Волны в двух геометрически нелинейных упругих соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую жидкость между ними и внутри, окруженных упругой средой

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Волны в двух геометрически нелинейных упругих соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую жидкость между ними и внутри, окруженных упругой средой

Евдокимова Е.В.

В современной волновой динамике известны математические модели волнового процесса в бесконечно длинных геометрически нелинейных соосных цилиндрических упругих оболочках, отличающиеся от известных учетом наличия несжимаемой вязкой жидкости между оболочками, на основе связанных задач гидроупругости, которые описываются уравнениями динамики оболочек и несжимаемой вязкой жидкости с соответствующими краевыми условиями.В представленной статье проведено исследование модели волновых явлений в двух геометрически нелинейных упругих соосных цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними и внутри, окруженных упругой средой, действующих в нормальном и в продольном направлениях.

Ключевые слова:нелинейные волны, вязкая несжимаемая жидкость, цилиндрические упругие оболочки

WAVES IN GEOMETRICALLY NONLINEAR ELASTIC COAXIAL CYLINDRICAL SHELLS, CONTAINING VISCOUS LIQUID BETWEEN THEM AND INSIDE, SURROUNDED BY AN ELASTIC MEDIUM

Evdokimova E.V. волна оболочка цилиндрический жидкость

Yuri Gagarin state technical university of Saratov

In the contemporary wave dynamics there exist mathematical models of the wave process in infinitely long geometrically non-linear coaxial cylindrical elastic shells. These models differ from the known ones by the consideration of incompressible liquid between the shells, based on the related hydroelasticity problems. These problems are described by shell dynamics and viscous incompressible liquid equations with corresponding. The paper presents the investigation of wave occurrences in two geometrically non-linear elastic coaxial cylindrical shells of Kirchhoff-Love type, containing viscous incompressible liquid between them and inside, and surrounded by an elastic medium, acting in both normal and longitudinal directions

Keywords: nonlinear waves, viscous incompressible liquid, elastic cylindrical shells

Всовременной волновой динамики одним из важных направлений является изучение поведения волн деформаций в упругих оболочках. Для абсолютно жесткой трубы с круговым сечением ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости под действием гармонического по времени перепада давления исследовано в [4].

Известны математические модели волновых движений в бесконечно длинных геометрически нелинейных оболочка [1], содержащих вязкую несжимаемую жидкость, на базе связанных задач гидроупругости, описываемых уравнениями динамики оболочек и вязкой несжимаемой жидкости.

Методом возмущений по малому параметру задачи получены математические модели волнового процесса в бесконечно длинных геометрически нелинейных соосных цилиндрических упругих оболочках [2], отличающиеся от известных учетом наличия несжимаемой жидкости между оболочками.

Рассмотрим две соосные бесконечно длинные упругие оболочки на рисунке, между которыми и внутри второй оболочки, находится вязкая несжимаемая жидкость. Введем следующие обозначения: - ширина щели, занимаемой жидкостью, R - радиус срединной поверхности оболочки - внутренний радиус внешней оболочки; - внешний радиус внутренней оболочки; - внутренний радиус внутренней оболочки, - радиусы срединных поверхностей внешней и внутренней оболочек; - их толщина, -плотность жидкости, p - давление в жидкости; кинематический коэффициент вязкости. Все механические перемещения внутренней оболочки обозначены индексом (2) сверху, а внешней - индексы (1).

Уравнение движения несжимаемой вязкой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат в случае осесимметричного течения [4] записывается в виде

, (1)

На границе оболочек и жидкости (на рисунке) выполняются условия прилипания жидкости и ограниченности скорости на оси [6].

, при r=Ri-W(i), при r=0(2)

Здесь - продольное упругое перемещение оболочки по оси x; - прогиб оболочки, положительный к центру кривизны; t - время; p- давление; - плотность, - кинематический коэффициент вязкости жидкости; Vx, Vr - проекция на оси цилиндрической системы координат вектора скорости; x, r - цилиндрические координаты.

Уравнения динамики оболочки записываются в виде [3]

(3)

Здесь - толщина оболочек; - скорость звука в оболочке; Е - модуль Юнга; - коэффициент Пуассона, - плотность, - продольное перемещение и прогиб, положительный к центру кривизны, x- продольная координата, t- время, - напряжение со стороны жидкости, которая находится между оболочками. Нижние индексы у перемещений обозначают соответствующие частные производные, - реакции окружающей среды в нормальном и продольном направления [7].

