Математическое моделирование МГД-установки

Размещено на Allbest.ru

1. Постановка задачи

Составить расчётную модель МГД-установки. Исследовать влияние индукторанаканал с расплавом.

Рис. 1. Эскиз модели: где 1- магнитопровод из электротехнической стали с м=400, 2- рабочего тело из алюминия, 3- катушки из меди.

Рис. 2. Геометрические размеры

Таблица 1. Геометрические параметры.

2. Математическая модель (система уравнений, метод решения)

Математическая модель для анализа ЭМП на основе уравнений Максвелла, позволяющая при заданном поле скоростей определить распределение объемных сил в расплаве алюминия;

Электромагнитное поле в расчетной области описывается системой уравнений Максвелла, без учета токов смещения:

; (1)

; (2)

(3)

; (4)

(5)

где - удельная электропроводность, ; - абсолютная магнитная проницаемость, Гн/м.

Здесь , , , - соответственно векторы магнитной индукции, напряженности магнитного поля, напряженности электрического поля и вектора плотности тока; - вектор скорости движения среды относительно избранной системы координат. Можно ввести в рассмотрение векторный магнитный потенциал согласно уравнению

. (6)

Подставляя (6) в (1), (2), (5), используя Кулоновскую

калибровку div A= О, а также считая, что магнитная проницаемость в каждой

области постоянна, можно привести систему уравнений Максвелла к

следующему виду:

(7)

(8)

(9)

Решение электромагнитной задачи заключается врешении уравнений Максвелла (1), (2), (5), которая сводится к решению

системы уравнений (8) - (9). Указанная система уравнений, выраженная

через векторный магнитный потенциалА, при помощи МКЭ может быть сведена к решению следующего общего уравнения нестационарного

процесса:

(10)

где [u] - матрица неизвестных (степеней свободы) ; [] - матрица демпфирования; [] - матрица коэффициентов; [ ]- приложенные плотности токов.

Допущения электромагнитной задачи:

1. токами смещения ввиду их малости пренебрегаем

2. полагаем, что свойства всех материалов задаваемых для электромагнитного расчета - электропроводность г, магнитная

проницаемость м являются изотропными и не зависящими от температуры;

3. считаем, что ЭМ поле сосредоточено в некотором пространстве,

размеры которого ограничены пространством расчетной области.

Для однозначного решения уравнений (8) и (9) по всей расчетной области необходимо задать граничные условия, задать токовые нагрузки в области обмоток.

Метод конечных элементов (МКЭ) - Метод конечных элементов, как и многие другие численные методы, основан на представлении реальной континуальной конструкции ее дискретной моделью и замене дифференциальных уравнений, описывающих НДС сплошных тел, системой алгебраических уравнений. Вместе с тем МКЭ допускает ясную геометрическую, конструктивную и физическую интерпретацию.

Суть метода заключается в том, что область (одно-, двух- или трехмерная), занимаемая конструкцией, разбивается на некоторое число малых, но конечных по размерам подобластей (рис. 5) Последние носят название конечных элементов (КЭ), а сам процесс разбивки - дискретизацией.

В зависимости от типа конструкции и характера ее деформации КЭ могут иметь различную форму. Для двумерных континуальных конструкций (пластины, плиты, оболочки) чаще всего применяют треугольные и прямоугольные (плоские или изогнутые) КЭ; В отличие от реального сооружения в дискретной модели конечные элементы связываются между собой только в отдельных точках (узлах) определенным конечным числом узловых параметров.

МКЭ - это вариационный метод. Функционал энергии для всей рассматриваемой области здесь представляется в виде суммы функционалов отдельных ее частей - конечных элементов. По области каждого элемента, независимо от других, задается свой закон распределения искомых функций. Такая кусочно-непрерывная аппроксимация выполняется с помощью специально подобранных аппроксимирующих функций, называемых также координатными или интерполирующими. С их помощью искомые непрерывные величины (перемещения, напряжения и т. д.) в пределах каждого КЭ выражаются через значения этих величин в узловых точках, а произвольная заданная нагрузка заменяется системой эквивалентных узловых сил.

Наибольшее распространение получил метод конечных элементов в перемещениях, имеющий много общего с методом Ритца и вариационно-разностным методом. Различие между традиционной схемой метода Ритца и МКЭ в форме метода перемещений заключается в выборе системы аппроксимирующих функций. Если в методе Ритца аппроксимация перемещений производится по всей области их определения, то в МКЭ - по каждому конечному элементу в отдельности, что позволяет использовать аппроксимирующие функции более простого вида. В первом случае функционал полной потенциальной энергии варьируется по неопределенным коэффициентам , во втором - по перемещениям в узлах сетки, что приводит к системе алгебраических уравнений метода перемещений (основными неизвестными являются непосредственно узловые перемещения). При этом использование кусочно-непрерывной аппроксимации позволяет получить редко заполненную или ленточную структуру матрицы коэффициентов системы уравнений и таким образом дает возможность применения более эффективных методов ее решения.

