Продольные колебания стенки кольцевого канала, заполненного вязкой жидкостью

Размещено на http://www.allbest.ru/

ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕНКИ КОЛЬЦЕВОГО КАНАЛА, ЗАПОЛНЕННОГО ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Попова А.А., Попова Е.В.

Аннотация

Предложена математическая модель для исследования продольных колебаний стенки кольцевого канала, заполненного вязкой жидкостью. Разработанная математическая модель канала включает в себя: систему уравнений динамики вязкой жидкости; уравнения динамики стенки канала, с соответствующими краевыми условиями. Решение данной системы осуществлено методом возмущений. Построена амплитудно-частотная характеристика стенки канала и найдено давление в слое вязкой жидкости.

Ключевые слова: продольные колебания, вязкая жидкость, кольцевой канал, математическое моделирование, давление, амплитудно-частотная характеристика

кольцевой канал жидкость давление

Annotation

The mathematical model for studies of the longitudinal oscillations wall of an annular channel filled with a viscous fluid was carried out. The mathematical model of the channel has been developed, incorporating a system of fluid dynamics equations, a channel wall equation, with corresponding boundary conditions. The solution of this system is carried out by means of perturbations method. The amplitude-frequency characteristic of the channel wall is constructed and the pressure in the layer of the fluid was found.

Keywords: longitudinal oscillations, viscous fluid, annular channel, mathematical modeling, pressure, amplitude-frequency characteristic

Проблемы математического моделирования взаимодействия упругих элементов конструкций с жидкостью представляют теоретический и практический интерес [1]. Например, в [2-10] рассмотрены задачи гидроупругости однородных пластин, взаимодействующих со слоем вязкой жидкости в различных постановках. В [11,12] исследованы изгибные колебания стенки плоского канала, взаимодействующей с пульсирующей вязкой жидкостью. В [13-16] изучены гидроупругие колебания трехслойных пластин, взаимодействующих с вязкой пульсирующей жидкостью, а также при инерционном возбуждении. В [17-24] рассмотрены осесимметричные задачи гидроупругих колебаний геометрически регулярных и ребристых цилиндрических оболочек, в том числе, образующих кольцевой канал. Распространение нелинейных продольных волн деформаций в цилиндрических оболочках, заполненных вязкой жидкостью, в осесимметричной постановке рассмотрено в [25, 26]. В работе [27] исследованы колебания мембраны на упругом основании на дне бассейна, заполненного идеальной несжимаемой жидкостью, со свободной поверхностью. Исследованию колебаний пластин установленных на упругом основании и взаимодействующих со слоем вязкой жидкости посвящены работы [28-31]. Однако вопрос о математическом моделировании продольных колебаний упруго закрепленного цилиндра, образующего стенку кольцевого канала, остался за рамками данных работ.

1. Рассмотрим кольцевой канал, образованный двумя жесткими цилиндрами длиной . Радиус внутреннего цилиндра , а радиус внешнего . Внутренний цилиндр на торцах имеет упругое закрепление, позволяющие ему совершать продольные колебания (например, сильфон). Кольцевой канал между цилиндрами заполнен сильновязкой несжимаемой жидкостью. На левом торце канала задано давление, изменяющееся по времени по гармоническому закону. Будем полагать, что амплитуда продольных колебаний цилиндра значительно меньше, чем толщина слоя жидкости в канале , при этом .

Введем в рассмотрение декартову систему координат xyz и связанную с ней цилиндрическую систему координат . Центры систем координат расположим в геометрическом центре канала.

Закон пульсации давления на левом торце канала имеет вид

, (1)

где p_m - амплитуда пульсации давления, щ - частота, t - время.

В силу осевой симметрии далее будем рассматривать осесимметричную задачу. В рассматриваемой колебательной системе присутствует демпфирование за счет вязкой несжимаемой жидкости. В результате переходные процессы будут быстро затухать с течением времени. Поэтому далее в работе ограничимся рассмотрением режима установившихся гармонических колебаний [32].

Уравнение продольных колебаний внутреннего цилиндра можно записать в виде

. (2)

Здесь - масса цилиндра, - жесткость подвеса цилиндра, позволяющего ему совершать колебания в продольном направлении, - сила, действующая на внутренний цилиндр, образующий кольцевой канал, со стороны жидкости; - закон продольных колебаний внутреннего цилиндра; - касательное напряжение жидкости.

