Широкополосная модель расчета дифракционной картины изотропного акустооптического преобразователя

Размещено на http://www.allbest.ru/

Широкополосная модель расчета дифракционной картины изотропного акустооптического преобразователя

Введение

В докладе описаны теоретические методы описания акустооптического взаимодействия. Рассмотрен способ формирования упругой волны пьезоэлектрическим элементом. Осуществлён уход от узкополосного приближения с целью снятия ограничений на полосу сигнала. Предложен метод моделирования отклика всей среды на основе элементарной ячейки. В практической части проведено сравнение результатов работы модели и экспериментальных данных

При решении задач акустооптического взаимодействия пучков, имеющих сложную пространственно-временную структуру, весьма продуктивным является спектральный метод. Основой для его применения является тот факт, что АОВ при обычных условиях эксперимента является линейным по свету. Особенно впечатляющие результаты спектральный метод дает в приближении малой эффективности дифракции, когда АОВ становится линейным также и по акустическому полю. Однако, в случае работы с широкополосными сигналами требуется внести некоторые уточнения.

Необходимо уйти от условий, ограничивающих формулы узкополосным приближением. Для этого мы воспользуемся одним из фундаментальных подходов к описанию аксустооптического взаимодействия - методом интегральных уравнений.

1.Особенности предлагаемой модели

При рассмотрении моделей мы будем ограничиваться описанием основного характера взаимодействия когерентного света с упругими волнами. Метод дифференциальных уравнений основан на уравнениях Максвелла для немагнитной непроводящей среды, диэлектрическая проницаемость е которой предполагается функцией координат и времени. Применять этот метод расчёта можно только для светового пучка с бесконечной апертурой. Однако, требованием бесконечной апертуры можно пренебречь, если предположить, что электрическое поле дифрагированной света наблюдается в точке, достаточно близкой к звуковому столбу, вследствие чего дифракционные эффекты, обусловленные конечной апертурой, пренебрежимо малы, что соответствует точке наблюдения, лежащей в картине ближнего поля.

В основу метода интегральных уравнений положена формула, полученная при решении задачи об излучении электромагнитного поля системой осциллирующих диполей. Данный подход используется при расчётах картины дальнего поля.

Для создание некоторой общей модели, которая была бы применима для обоих случаев, потребовались следующие условия. Во-первых, была выбрана интегральная модель по причине более простой реализации её в программном коде, в отличие от дифференциальной. Стоит также отметить, что использование узкополосного приближения делает невозможным использование конечных результатов, полученных в литературе [1, 2] при анализе широкополосных сигналов. Всё это приводит нас к необходимости рассматривать всю модель в целом несколько с других позиций, чем это было сделано ранее.

Рассмотрение начнём с формулы, положенной в основу метода интегральных уравнений. Если амплитуда и фаза плотности индуцированного дипольного момента от координат и времени задаётся вектором , то электрического поле дифрагированной световой волны можно описать выражением

акустооптический интегральный уравнение расчет

где волновое число дифрагированной волны, показатель преломления среды для необыкновенного луча.

В общем случае связь между плотностью индуцированного дипольного момента и напряженностью порождающего её электрического поля, через электрическую восприимчивость:

Однако, записывая связь между плотностью индуцированного дипольного момента и напряженностью порождающего её электрического поля, через электрическую восприимчивость, мы не станем делать приближение о гармоничности упругой волны, возбуждаемой в среде. Представляется необходимым найти способ расчёта изменения показателя преломления для такого случая.

Упрощённо акустооптическое взаимодействие можно описать следующим образом: акустическая волна вызывает пространственное изменение плотности среды, которому соответствует изменение показателя преломления. Пространственное изменение показателя преломления в некоторый заданный момент времени образует фазовую решетку, вызывающая дифракцию падающего пучка в одном (дифракция Брэгга) или более (дифракция Раммана-Ната) направлениях.

Известна формула, описывающая упругооптическое взаимодействие[3]

где компоненты тензора деформации в декартовых координатах; фотоупругие или упругооптические постоянные по деформации; параметры эллипсоида оптических показателей преломления. Симметрия кристалла определяет, какие компоненты тензора не равны нулю. В общем случае отличными от нуля компонентами тензора фотоупругих постоянных являются те же ненулевые компоненты, что и у тензора модулей упругости, однако матрица фотоупругих постоянных несимметрична относительно главной диагонали.

