Кориолисово ускорение и кориолисова сила инерции - самые сложные для понимания физические характеристики точки при её сложном движении. Представляем анализ кинематического и меходинамического процессов формирования указанных характеристик.

1. Кинематика сложного движения материальной точки

Из векторного треугольника на рис.1 для радиуса - вектора точки относительно неподвижной системы отсчёта имеем

. (2)

Разложим вектор на составляющие по осям, имеем

(3)

кориолисово ускорение сила инерция

Так как оси параллельны осям то, дифференцируя составляющие этого уравнения, характеризующие поступательное движение, по времени, имеем [1]

(4)

В этой формуле:

; ;

Подставляя результаты в уравнение (4), получим (1). Теорема доказана.

Теорема сложения ускорений при поступательном переносном движении подвижной системы отсчета

Теорема: При поступательном переносном движении подвижной системы отсчета абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного и относительного ускорений [1].

. (5)

Дифференцируя уравнение (4) второй раз, имеем

(6)

В этой формуле:

; ;

Подставляя результаты дифференцирования в исходное уравнение (4), имеем (5). Теорема доказана.

Теорема сложения скоростей при непоступательном переносном движении подвижной сиситемы отсчета

Теорема: при непоступательном переносном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей . Из векторного треугольника (рис.2) имеем [1]

. (7)

Так как переносное движение непоступательное, то единичные векторы также переменные величины [1].

(8)

Рис.2. К описанию сложного движения точки при непоступательном переносном движении подвижной системы отсчета

Обратим внимание на уравнение (8). Оно представляет собой сложную функцию с независимыми переменными которые являются функциями времени . Поэтому при дифференцировании уравнения (8) необходимо определять частные производные. Однако, чтобы упростить процедуру дифференцирования, будем считать функцию суммой переменных, зависимых от и будем определять не частные, а обычные производные [1].

После дифференцирования уравнения (8) с учетом того факта, что в этом случае - величины также переменные, имеем

(9)

В этой формуле

-абсолютная скорость. (10)

Переносную скорость движения подвижной системы отсчета определят: производная, фиксирующая движение начала О подвижной системы отсчета. Это производные от орт , фиксирующие вращение этой системы в пространстве

. (11)

Производные по времени от координат подвижной системы отсчета дают относительную скорость .

(12)

После подстановки полученных данных в исходное уравнение (8), имеем теорема доказана [1].

Теорема сложения ускорений при непоступательном переносном движении подвижной системы отсчета

Теорема: При непоступательном переносном движении подвижной системы отсчета абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного , относительного и кориолисова ускорений

. (13)

Учитывая, что и - величины в этом случае переменные, и дифференцируя уравнение (9) по времени второй раз последовательно: вначале переменные , которые характеризуют переносное движение в каждом слагаемом, а затем - переменные , которые характеризуют относительное движение, имеем

(14)

В этой формуле:

; (15)

(16)

(17)

. (18)

Подставляя результаты дифференцирования в исходное уравнение (14), окончательно получим

(19)

Здесь: - ускорение, установленное французским профессором механиком Кориолисом и названное в его честь кориолисовым ускорением.

Придерживаясь принципа последовательности, видим, что в выражении

(20)

для наблюдателя, находящегося в неподвижной системе отсчета , важны в первую очередь те составляющие, которые характеризуют переносную часть движения. Это составляющие:

(21)

В них заложен механический смысл, соответствующий вращению подвижной системы отсчета в пространстве. Следовательно, эти составляющие мы можем заменить вектором угловой переносной скорости , с которой вращается подвижная система отсчета. Составляющие же

, (22)

соответствуют вектору относительной скорости точки . Учитывая это и опуская преобразования в скобке выражения (20), можем записать его так

(23)

Это и есть кориолисово ускорение. Оно характеризует одновременное изменение направления вектора переносной угловой скорости (ввиду того, что орты , входящие в выражение (20), переменны по направлению), а также изменение модуля и направления вектора относительной скорости точки .

Обратим внимание на то, что в процессе вывода (14-22) формулы кориолисова ускорения (23) физический смысл появления множителя 2 в формуле (23) остался в тумане - не до конца понятным [1].

2. Определение модуля и направления кориолисова ускорения

(24)

Известно, что модуль векторного произведения двух векторов равен

(25)

Если то

(26)

Для определения направления вектора кориолисова ускорения надо спроектировать вектор относительной скорости точки на плоскость, перпендикулярную вектору (оси переносного вращения), и полученную проекцию повернуть в сторону этого вращения на . Полученное таким образом направление совпадает с направлением вектора (рис.2, 3 и 4). Если точка движется в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения (вектору , то и формула (26) становится такой

(27)

Рис.3. К определению направления вектора кориолисова ускорения при движении точки в пространстве

Кориолисово ускорение обращается в нуль, если:

1. - переносное движение поступательно или когда в данный момент

2. - относительная скорость в данный момент равна нулю.

