательную часть ее движения.

Рис. 3.47. К анализу количества движения механической системы

9.10 Теорема об изменении количества движения механической системы

Производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил, в том числе и сил инерции.

Доказательство. Количество движения механической системы равно



Напомним ещё раз, что началом движения механической системы является ускоренное движение. Главный признак ускоренного движения системы - наличие ускорения и присутствие его в математической модели, описывающей ускоренное движение. С учетом этого процесс дифференцирования уравнения (3.219) должен завершиться добавлением, в полученный результат, силы инерции. Учитывая изложенное, возьмём производную от левой и правой частей этого уравнения.

Поскольку , то

Это уравнение выражает теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме. В проекциях на оси координат получим:

Эта теорема имеет и другую формулировку. Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени.

Доказательство. Пусть в момент времени , а при . Тогда, интегрируя выражение , имеем:

Изменение количества движения системы в проекциях на оси координат равно:

Можно найти связь доказанной теоремы с теоремой о движении центра масс системы. Теорема об изменении количества движения системы

Количество движения центра масс системы

Дифференцируя последнее уравнение по времени, получим

Ещё раз напомним о том, что появление ускорения в уравнении механодинамики автоматически рождает необходимость присутствия в нём силы инерции. Подставив результат (3.223) в уравнение (3.222), имеем



Это уравнение движения центра масс системы.

Следовательно, теорема о движении центра масс системы и теорема об изменении количества движения системы представляют по существу две разные формы одной и той же теоремы.

В ряде задач, например, при изучении движения жидкости или газа, понятие о центре масс теряет смысл, и тогда пользуются теоремой об изменении количества движения.

Практическая важность теоремы об изменении количества движения системы заключается в том, что она позволяет исключить из рассмотрения наперед неизвестные внутренние силы, например, силы давления друг на друга частиц жидкости.

Пример. Струя жидкости диаметром со скоростью направлена на стену. Определить силу воздействия струи жидкости на стену, если eё плотность равна (рис. 3.48).

Рис. 3.48. К анализу количества движения системы

Учитывая, что сумма внутренних сил, действующих между частицами жидкости, равна нулю, обозначим реакцию стены на действие струи жидкости через . Тогда, используя теорему об изменении количества движения системы (жидкости), имеем



Секундный (=1) расход жидкости будет равен

, поэтому

9.11 Закон сохранения количества движения механической системы

Если сумма внешних сил и сил инерции, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению. Действительно, если , то из следует, что Обратим внимание на то, что в этом случае механическая система движется равномерно.

Если сумма проекций всех действующих на систему внешних сил и сил инерции на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная. Из этого следует

Следствие закона. Внутренние силы не могут изменить суммарное количество движения системы.

9.12 Главный момент количества движения механической системы

Главным моментом количества движения системы (или кинетическим моментом) относительно данного центра O называется величина , равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра



Аналогично определяются моменты количеств движения системы относительно координатных осей:

где - проекции вектора на оси координат.

Количество движения системы - главная характеристика ее поступательного движения. Главный момент количества движения системы - главная характеристика вращательного движения системы.

Чтобы уяснить механический смысл , вычислим кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (рис. 3.49).

Рис. 3.49. К определению кинетического момента вращающегося тела

Для любой точки Количество движения Момент количества движения относительно оси OZ равен

Главный момент количества движения системы относительно оси Кинетический момент (главный момент) вращающегося тела относительно оси OZ вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.

Если система состоит из нескольких тел, вращающихся вокруг одной и той же оси, то очевидно, что

Сравнивая формулы и , видим, что - масса тела, величина, характеризующая инертность тела при поступательном движении; - момент инерции тела относительно оси OZ - величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении.

9.13 Теорема об изменении главного момента количества движения механической системы (теорема моментов)

Производная по времени от главного момента количеств движения системы относительно некоторого неподвижного центра равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра.

где - равнодействующая внешних сил, - равнодействующая внутренних сил.

