Идентификация человека по длине его волны. Биометрия будущего

Размещено на http://www.allbest.ru/

Государственное бюджетное общеобразовательное

учреждение города Москвы «Школа № 1905»

Исследовательская работа

«Идентификация человека по длине его волны. Биометрия будущего»



Аннотация

Тема работы: Квантовая физика. Волны де Бройля. Методы биометрии.

Направление: ФИЗИКА.

Авторы: ученик 9 «А» класса ГБОУ школы № 1905 Ковалевский Мирослав, ученица 9 «А» класса ГБОУ школы № 1905 Жилкина Анастасия.

Руководители проекта: М.И. Марущенко, В.В. Антонова.

Актуальность: Проект возможно осуществить лишь только в будущем, но задумываться о его реализации нужно сейчас.

Цели проекта:

1. Определить роль квантовой механики в современных методах биометрии.

2. Выявить преимущества и недостатки полученного способа идентификации.

3. Обозначить ценность гипотезы де Бройля.

Задачи:

1. Узнать, что такое волны де Бройля и корпускулярно-волновой дуализм.

2. Выполнить исследовательскую работу.

3. Изучить основные постулаты квантовой физики и принципы Гейзенберга.

4. Доказать доступность и необходимость в использовании.

5. Доказать преимущество перед устаревшими методами биометрии.

6. Привести наглядный пример вычисления длины волны человека.

7. Создать прибор в будущем, по мере поступления ресурсной базы знаний.

Объект исследования: волны де Бройля.

Гипотеза: возможность создания такого прибора, который смог бы идентифицировать личность человека по его длине волны.

Личная значимость:

1. Опыт работы с теорией квантовой физики.

2. Углубление знаний о современных методах биометрии.

3. Подтверждение гипотезы на конкретном примере.

4. Определение роли знаний о длине волны человека.

5. Определение ценности гипотетического прибора.

Практическое значение:

1. Усовершенствовать методы современной биометрии человека.

2. Провести исследования длин волн людей.

3. Составление общей картины предложенного метода биометрии.

4. Создание формулы-шаблона для определения длины волны.

5. Выявление недостатков и преимуществ данного метода биометрии.

Результаты исследований:

1. Подтвердили поставленную гипотезу.

2. В ходе работы была определена роль волн де Бройля в физике.

3. Выявлены и обоснованы преимущества и недостатки прибора.

4. Обозначена ценность прибора для определения длины волны человека.

5. Произведено ознакомление с основной теорией квантовой физики.

6. Выполнена практическая часть с примерами измерений.

Время реализации проекта: не обозначено в данный момент.



Содержание

Введение

Теоретическая часть

Глава I

1. Гипотеза де Бройля. Волны де Бройля

2. Принцип неопределенностей Гейзенберга

3. Статистический смысл волн де Бройля. Волновая функция

Глава II

4. Основные постулаты квантовой механики. Уравнение Шредингера

Практическая часть

Глава III

5. Создание прибора для идентификации человека

6. Практическое исследование

Заключение

Список литературы и источников сети



Введение

Пытливость ума и неподдельный интерес к физике привели нас к изучению такого раздела этой науки, как квантовая механика. Изучив ее основные постулаты, узнав о корпускулярно-волновом дуализме и о теории Луи де Бройля, перед нашим воображением предстал образ аппарата, который в будущем упростил бы нашу жизнь и пришел на смену устаревшим технологиям идентификации личности.

Работая над данным проектом, мы ожидаем получить теорию о совершенно новом продукте, который бы мог быть доработан и реализован в будущем.

Преимущество данной разработки заключается в том, что все биометрические данные со временем изменяются, даже рисунок на кончиках пальцев можно видоизменить, деформировать или даже подделать. Но на длину волны собственного тела повлиять сложнее. И даже если подобные аппараты не подойдут для упрощения работы правоохранительных органов, то их возможно использовать как идентифицирующие устройства в местах с ограниченным доступом.



Теоретическая часть

Глава I.

1. Гипотеза де Бройля. Волны де Бройля

Анализ всей совокупности опытных данных об оптических явлениях привел к понятию корпускулярно-волнового дуализма света. Такие оптические явления, как дифракция и интерференция, хорошо объясняются с позиции волновой природы света, в то время как фотоэффект, тепловое излучение и ряд других явлений свидетельствуют о том, что свет представляет собой поток частиц-фотонов.

В 1924 г. выдающийся французский физик Луи де Бройль выдвинул смелое предположение о том, что корпускулярно-волновой дуализм является универсальным свойством материи. По гипотезе де Бройля вещество и, прежде всего элементарные частицы, обладают волновыми свойствами. Отсюда следует, что проявляющий волновые свойства электрон должен при рассеянии в определенных условиях давать интерференционную картину.