3. Когда или , то есть когда вектор параллелен вектору .

А теперь рассмотрим фазы движения материальной точки вдоль горизонтально вращающегося стержня и покажем, что при совпадении вектров и кориолисово ускорение выполняет функции ускорения, а когда эти векторы противоположны, то оно выполняет функции замедления (рис.4). Вариации возможных сочетаний направления вектров переносной и относительной скоростей материальной точки, движущейся вдоль вращающегося стержня, представлены на рис.4.

Рис.4. Примеры определения направления векторов и для точки

3. Механодинамика сложного движения материальной точки

Итак, из кинематики известно (13), что в общем случае абсолютное ускорение точки равно (рис.5) [1]

(28)

где - переносное, относительное и кориолисово ускорения точки M соответственно (рис.5).

Рис.5. Схема сил, действующих на ползун М

Однако, надо иметь в виду, что кинематическое уравнение (28) получено без учета массы точки и сил, действующих на неё, поэтому при рассмотрении механодинамики сложного движения точки, это уравнение (28) становится неполным, так как не учитывает замедления, генерируемые силами инерции [2].

С учетом изложенного необходимо к ускорениям, действующим на точку при её сложном движении, добавить замедления движения точки, которые будут формироваться силами инерции. Замедления , также как и ускорения , - величины векторные.

Переносное ускорение будет формировать переносную силу инерции , которая будет замедлять движение точки в её переносном движении. Обозначим это замедление так .

Относительное ускорение будет формировать относительную силу инерции . Она тоже будет замедлять относительное движение точки. Обозначим это замедление символом .

Так как кориолисова сила имеет инерциальную природу, то она тоже формирует замедление , направление которого совпадает с направлением вектора кориолисовой силы. Из этого следует ошибочность существовавшего до этого представления о том, что кориолисова сила инерции равна произведению массы точки на кориолисово ускорение и направлена противоположно этому ускорению. Из изложенного следует, что кориолисово ускорение и кориолисово замедление направлены в противоположные стороны.

Кроме перечисленных сил, на точку в сложном движении действуют другие силы сопротивления, которые также формируют замедление её движению.

Обозначим результирующую этих сил так , а результирующее замедление, формируемое другими силами сопротивления, через . Тогда уравнение ускорений и замедлений, действующих на материальную точку в её сложном движении, в общем виде запишется так [2]

. (29)

Обратим внимание на то, что в правой части этой формулы все ускорения и замедления поставлены со знаками плюс (+).

Эта условность обусловлена сложностью определения направлений относительных и переносных ускорений и замедлений в общем случае.

Знаки у этих составляющих появляются лишь в их проекциях на оси координат и мы увидим их в последующих формулах.

Уравнение сил, действующих на материальную точку в её сложном движении, принимает вид

. (30)

Из этого следует

. (31)

Тогда общее уравнение механодинамики движения материальной точки относительно подвижной системы отсчёта становится таким (рис.5)

(32)

Итак, общие уравнения сил, действующих на материальную точку при её сложном (31) и относительном (32) движениях, составлены. Учитывая, что проекции относительного ускорения точки на подвижные оси координат равны:

(33)

и проектируя векторное уравнение (32) на эти оси, имеем:

; (34)

; (35)

; (36)

Это дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки в координатной форме. Следующий этап - использование этого уравнения для частных случаев относительного движения материальной точки. Таких случаев может быть несколько, но мы не будет составлять уравнения для каждого из них, а лишь перечислим эти случаи (рис.5).

1 - ускоренные переносное и относительное движения точки;

2 - ускоренное переносное и равномерное относительное движение точки;

3 - ускоренное переносное и замедленное относительное движение материальной точки;

4 - равномерное переносное движение и ускоренное относительное движение материальной точки;

5 - равномерное переносное и равномерное относительное движение материальной точки;

6 - равномерное переносное и замедленное относительное движение материальной точки;

7 - замедленное переносное движение и ускоренное относительное движение материальной точки;

8 - замедленное переносное и равномерное относительное движение материальной точки;

9 - замедленное переносное и замедленное относительное движение материальной точки.