Учитывая что , а также то, что и то, что по свойству внутренних сил , получим



Это уравнение выражает теорему моментов для механической системы. Проектируя обе части полученного уравнения на оси координат, получим:

Эти уравнения выражают теорему моментов относительно координатных осей. Практическая ценность теоремы моментов состоит в том, что она, аналогично теореме об изменении количества движения системы, позволяет при изучении вращательного движения исключить из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы.

Теорема моментов относительно центра масс

Эта теорема используется при изучении сложного движения. Пусть OX, OY, OZ - неподвижные оси, по отношению к которым движется рассматриваемая механическая система с центром масс C. Свяжем с центром масс C подвижную систему CX', CY' и CZ' так, чтобы она перемещалась по отношению к неподвижной системе поступательно с ускорением (рис. 3.50).

На рис. 3.50 - внутренняя и внешняя силы соответственно и - переносная сила инерции. Так как система отсчета CX'Y'Z', а, значит, и центр масс C движутся поступательно, то кориолисова сила инерции равна нулю и уравнение механодинамики в подвижных осях имеет вид



Рис. 3.50. К теореме моментов относительно центра масс механической системы

На рис. 3.50 - внутренняя и внешняя силы соответственно и - переносная сила инерции. Так как система отсчета CX'Y'Z', а, значит, и центр масс C движутся поступательно, то кориолисова сила инерции равна нулю и уравнение механодинамики в подвижных осях имеет вид

По свойству внутренних сил , а переносная сила инерции . Так как подвижные оси перемещаются поступательно, то , поэтому Так как то после подстановки получим

Остается только сумма моментов от внешних сил и уравнение (3.231) принимает вид



Итак, доказана теорема: Производная по времени от главного момента количества движения системы относительно поступательно движущегося ее центра масс C равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра. То есть теорема моментов относительно центра масс сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра.

9.14 Закон сохранения главного момента количества движения системы

Он вытекает как следствие из теоремы моментов. Пусть сумма моментов относительно центра O всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю . Тогда из уравнения

следует, что и закон формулируется так:

Если сумма моментов относительно данного центра всех приложенных к данной системе внешних сил равна нулю, то главный момент количества движения этой системы относительного этого центра будет численно и по направлению постоянен.

Пусть сумма моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно какой-нибудь оси OZ равна нулю, то есть, тогда из уравнения



следует, что и закон формулируется так:

Если сумма моментов всех действующих на систему внешних сил относительно какой-нибудь оси равна нулю, то главный момент количества движения системы относительно этой оси будет величиной постоянной.

Эти два следствия выражают общий закон сохранения главного момента количества движения системы.

Пример. Вращение тела с изменяющимся моментом инерции относительно оси OZ (например, фигурист). Закон гласит: если , то

Значит, при увеличении за счет внутренних сил будет уменьшаться, и наоборот.

9.15 Кинетическая энергия системы

Кинетической энергией системы называется скалярная величина , равная арифметической сумме кинетических энергий всех точек системы

Главное отличие кинетической энергии системы от количества движения системы и момента количества движения в том, что кинетическая энергия является величиной скалярной и положительной, поэтому она не зависит от направления движения частей системы и не характеризует этих направлений. Но вместе с тем на изменение кинетической энергии системы влияет изменение не только внешних, но и внутренних сил.

9.16 Кинетическая энергия тела при разных видах его движения

Поступательное движение тела. При поступательном движении тела все его точки имеют одинаковые скорости , поэтому

Вращательное движение. Если тело вращается вокруг какой-нибудь оси OZ с угловой скоростью , то скорость любой его точки на расстоянии от оси и кинетическая энергия

Плоскопараллельное движение (рис. 3.51).

где - момент инерции системы (тела) относительно оси, проходящей через мгновенный центр P вращения. Так как положение P все время меняется, то введем постоянный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс С. Тогда на основании теоремы Гюйгенса Так как P - мгновенный центр скоростей, то - скорость центра масс. Окончательно имеем



Рис. 3.51. К определению кинетической энергии при плоскопараллельном движении твердого тела

При плоскопараллельном движении тела его кинетическая энергия равна кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенному с кинетической энергией вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через мгновенный центр вращения и перпендикулярной к плоскости движения.

