Перманентные вращения гиростата-магнетика в магнитном поле

Размещено на http://www.allbest.ru/

4

Перманентные вращения гиростата-магнетика в магнитном поле

Н.Н. Макеев

Рассматриваются свойства перманентных вращений гиростата, движущегося вокруг неподвижного полюса и обладающего магнитными свойствами, в стационарном однородном магнитном поле.

Ключевые слова: гиростат; магнитное поле; магнетик; перманентное вращение.

Под магнетиками понимаются любые материальные объекты, обладающие магнитными свойствами. Иначе, магнетики ? это материальные объекты, наличие которых способно видоизменить или возбудить магнитное поле (МП) [1]. В качестве магнетиков здесь рассматриваются ферромагнетики и сверхпроводники ? твёрдые тела, обладающие свойством сверхпроводимости [1].

Известно, что даже предварительно не намагниченный ферромагнетик при его вращении вокруг оси в МП становится намагниченным вдоль этой оси, а при вращении в этом поле намагниченного ферромагнетика его намагниченность вдоль оси вращения усиливается. Это физическое явление названо эффектом С.Барнетта [2]. При этом эффекте собственный момент магнетика связан с его угловой скоростью щ соотношением

(1)

перманентный гиростат магнитный поле

где B - симметрический линейный оператор.

Сходное по характеру явление имеет место и при вращении в МП сверхпроводящего твёрдого тела. Это вращение генерирует МП, порождающее магнитный момент Лондона (эффект Ф. и Г.Лондонов) [3]. При этом эффекте собственный магнитный момент маг-нетика определяется соотношением, аналоги-чным равенству (1). Очевидно, что механизм намагничивания твёрдых тел при каждом из этих эффектов различен.

При вращении объекта в стационарном однородном МП с вектором напряжённости H на него действует силовой момент [4]

, (2)

где вектор I определяется равенством (1), а e - размерная единица (далее положено e = 1).

Пусть s - направляющий орт силовых линий данного МП. Тогда H = H s и согласно соотношениям (1), (2) получаем

(3)

Вектор-момент, определяемый равенством (3), является пондеромоторным силовым моментом [1], порождаемым данным магнитным полем.

1. Основные предпосылки

Рассматривается движение в МП свободного от связей гиростата с заданным постоянным результирующим гиростатическим моментом. Гиростат движется так, что его неизменяемая часть (тело-носитель) движется вокруг неподвижного полюса О, неизменно связанного с инерциальным пространством. С телом-носителем гиростата неизменно связан магнетик (тело-магнетик) заданной конфигурации с постоянными характеристиками.

Введём правые координатные ортобазисы с общим началом в полюсе О: базис Z(Oz₁z₂z₃), неизменно связанный с инерциальным конфигурационным пространством, и базис X(Ox₁x₂x₃), оси которого направлены по главным в полюсе О направлениям тензора инерции гиростата.

Пусть s (s₁, s₂, s₃) - направляющий орт прямолинейных параллельных силовых линий МП, устанавливающий ориентацию этих линий относительно базиса Z, неизменный в этом базисе.

Обозначим: ? матрица тензора инерции гиростата в полюсе О; - абсолютная угловая скорость носителя гиростата; ? постоянный гиростатический момент относительно полюса О, заданный в базисе X.

Предполагается, что на гиростат действует система внешних сил с заданным относительно базиса X результирующим моментом L (L₁, L₂, L₃), постоянным в этом базисе.

Движение гиростата вокруг неподвижного полюса при данных предпосылках согласно равенству (3) определяется системой уравнений

(4)

(5)

При H = 0, L ? 0 (внешнее МП отсутствует) уравнению (4) соответствует движение гиростата в режиме авторегулирования (по Р.Граммелю [5]).

Система уравнений (4), (5) является ана-литически замкнутой относительно вектор-функций щ (t), s (t).

Поставим задачу: определить векторное многообразие угловых скоростей гиростата (щ-многообразие), на котором существуют его возможные перманентные состояния, а также условия их устойчивости. ¦

Упомянутые здесь перманентные состо-яния щ⁰, s⁰ [6] рассматриваются далее как динамически равновесные состояния, отличные от состояний статического равновесия.

