Дифракция плоской волны на импедансном и полупрозрачном экране при е-поляризации падающего поля

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дифракция плоской волны на импедансном и полупрозрачном экране при Е-поляризации падающего поля

Введение

задача волна экран

В работе рассматривается решение скалярной задачи дифракции плоской Е-поляризованной волны на импедансном и полупрозрачном экране методом отражений. Показано, что первым приближением для данной задачи является решение параболического уравнения на двух дополнительных экранах. Представлено уточнение приближенного решения с использованием представления о последовательном переходе дифракционного поля между листами римановой поверхности. Выполнено сравнение полученных результатов с расчетами методом Винера-Хопфа.

Как правило, задача дифракции на импедансном экране решается методом Винера-Хопфа [1], при этом решение является достаточно громоздким и требует вычисления специальных функций «расщепления» Сеньора [2, 3]. Аналогичный подход, также основанный на методе Винера-Хопфа, используется в задаче дифракции на полупрозрачном экране [4, 5, 6], простое аналитическое решение известно только для полностью прозрачного экрана [7].

В данной работе задача дифракции на импедансном и полупрозрачном экране решена методом отражений, который был использован П.Я. Уфимцевым при вычислении дифракционного поля от ребра идеально-проводящего и черного экрана [8, 9]. С использованием формальных математических приемов П.Я. Уфимцев показал, что строгое решение для дифракционных полей, связанных с падающей и отраженной волнами, определяется решением параболического уравнения, которое последовательно уточняются методом отражений. Каждое отражение связано с отдельным листом римановой поверхности, при этом для идеально проводящего экрана поле с m-го листа полностью возвращается в физическую область , в случае черного экрана волна переходит между листами безвозвратно. Такой подход приводит к известным формулам Зоммерфельда для идеально проводящего и черного экрана, давая при этом наглядное представление о явлении дифракции.

Предлагаемый метод не является математически строгим, однако сохраняет ту же простоту и наглядность, что и решение П.Я. Уфимцева. Расчеты дифракционного поля методом отражений соответствуют известным решениям [3, 4].

1.Метод отражений

В общем случае поле, полученное в результате дифракции на ребре полупрозрачного экрана, определяется суммой:

,

где и - углы падения и рассеяния (отсчитываются от освещенной стороны экрана), первое слагаемое соответствует полю падающей волны, второе - полю отраженной волны, а третье является решением для волны, прошедшей сквозь экран (для импедансного экрана третье слагаемое следует отбросить). Углы и связаны с и соотношениями:

, , .

Таким образом, основной задачей является определение . Для идеально проводящего и импедансного экрана функции были получены Зоммерфильдом и Малюжинцем, для полупрозрачного экрана строгое решение, основанное на представлении дифракционного поля контурным интегралом, неизвестно. В ранних работах по теории дифракции были предложены эмпирические формулы для импедансного [10]

,

и полупрозрачного экрана [11]

где и - коэффициенты отражения и прохождения при Е- и Н-поляризации падающей волны, а функции считаются теми же самыми, что и для идеально-проводящего экрана:

,

где , где - длина волны, r - расстояние от ребра экрана до точки наблюдения.

Если и , то (2.а, б) являются хорошо известным решением для идеально-проводящего экрана, значения приводят к электродинамической модели Войта для черного экрана. Однако представляется вполне очевидным, что в общем случае выражения (2.а, б) не являются верными и поэтому их использование неизбежно приведет к неконтролируемым ошибкам.

Метод отражений позволяет учесть влияние коэффициентов отражения на дифракционные поля, связанные с падающей, отраженной и прошедшей волной. В основе метода лежит известное решение параболического уравнения (ПУ) для черного экрана:

Где

.

В (5) использованы обозначения: , верхний предел интеграла равен «+» при и «-» при . Вдали от границы тени при выражение (5) можно представить в виде:

В качестве первого приближения для дифракционных полей, порождаемых падающей, отраженной и прошедшей волной, воспользуемся известным решением ПУ на двух дополнительных черных экранах. С учетом коэффициентов отражения и прохождения при Е-поляризации падающего поля (вектор Е параллелен ребру экрана) запишем равномерное по углу приближенное решение:

,

Для неравномерной по углу асимптотики с учетом (6) получим:

,

,

.

Физическим примером полупрозрачного экрана является решетка из металлических лент, ориентированных в направлении вектора Е, либо тонкая диэлектрическая пластина (либо решетка металлических лент на диэлектрической пластине). Коэффициенты отражения и прохождения вычислялись по формулам, которые использовались при решении соответствующей задачи методом Винера-Хопфа. При отражении от импедансного экрана:

,

для тонкого полупрозрачного экрана

, ,

где - нормированный импеданс, , . Отметим, что в (9.a, б) была сделана замена , такой подход используется при расчете модифицированного коэффициента отражения [12].

Далее приближенные решения (7.а, б, в) и (8.а, б, в) следует уточнить с использованием метода отражений [8].

Для E-поляризации и неравномерной по углу асимптотики дифракционного поля получим:

, (10.а)

, (10.б)

. (10.в)

Равномерная асимптотика определяется функциями , где для падающей и отраженной волны, - для прошедшей.

Формулы (10.а, б, в) имеют простой и наглядный физический смысл. Слагаемые , и являются приближенным решением в задаче дифракции на двух дополнительных экранах для падающей, отраженной и прошедшей волны, а m-ые члены сумм соответствуют полю, которое m-ый лист римановой поверхности, связанный с соответствующим экраном, возвращает в физическую область. При этом с одним экраном связаны четные отражения , а с другим - нечетные .

