Распространение гармонических волн в цилиндрической панели с учетом вязкоупругих свойств материала

И. И. Сафаров, З. И. Болтаев, М. Ш. Ахмедов

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2014 Математика. Механика. Информатика Вып. 2 (25)

58

Бухарский инженерно-технологический институт

Распространение гармонических волн в цилиндрической панели с учетом вязкоупругих свойств материала

И.И. Сафаров, З.И. Болтаев, М.Ш. Ахмедов

Аннотация

гармонический волна цилиндрический панель

Рассматривается распространение гармонических волн в цилиндрической панели с переменной толщиной. На основе принципа возможных перемещений были получены уравнения для определения толщины панели. Решения краевой задачи получены методом ортогональной прогонки Годунова. Были исследованы дисперсионные кривые в зависимости от различных геометрических параметров системы.

Ключевые слова: цилиндрическая оболочка; гипотеза Кирхгофа - Лява; гармонические волны; вязкоупругая панель; срединная поверхность.

Annotation

Distribution of harmonic waves in a cylindrical panel with an account viscoelastic properties of material

I. Safarov, Z. I. Boltaev, M. Sh. Ahmedov

Bukhara Institute of engineering and technology

In this article it is considered distributions of harmonious waves to the cylindrical panel with variable thickness. For a conclusion of the equations of a cover the principle of possible movings is used. Decisions of a regional problem are received by a method of orthogonal prorace of Godunov. Dispersive curves depending on various geometrical parameters of system have been investigated.

Key words: cylindrical shell theory Kirchhoff-love waves; harmonious waves; viscoelastic Panel; the medial surface.

Введение

Волновые процессы в волноводах в виде упругих цилиндрических изотропных и анизотропных оболочек постоянной толщины хорошо изучены [1, 2, 3]. Большое количество работ посвящено динамике оболочек, описанных на основе модели Тимошенко [4, 5, 6, 7]. В работе [8] для исследования волновых процессов применяются асимптотические методы волновых процессов в цилиндрической оболочке с малым изменением ее толщины вдоль оси. Вместе с тем задача исследования распространения волн в вязкоупругой цилиндрической панели с переменной толщиной представляет теоретический и практический интерес.

Постановка волновой задачи^© Сафаров И. И., Болтаев З. И., Ахмедов М. Ш., 2014

Рассматривается вязко-упругая бесконечная цилиндрическая панель толщиной h, плотностью с. В криволинейной ортогональной системе координат (б₁; б₂; z) при z = 0 оболочка занимает область

Кривизны срединной поверхности z=0, равные , соответствуют координатам б₁ и б_2. В рамках гипотез Кирхгофа - Лява закон изменения компонент вектора перемещений u₁^(z), u₂^(z), w^(z) панели определяются следующими соотношениями [1, 2]:

u₁^(z) = u - и₁ z; u₂^(z) = - и₂ z ; u₃ ^(z) = w, (1)

где u, v, w - компоненты вектора перемещений срединной поверхности;и_1, и₂ - углы поворота нормали относительно осей б₁ и б₂.

Для вывода уравнений, позволяющих исследовать толщину панели, использовался принцип возможных перемещений

дП = дТ, (2)

где дП - вариация потенциальной энергии оболочки; дТ - виртуальная работа массовых сил инерции панели. В работе В.В Новожилова [1], с учетом соотношений (1), сделан вывод для получения следующего выражения исходя из линейной теории упругости

 (3)

где Т₁, Т₂, S, M₁, M₂, N - усилия и моменты; е₁, е_2, е_{12, 1, 2,} ф - компоненты деформации срединной поверхности. В выражении (3) исключены члены, имеющие порядок . Согласно [1] компоненты тангенциальной изгибной деформации срединной поверхности выражаются через ее перемещение и углы поворота нормали следующим образом:

(4)

В свою очередь, усилия и моменты связаны с компонентами деформации соотношениями, вытекающими из обобщенного закона Гука:

Где

- операторный модуль упругости, который имеет вид [9]

(5)

- произвольная функция времени; - ядро релаксации; - коэффициент Пуассона; - мгновенный модуль упругости. Будем считать интегральные члены в (5) малыми, тогда функции , где - медленно меняющаяся функция времени, - действительная константа. Далее, применяя процедуру замораживания [10], заменим соотношения (5) приближенными вида

,

где ,

, соответственно, косинус и синус - образы Фурье ядра релаксации материала. В качестве примера вязкоупругого материала примем трехпараметрическое ядро релаксации , обладающее слабой сингулярностью [9]. Предполагается, что силы инерции по углам и малы и сравнены другими силами инерции. Учитывая это, если пренебречь инерцией поворота нормали, то виртуальную работу силы инерции оболочки можно представить в виде

(6)

После подстановки выражения (3) и (6) в (2) и процедуры интегрирования по частям с учетом (4) получаем систему уравнений движения в виде:

(7)

(8)

Альтернативные краевые условия свободного края, или жесткой заделки, при б₂ = 0, l имеют вид: свободный край

;;; (9)

жесткая заделка

u=0, =0, w=0, Q₂=0. (10)

Используя соотношения (4), (5), (7), (8), полную систему уравнений движения можно представить в виде восьми дифференциальных уравнений, размешенных относительно первых производных по :

;

;

(11)

;

,

где

В случае бегущих вдоль гармонических волн решения краевой задачи для системы (11) с краевыми условиями типа (9), (10) допускают разделение переменных:

;

; (12)

;

;

;

;

;

;

где - комплексная собственная частота; к - волновое число; - действительная часть комплексной частоты; - плотность; - функции формы колебаний. Для выяснения их физического смысла рассматриваем случаи:

1) - тогда решение (9) имеет вид синусоиды по , амплитуда которой затухает по времени;

2) - тогда в каждой точке решение (9) имеет вид синусоиды по t, амплитуда которой затухает по .

