Аппроксимация и интерполяция волновых сигналов в базисе окаймляющих функций при исследовании механических и иных физических полей

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

На разных этапах регистрации и моделирования сигналов волновых и резонансных изменений механических и физических полей используют преобразования сигналов к частотам дискретизации, отличным от используемых при измерении. Решение последней задачи осуществляют на основе интерполяции (аппроксимации) сигналов с преобразованием исходного сигнала, измеренного с частотой дискретизации w1 в идентичный ему сигнал с более высокой частотой дискретизации w2 .При этом задаются требуемым отношением частот L = w1/w2 или коэффициентом интерполяции.

К существующим подходам решения указанной задачи относят интерполяцию сигналов с использованием:

· цифровых фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ) и полифазных структур на основе этих фильтров;

· интерполирующих полиномов Лагранжа, Чебышева, Лежандра, тригонометрических полиномов различного вида, а также иных систем ортогональных базисных функций;

· статистических подходов и моделей;

· базисных функций Котельникова-Шеннона, ядер Дирихле и предлагаемых в [1, С.54] [2, С. 47] окаймляющих функций.

Кратко охарактеризуем перечисленные подходы. Нерекурсивные, симметричные цифровые фильтры с КИХ, описываются передаточной функцией вида

где x (z), xи(z) - z-изображения преобразованного входного x[kT/L], k = 0,1,2,… и xи[kT/L], k = 0,1,2,… сигналов фильтра; - коэффициенты фильтра низкой частоты, обеспечивающие частоту среза р/T рад/c; - порядок фильтра. Перед использованием фильтра исходный входной сигнал x[kT], k = 0,1,2,… добавляя между его отсчетами по L - 1 нулевому отсчету. Это обстоятельство делает невозможным использование фильтров с КИХ в случае дробного значения L. Кроме того, цифровой фильтр не обеспечивают точного восстановления непрерывного сигнала по дискретным отсчетам или точной интерполяции сигнала, даже в случае выполнения условий теоремы дискретизации Котельникова, из-за не идеальности амплитудно- и фазо-частотных характеристик получаемого фильтра. Использование полифазных структур на основе переключающихся фильтров с КИХ также не решает перечисленных проблем.

Полиномы Лагранжа, Чебышева, Лежандра и другие, а также иные системы ортогональных базисных функций иногда применяются при интерполяции дискретных сигналов, особенно в случае нерегулярной дискретизации и восстановления сигналов. Однако если выбор частоты дискретизации сигналов осуществляют на основе теоремы дискретизации, что связано с гармоническим (частотным) представлением сигналов, использование полиномов для восстановления таких сигналов не вполне логично и в общем случае не обеспечивает точного его восстановления даже при выполнении указанной теоремы. Правомерно и адекватно применение в этом случае тригонометрических полиномов различного вида, в частности, представления в форме ряда Фурье.

Возможны статистические подходы и модели при интерполяции дискретных сигналов, в частности, модели случайных импульсных потоков, однако они применимы только при достаточном статистическом материале о сигнале, позволяющем использовать теорию вероятностей, теорию случайных функций, математическую статистику.

При детерминированной постановке задачи интерполяции наиболее соответствующими условиям теоремы дискретизации являются формулы, построенные на основе базисных функций Котельникова-Шеннона, ядер Дирихле и описываемых окаймляющих функций.

Исследования показали, что лучший результат при интерполяции конечного во времени сигнала x(t) с ограниченным спектром по измеренным равномерным отсчетам дает использование окаймляющих функций , предложенных в [1, С.54] [2, С. 47]. Формула интерполяции в этом случае имеет вид

нерекурсивный цифровой импульсный теорема

(1)

Основными преимуществами формулы (1) является:

· получение гладкого неразрывного интерполируемого сигнала xint (t) без точек неопределенностей значений (разрывов);

· тригонометрическое представление окаймляющих функций определяет согласованность с условиями теоремы дискретизации;

· возможность быстрой вычислительной реализации интерполяции сигналов без предварительного вычисления спектра или коэффициентов разложения сигнала; подобно интерполирующему полиному Лагранжа, позволяющему осуществлять интерполяцию без предварительного вычисления коэффициентов, непосредственно «по узлам», но только в тригонометрическом базисе.

Выражение (1) условно можно рассматривать, как описывающее цифровой восстанавливающий фильтр не рекурсивного типа. Импульсная характеристика этого фильтра при этом совпадает с окаймляющей функцией , а амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) такого фильтра соответствует АЧХ идеального восстанавливающего фильтра низкой частоты. Это подтверждает, что (1) осуществляет абсолютно точное восстановление (интерполяцию) конечного сигнала по дискретным отсчетам, если они были выбраны в соответствии с условиями теоремы отсчетов Котельникова-Шеннона. В случае не полного выполнения этого условия (наличие не нулевых высокочастотных составляющих выше частоты дискретизации пополам ws/2 формула реализует аппроксимацию сигнала.