Рис. 3.52. К расчету кинетической энергии тела для общего случая его движения

Общий случай движения. Если за полюс взять центр масс C тела, то движение тела в общем случае будет слагаться из поступательного движения со скоростью и вращения вокруг мгновенной оси CP, проходящей через этот полюс (рис. 3.52). Для i-ой точки имеем

При этом - абсолютная скорость i - ой точки. Тогда и

Из определения скалярного произведения двух векторов следует, что то есть скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.

Учитывая, что и и то, что , имеем

Тогда

Так как ось вращения CP проходит через центр масс тела, то величина количества движения, получаемого телом при вращении относительно оси CP, проходящей через центр масс тела, равна нулю. Поэтому окончательно имеем



Кинетическая энергия тела в общем случае движения равна кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс.

9.17 Теорема об изменении кинетической энергии системы

Изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

Для i-той точки системы имеем

где - элементарные работы действующих на точку внешних и внутренних сил.

Складывая элементарные работы всех сил, действующих на точки системы, имеем

Это равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. Проинтегрировав это равенство в пределах, соответствующих перемещению системы из некоторого начального положения, где кинетическая энергия равна , в положение, где она становится равной , будем иметь

Изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

Всегда ли надо учитывать работу внутренних сил системы при определении ее кинетической энергии? Ответ зависит от вида связей системы.

Система с неизменяемыми связями имеет такие связи, при которых расстояния между точками системы не изменяются. Для такой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и

Примером такой системы является абсолютно твердое тело.

Система с идеальными связями. Если система имеет связи, то внешние и внутренние силы могут быть активными и реакциями связей. Тогда

где - элементарная работа действующих на i-ю точку внешних и внутренних активных сил; - элементарная работа внешних и внутренних реакций связей.

Внешние и внутренние связи механической системы будут идеальными, если .

Таким образом, если сумма работ всех реакций связей при элементарном перемещении системы равна нулю, то такие связи называются идеальными. Примером идеальных связей являются неизменяемые связи и связи без трения.

Изменение кинетической энергии системы с идеальными, не изменяющимися со временем связями, при любом ее перемещении равно сумме работ внешних и внутренних активных сил на этом перемещении.

Практическая ценность теоремы об изменении кинетической энергии системы состоит в том, что при неизменяющихся со временем связях она позволяет исключить из уравнений движения все наперед неизвестные реакции связей.

Приложение общих теорем механодинамики к механодинамике твердого тела

Дифференциальное уравнение ускоренного вращательного движения твердого тела (рис. 3.53).

Рис. 3.53. Схема сил, действующих на вращающееся тело

- система заданных сил; - реакции подшипников. Моменты сил и относительно оси OZ равны нулю, так как линии действия этих сил пересекают ос OZ. Поскольку , то



где - вращающий момент.

Это дифференциальное уравнение движения твердого тела, из которого следует, что . Произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение равно вращающему моменту. При - чем больше , тем меньше . Если , то - тело вращается равномерно. Если , то и - тело вращается равнопеременно.

Дифференциальные уравнения плоскопараллельного ускоренного движения твердого тела. Положение твердого тела, совершающего плоскопараллельное движение, определяется в любой момент времени положением любой его точки, взятой в качестве полюса, и углом вращения относительно полюса. Задачи динамики упрощаются, если за полюс взять центр масс C тела и определить положение тела координатами (рис. 3.54).

Используя теорему о движении центра масс, имеем:

Рис. 3.54. Схема плоскопараллельного движения твердого тела

В проекциях на оси координат получим:

Это дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела. С помощью этих уравнений можно по заданным силам определить закон движения тела, или, зная закон движения тела, найти главный вектор и главный момент действующих на тело внешних сил.

При несвободном движении тела, когда траектория центра масс известна, уравнение движения точки C удобнее составлять в проекциях на касательную и главную нормаль к этой траектории. Тогда дифференциальные уравнения движения твердого тела в естественных осях становятся такими:

где - радиус кривизны траектории центра масс.

Пример (рис. 3.55). Определить работу сил трения, прижимающих тормозные колодки к барабану при его торможении.