Уравнения динамики слоя вязкой несжимаемой жидкости представляют собой уравнения Навье-Стокса и уравнение неразрывности [33]

(3)

,

,

здесь - кинематический коэффициент вязкости жидкости; - плотность жидкости, u_r, u_y - проекции вектора скорости на оси координат.

Граничные условия уравнений (3) - это условия прилипания жидкости и условия для давления при свободном истечение жидкости на торцах [23,33]

, при

, при , (4)

при , при .

Введем безразмерные переменные и малые параметры для рассматриваемой задачи:

(5)

здесь ш, л - малые параметры.

В рассматриваемой постановке , поэтому, в уравнениях динамики жидкости (3) и соответствующих им краевых условиях (4), записанных в переменных (5), члены при и можно опустить. Также в данных уравнениях опустим локальные инерционные члены в силу вязкости жидкости и узости кольцевой канала. В результате получим задачу динамики жидкости в виде

(6)

с граничными условиями

при ,

при , (7)

при , при .

Решение задачи (6) с граничными условиями (7) имеет вид

,

, . (8)

Подставляя найденное выражение для давления в уравнение (2) получим с точностью до

, (9)

где .

Решение уравнения (11) для режима установившихся гармонических колебаний запишем как

. (10)

Здесь - амплитудная частотная характеристика внутренней стенки канала, .

Таким образом, предложена математическая модель для исследования продольных колебаний внутренней стенки узкого кольцевого канала, содержащего пульсирующую вязкую жидкость. Предложенная модель может быть использована для исследования колебаний стенок каналов в системах гидропривода, смазки подачи топлива различных машин и агрегатов.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ МД-6012.2016.8

Список литературы

1. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэрогидроупругость конструкций. М.: Физматлит, 2000. 591 с..

2. Аврамов К.В., Стрельникова Е.А. Хаотические колебания пластинок при их двустороннем взаимодействии с потоком движущейся жидкости // Прикладная механика. 2014. Т. 50. № 3. С. 86-93.

3. Amabili M. Vibrations of Circular Plates Resting on a Sloshing Liquid: Solution of the Fully Coupled Problem // Journal of Sound and Vibration, 2001, vol. 245, Issue 2, pp. 261-283.

4. Askari E., Jeong K.-H., Amabili M. Hydroelastic Vibration of Circular Plates Immersed in a Liquid-filled Container with Free Surface // Journal of Sound and Vibration. 2013. Vol. 332. Iss. 12. pp. 3064-3085.

5. Akcabay D.T., Young Y.L. Hydroelastic Response and Energy Harvesting Potential of Flexible Piezoelectric Beams in Viscous Flow // Physics of Fluids. 2012. Vol. 24. Iss. 5.

6. Faria Cassio T., Inman Daniel J. Modeling energy transport in a cantilevered Euler-Bernoulli beam actively vibrating in Newtonian fluid // Mechanical Systems and Signal Processing. 2014. V. 45. № 2. pp. 317-329.

7. Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Динамика взаимодействия упругих элементов вибромашины со сдавливаемым слоем жидкости, находящимся между ними // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. № 4. С. 23-32.

8. Могилевич Л.И., Попов В.С. Исследование взаимодействия слоя вязкой несжимаемой жидкости со стенками канала, образованного соосными вибрирующими дисками // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. 2011. № 3. С. 42-55.

9. Скородумов Е.С., Кондратов Д.В., Кузнецова Е.Л., Могилевич Л.И., Попов В.С. Колебания геометрически нерегулярной пластины и штампа, взаимодействующих друг с другом через слой вязкой жидкости // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2016. № 11-2. С. 37-53.

10. Popov V.S., Popova A.A., Sokolova D.L. Mathematical modeling of longitudinal oscillations tapered narrow channel wall under pulsating pressure of highly viscous liquid // Applied Mathematical Sciences. 2016. Т. 10. № 53. С. 2627-2635.

11. Могилевич Л.И., Попов В.С., Скородумов Е.С. Динамика сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости, взаимодействующего с упругой пластиной // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2017. № 1. С. 53-63.

12. Агеев Р.В., Кузнецова Е.Л., Куликов Н.И., Могилевич Л.И., Попов В.С. Математическая модель движения пульсирующего слоя вязкой жидкости в канале с упругой стенкой // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2014. № 3. С. 17-35.

13. Могилевич Л.И. Динамика взаимодействия сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости с упругой трехслойной пластиной // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2008. № 5. С. 114-123.

14. Агеев Р.В., Могилевич Л.И., Попов В.С. Колебания стенок щелевого канала с вязкой жидкостью, образованного трехслойным и твердым дисками // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2014. № 1. С. 3-11.