2. Результаты расчетов

На рис.1.а, б представлены угловые диаграммы коэффициента дифракции для импедансного экрана, полученные при и . Функции вычислялись по (8.а, б) и (10.а, б), множитель в обоих случаях отбрасывался. Видно, что расчеты методом ПУ совпадают с методом отражений всюду, за исключением области глубокой тени (т.е. несоответствие наблюдается там, где наиболее важно найти правильное решение дифракционной задачи). Последовательное уточнение методом отражений исходного решения (8.а, б) позволяет получить хорошее соответствие с методом Винера-Хопфа.

Различие между диаграммами на рис.1.а и рис.1.б заключается в следующем. Известно, что согласно строгому решению Малюжинца значение коэффициента дифракции в точности равно нулю на сторонах импедансного экрана вне зависимости от поляризации и величины поверхностного импеданса. Видно, что решение методом Винера-Хопфа приводит к такому же результату (пунктирная кривая на рис.1.а) и на первый взгляд может показаться, что это противоречит импедансным граничным условиям. Однако граничные условия должны выполняться для полного поля, т.е. для суммы дифракционных и поверхностных волн, которые возникают при отличной от нуля мнимой части импеданса. Расчет поля поверхностных волн выполнялся по известной методике [13], представленные на рис.1.б результаты свидетельствует о конечном значении поля при скользящих углах рассеяния. Отметим, что в обоих случаях наблюдается очень хорошее соответствие с расчетами методом Винера-Хопфа (см. рис.1.а, б).

На рис.2.а, б показаны угловые диаграммы дифракционного поля, полученные при падении плоской волны под углом на тонкий экран с относительной диэлектрической проницаемостью и толщиной . В данном случае экран является полупрозрозрачным, поэтому вычислялись все три функции и на расстоянии от ребра экрана. Представленные результаты также свидетельствуют о хорошем соответствии предложенной теории с решением по методу Винера-Хопфа (поверхностные волны при решении данной задачи не учитывались).

Рис.1. Угловое распределение дифракционного поля (а) и его суммы с полем поверхностных волн (б). Сплошная линия метод отражений, пунктир - метод Винера-Хопфа, штриховая линия - метод ПУ.

Рис.2. Угловое распределение неравномерной (а) и равномерной (б) асимптотики дифракционного поля. Сплошная линия метод отражений, пунктир - метод Винера-Хопфа, штриховая линия - метод ПУ.

На рис.3 представлена угловая диаграмма полного поля (без учета поверхностных волн) для диэлектрического экрана при тех же исходных данных (, и ) на расстоянии от его кромки. Дифракционное поле, полученное с использованием равномерных по углу формул, суммировалось с полем геометрической оптики. Видно, что результаты расчетов по предложенной методике полностью соответствуют решению методом Винера-Хопфа. Отметим, что при выбранных исходных данных метод отражений использовать необязательно. Для получения тех же самых результатов можно ограничиться первым приближением (7.а, б, в) при вычислении дифракционного поля.

Рис.3. Угловая диаграмма полного поля. Сплошная линия - метод отражений, пунктир - метод Винера-Хопфа

Заключение

задача волна экран

Основное достоинство предложенного в работе метода - его проста и наглядность. В отличие от строгих решений, требующих вычисления специальных функций [14, 15], расчеты методом отражений достаточно простые, а для полупрозрачного экрана в ряде случаев можно пользоваться первым приближением (7.а, б, в) и (8.а, б, в).

Решение для импедансного экрана легко обобщается на случай импедансного (непрозрачного) клина, что позволяет с использованием рассмотренной в [16…19] теории решить задачу выделения краевой волны приближенным методом. Отметим, что при полном отсутствии отражений возникает задача дифракции на черном экране или (в более общем случае) черном клине [20…22]. При этом метод отражений приводит к модели Зоммерфельда, а метод Винера-Хопфа - к модели Макдоналда. Поэтому наибольших расхождений (7.а, б, в) и (8.а, б, в) с методом Винера-Хопфа следует ожидать при решении задачи дифракции на черном экране. В то же время для полностью прозрачного экрана рассмотренный метод дает очень хорошее соответствие с известным решением.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю В.А. Калошину за постановку задачи.

Литература

задача волна экран

1.Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Изд. иностранной литературы, 1962. - 280 с.

2.Senior T.B.A. Diffraction by a semi-infinite metallic sheet // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, 1952, Vol. 213, No. 1115. - Pp. 436-458.

3.50 yeas with J.B. Keller's Geometrical Theory of Diffraction in Denmark - Revisiting the Theory: Impedance Half-plane Diffraction Coefficients // IEEE Antennas and Propagation Magazine, 2013, Vol. 55, No 4. - Pp. 32-40.

4.Andersen I. Plane Wave Diffraction by Thin Dielectric Half-Plane // IEEE Trans. On Antennas and Propagation, 1979, Vol. 27, No 5. - Pp. 584-589.

5.Volakis J.S. High-frequency scattering by a thin material half plane and strip // Radio Science, 1988, Vol. 23, No 3. - Pp. 450-462.

6.Rawlins A.D. Diffraction by an acoustically penetrable or an electromagnetically dielectric half plane // International Journal of Engineering Science, 1977, Vol. 15, No. 774. - Pp. 569-578.

7.Anokhov S.P. Plane wave diffraction by a perfectly transparent half-plane // Journal of Optical Society of America A. 2007, Vol. 24, No 9. - Pp. 2493-2498.

Размещено на Allbest.ru