Дано:

Рис. 3.55. Схема к примеру определения работы сил трения

В ХХ веке считалось, что законы классической механики успешно работают в макромире, а в микромире работают другие - квантовые законы. Однако, наши исследования показывают, что законы классической механики также успешно работают и микромире. Любой объект, имеющий массу, подчиняется законам Ньютона. Поэтому есть основания владеть минимумом знаний о работе законов классической механики в микромире. Для реализации этого пожелания рассмотрим современную теорию электрона.

10. ПРИНЦИПЫ МЕХАНОДИНИМИКИ

10.1 Принцип возможных перемещений

Возможным перемещением системы называется любая совокупность бесконечно малых перемещений точек системы, допускаемых в данный момент всеми наложенными на систему связями. Возможное перемещение любой точки системы изображают элементарным вектором , направленным в сторону перемещения. Сразу обращаем внимание на то, что при возможных элементарных перемещениях механической системы силы инерции близки к нулю и их можно не учитывать.

Пример. Рассмотрим возможные перемещения точек кривошипно-шатунного механизма (рис. 3.56).

Рис. 3.56. Схема к анализу принципа возможных перемещений

Возможные перемещения точек системы должны быть такими, чтобы при этом все наложенные на систему связи сохранялись, так как иначе изменится вид рассматриваемой механической системы. Например, нельзя допустить или считать возможным перемещение точки A вдоль радиуса OA на рис. 3.56 или перемещение точки B перпендикулярно стенкам цилиндра.

Из перечисленных требований вытекает, что число независимых между собой возможных перемещений системы равно числу eё степеней свободы.

Перемещения точек A и B на рис. 3.56 взаимозависимые, поэтому кривошипно-шатунный механизм имеет одну степень свободы.

Другие примеры:

- материальная точка на плоскости имеет одну степень свободы, так как ее элементарные перемещения и вдоль перпендикулярных осей всегда можно представить одним перемещением ;

- свободная точка имеет три степени свободы - перемещения вдоль координатных осей;

- свободное тело имеет шесть степеней свободы: три - перемещения вдоль координатных осей и три - вращения относительно этих осей.

Сущность применения принципа возможных перемещений для решения задач заключается в том, что он позволяет выразить условие равновесия системы в виде равенства нулю не сил, приложенных к системе, а их элементарных работ на всех возможных перемещениях системы.

Если к системе приложены активные силы и реакции связей , то принцип возможных перемещений запишется в общем виде так

где - сумма элементарных работ активных сил; - сумма элементарных работ реакций связей.

В большей части задач механики рассматриваются системы с идеальными (неизменяемыми) связями и связями без трения, поэтому для систем с идеальными связями и с учетом (3.253) имеем

- основное уравнение принципа возможных перемещений.

В проекциях на оси координат уравнение принципа (3.254) запишется так



Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении была равна нулю.

Таким образом, принцип возможных перемещений в наиболее общем виде устанавливает условия равновесия любой механической системы. При применении принципа возможных перемещений действие связей учитывается не путем введения неизвестных реакций, а путем учета перемещений, которые можно сообщить точкам системы при выводе ее из занимаемого положения. Эти перемещения называются возможными.

Значение принципа возможных перемещений состоит в том, что он дает в общей форме условие равновесия для любой механической системы, в отличие от методов геометрической статики, которые требуют рассмотрения равновесия каждого из тел системы в отдельности. Этот принцип позволяет исключить неизвестные реакции связей, когда они являются идеальными.

10.2 Порядок решения задач с использованием принципа возможных перемещений

1. Выбирают оси координат, связанные с телом, которые при возможных перемещениях системы остаются неподвижными.

2. Составляют условие равновесия в виде

3. Вычисляют проекции всех активных сил на выбранные оси.

4. Выражают координаты точек () приложения активных сил через какой-нибудь параметр, например, угол поворота системы.

5. Величины находят дифференцированием координат по выбранному параметру.

6. Если все координаты не удается выразить через один параметр сразу, то вводят несколько параметров и устанавливают зависимость между ними.

7. Полученные результаты подставляют в условие равновесия

Этими условиями можно пользоваться при наличии трения, включая силу трения в число активных сил. Этим же путем можно находить и реакции связей, если, отбросив связь, заменить ее соответствующей реакцией и включить ее в число активных сил.

