Уравнения Максвелла

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

План

1. Вихревое электрическое поле. Первое уравнение Максвелла в интегральной форме

2. Ток смещения. Интегральная форма второго уравнения Максвелла

3. Полная система уравнений Максвелла для электромагнитного поля

1. Вихревое электрическое поле. Первое уравнение Максвелла в интегральной форме

Из закона Фарадея для электромагнитной индукции следует, что любое изменение магнитного потока, сцепленного с замкнутым контуром, приводит к возникновению в нем электрического тока. Однако ЭДС возникает только в том случае, если в цепи действуют силы не электростатического характера. Поэтому возникает вопрос о природе сторонних сил в этом случае.

Опыт показывает, что эти силы не связаны ни с тепловыми, ни с химическими процессами в контуре, их нельзя объяснить с помощью силы Лоренца.

Анализируя явление электромагнитной индукции, Максвелл высказал гипотезу о том, что переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения ЭДС индукции. Контур, в данном случае, играет вспомогательную роль, позволяя обнаружить это поле.

Существенная особенность рассматриваемого явления состоит в том, что возникающее электрическое поле не является электростатическим. Работа сил электростатического поля на замкнутом пути равна нулю и поэтому оно не может поддерживать движение зарядов по замкнутому пути, и, следовательно, не может привести к возникновению ЭДС. Электрическое поле, возникающее при электромагнитной индукции, является вихревым полем. Такое поле вызывает в замкнутом проводнике движение электронов, что приводит к возникновению ЭДС. Сторонними силами являются силы вихревого электрического поля.

По Максвеллу, циркуляция вектора этого поля и есть ЭДС индукции, т.е.

. 9.1

Следовательно, закон электромагнитной индукции можно записать в виде:

. 9.2

уравнение максвелл электрический магнитный

Ранее мы показали, что для электростатического поля

, 9.3

и, следовательно, эти поля заметно отличаются друг от друга. Электрическое поле, создаваемое переменным магнитным полем, получило название вихревого электрическое поле. Линии напряженности этого поля являются замкнутыми.

Согласно принципу суперпозиции полей напряженность результирующего электрического поля будет определяться выражением и тогда, суммируя выражения 9.2 и 9.3 для циркуляции вектора напряженности результирующего поля получим

. 9.4

Преобразуем полученное уравнение. Так как , то

. 9.5

С учетом 9.5 выражение 9.4 примет вид

. 9.6

Это и есть первое уравнение Максвелла в интегральной форме.

2. Ток смещения. Интегральная форма второго уравнения Максвелла

В случае стационарного (постоянного во времени) магнитного поля мы показали, что

. 9.7

Преобразуем полученное уравнение по теореме Стокса. Так как , то , но по теореме Стокса . Следовательно,

. 9.8

Выясним теперь справедливость этого уравнения в случае переменных полей. Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую конденсатор. В этом случае в цепи будет протекать ток, заряжающий и разряжающий конденсатор. Выделим некоторую поверхность , замкнутой кривой так, чтобы проводник с током принизывал эту поверхность (рис. 1). Тогда и для переменного тока будет справедлива формула 9.8. Но для поверхности опирающейся на ту же кривую, это равенство не выполняется, так как поверхность током не пронизывается. Напрашивается вывод о том, что в уравнении 9.8 отсутствует слагаемое, зависящее от производных полей по времени. В случае стационарных полей эта производная равна нулю.

Чтобы согласовать уравнения для постоянных и переменных полей, Максвелл ввел понятие тока смещения.

Между обкладками конденсатора существует переменное электрическое поле, поэтому через него «протекает ток смещения». По Максвеллу «ток смещения» (переменное электрическое поле) протекает в тех участках цепи, где нет проводников.

По Максвеллу, переменное электрическое поле (ток смещения) в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обкладками конденсатора протекал бы ток проводимости силой, равной силе тока в подводящих проводах. Тогда можно утверждать, что плотность тока смещения равна плотности тока проводимости.

Плотность тока проводимости вблизи конденсатора будет равна

,

где - поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора.

Ранее мы показали, что для электрического поля в конденсаторе справедливо равенство . Учитывая это для плотности тока смещения можно получить выражение

.

Так как направление векторов совпадают, то последнее выражение можно записать в виде

. 9.9

Обратим внимание на то, что ток смещения эквивалентен току проводимости только по способности создавать магнитное поле.

Для электрического поля и, следовательно,

, 9.10

где - плотность тока смещения в вакууме, - плотность тока поляризации. Возбуждение магнитного поля током поляризации правомерно, так как токи поляризации ничем не отличаются от токов проводимости. Но тот факт, что и другая составляющая тока смещения (), не связанная с движением зарядов, а обусловленная только изменением электрического поля во времени, также вызывает магнитное поле, является принципиально новым утверждением Максвелла.

Существование токов смещения было подтверждено опытами А.А. Эйхенвальда.

В общем случае токи проводимости и токи смещения в пространстве не разделимы, они находятся в одном и том же объеме. Поэтому Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме тока проводимости и тока смещения. Плотность полного тока

. 9.11

Вводя понятие полного тока, Максвелл по новому подошел к рассмотрению вопроса о замкнутости цепей переменного тока. По Максвеллу, полный ток всегда замкнут, т.е. на концах проводников обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике имеется ток смещения, который и замыкает ток проводимости.

Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля, введя в правую часть выражения ток смещения

. 9.12

Это и есть второе уравнение Максвелла в интегральной форме. Выражение 9.12 справедливо всегда, свидетельством чего является полное совпадение теории и опыта.

3. Полная система уравнений Максвелла для электромагнитного поля

Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Эта теория не только объяснила все известные к этому времени экспериментальные факты, но и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось в последствии.

Основу этой теории составляют уравнения Максвелла, которые в электродинамике играют туже роль, что и законы Ньютона в механике, или основные начала в термодинамике.

Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:

9.13

Величины, входящие в эти уравнения не являются независимыми и между ними существует следующая связь:

,

где - соответственно электрическая и магнитная постоянные, - диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества, - удельная проводимость вещества.

Из уравнений Максвелла вытекает, что электрические поля могут создаваться либо электрическими зарядами, либо изменяющимся во времени магнитным полем. Источником магнитного поля могут быть либо движущиеся электрические заряды (ток), либо переменное электрическое поле.

Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрических и магнитных полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, а магнитных зарядов нет.

Используя теоремы Остроградского-Гаусса и Стокса можно представить полную систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме.

9.14

Если заряды и токи в пространстве распределены непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла эквивалентны. В случае, когда в среде имеются поверхности разрыва, т.е. поверхности, на которых свойства среды изменяются скачкообразно, то интегральная форма является более общей.

Для стационарных полей (не изменяющихся во времени) уравнения принимают вид:

и в интегральной форме

В этом случае электрические и магнитные поля оказываются независимыми, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля.

Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным полем, т.е. электрические и магнитные поля неразрывно связаны друг с другом - они образуют единое электромагнитное поле.

Теория Максвелла является макроскопической, так как рассматривает поля создаваемые макроскопическими токами и зарядами. Поэтому эта теория не могла вскрыть внутреннего механизма явлений, которые происходят в среде и приводят к возникновению электромагнитного поля. Дальнейшим развитием теории Максвелла стала электронная теория Лоренца.

Одним из важнейших выводов теории Максвелла явилось предсказание существования электромагнитных волн - изменяющегося электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью.

Размещено на Allbest.ru