15. Grushenkova E.D., Mogilevich L.I., Popov V.S., Rabinsky L.N., Kuznetsova E.L. Mathematical model of three-layer plate interaction with viscous incompressible liquid layer under foundation vibration // Applied Mathematical Sciences. 2015. Т. 9. № 109-112. С. 5551-5559.

16. Грушенкова Е.Д., Могилевич Л.И., Попов В.С., Скородумов Е.С. Математическое моделирование динамики взаимодействия слоя вязкой жидкости с упругим трехслойным статором и абсолютно твердым вибратором опоры // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2016. № 1. С. 16-23.

17. Womersley J. R. Oscillatory motion of a viscous liquid in a thin-walled elastic tube-I: The linear approximation for long waves // Phil. Mag. 1955. 46. pp. 199-221.

18. Кондратов Д.В., Кондратова Ю.Н., Могилевич Л.И. Пульсирующее ламинарное течение жидкости по упругой цилиндрической трубе кольцевого сечения // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. 2009. № 4. С. 60-72

19. Кондратов Д.В., Кондратова Ю.Н., Могилевич Л.И. Исследование амплитудных частотных характеристик колебаний упругих стенок трубы кольцевого профиля при пульсирующем движении вязкой жидкости в условиях жесткого защемления по торцам // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2009. № 3. С. 15-21.

20. Могилевич Л.И., Попов B.C., Попова А.А. Колебания гильзы цилиндра двигателя внутреннего сгорания с водяным охлаждением под действием ударных нагрузок со стороны поршневой группы // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2008. № 3. С. 100-106.

21. Кондратов Д.В., Кондратова Ю.Н., Попов В.С., Плаксина И.В. Задачи гидроупругости для трубы кольцевого сечения с упругой, геометрически нерегулярной внешней оболочкой при воздействии давления // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13. № 3. С. 70-76

22. Kondratov D.V., Kondratova J.N., Mogilevich L.I., Rabinsky L.N., Kuznetsova E.L. Mathematical model of elastic ribbed shell dynamics interaction with viscous liquid pulsating layer // Applied Mathematical Sciences. 2015. Т. 9. № 69-72. С. 3525-3531.

23. Могилевич Л.И., Попов В.С. Динамика взаимодействия упругого цилиндра со слоем вязкой несжимаемой жидкости // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2004. № 5. С. 179.

24. Попов В.С. Колебания ребристой оболочки, окруженной слоем вязкой несжимаемой жидкости // Аграрный научный журнал. 2003. № 4. С. 47-50.

25. Blinkova A.Yu., Blinkov Yu.A., Mogilevich L.I. Non-linear waves in coaxial cylinder shells containing viscous liquid inside with consideration for energy dispersion // Вычислительная механика сплошных сред. 2013. Т. 6. № 3. С. 336-345.

26. Блинков Ю.А., Кузнецова Е.Л., Могилевич Л.И., Рабинский Л.Н. Волны деформаций в вязкоупругой физически нелинейной цилиндрической оболочке, содержащей вязкую жидкость и окруженной упругой средой // Механика композиционных материалов и конструкций. 2015. Т. 21. № 2. С. 251-261.

27. Алексеев В.В., Индейцев Д.А., Мочалова Ю.А. Резонансные колебания упругой мембраны на дне бассейна с тяжелой жидкостью // Журнал технической физики. 1999. Т. 69. № 8. С. 37-42.

28. Mogilevich L.I., Popov V.S., Rabinsky L.N., Kuznetsova E.L. Mathematical model of the plate on elastic foundation interacting with pulsating viscous liquid layer // Applied Mathematical Sciences. 2016. Т. 10. № 23. С. 1101-1109.

29. Mogilevich L.I., Popov V.S., Popova A.A., Christoforova A.V. Mathematical Modeling Of Hydroelastic Walls Oscillations Of The Channel On Winkler Foundation Under Vibrations // Vibroengineering PROCEDIA. 2016. Vol. 8. pp.294-299.

30. Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Динамика взаимодействия пульсирующей вязкой жидкости со стенками щелевого канала, установленного на упругом основании // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2017. № 1. С. 15-23.

31. Попов В.С., Попова А.А., Христофорова А.В. Математическое моделирование колебаний пластины, установленной на упругом основании Винклера и взаимодействующей со штампом через слой вязкой жидкости // Интернет-журнал Науковедение. 2017. Т. 9. № 2. С. 90.

32. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1987. 352 с.

33. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.

Размещено на Allbest.ru