Пример (рис. 3.57). Найти зависимость между и в подъемном механизме, детали которого скрыты в коробке, если известно, что при каждом повороте рукоятки на угол винт C выдвигается на величину . Учитывая, что (рис. 3.57), составим уравнение принципа возможных перемещений (условие равновесия) в виде

Рис. 3.57. Схема к примеру

Считая движения рукоятки AB и винта C равномерными, имеем

Подставляя в условие равновесия, находим

Заметим, что методами геометрической статики эту несложную задачу вообще нельзя было бы решить, так как детали механизма неизвестны. Вместо суммы элементарных работ приложенных сил на возможных перемещениях системы можно брать сумму элементарных мощностей на возможных перемещениях точки системы.

Рис. 3.58. Схема механизма

Пример (рис. 3.58).

Дано: . Найти .

Сумма мощностей

где

.

С учетом этого имеем

11. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ МЕХАНОДИНАМИКИ

Это уравнение базируется на двух принципах: принципе возможных перемещений Лагранжа и главном принципе механодинамики. Принцип возможных перемещений дает общий метод решения задач статики. Главный принцип механодинамики позволяет использовать методы статики для решения задач динамики. Применяя эти два принципа одновременно, мы можем получить общий метод решения задач механодинамики.

Если мы рассматриваем систему с идеальными связями, то, прибавляя ко всем точкам системы кроме действующих на нее активных сил и реакций связей соответствующие силы инерции согласно главному принципу механодинамики, получим систему сил, которая будет находиться в равновесии.

Далее, применяя ко всем силам принцип возможных перемещений, получим

Так как связи идеальные, то , поэтому

Это общее уравнение динамики. Из него вытекает принцип Лагранжа. При движении системы с идеальными связями в каждый данный момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю. В аналитической форме уравнение имеет вид



Этот принцип позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Если система представляет собой совокупность каких-нибудь твердых тел, то для составления уравнений нужно к действующим на каждое тело активным силам добавить приложенную в любом центре силу, равную главному вектору сил инерции и пару с моментом, равным главному моменту сил инерции относительно этого центра, а затем применить принцип возможных перемещений.

12. МЕТОД ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТ

12.1 Понятие об обобщённых координатах

Обобщенными (лагранжевыми) координатами данной механической системы называются такие независимые друг от друга параметры, при помощи которых можно в любой момент времени выразить декартовы координаты всех ее точек и таким образом определить положение этой системы.

Количество таких независимых параметров системы равно числу ее степеней свободы, а значит, и числу независимых между собой возможных перемещений системы. Геометрические связи уменьшают количество указанных параметров. Например, свободная точка имеет три степени свободы и три независимых друг от друга возможных перемещения (рис. 3.59) вдоль координатных осей.

Рис. 3.59. Схема к анализу возможных перемещений точки A

Если точку A связать с другой неподвижной точкой O связью , то количество степеней свободы у точки A уменьшится на единицу и ее положение можно будет описать уже двумя параметрами: и . При этом уравнение связи будет иметь вид (уравнение сферы). Обобщенные параметры обозначаются буквой: , где - число степеней свободы системы. Следовательно, для точки A обобщенные параметры и

Если на точку A (рис. 3.59) наложить еще одну связь, то у нее останется одна степень свободы и один обобщенный параметр, а именно и появятся два уравнения связи (рис. 3.59)

Из изложенного следует, что свободная материальная точка имеет три степени свободы, а таких точек - степеней свободы. После объединения этих свободных точек с помощью связей в систему общее количество степеней свободы точек уменьшится на количество связей между ними. Поэтому любая механическая система, состоящая из точек, имеет степеней свободы.

Рис. 3.60. Схема кривошипно-шатунного механизма

У кривошипно-шатунного механизма (рис. 3.60) точка A имеет две связи, точка B - три. Из этого следует, что тогда

Пример (рис. 3.61). Плоский математический маятник имеет очевидно одну () степень свободы, поэтому его положение определяется одной обобщенной координатой . Её роль здесь могут выполнить: угол дуга и площадь .

Координата не определяет положение точки M однозначно, так как точка M может отклониться вправо и влево от оси OX и иметь при этом одну и ту же координату . Поэтому не может выполнить роль обобщенной координаты.