Предлагается модификация выражения (1) вида

позволяющая помимо точной интерполяции (аппроксимации) осуществлять одновременно фильтрацию сигнала , т.е. исключение из сигнала шумовых частотных составляющих. При этом в формуле ѓ1 и ѓ2 - относительные частоты среза фильтра задающие полосу пропускания фильтра (2) из полного частотного диапазона [0,0.5] или [0, ws/2]; ( ѓ1, ѓ2 ) - окаймляюще-фильтрующая функция первого рода.

Фильтрацию сигнала, осуществляемую с помощью выражения (2), назовем одновременнойпараллельной фильтрацией, т.к. при фильтрации используются одновременно все отсчеты сигнала отрезка наблюдения [0, Tc].

Выражение (2) определяет полосовой фильтр с полосой пропускания [f1, f2], однако небольшая ее модификация позволяет реализовать многополосные фильтры по формуле вида

(3)

где - окаймляюще-фильтрующая функция второго рода.

Индексы определяют номера гармоник, которые должны оставаться в фильтрованном и интерполированном сигнале. Эти индексы выбираются из диапазона номеров гармоник присутствующих в сигнале Индекс определяет необходимо ли уничтожить или оставить в сигнале постоянную составляющую. Каждый из индексов определяет присутствие в спектре функции , той или иной частотной составляющей с амплитудой равной единице.

Использование окаймляющих функций позволяет по новому сформулировать теорему отсчетов Котельникова-Шеннона для конечного сигнала x(t) с ограниченным спектром, заданным равноотстоящими отсчетами .

В отличие от известной теоремы отсчетов [3, С. 405] [4, С. 160] [5, С. 232] [6, С. 320] [7, С. 260], сформулированной только для бесконечного во времени сигнала x(t) и использующей формулу интерполяции на основе ядра Котельникова-Шеннона (sinc-функции), предложенная формула (1) использующая окаймляющие функции расширена и на случай интерполяции конечного во времени сигнала.

Более того, не сложно показать, что sinc-функция (ядро Котельникова-Шеннона) является частным предельным случаем предложенной окаймляющей функции при N > ? [8, С. 323].

Теорема отсчетов (для конечного во времени сигнала и равно отстоящих отсчетов). Конечный во времени непрерывный сигнал x(t), рассматриваемый на интервале наблюдения t?[0, Tc). как период бесконечного сигнала x(t) со спектром ограниченным полосой частот [0,ѓв] может быть точно восстановлен по формуле (1) на основе равноотстоящих дискретных значений x[kT], k=0,…,N-1 интервала наблюдения Tc=NT, выбранных с интервалом дискретизации T < 1/(2ѓв) и с использованием окаймляющих базисных функций .

Из предельной взаимосвязи sinc-функций и окаймляющих функций можно сделать вывод, что и общеизвестная теорема Котельникова-Шеннона [9, С. 402] [10, С. 130] [11, С. 253] может рассматриваться как частный случай при N > ? сформулированной выше теоремы отсчетов для конечного во времени сигнала.

Список литературы

1. Седов А.В. Уточнение теоремы дискретизации и формулы восстановления сигнала по дискретным отсчетам / А.В. Седов // Известия вузов. Электромеханика. - 2001. - № 2. - С.52-59.

2. Седов А.В. Интерполяция и фильтрация сигналов в многоскоростных микропроцессорных системах моделирования, контроля и управления. / А.В. Седов // Известия вузов. Электромеханика. - 2003. - № 4. - С. 45-50.

3. Shannon C.E. A Mathematical Theory of Communication / C.E. Shannon // The Bell System Technical Journal. - 1948. - July, October. - Vol. 27. - P. 379-423, 623-656.

4. Горелов Г.В. Нерегулярная дискретизация сигналов / Г.В. Горелов - М.: Радио и связь, 1982. - 255 с.

5. Трахтман А.М. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов / А.М. Трахтман - М.: Советское Радио, 1972. - 352 с.

6. Smith S.W. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing / S.W. Smith - California Technical Publishing, 1997 - 630 р.

7. Носач В.В. Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров / В.В. Носач - М.: МИКАП, 1994. - 382 с.

8. Седов А.В. Моделирование объектов с дискретно-распределенными параметрами: декомпозиционный подход / А.В. Седов - М.: Наука, 2010. - 438 с.

9. Shannon C.E. A mathematical theory of communication. / C.E. Shannon // Bell System Tech. J. - 1948. - № 27. - P. 379-423.

10. Котельников В.А. О пропускной особенности «эфира» и проволоки в электросвязи / В.А. Котельников // Матер. к I Всесоюзн. съезду по вопросу реконструкции дела связи. - Изд. ред. упр. связи РККА, 1933.- C.128-133.

11. Whittaker J.M. Interpolatory Function Theory / J.M. Whittaker -Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1935. - 320 p.

Размещено на Allbest.ru