Кроме этого подвижная система отсчёта может двигаться поступательно или криволинейно. Каждый из указанных случаев описывается отдельным уравнением (рис.5):

1 - подвижная система XOY движется поступательно. В этом случае и , поэтому в общем виде имеем

(37)

2 - подвижная система XOY движется поступательно, прямолинейно и равномерно. В этом случае: и , поэтому

(38)

3) если точка под действием приложенных к ней сил находится в покое относительно подвижной системы отсчета, то уравнение сил, действующих на точку относительно неподвижной (абсолютной) системы отсчёта запишется так

. (39)

Составим уравнения сил, действующих на ползун, движущийся по вращающемуся стержню в горизонтальной плоскости так, как показано на схеме (рис.5). Прежде чем приступать к схематическому показу сил, действующих на ползун (рис.5), обратим внимание на связь между вращательным (переносным) движением и линейным (относительным) движением ползуна вдоль стержня. Совокупность этих движений значительно отличается от перемещения, например, пассажира вдоль движущегося трамвая. Пассажир может менять свою относительную скорость произвольно, а ползун лишён такой возможности. Его переносная и относительная скорости также связаны друг с другом. Такая же связь и у сил, действующих на ползун. Поэтому, составляя схему сил, действующих на ползун, обязательно надо учитывать указанную взаимосвязь между его переносным и относительным движениями (рис.5) [2].

С учётом изложенного, тщательный анализ процесса движения ползуна (рис.5) показывает, что на него действуют следующие силы: переносная сила , вектор которой направлен по нормали к стержню в сторону движения и равен нормальной реакции стержня на ползун; сила трения направлена противоположно движению ползуна относительно стержня и связана с нормальной реакцией через угол трения и коэффициент трения . Результирующая сила силы трения и нормальной реакции образуют угол трения (рис.5) [2].

Известно, что ползун начнёт ускоренное движение вдоль стержня (вдоль оси ) лишь тогда, когда вектор результирующей силы отклонится от нормали на угол немного больший угла трения в сторону относительного движения ползуна. Превышение угла отклонения результирующей от угла трения (рис.5) настолько незначительно, что отклонение результирующей от нормали в момент начала ускоренного движения ползуна можно принимать равным углу трения . Направление абсолютного ускорения , совпадает с направлением вектора результирующей силы .

Далее, надо учесть существование предельно большой величины силы трения соответствующей коэффициенту трения , который связан с углом трения зависимостью . При ускоренной фазе вращения стержня с угловым ускорением результирующая сила достигнет предельно большой величины, определяемой силой трения. Обозначим её через (рис.5). Но как только ползун начнёт движение вдоль стержня, увеличение силы трения прекратится, но увеличение результирующей силы, которую мы обозначили символом , продолжится за счёт продолжающегося увеличения переносного и относительного ускорений, поэтому результирующую силу, независящую от силы трения, обозначим символом (рис.5). Её проекция на ось ОХ является активной относительной силой, формирующей относительное ускорение .

А теперь обратим внимание на две причины ускоренного движения ползуна. Первая обусловлена увеличением угловой скорости от нуля до постоянной величины , вторая - увеличением радиуса, равного переменной координате . Так как в этом случае две переменные и , то математическая модель для определения полного относительного ускорения имеет вид

. (41)

Таким образом, из формулы (41) следует, что при ускоренном вращении стержня полное относительное ускорение ползуна состоит из двух составляющих . Первая составляющая - генерируется переменной угловой скоростью , а вторая - переменной угловой скоростью и переменной относительной скоростью. Обратим внимание на то, что вторая составляющая равна половине так называемого кориолисова ускорения ().

При постоянной угловой скорости полное относительное ускорение также увеличивается по мере удаления ползуна от центра вращения (О) за счёт увеличения радиуса вращения, то есть - координаты . Действие стержня на ползун передаётся через нормальную реакцию стержня, которая равна активной переносной силе . Кроме этого, переменная величина формирует переносную силу инерции, направленную противоположно. Это - кориолисова сила инерции (рис.5). Так как любая сила инерции формирует замедление движения тела, совпадающее с направлением самой силы инерции, то кориолисова сила инерции также формирует замедление переносного движения ползуна, которое совпадает по направлению с вектором кориолисовой силы инерции (рис.5). Так как кориолисову силу инерции формирует только активная переносная сила и не формирует реакция связи , то модуль кориолисова замедления равен половине модуля полного относительного ускорения (41).

(42)

Обратим внимание на то, что математическая модель бывшего кориолисова ускорения записывается так

. (43)

Это в два раза больше замедления (42). Возникает законный вопрос: какая из математических моделей (42) или (43) точнее отражает реальность? Чтобы получить ответ на этот вопрос надо вернуться к принципу причинности, согласно которому сила первична, а ускорение вторично. Поэтому надо составить уравнения сил, действующих на ползун, и из этих уравнений должен следовать ответ на поставленный вопрос.