Рис. 3.61. Схема плоского математического маятника

Кинематические уравнения движения системы в обобщенных координатах записываются так:

Наряду с понятием обобщенные координаты системы существует понятие обобщенная скорость.

1. Если - линейная величина, то - линейная скорость;

2. Если - угол, то - угловая скорость;

3. Если - площадь, - секториальная скорость.

12.2 Обобщенные силы

Сообщая системе независимое возможное перемещение, при котором у нее изменится только одна обобщенная координата , найдем элементарную работу

где - обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате .

Здесь включает в себя все силы, действующие на систему на перемещении . Как ее определить?

Если на точку системы действует сила , то элементарная работа этой силы на элементарных изменениях декартовых координат определится так

(3.261)

Связь между приращениями декартовых и обобщенных координат устанавливается на основании того, что приращения (изменения, вариации) декартовых координат равны полным дифференциалам функций: по независимым переменным.

Заменяя вариации и в уравнении (3.261), имеем:

Просуммируем результаты в скобках и обозначим:

Тогда выражение элементарной работы сил системы в обобщенных координатах

где - обобщенные силы, являющиеся коэффициентами при приращениях обобщенных координат в выражении полной элементарной работы действующих на систему сил.

Пример (рис. 3.62). На точку действует сила .



Рис. 3.62. Схема к определению обобщенных сил

Декартовы координаты точки ;

Найти обобщенные силы и , соответствующие обобщенным координатам и . На основании уравнений (3.263) имеем:

После подстановки в эти уравнения частных производных от координат точки по обобщенным координатам и , получим

Сумма (3.264) элементарных работ обобщенных сил и запишется так



Если у системы изменяется какая-нибудь одна обобщенная координата, например, , то и откуда Таким образом, чтобы найти интересующую нас обобщенную силу , нужно дать системе перемещение, соответствующее одной обобщенной координате , а все остальные обобщенные координаты оставить неизменными. Тогда обобщенная сила будет равна ее элементарной работе по перемещению всех точек системы , деленной на приращение соответствующей обобщенной координаты .

Как видно, размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность соответствующей обобщенной координаты.

12.3 Обобщенные силы в потенциальном силовом поле

Если на систему действуют только потенциальные силы, то силовая функция в декартовых координатах , а в обобщенных координатах

Тогда полный дифференциал функции (3.266) равен сумме элементарных работ потенциальных сил.



Как видно, в данном случае:

Так как потенциальная энергия , то

Если все действующие на систему силы потенциальны, то обобщенные силы равны частным производным от силовой функции или взятым со знаком минус частным производным от потенциальной энергии по соответствующим обобщенным координатам.

Условия равновесия системы в обобщенных координатах. Для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1) в декартовых координатах

2) в обобщенных координатах

Так как - независимые между собой величины, то указанное условие будет выполнено при или при

Таким образом, для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным обобщенным координатам, были равны нулю.

В случае потенциальных сил условие равновесия запишется так:

то есть при равновесии системы полный дифференциал функции или равен нулю:

Таким образом, система, на которую действуют потенциальные силы, находится в равновесии в тех положениях, для которых силовая функция или потенциальная энергия системы имеют экстремумы ( или ) или, если ее потенциальная энергия постоянна.

12.4 Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа II рода)

Чтобы найти дифференциальные уравнения движения механической системы с геометрическими связями в обобщенных координатах, обратимся к общему уравнению динамики

Будем считать все связи, наложенные на систему, идеальными. Тогда в первую сумму войдут работы активных сил, а во вторую - сил инерции. Если система имеет степеней свободы, то:

где - обобщенные активные силы;

здесь - обобщенные силы инерции.

Подставляя полученные данные в уравнение (3.272), имеем

Так как все между собой не зависимы, то полученное равенство будет выполняться тогда, когда каждый из коэффициентов при в отдельности будет равен нулю.

Выразим силы инерции через кинетическую энергию системы, то есть через массы точек системы и их скорости

Учтем, что частная производная от по есть предел отношения частного приращения к приращению .