2. Перманентные вращения в магнитном поле в режиме авторегулирования

Под перманентным вращением (ПВ) понимается равномерное движение гиростата, при котором выполняются условия

(6)

где л ? 0 - произвольный постоянный множитель. Состояние (6) называют также равномерным вращением [7, 8].

Постулируя возможность существования состояния (6) при данных предпосылках, из уравнения (4) получаем

(7)

при этом уравнение Пуассона-Эйлера (5) тождественно удовлетворяется. В равенстве (7) и всюду далее верхний нулевой индекс при величинах щ, s опускается.

Равенство (7) приводится к виду

(8)

где - кинетический момент гиростата относительно полюса О, .

В силу соотношения (8) силовой момент L ортогонален векторам-сомножителям данного векторного произведения. Следовательно, данный режим ПВ является одним из случаев движения гиростата под действием силового момента, ортогонального указанным векторам [9].

Под ПВ, происходящем в режиме авторегулирования, понимается движение гиростата, подчинённое условию (8). Этот термин применяется по аналогии с известным термином Р.Граммеля “саморегулирование” [5; 8, c. 154]. Данный режим движения, в зависимости от дополнительных ограничений, реализуется в ряде частных режимов, рассматриваемых далее.

Равенство (8), представленное в осях базиса X, эквивалентно системе

(9)

где обозначено

Система уравнений (9) однозначно определяет силовой момент L по заданной совокупности векторов (n, щ, k). Однако обратная зависимость не является однозначной: гомеоморфизм вида в общем случае (при регулярном режиме ПВ) не существует.

Введём условие

(10)

и обозначим

,

, (11)

Из системы уравнений (9) при условии (10) следует

(12)

При этом имеют место тождества

Согласно равенствам (11) введём пространство параметров (H₁, H₂, H₃) (H-прост-ранство) и выделим в нём область ?, определяемую условиями

(13)

Граница области ?, уравнение которой , является множеством гиперболоидов вращения, каждый из которых определяется фиксированными значениями параметров. По-верхность в Н-пространстве, соответствующая условию , является асимптотическим конусом K второго порядка, разделяющим области на граничной поверхности . В этих областях имеем и . Условию соответствуют двуполостные, а условию - однополостные гиперболоиды.

Решение (12) определяет непрерывное (континуальное) множество осей ПВ гиростата в МП для общего (регулярного) случая, совместимого с условиями (13). При этом величина может быть найдена из уравнения

Режим ПВ, определяемый решением (12), существует в области ? при условиях (13). Для каждой внутренней точки этой области существуют два различных вектора , совпадающих на ее границе. В частном случае, при котором , решение (12) вырождается и принимает вид

(14)

где . Решение в форме (14) порождает множество изолированных осей ПВ (дискретное множество). При (т.е. вне МП) соотношения (14) переходят в известное решение Р. Граммеля для твердого тела [5].

Из соотношений (14) следует, что . В силу этого при имеем . На конусе K, где , следует рассматривать два случая: и . Первый из них может быть реализован, если по крайней мере одна из величин или если

(15)

где н ? произвольный действительный параметр, E ? единичная матрица. Вне МП условие (15) вырождается в условие центральной кинетической симметрии гиростата.

Во втором случае множество векторов совпадает с одним из следующих:

(16)

При этом для компонент перманентного вектора имеют место соотношения, соответственно

(17)

Итак, в силу соотношений (16), (17) в данном случае существует непрерывное (континуальное) множество осей ПВ, расположенных в главной координатной плоскости, ортогональной вектор-моменту .

Рассмотрим режим движения объекта, при котором . Пусть , в силу чего имеем . Тогда из уравнений системы (9) при следует

(18)

Полученное решение (18) определяет множество изолированных осей ПВ.

В случае, при котором , решение системы (9) при представимо соотношениями

 (19)

что соответствует континуальному множеству осей ПВ.