, ,, (4)

Принимаем длину волны lза характерный размер и обозначая амплитуду продольного перемещения и прогиба , переходим к безразмерным переменным:

, , , (5)

Полагаем

, , , .(6)

Введем полухарактеристические (бегущие) координаты и растянутое время:

, ,(7)

где с - неизвестная безразмерная скорость волны

Разложим упругие перемещения по степеням :

, (8)

Подставим (5-8) в уравнения (3), разделим обе части уравнения на и, оставляя члены и , получим

(9)

Приравниваем к нулю коэффициенты при, получим систему уравнений

,

Из этой системы следует

, (10)

Следовательно, - произвольная функция, а безразмерная скорость волны , так как , Приравниваем коэффициенты прив правых и левых частях уравнений и учитываем предыдущие результаты, тогда получаем:

,

.(11)

После элементарных преобразований получим систему уравнений

(12)

В случае, когда жидкость отсутствует, правая часть уравнений становится равна нулю и получаются независимые уравнения Кортевега-де-Вриза. Надо определить правую часть, для чего необходимо решить уравнение гидродинамики для случая кольцевого и кругового сечения трубы.

Рассмотрим кольцевое сечение и найдем напряжения действующие со стороны жидкости.

Введем безразмерные переменные и параметры:

, , , ,

, , ,

, ,

В веденных безразмерных переменных с учетом наличия малых параметров в работе [5] найдено напряжение со стороны жидкости на упругие оболочки.

, . (13)

Рассмотрим круговое сечение, введем безразмерные переменные и параметры

, , , ,

, , .

В этих переменных пологая =0 (нулевое приближение по - гидродинамическая теория смазки [10], а также - ползущие течения [8,9], получим из (1), (2) уравнения гидродинамики:

.

Раскладывая давление и компоненты скорости по степеням малого параметра

, ,

Для первых членов разложения получим те же уравнения

,

и граничные условия

, при ,

, при ,

Определим теперь в этих переменных напряжения со стороны жидкости на оболочке. С точностью до, из (4) получим:

, .

Решение уравнений гидродинамики легко получить (это классические уравнения гидродинамической теории смазки). Из этого уравнения имеем

,

.

Учитывая, что введены переменные и , , найдем с точностью до и с учетом связи (10)

.

.

При учете того, что получаем

(14)

Система уравнений динамики оболочек становится такой с учетом найденной правой частью (13), (14).

(15)

Здесь с принятой точностью , обозначено при этом положено.

Можно также ввести обозначения , , , , где

,,

,

, .

При этом из (15) получим

(16)

Система уравнений (16) при отсутствии жидкости распадается на два независимых уравнения, для

с точным решением

и для

с точным решением

, где - произвольная величина

При наличии жидкости необходимо численное исследование системы уравнений (16) при начальных условиях

,

Список литературы

Блинкова А.Ю., Иванов С.В., Ковалев А.Д., Могилевич Л.И. Математическое и компьютерное моделирование динамики нелинейных волн в физически нелинейных упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость// Изв. Сарат. Ун-та. Нов. Сер. Сер. Физика. 2012. Т.12, вып.2. с. 12-18.

Блинкова А.Ю., Ковалева И.А., Могилевич Л.И. Моделирование динамики нелинейных волн в соосных геометрически и физически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними//Вестн. РУДН. Сер Матем., информ., физ. 2013. Т.3. с. 42-51.

Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М., Наука, 1972.

Громека И.С. К теории движения жидкости в узких цилиндрических трубах// Громека И.И. Собрание сочинений. М.Ж Изд-во АН СССР, 1952. С. 149-171.

Евдокимова Е.В. Могилевич Л.И. Волны в двух геометрически нелинейных упругих соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую жидкость между ними и окруженные упругой средой//Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2017. N 2.

Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003, 840 с.

Михасёв Г.И., Шайко А.И. О влиянии параметра упругой нелокальности на собственные частоты колебаний углеводородной нанотрубки в упругой среде// ТРУДЫ БГТУ. 2012. №6. Физико-Математические науки и информатика. С.41-44.

Попов И.Ю., Родыгина О.А., Чивилихин С.А., Гусаров В.В. Солитон в стенке нанотрубки и стасово течение в ней// Письма в ЖТФ. 2010. Т. 36, № 18. С. 48-54.

Чивилихин С.А., Попов И.Ю., Гусаров В.В. Динамика скручивания нанотрубок в вязкой жидкости// Докл. АН. 2007. Т. 412. №2. С. 201-203

Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с.

Размещено на Allbest.ru