Эллипсоид показателей преломления в отсутствие деформации в произвольной декартовой системе координат может быть записана в виде

Эта формула является удобным математическим представлением, описывающим поведение света при его распространении через оптически анизотропную среду, и позволяет определить два показателя преломления, соответствующие произвольному направлению распространения. Для заданного направления распространения векторы поляризации необыкновенного и обыкновенного лучей совпадают с большой и малой осями эллипса показателей преломления, который находится в плоскости, проходящей через центр эллипсоида и перпендикулярной волновому вектору Длина большой и малой полуосей эллипса равна показателю преломления для соответствующей поляризации.

При наличии деформации, вызванных упругой волной, эллипсоид показателей преломления изменяется и принимает вид

Необходимо связать изменение компоненты тензора диэлектрической проницаемости с соответствующим изменением параметров эллипсоида оптических показателей преломления. Оно имеет вид

В результате дифференцирования обратных величин

Соотношение между компонентами е и в свою очередь находим из уравнения, которому по определению удовлетворяет тензор диэлектрической проницаемости

Дифференцируя это уравнение и умножая справа на , получаем

Таким образом, используя выражение (2.1) и (2.4), можно найти соотношение между упругой деформацией, вызванной звуковой волной, и изменением диэлектрической проницаемости:

С помощью этих формул мы сможем определить изменение показателя преломления, при распространении в среде акустической волны.

Следующий интересный момент -- это определение тензора деформации среды, а также пьезоэлемента для случая широкополосного сигнала. В общей теории деформации рассчитываются исходя из решения двух уравнений, связывающих различные параметры птезоэлементов:

Эти уравнения определяют механическое напряжение и электрическую индукцию как функции независимых переменных - деформации и электрического поля. В большей части литературы при решение подобной системы подстановка представляет из себя синусоидальное колебание, что при расчётах деформации, вызванной широкополосным сигналом, не позволительно. В связи с этим решение требуется производить во временной области конечных разностей.

Ещё одним не маловажным изменением является выбор координатных осей. В стандартном методе интегральных уравнений предполагается, что координатная ось направлена вдоль направления дифрагированного луча. Однако, так как нам неизвестны параметры принимаемого сигнала, невозможно заранее определить направления дифрагировавших лучей. В связи с этим предлагается использовать в качестве главных осей те же оси, что и при падения светового пучка на акустооптическую ячейку. Это приводит к изменению формул

Таким образом система координат расположена таким образом, что её центр совпадает с геометрическим центром акустооптической ячейки.

2.Метод ускоренного численного расчёта и сравнение результатов

Общее уравнение, даже со всеми подстановками, необходимо брать числено. Рассмотрим алгоритм, при помощи которого рассчитывается этот интеграл. В модели считается, что световой пучок падает под углом Брэгга к оси Oz, при этом на ось Oy происходит нормальное падение. Кроме того, фронт волны в точках, имеющих одинаковые координаты y, представляется однородным. Расчёт дифракционной картины производится путём разбиения среды на точки и вычисление интенсивности светового пучка в конкретной точке выходной плоскости.

Сделанное до этого предположение о нормальности падения луча на ось Oy, позволяет нам производить вычисление значение диэлектрической проницаемости среды от слоя к слою. Это позволяет не производить перерасчёт изменения показателя преломления, а переносить данные об изменении диэлектрической проницаемости от слоя к слою. Но несмотря на наши приближения, модель требует значительных вычислительных мощностей. Для ускорения расчётов был создан и реализован метод позволяющий вычислить дифракционную картину от всей акустооптической ячейки через элементарный блок, параметры которого определяются длиной волны оптического излучения и периодом акустического сигнала.

На рис. 1 изображена акустооптическая ячейка, разбитая на элементарные блоки. Из рисунка видно, что каждую точку дифракционной картины акустооптической ячейки можно представить как сумму точек дифракционной картины элементарного блока (рис. 2). Произведём преобразование области взаимодействия

где это совокупность координат точек составляющих i-ю элементарную ячейку в составе исходной акустооптической ячейки.

