Физические аспекты феномена красоты фракталов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Физический институт им. П.Н. Лебедева Российской академии наук, Москва, Россия

Физические аспекты феномена красоты фракталов

Короленко П.В., Мишин А.Ю.

Рассмотрены особенности восприятия зрительной системой человека изображений фрактальных объектов, формирующих чувство красоты. На основе оптико-физических представлений с использованием численного моделирования дана интерпретация феномена красоты фракталов и многочисленных изложенных в литературе фактов положительного влияния фрактальных изображений на психологическое состояние человека. Было установлено, что независимо от модели фрактального объекта и вариации в широком диапазоне его параметров имеет место самоподобие пространственных спектров изображения фрактала в различных спектральных диапазонах. Есть все основания полагать, что наличие самоподобия, упрощая обработку оптической информации в коре головного мозга, формирует ощущение комфорта и возбуждает чувство прекрасного.

Ключевые слова: красота фракталов, пространственные частоты, фрактальная размерность, нейронная сеть головного мозга, обработка оптических сигналов.

The features of fractal object perception by the human visual system forming a sense of beauty are considered in the paper. The interpretation of a fractal beauty phenomenon and the numerous facts of the positive influence of fractal images on the psychological state of a person described in the literature are presented based on optical and physical concepts using numerical modeling. It is found that regardless of the model of a fractal object and variations in a wide range of its parameters, there is a self-similarity of the spatial spectra of a fractal image in different spectral ranges. We have a reason to believe that the presence of self-similarity, simplifying the processing of optical information in the cerebral cortex, creates a feeling of comfort and excites a sense of beauty.

Keywords: the beauty of fractals, spatial frequencies, fractal dimension, the neural network of the brain, optical signal processing.

Среди публикаций, в которых описывается работа головного мозга, видное место занимают работы, посвященные изучению когнитивных процессов [1], [2]. Среди последних следует отметить процессы обработки изображений фрактальных объектов [3], [4], [5], приводящие, в частности, к формированию чувства прекрасного [6], [7]. Изучение эффекта красоты фракталов [8], [9] показало, что он во многом обусловлен особенностями пространственных спектров изображений фрактальных структур [10], [11].

B нейронной сети затылочной части головного мозга осуществляется спектральная фильтрация сигналов от зрительных органов. Отдельные элементы сети ответственны за восприятие и обработку различных диапазонов пространственных спектров [12]. Сигналы от этих фрагментов передаются на участки мозга, обеспечивающие интегрирование информации. Частотное представление оптических сигналов упрощает узнавание знакомых объектов с увеличенными или уменьшенными размерами. При этом в системе памяти фиксируется только гармонический состав. Это делает опознание образа более экономным, не зависящим от реального размера объекта. В тех случаях, когда обработка пространственных спектров в силу их самоподобия не требует больших затрат времени и энергии, у человека формируется ощущение комфорта и обостряется чувство прекрасного, улучшающее, в частности, креативные способности индивидуума [6], [7]. Данное научное направление находится лишь на начальном этапе развития, и многие вопросы еще ждут своего решения. В частности, необходимо расширение доказательной базы сформулированной выше концепции.

Целью данной работы является установление связи между особенностями структуры анализируемого объекта и скейлинговыми свойствами его пространственных спектров. Для придания большей общности рассмотрению анализ выполнен для произвольной фрактальной структуры, при этом особое внимание уделено устойчивости ее спектральных характеристик к геометрическим возмущениям.

Структура пространственных спектров фрактальных объектов

Изучение характеристик фрактальных структур тесным образом связано с исследованием фурье-образов изучаемых объектов. Фурье-представление зрительных сигналов позволяет по новому осветить некоторые проблемы в гуманитарной области, в частности, найти подход к объяснению феномена красоты фракталов.

Для реализации указанных представлений был изучен вопрос о масштабной инвариантности фурье-спектров фрактальных изображений и их устойчивости к случайным и детерминированным изменениям структуры. С этой целью было осуществлено численное моделирование скейлинговых свойств специально построенной двумерной фрактальной структуры с произвольными фрактальными характеристиками. Распределение амплитуды световых колебаний W_k,m в структуре, играющей роль тестового объекта, задавалось следующими формулами:

(1)

(2)

(3)

Здесь W1_k,m и W2_k,m -- распределение амплитуды изображений по поперечным индексам k и m, у -- стандартное отклонение распределения поля, D -- фрактальная размерность, N -- количество гармоник, b -- параметр пространственно-частотного масштабирования, s -- масштабирующий коэффициент, ш_n, ш1_n -- случайные фазы гармоник.

Пространственная структура, сформированная с помощью вышеприведённых формул, соответствовала следующим значениям параметров: b=2, у=3.3, D = 1.35, N=5 (рис.1). Наличие фрактальных свойств в построенном изображении доказывает наличие самоподобных элементов и скейлинга в сечении изображения, выполненном по поперечным координатам (рис.2).