При ускоренном движении материальных точек и тел сила инерции направлена противоположно движению и формирует относительное замедление этого движения.

Поскольку в соответствии с главным принципом механодинамики в каждый данный момент времени сумма активных сил, сил сопротивления движению и сил инерции, действующих на ползун, равна нулю, то векторное уравнение сил в этом сложном движении ползуна имеет вид

. (44)

Проектируя силы, приложенные к ползуну, на оси ОХ и ОУ, имеем:

(45)

(46)

Преобразуем уравнение (46) таким образом

(47)

Итак, сумма проекций сил на ось ОУ (47), действующих на ползун, состоит из двух составляющих. Первая составляющая равна сумме переносной активной силы , действующей на ползун в переносном движении, и равной ей нормальной реакции стержня на ползун. Это две силы, приложенные к ползуну в переносном движении. Обращаем внимание на то, что суммарное переносное ускорение, генерируемое этими силами, равно , что полностью совпадает с давно используемым кориолисовым ускорением (43).

Далее, направление вектора суммы ускорений, генерируемых переносной активной силой и нормальной реакцией стержня на ползун, совпадает с давно принятым направлением вектора, так называемого, кориолисова ускорения (43). Напомним, что в данном случае направление вектора бывшего кориолисова ускорения (43) определяется поворотом вектора относительной скорости в сторону вращения (рис.4).

Давно условились силы инерции направлять противоположно ускорениям. На рис.5 кориолисова сила инерции направлена противоположно нормальной реакции , а значит и противоположно ускорению , которое фактически не является кориолисовым ускорением. Это сумма ускорений, формируемых силами и . Она не имеет никакого отношения к кориолисовой силе инерции, которая формирует не ускорение движения ползуна, а его замедление , вектор которого совпадает с направлением кориолисовой силы инерции (рис.5).

Таким образом, мы оказались в противоречивой ситуации. С одной стороны суммарное ускорение генерируется активной силой и реакцией связи , приложенными к ползуну и направленными в сторону его переносного движения, а с другой стороны - сумма этих ускорений давно названа кориолисовым ускорением, яко бы принадлежащим кориолисовой силе инерции, которая по своей природе генерирует не ускорение, а замедление материальных точек и тел при их ускоренном движении. Из этого следует, что направление действия кориолисовой силы инерции определяется правильно (рис.5), но модуль его вычисляется неправильно. Произведение массы ползуна на ускорение его движения равно не кориолисовой силе инерции (рис.5), а суммарной силе (), действующей на ползун в переносном движении. Модуль кориолисовой силы инерции , замедляющей переносное движение ползуна, равен произведению массы ползуна на замедление , генерируемое кориолисовой силой инерции , направленной противоположно переносному движению ползуна (рис.5).

Конечно, в изложенном выше трудно понимать причину сложения активной переносной силы и реакции связи . Но без этого не появляется двойка в выражении (43) бывшего кориолисова ускорения. Однако, если представить, что ползун удаляется от центра на удлиняющейся гибкой нити, вращающейся относительно центра, то в такой схеме будет отсутствовать реакция стержня на ползун и останется одна активная переносная сила . Этот пример позволяет считать, что при движении ползуна по жёсткому стержню на него действуют в переносном движении две силы (). В этом случае численная величина бывшего кориолисова ускорения (43) остаётся прежней. Если же убрать силу , то численная величина бывшего кориолисова ускорения будет в два раза меньше. Этот факт подтверждается величиной второй составляющей полного относительного ускорения (41).

А теперь возвратимся к анализу кинематических уравнений (1-20) и увидим, как в аналитическом выводе бывшего кориолисова ускорения (23) и (24) прояснился физический смысл множителя 2 [2]. Это стало возможным только благодаря новым законам механодинамики [2].

Заключение

Новый тщательный анализ кинематического процесса вывода математической модели бывшего кориолисова ускорения показывает, что в рамках новых законов механодинамики это полное переносное ускорение, формируемое переносной активной силой и переносной реакцией связи точки с подвижной системой отсчёта. Оно не имеет никакого отношения к кориолисовому ускорению, так как кориолисова сила инерции, направление вектора которой определялось правильно, формирует не ускорение, а замедление, направленное противоположно бывшему кориолисовому ускорению и имеющего модуль в два раза меньший модуля бывшего кориолисова ускорения.

Источники информации