Далее предполагается, что оба края оболочки и свободны. После подстановки соотношений (12) в уравнения (11), учитывая и краевые условия (9), имеем спектральную краевую задачу по параметру для системы восьми обыкновенных дифференциальных уравнений относительно комплексной функции формы:

,, ,,

, (13)

, ; ; ;

При анализе дисперсии гармонических волн параметр к считается заданным.

Численный анализ дисперсии нормальных волн в цилиндрических панелях

На основе решения краевой задачи (13) методом ортогональной прогонки Годунова был выполнен численный анализ дисперсии этих волн.

На рис. 1 и 2 показаны зависимости действительных частей комплексных фазовых скоростей первых двух мод от волнового числа. Во всех вариантах расчета приняты следующие безразмерные параметры панели:

,

.

Толщина h изменяется по линейному закону

(14)

Сплошные линии на рисунках соответствуют вариантам панели постоянной толщины (h₁= h₂=0.1), пунктирные линии характеризуют панель с клиновидным сечением (). В последнем случае h₂=0.1, а толщина h₁ =0.001. Параметры кривизны к₂ постоянны и принимают значения 45⁰ и 90⁰. Штрихпунктирные линии на рис. 1 и 2 соответствуют рассмотренному случаю пластин Кирхгофа - Лява при к₂=0. Из рис. 1 и 2 видно качественное отличие в поведении дисперсионных кривых первой моды, соответствующих оболочке и пластинке. Если во втором случае кривая фазовой скорости монотонна, то в первом случае наблюдается характерный максимум в средневолновом диапазоне, который объясняется повышенной изгибной жесткостью оболочки по сравнению с пластинкой.

Действительная часть скорости второй моды в отличие от случая панели постоянной толщины в целом также возрастает с ростом кривизны. При этом, как и следовало ожидать, чем больше кривизна к₂, тем медленнее осуществляется переход на участок без дисперсионного движения с ростом волнового числа. Что касается самой локализации, то она увеличивается с увеличением кривизны (при достаточно больших к, например, при к=10) ли достаточно локализации, то она увеличивается с увеличением кривины которому кривизна оболочки стремится к нулю.. Причем такая повышенная локализация в цилиндрической панели характерна для обеих мод (действительные части комплексной на скорость). С ростом параметра к₂ наблюдается тенденция увеличения скорости () изгибной моды и уменьшения скорости крутильной моды.

Скорости коэффициента затухания () изгибной моды уменьшаются по параметрам к₂, а также увеличивается скорость затухания крутильной моды.

И. И. Сафаров, З. И. Болтаев, М. Ш. Ахмедов

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2014 Математика. Механика. Информатика Вып. 2 (25)

58

Рис. 1 Зависимость действительной части скорости распространения волны от волнового числа

Выводы

1. С ростом кривизны цилиндрической панели постоянной толщины увеличивается действительная часть комплекса - скорость распространения первой изгибной моды и уменьшается скорость распространения второй крутильной моды.

2. В случае клиновидной цилиндрической панели для каждой моды существуют предельные скорости распространения при увеличении волнового числа, совпадающие по величине с соответствующими скоростями нормальных волн в клиновидной пластине нулевой кривизны. В коротковолновом диапазоне локализация движения существует и увеличивается с ростом кривизны панели.

И. И. Сафаров, З. И. Болтаев, М. Ш. Ахмедов

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2014 Математика. Механика. Информатика Вып. 2 (25)

58

Рис. 2 Зависимость действительной части скорости распространения волны от волнового числа

Список литературы

1. Aйнола Л.Я. К вариационным принципам динамической теории оболочек // Изв. АН Эст ССР. 1968. Т.17. № 3. С. 283-289.

2. Айнола Л.Я., Нигул У.К. Волновые про-цессы деформации упругих и оболочек // Изв. АН Эст ССР. 1965. Т. 14. № 1. С. 3-63.

3. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармо-нические колебания волн в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981. 284 с.

4. Нигул У.К. Волновые процессы деформации оболочек и пластин: тр. VI всес. конф. по теории оболочек и пластинок, 1969. М.: Наука, 1970. С. 846-883.

5. Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Нормальные волны продольно-сдвигового типа в упругих полосах переменной толщины // Акуст. ж. 1982. Т. 28. № 3. С. 393-397.

6. Саксонов С.Г. О распространении волн в цилиндрической оболочке. 1971. Т. 7. № 1. С. 124-128.

7. Yu Y.Y. Vibrations of thin cylindrical shells analyzed by means of donnell-type equations.

8. Сафаров И.И., Тешаев М.Х., Болтаев З.И. Волновые процессы в механическом волноводе // LAP LAMBERT Academic publishing (Германия). 2012. 217 с.

9. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа, 1976. 276 с.

10. Сунчалиев Р.М., Филатов А. О некоторых методах исследования нелинейных задач теории вязкоупругости // ДАН СССР. 1972. Т. 206. № 1. C. 201-203.

Размещено на Allbest.ru