Фурье-образ получившегося сечения двумерной структуры можно построить, используя преобразование

(4)

Рис. 1 - Изображение тестового объекта (b=2, у=3.3, D=1.35, N=5)

Рис. 2 - Поперечное сечение тестового объекта вдоль линии m=100

Рассчитанное по формуле (4) фурье-распределение (рис.3) обладает системой убывающих по амплитуде максимумов. Поскольку величина относительного смещения максимумов убывает в два раза, можно утверждать, что коэффициент скейлинга также равен двум.

Рис. 3 - Результат фурье-преобразования графика сечения тестового объекта

Двумерный фурье-образ тестовой структуры рассчитывался по формуле

(5)

Здесь q и t -- пространственные частоты.

Ниже приведены графические представления изображений структуры и ее фурье-образа.

Рис. 4 - Тестовый объект (а) и его фурье-спектр (б), а также проекции фурье-спектра на оси q (в) и t (г), (D=1.35)

Хорошо видно, что фурье-образ тестовой структуры обладает высоким уровнем самоподобия. Помеченные цифрами 1, 2, 3, 4 рефлексы на графическом представлении фурье-образа удовлетворяют условию скейлинга с коэффициентом о=2. Помеченные разными цветами на рисунках 4в, г максимумы фурье-образа соответствуют разным коэффициентам растяжения проекции. Их наложение свидетельствует о фрактальном характере спектра пространственных частот. Pасчёты показали, что на структуру фурье-образа очень слабо влияет изменение величины фрактальной размерности в пределах 1 - 1.75. Следует также отметить, что фурье-преобразование тестового объекта практически не зависит и от величин случайных фаз гармоник, входящих в формулы (2, 3).

Таким образом, регистрируемая устойчивость формы фурье-спектров и их скейлинговых свойств в различных спектральных диапазонах во многом объясняет причины эстетической ценности фрактальных изображений. Если учесть, что многочисленные природные объекты обладают фрактальными признаками [3], то полученные результаты позволяют дать интерпретацию одному из основных положений современной эстетики. Согласно этому положению наиболее сильное эмоциональное воздействие на человека оказывают структуры, близкие по своей форме к природным объектам [6].

Проведенный в данной работе анализ, выполненный для ранее не использованной модели, существенно дополняет данные ранее выполненных исследований [11]. Он подтверждает возможность апелляции к структуре спектров пространственных частот для объяснения феномена прекрасного.

Описанные в литературе иные методы [13] и вытекающие из них результаты не могут рассматриваться как взаимоисключающие, а скорее как взаимодополняющие друг друга. Существующие некоторые несоответствия в выводах, которые делают отдельные авторы, отражают особенности современного этапа исследований когнитивных процессов. Есть веские основания считать, что сейчас преимущественно происходит накопление данных и сведений об изучаемых явлениях. Этот период неизбежен, поскольку в его рамках рассматриваются сложные междисциплинарные проблемы, ещё требующие всестороннего изучения.

фрактал самоподобие спектральный

Список литературы / References

1. Velichkovsky B.M. Cognitive Science: Foundations Of Epistemic Psychology / B.M. Velichkovsky // - Moscow, Academia (in Russia) - 2006. - 896 p.

2. Бушов Ю.В. Фазовые взаимодействия между ритмами ЭЭГ: связь с когнитивными процессами и механизмами сознания. / Ю.В. Бушов, М.В. Светлик // Международный научно-исследовательский журнал. - 2013. - № 8 (15). - С. 79-82.

3. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт // - М.: «Институт компьютерных исследований». - - 656 c.

4. Короленко П.В. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования / П.В. Короленко // - М.: Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова. - 2004. - 82 с.

5. Иванов В.В. Kомпактные детерминистические гибридные структуры на основе двух взаимопроникающих фрактальных подрешеток на квадратной сетке / В.В. Иванов // Международный научно-исследовательский журнал. - 2013. - № 7 (14). - С. 30-31.

6. Частоколенко Я.Б. Фрактальность спонтанного творчества / Я.Б. Частоколенко // Сибирский психологический журнал. - 2008. - №30. - С. 70-74.

7. Yannick J. Some reflections on the relevance of fractals for art therapy / J. Yannick // The Arts in Psychotherapy. Elsevier Inc. - - № 33. - Р. 143-147.

8. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов / Х.-О. Пайтген, П.Х. Рихтер // - М.: Мир. -1989. - 176 c.

9. Красота и мозг. Биологические аспекты эстетики. под ред. И.Ренчлера, Б. Херцбергер, Д. Эпстайна. - М.: Мир. - 1995. - 335 c.

10. Averchenko A.V. IEEE Progress in Electromagnetic Research Symposium Proceedings. / A.V. Averchenko, P. V. Korolenko, A.Yu. Mishin- 2017.

11. Короленко П.В. // Здоровье и образование в ХХI веке / П.В. Короленко, А.А. Каштанов, А.Ю. Мишин // - 2017. -19(2). - С.

12. Николаева Е.И. Психофизиология. Психологическая физиология с основами физиологической психологии / Е.И. Николаева // «Когито-Центр» - 2008. - 293 с.

13. Анохин К.В. Когнитом - гиперсетевая модель мозга / К.В. Анохин // Отдел нейронаук НИЦ «Курчатовский институт» 2015. http://neuroinfo.ru/

Размещено на Allbest.ru