Математическая модель двусвязной пластинки переменной толщины, учитывающая влияние неоднородных свойств материала на распределение температур и напряжений

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 539.3

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВУСВЯЗНОЙ ПЛАСТИНКИ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ, УЧИТЫВАЮЩАЯ ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУР И НАПРЯЖЕНИЙ

Фомин В.Г.

Рассматривается нелинейная задача теплопроводности и термоупругости для двухсвязной пластинки переменной толщины. В качестве метода решения используется метод конечных элементов. Линеаризация краевой задачи теплопроводности проводится с помощью переменной Кирхгофа. Проводится сравнение результатов для линейной и нелинейной постановок задачи для различных законов изменения толщины.

Ключевые слова: нелинейная задача теплопроводности, задача термоупругости, пластинка переменной толщины, преобразование Кирхгофа, метод конечных элементов

теплопроводность линейный краевой пластик

The nonlinear problem of thermal conductivity and thermoelasticity for a doubly connected plate of variable thickness is considered. The finite element method is used as the solution method. The linearization of the boundary value problem of heat conduction is carried out using the Kirchhoff variable. A comparison of the results for the linear and non-linear formulations of the problem is carried out for various laws of thickness variation.

Keywords: nonlinear heat conduction problem, thermocoupling problem, variable thickness plate, Kirchhoff transformation, finite element method

Вопросы, связанные с расчетом элементов конструкций от температурного воздействия, занимают важное место в современной транспортной сфере. Учет свойств материалов элементов и деталей конструкций позволяет спрогнозировать их поведение в различных условиях. Расчет конструкционных элементов с учетом нелинейности теплофизических свойств материалов позволяет увеличивать запас прочности конструкции либо снижать ее вес.

Определение поля температур является первым этапом решения задачи термоупругости. Рассматривается плоская задача теплопроводности для двухсвязной области. Внутренний и внешний контуры представляют собой эллипсы с полуосями и соответственно (рис. 1). На внутреннем контуре поддерживается постоянная температура , на внешнем реализованы смешанные граничные условия: на одной части ( и ) задана постоянная температура , а на другой выполнены условия теплоизоляции. Пластинка симметрична относительно срединной плоскости и имеет переменную толщину. Основания ее теплоизолированы. Предполагается, что температура постоянна по толщине и теплофизические свойства материала зависят от температуры.

Рис. 1

Решение нелинейной задачи теплопроводности в прямоугольной системе координат сводится к интегрированию уравнения [1]:

(1)

при следующих граничных условиях: на внутреннем контуре, при и на внешнем контуре, при и на внешнем контуре. (2)

Здесь ,

- коэффициент теплопроводности при , (273 К),

- температурный коэффициент

- толщина пластинки,

- функция температур.

Нелинейное уравнение (1) для функции температур с помощью введения переменной Кирхгофа [2]

(3)

приводится к следующему:

(4)

Соответствующим образом преобразуются граничные условия для функции .

Интегрирование уравнения (4) эквивалентно нахождению экстремума функционала [3]

. (5)

Для отыскания минимума функционала (5) разбиваем область на треугольные элементы,

,

где - число элементов.

,

- средняя толщина элемента.

В пределах каждого элемента функция аппроксимируется линейным сплайном [3]

Обратный переход от функции к температуре осуществлялся по формуле

.

Температурные напряжения определены методом конечных элементов, построенном на принципе минимизации функционала [3] потенциальной энергии деформации.

,

где - число элементов.

Вид функционала для каждого элемента следующий:

здесь , , где , - коэффициент линейного расширения и модуль Юнга при , (273 К),

, - температурные коэффициенты,

- коэффициент Пуассона.

В качестве примера была рассмотрена пластинка, изготовленная из материала сталь 1Х18Н9Т со следующими характеристиками [4]:

= 15,1 , = 0,00187 ,

=16 , = 3,93,

= 2,05 , = 1,22,

= 0,3 .

Тепловые условия:

= (), = ().

Соотношения между полуосями эллипсов определялось следующей зависимостью:

, .

Рассматривались два случая изменения толщины пластинки. Первый случай - пластинка постоянной толщины. Второй случай - толщина пластинки линейно изменялась вдоль оси и определялась следующей зависимостью:

, , ,

- толщина в начале координат (при ),

- толщина на внешнем контуре вдоль оси .

Соотношение параметров толщины .

На рис. 2, 3 показано распределение температуры для двух случаев изменения толщины пластинки, как с учетом зависимости свойств материала от температуры, так и без.

Графики пронумерованы следующим образом:

“1” - с однородными теплофизическими характеристиками, постоянной толщины;

“2” - с однородными теплофизическими характеристиками, переменной толщины;

“3” - с неоднородными теплофизическими характеристиками, постоянной толщины;

“4” - с неоднородными теплофизическими характеристиками, переменной толщины.

Сравнение результатов показало, что неучет зависимости коэффициента теплопроводности от температуры приводит к погрешности расчета поля температур до 4%. Расхождение температур для двух случаев толщины пластинки (постоянной и переменной) достигает 8%.

На рис. 4, 5 представлено распределение напряжений для различных случаев изменения толщины пластинки, с учетом и без учета неоднородности теплофизических характеристик. Нумерация графиков такая же, как на рис. 2, 3.

Исследование графиков показало, что не учет зависимости теплофизических свойств материала приводит к погрешности расчетов до 9%. Расхождение полей напряжений для двух случаев изменения толщины пластинки достигает 23%.

Влияние неоднородности теплофизических свойств материала, переменности толщины пластинки существенно сказывается на распределении температур и напряжений в пластинке и должно приниматься во внимание при расчетах на прочность.

Список литературы

1. Фомин В.Г. Влияние переменной толщины на распределение напряжений в двусвязной пластинке под действием температурного поля. // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2016. № 4. С. 42-46.

2. Фомин В.Г. Решение нелинейной задачи теплопроводности для двухсвязной пластинки переменной толщины // Техническое регулирование в транспортном строительстве. 2017. № 3 (23). С. 23-25.

3. Фомин В.Г. Моделирование двухсвязной пластинки, находящейся в поле температур под воздействием агрессивной среды // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ. 2016. № 2 (84). С. 83-84.

4. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур / ред. И.И. Гольденблат. М: Машиностроение, 1965. 443 с.

Размещено на Allbest.ru