Произведём рассмотрение некоторой произвольной элементарной ячейки, расположение центра которой определяется радиус-вектром , проведённым из начала координат. Вычислим вклад этой ячейки:

Очевидно, что координаты в области интегрирования можно также записать через область элементарной ячейки следующим образом

произведём замену переменных, так как аналогично , то новая переменная интегрирования , имеет дифференциал , тогда интеграл примет вид

Здесь следует сделать ещё одно предположение, для возможности обобщения. Будем считать, что если каждую ячейку поместить центром в начало координат, то в пределах каждой элементарной ячейки, амплитуда и фаза плотности индуцированного дипольного момента зависит от координат и времени одинаково.

Тогда (2) примет вид

Рис. 1. Разбиение акустооптической ячейки

Видно, что в правой части интеграл представляет из себя ни что иное, как электрическое поле в точке дифракционной картины с координатами . Известно, что интеграл по сумме интервалов равен сумме интегралов от каждого в отдельности.

Используя формулу (3) формула (4) примет вид:

Рис. 2. Представление нескольких блоков через один

Ззначение поля в точке выходной плоскости для ячейки целиком можно представить как сумму точек в выходной плоскости для элементарной ячейки. Однако, ограничение, накладываемое на амплитуду и фазу плотности индуцированного дипольного момента, делают невозможным анализ отклика акустооптической ячейки на сигнал, который не полностью заполнил апертуру, по формуле (5). В таком случае будет необходимо разделить область взаимодействия на несколько частей и производить подсчёт для каждой области раздельно, а затем суммировать.

На рис. 3 изображена дифракционная картина, полученная при облучении кристалла ниобата лития лазерным пучком с длиной волны 655 нм, при этом сама ячейка располагалась на расстоянии 155см от экрана, управляющая частота ровнялась 66 МГц. Наша расчётная модель в качестве выходных параметров выдаёт значения интенсивности дифракционной картины в зависимости от координаты. Очевидно, что для сравнения данных нам необходимо изменить аргумент по оси абсцисс на рис. 3. При помощи нашего измерительного комплекса это сделать достаточно просто. Рассчитывая угол дифракции (угол Брэгга) и зная, согласно [1, 4, 5], что угол отклонения луча соответствует удвоенному углу Брэгга, используя элементарные тригонометрические преобразования мы получаем рис. 4.

Из сравнения рис. 4 и рис. 5 очевидно, что дифракционная картина, полученная при помощи модели, почти полностью совпадает с той, что мы получили на эксперименте. Видно, что совпадает как расположение максимумов, так и энергетические соотношения имеют одинаковый порядок.

Рис. 3. Значение интенсивности в зависимости от управляющей частоты

Рис. 4. Значение интенсивности в зависимости от смещения

Рис. 5. Расчётная модель с параметрами эксперимента

Заключение

акустооптический интегральный уравнение расчет

В данной работе рассмотрены возможности моделирования акустооптической ячейки для случая, когда кристалл является изотропным. Известно, что в таком случае, в отличие от анизотропии, его параметры не зависят от углов распространения, что приводит к ещё большему упрощению задачи. Однако, именно случай анизотропной дифракции представляется наиболее интересным для обработки широкополосных сигналов, так как при этом обеспечивается необходимая нам ширина полосы.

В случае анизотропная дифракции угловая селективность акустооптического взаимодействия становится менее строгой, так в среде начинает распространяться расходящийся пучок как акустических, так и оптических волн. Это приводит к удовлетворению условия Брэгга для различных частот при одном и том же угле падения. Однако чрезмерная расходимость приведёт лишь к ухудшению параметров акустооптической ячейки.

Литература

1.Мезон В. П. Физическая акустика: Принципы и методы Том 7 / -Научное издание, т.7, 1970. -430 с.

2.Балакший В. И. Оптическая обработка информации / - М : МГУ, 1987. - 142 с.

3.Дьелесан Э. Упругие волны в твердых телах. Применение для обработки сигналов //-М : Наука, 1982. - 424 с.

4.Корпел А. Акустооптика /- М : Мир, 1993. - 238 с.

5.Кулаков С. В. Акустооптические устройства спектрального и корреляционного анализа сигналов /- Л : Наука, 1978. - 144 с.

Размещено на Allbest.ru