Откуда в соответствии с правилом Лопиталя

где - скорость -той точки системы, определяемая радиусом-вектором ; - обобщенная скорость, соответствующая координате Операции полного дифференцирования по и частного дифференцирования по переместительны, что дает

Теперь равенство (3.255) можно представить так

Обозначим - кинетическая энергия системы. Тогда



Подставляя этот результат в уравнение (3.275) и учитывая все обобщенные координаты, имеем:

Это и есть дифференциальные уравнения движения системы с геометрическими связями или уравнения Лагранжа II-го рода. Это - дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат Число этих уравнений равно числу степеней свободы системы.

Если реакции связей оказываются известными, то они включаются в уравнения Лагранжа совместно с активными силами.

Уравнения Лагранжа дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики. Преимущество этих уравнений в том, что их вид и число не зависят ни от количества тел (или точек), входящих в рассматриваемую систему, ни от того, как эти тела движутся.

При идеальных связях в правые части уравнений входят обобщенные активные силы и, следовательно, эти уравнения позволяют исключить из рассмотрения все наперед неизвестные реакции связей.

Основная задача механики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы и начальные условия, найти закон движения системы в виде:

(3.282)

12.5 Случай потенциальных сил

Если все действующие на систему силы потенциальны то, учитывая, что

а также то, что потенциальная энергия зависит от обобщенных координат и не зависит от обобщенных скоростей, из уравнений (290) имеем

Подчеркнем, чтоэто равенство справедливо потому, что потенциальная энергия зависит только от координат и не зависит от обобщенных скоростей .

Введем функцию . Это функция Лагранжа или кинетический потенциал. В случае потенциальных сил уравнения Лагранжа (3.256) примут вид:



Из этого следует, что если на систему действуют только потенциальные силы, то ее состояние определяется заданием только функции Лагранжа. Зная эту функцию, можно составить дифференциальные уравнения движения системы. Уравнения Лагранжа удобны тем, что их можно использовать для изучения относительного и абсолютного движения любой механической системы с геометрическими связями независимо от количества точек или тел, входящих в систему.

12.6 Последовательность решения задач с помощью уравнений Лагранжа II-го рода

1) Изобразить механическую систему схематически; 2) установить число степеней свободы и выбрать обобщенные координаты; 3) показать на схеме все действующие силы (для систем с идеальными связями -- только активные); 4) вычислить обобщенные силы (при этом, чтобы избежать ошибок в знаках, каждое сообщаемое системе возможное перемещение должно быть направлено так, чтобы приращение соответствующей координаты было положительным); если перемещение изменяет две обобщенные координаты, то соответствующие ей обобщенные силы определятся по формулам:



5) вычислить кинетическую энергию системы и выразить ее через обобщенные координаты и обобщенные скорости , и подставить все вычисленные величины в конечные уравнения (3.286).

Если заданы начальные условия и известны силы, приложенные к системе, то после интегрирования полученных уравнений будет найден закон движения системы в виде:

Если закон задан, то составленные уравнения позволят определить силы, действующие на систему. Когда они являются потенциальными, то вместо обобщенных сил определяют потенциальную энергию системы, выразив ее через обобщенные координаты. Затем определяют кинетическую энергию системы и составляют функцию Лагранжа . Подставляя в уравнения (3.285) и интегрируя их, находят искомый результат.

13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ

13.1 Общие сведения о гироскопах

Гироскопом называют твердое тело, вращающееся вокруг оси, направление которой в пространстве может изменяться со временем.

В гироскопических приборах гироскопы обычно закрепляют в кольцевом подвесе так, чтобы при любом повороте гироскопа его центр масс оставался неподвижным (рис. 3.63).

Гироскопы имеют очень большую угловую скорость собственного вращения вокруг своей оси симметрии, что дает возможность не учитывать (в первом приближении) другие вращения. Кинетический момент гироскопа относительно его неподвижной точки O направлен по оси OZ в ту же сторону, куда и вектор .

где - момент инерции гироскопа относительно оси его симметрии.

Рис. 3.63. Схема гироскопа

Свободный гироскоп. Гироскоп, закрепленный так, что его центр тяжести неподвижен, а ось может совершать любой поворот вокруг этого центра, называется свободным (рис. 3.63). Пренебрегая трением в осях, имеем

и - условие равновесия.