Число узлов и число перемещений в узле (степень свободы узла), принятые для конечного элемента, могут быть различными, однако не должны быть меньше минимально необходимых для описания напряженно-деформированного состояния КЭ в рамках принятой физической модели. Число независимых перемещений во всех узлах элемента определяет степень свободы КЭ. Степень свободы всей конструкции и соответственно порядок системы разрешающих уравнений определяется суммарным числом перемещений всех ее узлов. Поскольку основными неизвестными МКЭ в форме метода перемещений считаются узловые перемещения, степень свободы КЭ и всей конструкции в целом является чрезвычайно важным понятием в МКЭ. Понятия о степени свободы узла, КЭ и конструкции и степени их же кинематической неопределимости идентичны.

Способ разбивки рассматриваемой области на конечные элементы, их число и число степеней свободы, а также вид аппроксимирующих функций в конечном итоге предопределяют точность расчета конструкции. Следует отметить, что простым увеличением числа конечных элементов не всегда удается достичь повышения точности расчетов. Вопросы устойчивости и сходимости решения, а также оценки точности полученных результатов являются основными при использовании МКЭ.

По сравнению с другими численными методами МКЭ в лучшей степени алгоритмизирован и более гибок при описании геометрии и граничных условий рассчитываемой области. Кроме того, к достоинствам метода следует отнести его физическую наглядность и универсальность.

3. Описание модели

Установка, в которой совершается процесс перемешивания проводящей среды под воздействием электромагнитной силы, называется МГД-установкой. Принцип действия индукционных МГД-устройств аналогичный принципу действия асинхронных электрических двигателей. Как известно из классической теории электрических машин вращающееся и бегущее магнитные поля можно получить в устройствах питаемой симметричной многофазной (m?2) системой электрических токов. Основным отличие линейной индукционной машины от асинхронных машин является то, что она имеет разомкнутую магнитную цепь.

4. Задание модели с помощью встроенных команд ANSYSMechanicalAPDL

Рис. 4. Геометрия. Рис. 5. Сетка расчетной области

Конечное количество элементов в расчетной области равно 1340.

Таблица 2. Энергетические параметры.

Таблица 3. Свойства материалов

5. Анализ по дифференциальным характеристикам (B, H, д, F)

Рис. 5. Магнитная индукция в продольном сечении индуктора

При исследовании электромагнитных процессов, протекающих при МГД-перемешивании, были получены дифференциальные и интегральные характеристики установки. На рисунках 6-9 приведены картины распределения индукции магнитного поля в продольном сечении индуктора и расплава. Движение электромагнитного поля осуществляется справа налево и картина распределения индукции ассиметрична, что объясняется продольным краевым эффектом. Анализ индукции показывает, что в верхней части зубцов магнитопровода наблюдается низкое значение магнитной индукции по сравнению с основанием зубца, что подтверждает наличие существенных потоков рассеяния в пазу индуктора. В результате образования вихревых токов в расплаве происходитвыделение активной проникновения ЭМП над индуктором. Область распределенияудельной активной мощности на дне ванны показана на рисунке.

Рис. 8. Электромагнитные силы в продольном сечении расплава.

В результате воздействия бегущего электромагнитного поля в расплаве возникают вихревые токи, а с ними и поле сил Лоренца, действующих на расплав. На рисунках 8 показано распределение сил Лоренца в продольном сечении ванны, действующих при установившемся режиме.

Рис. 9. Распределение плотности тока в расплаве

В результате воздействия электромагнитного поля в расплаве алюминия возникают вихревые токи, которые более сконцентрированы вблизи индуктора и сильно ослабевают по мере удаления от индуктора, отметим что реальные и мнимые единицы отличаются только фазой.

6. Интегральные характеристики

Циклическая частота,

щ =2*р*f=2*3, 14*50=314. 159 [1/c].

Глубина проникновения:

?=

Таблица. 5. Глубина проникновения при различных частотах.

Полная мощность,

S=[ВА]

Коэффициент мощности,

Рис. 10Зависимость коэффициента мощности МГДП от частоты

КПД,

Рис. 11 Зависимость термического КПД от частоты.

Вывод

алюминиевый расплав математическая модель

На основании математической модели создана вычислительная процедура по численному определению дифференциальных и интегральных характеристик процессов протекающих при МГД-перемешивании алюминиевых расплавов. Получены дифференциальные и интегральные характеристики ЭМП в расплаве. Математическое моделирование даёт возможность сэкономить время за счёт быстрой реализации модели в данном ПО, а также позволяет исключить ошибки, обусловленные человеческим фактор, во время проведения расчётов. Данная модель строится в программе в течении 5-8 секунд, что обусловлено частотой сетки расчетной области.

Размещено на Allbest.ru