Решения, аналогичные множеству (19), существуют и в случаях, при которых или . Таким образом, если , то при данных условиях имеем

(20)

где значения индекса фиксированы и, кроме того, имеем Соотношения (20) представляют единую аналитическую форму множества решений типа (19).

Пусть теперь . Тогда из условия гироскопичности следует, что , а из определяющей системы (9) имеем . В силу этого в результате получаем

(21)

Рассмотрим режим движения объекта, при котором . Для определенности примем , в силу чего . Тогда из системы (9) при следует

(22)

где обозначено

Однозначное решение (22) определяет множество изолированных осей ПВ; при этом выполняется условие симметричности

(23)

Вне МП (при ) равенство (23) вырождается в условие осевой кинетической симметрии гиростата .

При ортогональном режиме управления векторами когда из соотношений (22) при следует

Если выполняется условие симметричности (15), то определяющее динамическое уравнение (7) становится линейным относительно и принимает вид

Общее решение этого уравнения, согласно источнику [10], есть

где - произвольный действительный параметр. При данном режиме движения гиростата вектор скорости инвариантен относительно воздействия МП.

3. Устойчивость перманентных вращений

Устойчивость ПВ гиростата, исследуемая по первому приближению, определяется не только параметрами заданного режима движения гиростата, но и характером воздействия результирующего внешнего момента L, обусловленного вариациями этого момента. Эти вариации могут возникать при малых возмущениях вектора в ПВ. Примем структуру момента , при которой в возмущенном движении вариация момента L равна нулю.

Составляя на основе исходной динамической системы гиростата уравнение возмущённого движения (уравнение в вариациях) и выделяя затем его линейную часть, в результате получим кубическое характеристическое уравнение

(24)

c заведомо положительным коэффициентом r₀, где обозначено

(25)

Получим необходимые условия устойчивости данного ПВ, исходя из нестрогого требования Re q ? 0, а не Re q < 0, как требуется обычно в регулярных случаях. Такой подход вполне оправдан и применяется при исследовании стационарных движений на устойчивость [11, с. 71].

Выполнение данного нестрогого условия устойчивости в силу критерия Льенара-Шипара [12, 13] сводится к соотношениям

(26)

В силу второго условия (26) характеристическое уравнение (24) имеет нулевой корень. Этот факт указывает на то, что начальное возмущение кинетического момента гиростата будет сохраняться постоянным.

Исследуем выполнение условий (26) в различных режимах ПВ гиростата. В режиме движения, определяемом решением (12), условие в Н-пространстве реализуется лишь на гиперболоиде . Вычисляя выражение для величины при , находим, что условие в Н-пространстве при соответствует некоторому эллиптическому конусу .

Итак, область выполнения условий устойчивости (26) расположена на гиперболоиде и ограничена линией пересечения этого гиперболоида с конусом . При этом в данной области реализуются оба случая, и .

Рассмотрим вопрос об устойчивости ПВ гиростата в выделенных выше частных режимах, для которых были найдены аналитические решения.

1. Пусть (объект моделируется твердым телом). Для соответствующего решения (14) согласно равенствам (25) получаем . Это противоречит второму из условий (26). Отсюда следует неустойчивость изолированных осей ПВ в данном случае.

2. Для решения (14) в случае, при котором момент коллинеарен одной из главных осей инерции гиростата, условие (26) выполняется. При этом выражения для величины зависят от выбора главной оси инерции, коллинеарной моменту . Если, в частности, , то согласно соотношениям (17), (25) имеем

.

В силу этого выражения условие (26) реализуется в области плоскости переменных с прямолинейными границами

существующими при выполнении одного из условий: либо

Либо

Для гиростата, находящегося вне МП, последние условия сводятся к тому, что момент инерции ? либо наибольший, либо на-именьший, соответственно.

3. Пусть Тог-да решение (12) при условии (10) принимает вид

(27)

и определяет континуальное множество осей ПВ гиростата. Полагая , находим

(28)

В этом случае область устойчивости ПВ на Н-плоскости, определяемая ограничениями (28), существует для при в виде двух параллельных лучей. Данный режим ПВ ввиду специфичности области устойчивости имеет незначительный интерес.