Поскольку вектор направлен все время по оси гироскопа, то отсюда следует, что ось свободного гироскопа сохраняет неизменное направление в пространстве по отношению к инерциальной (звездной) системе отсчета. Кинетический момент гироскопа определится по формуле

13.2 Действие силы на ось гироскопа

Пусть на ось быстро вращающегося гироскопа действует сила (рис. 3.64), тогда и по теореме моментов имеем

где B - конец вектора

Учитывая, что , получаем

Скорость конца вектора кинетического момента тела относительно центра O равняется по модулю и по направлению главному моменту внешних сил относительно того же центра (теорема Резаля). Следовательно, при действии силы на ось гироскопа точка B, а с нею и ось гироскопа, будет перемещаться по направлению вектора

Таким образом, если на ось быстро вращающегося гироскопа подействует сила, то ось начнет отклоняться не в сторону действия силы, а по направлению, которое имеет вектор момента этой силы относительно неподвижной точки O гироскопа, то есть, перпендикулярно силе . Когда действие силы прекращается, то и , и ось гироскопа возвращается в исходное положение.

Рис. 3.64. Схема действия силы на ось гироскопа

Если сила действует кратковременно (толчок), то ось гироскопа практически не изменяет своего направления. В этом проявляется свойство устойчивости оси быстро вращающегося гироскопа.

13.3 Регулярная прецессия тяжелого гироскопа

Если неподвижная точка O гироскопа (рис. 3.65) не совпадает с центром тяжести C, то на ось гироскопа все время действует сила, которая по доказанной выше теореме Резаля будет отклонять ось гироскопа не вниз, а по направлению , то есть по направлению, перпендикулярному плоскости в результате ось гироскопа начнет вращаться вокруг вертикальной оси , описывая коническую поверхность. Такое движение оси гироскопа называется прецессией (рис. 3.65).

Найдем угловую скорость прецессии . Введем обозначение . Учтем, что и . С другой стороны так как

Поскольку , то . Следовательно, равенство дает откуда

Так как велика, то угловая скорость прецессии будет величиной малой.

Рис. 3.65. Схема к анализу прецессии гироскопа

Период прецессии оси Земли в силу того, что равнодействующая сил притяжения Солнца и Луны не проходит через центр масс Земли (из-за ее не шарообразной формы) равен примерно 26000 лет.

13.4 Гироскопический момент

Так как и , то момент создает реактивную пару сил N и N', которая стремится совместить ось вращения с осью (рис. 3.65). За счет этой пары у быстровращающегося прецессирующего волчка ось вращения принимает вертикальное положение.

Пара сил называется гироскопической парой, а ее момент - гироскопическим моментом. Так как по модулю , то

Отсюда следует правило Н.Е. Жуковского. Если быстро вращающемуся гироскопу сообщить вынужденное прецессионное движение, то на подшипники, в которых закреплена ось гироскопа, будет действовать пара сил с моментом , стремящимся кратчайшим путем установить ось его собственного вращения параллельно оси прецессии так, чтобы направления векторов и при этом совпали.

Кроме давления на подшипники гироскопический момент может вызвать движение того тела, с которым скреплены эти подшипники, если это движение допускается наложенными связями. Это обязательно надо учитывать.

У массивных и быстро вращающихся механизмов сельхозмашин тоже возникает гироскопический момент. Гироскопический момент вращающегося молотильного барабана комбайна настолько велик, что при резком повороте этого комбайна с включенной молотилкой может произойти поломка подшипников вала молотильного барабана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бурдун Г.Д. Справочник по международной системе единиц. Издательство стандартов. М. 1977. 232с.

2. Лачуга Ю.Ф., Ксендзов В.А. Теоретическая механика. М.: «Колос», Высшая школа, 2000.

3. Бутенин Н.В. и др. Курс теоретической механики. В двух томах.- СПб.: Издательство «Лань», 2004.-730 с.

4. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики.

14-е изд. М.: Высшая. школа. 2004.- 416 с.

5. Канарев Ф.М. Монография микромира. 15-е издание.

Размещено на Allbest.ru

...