В силу симметричности соотношений системы (12) идентичные результаты имеют место и тогда, когда или .

Если для режима ПВ, определяемого ре-шением (27), положить , то в результате находим

и условие устойчивости (26) принимает следующий вид:

4. При решение (12) не существует. В этом случае имеет место какой-либо из режимов ПВ, определяемый соотношениями (18)?(22). Исследуем выполнение условий устойчивости (26) в этих режимах.

В режиме (18), существующем при условии

(29)

ПВ неустойчиво, поскольку условие противоречит ограничению (29).

Для режима (19) условие тождественно удовлетворяется и область устойчивости ПВ в соответствии с условием (26) определяется выражением

 (30)

Полагая , обозначим

В силу соотношения (30) интервалы устойчивого по ПВ определяются следующими выражениями. При выполнении одной из групп условий

(31)

Имеем

(32)

Если m₃ > max M или m₃ < min M , где множество M = (m₁, m₂), то получаем либо

(33)

Либо

(34)

Условия (31) для гиростата, находящегося вне МП, принимают вид, соответственно,



При множества устойчивых зна-чений величины изменяются: для условия (32) интервал значений стягивается в точку , а для условий (33), (34) получаем, соответственно, щ₃ ? 0, щ₃ ? 0.

Для режима (21) имеем тождест-венно и в выражении для (25) сумма содержит только два первых слагаемых. Множество устойчивых ПВ на плоскости переменных расположено внутри области с границей , определяемой уравнением

(35)

Граничная кривая (35) при есть центральная линия второго порядка, которая при условии

(36)

(37)

является гиперболой, как и для гиростата, находящегося вне МП. Условие (36) может быть реализовано при выполнении одного из ограничений

Ограничение (37) не выполняется для каждого следующего условия (или группы условий):

 (38)

где обозначено

При выполнении каждого из условий (или группы условий) (38) (за исключением третьей группы и последнего условия) граничная кривая (35) вырождается либо в прямую, либо в пару взаимно пересекающихся прямых.

Если вместо условия (36) имеет место ограничение

(39)

а также

(40)

то граничная кривая (35) является эллипсом. Система условий (39), (40) удовлетворяется при выполнении одной из групп приведённых ранее ограничений (31).

В режиме (22) имеем и в силу этого условие устойчивости (26) не может быть выполнено как противоречащее ограничению , при котором существует решение (22). Следовательно, ПВ гиростата в данном режиме неустойчиво.

Таким образом, устойчивыми ПВ обладают лишь множества континуальных решений определяющей системы (9), порождающие континуальные множества осей ПВ.

Из полученных соотношений как частные случаи следуют результаты, относящиеся к соответствующей задаче о ПВ гиростата-магнетика с неподвижной точкой, движущегося в режиме авторегулирования вне МП.

4. Влияние магнитного поля на перманентное вращение магнетика

Рассмотрим вопрос о влиянии однородного параллельного МП на характер ПВ гиростата. Для этого в качестве примера произведем оценку в линейном приближении полученных характеристик данного движения по сравнению с аналогичными характеристиками этого гиростата вне МП при остальных одинаковых условиях.

Допускаем, что МП, действующее на гиростат, вызывает малое возмущение его ПВ. Обозначив

считаем все параметры м_j малыми возмущениями, причем

(41)

В соответствии с условием (41) в линейном по приближении будем учитывать только возмущение . В силу этого в данном приближении для решения (12) имеем

 (42)

где - вектор-параметр, характеризующий возмущение. В равенстве (42) и всюду в дальнейшем звезда сверху относится к величинам, вычисленным при , (т.е. вне МП). При этих условиях имеем

Аналогичные зависимости имеют место и для величин возмущений .

Из соотношения (42) следует, что под воздействием МП вращение гиростата может как ускоряться, так и замедляться в зависимости от знака компонент . Характерно, что в МП, действующем при условиях

имеет место . В этом случае МП не влияет на значения величины .

Для режима движения, при котором су-ществует решение (14), при имеем

(43)

Где

Причем

Из соотношений (43) видно влияние МП на изменение компонент . В частности, при имеем ; здесь МП не влияет на ПВ гиростата. Выбирая в равенствах (43) для определенности верхний знак, получаем, что при

МП увеличивает величину , а при ? уменьшает. При

МП уменьшает значения величин , а при ? увеличивает.

В режиме (16), (17) при в линейном по приближении имеем

(44)

где

Согласно равенству (44) при величина уменьшается, а при под воздействием МП увеличивается.

Для режима (18) при условии

величина под влиянием МП увеличивается, а при ? уменьшается.

При движении гиростата в режиме (19) имеем

Отсюда следует, что при величина уменьшается, а при ? увеличивается. При этом имеет место равенство

В режиме (22) находим оценку

(45)

где

Из соотношений (45) следует, что при

МП, воздействуя на движущийся гиростат, уменьшает значения величин , а при условии противоположного смысла ? увеличивает. При значения величины уменьшается, а при ? увеличивается.

Итак, в общем случае, при , МП воздействует на ПВ гиростата, изменяя величины компонент его угловой скорости. Исключение составляет отдельный случай обоб-щенной симметрии, определяемый магнитно-кинетическим условием (15).

Заключение

Перманентное движение механического объекта является одним из видов его регулярного движения.

Перманентные вращения гиростата рассматриваются как его относительные равновесия (по Смейлу [14]), являющиеся орбитами однопараметрической подгруппы группы Ли в исходном фазовом пространстве. Эти равновесия являются также критическими точками отображения кинетического момента гиростата на регулярном множестве его уровня [15].

Относительным равновесиям гиростата соответствуют стационарные решения уравнения (7), определяющие два вида множеств осей ПВ: множества изолированных осей (14), (18), (22) и континуальные множества осей (12), (17), (19)-(21), (27). Согласно п. 3 устойчивым ПВ гиростата соответствуют лишь континуальные множества этих осей.

Характерно, что свойства ПВ гиростата, движущегося в режиме авторегулирования при воздействии МП, качественно идентичны соответствующим свойствам его ПВ, происходящим вне МП [16]. Это обстоятельство является следствием изоморфности структур моделей, применяемых в данных задачах.

Список литературы

Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1966. 624 с.

Вонсовский С.В. Магнетизм. М.: Наука, 1971. 1032 с.

Киттель Ч. Введение в физику твёрдого тела. М.: Наука, 1978. 792 с.

Голубков В.В. Момент сил в магнитном поле // Космические исследования. 1972. Т. 10, вып. 1. С. 20?39.

Граммель Р. Теория несимметричного гироскопа с реактивным приводом // Механика: периодический сб. переводов иностранных статей. 1958. № 6. С. 145?151.

Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений. М.: На-ука, 1988. 304 с.

Млодзеевский Б.К. О перманентных осях в движении твёрдого тела около неподвижной точки // Тр. отд-ния физ. наук о-ва любителей естествознания. 1894. Т. 7.

Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М.: Мир. 1974. 528 с.

Смольников Б.А. Движение твёрдого тела под действием ортогонального момента // Известия Академии наук CCCР. Механика твёрдого тела. 1979. № 3. С. 30?36.

Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики: в 2 т. М.: Наука, 1972. Т. 1. 456 с.

Черноусько Ф.Л. Движение твёрдого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. М.: Вычислительный центр АН СССР, 1968. 231 с.

Lienard A., Chipart M.H. Sur la signe de la partie reelle des Racines d`une equation algebrique // Journal Mathematique Pure Appl. Series B. 1914. V. 10. P. 291?346.

Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем: пер. с англ. М.: Наука, 1979. 300 с.

Смейл С. Топология и механика // Успехи математических наук. 1972. Т. 27. № 2. С. 77?133.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 432 с.

Смольников Б.А., Степанова М.В. Перма-нентные вращения гиростата с самовозбуждением // Известия Академии наук СССР. Механика твёрдого тела. 1981. № 3. С. 107?113.

Размещено на Allbest.ru

...