По идее де Бройля движение любой элементарной частицы связано с волновым процессом.

Длина волны такой частицы, как и фотона, определяется следующим образом:

				(1.1)
где:	p - импульс движения частицы,
	h=6,62·10-34 Дж·с - постоянная Планка.

Формула (1.1) - математическое выражение гипотезы де Бройля. Эти волны получили название волн де Бройля.

Учтем, что импульс движения электрона равен:

		p = mev,
где:	me - масса электрона,
	v - скорость электрона.

Тогда выражение (1.1) для электрона примет вид:

Каков физический смысл волн де Бройля, связанных с движущимися частицами, например с электронами?

Волны де Бройля не имеют аналогов в классической физике. Они имеют квантовую природу.

Волны де Бройля не связаны с распространением какого-либо электромагнитного поля. Например, с заряженной частицей, движущейся равномерно, не связано распространение электромагнитного поля, в то время как волновые свойства (электрона) проявляются и в этом случае.

Волны де Бройля имеют статистический (вероятностный) характер. Интенсивность волн в данной точке пространства определяет количество электронов, попавших в эту точку за одну секунду.

Волна де Бройля описывает движение материальной частицы, но не дает никаких сведений о том, что принято называть «структурой» микрочастицы (электрона).

Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля нашло свое отражение в многочисленных опытах:

в 1927 г. К. Дэвиссон и Л. Джермер исследовали отражение электронного пучка от монокристаллов Ni и показали возможность дифракции для электронов; независимо от них, а также независимо друг от друга ученые П. Томсон и П.С. Тартаковский провели опыты по дифракции электронов на тонкой поликристаллической фольге;

в 1949 г. Л.М. Биберман, Н.Г. Сушкин и В.А. Фабрикант исследовали явление дифракции единичных электронов и установили, что волновые свойства присущи каждому движущемуся электрону.

Эти опыты по дифракции являются экспериментальным подтверждением волновых свойств микрочастиц. Микрочастицами принято называть такие частицы, которые проявляют волновые свойства. К ним относятся элементарные частицы (электроны, протоны, нейтроны и т.д.), а также атомы, ядра и молекулы.

Почему более крупные объекты, например, пылинка в воздухе или движущаяся пуля не обнаруживают волновых свойств? Это легко показать. Найд?м длину волны де Бройля для движущейся пули. Масса пули равна 10 г (0,001 кг), скорость е? движения равна 100 м/с.

Тогда:

Такую длину волны никаким дифракционным методом обнаружить не удается. Напомним, что длина волны де Бройля движущегося электрона в опыте Дэвисона и Джермера равна 1,67·10-10м.

Таким образом, волновые свойства макрочастиц не проявляются из-за того, что для них очень мала длина волны.

Термин «микрочастица» отражает только одну сторону свойств микрообъекта, так как последний представляет собой образование особого рода, сочетающее в себе свойства и частицы, и волны, и в то же время не являющееся ни частицей, ни волной. Сам термин «микрочастица» используется только в силу недостаточно развитой терминологии и отсутствия соответствующего синонима. Микрообъект не может воздействовать на наши органы чувств непосредственно. Его поведение может наблюдаться только с помощью прибора, поэтому комплекс прибор-микрообъект по современным представлениям неразделим, причем конструкция прибора не играет, разумеется, никакой роли; эксперимент может быть даже мысленным. К микрообъектам абсолютно не применимы классические представления, невозможно построить наглядные модели их поведения, и при их изучении приходится прибегать к разного рода абстракциям.

Для микрообъекта, прежде всего, характерно то, что для него невозможно одновременно определить точное значение координаты и импульса (волна -«размазанный» объект в пространстве). Для него отсутствует понятие траектории, так как траектория, по определению, есть совокупность одновременно измеряемых координат и импульсов. Тем не менее, при определенных обстоятельствах микрообъектам можно приближенно приписать траекторию (в камере Вильсона частицы оставляют туманный след; в ускорителях и электронных микроскопах электроны движутся по хорошо определенным траекториям). Однако, если размеры области, в которой локализован микрообъект, соизмеримы с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля, то траекторию в принципе ввести невозможно. В компактной форме это необычное свойство микрообъектов было сформулировано в 1927 году немецким физиком Вернером Гейзенбергом в виде принципа неопределенности.

2. Принцип неопределенностей Гейзенберга

В классической механике состояние материальной точки задается координатами, импульсом, энергией и т.д., причем все эти величины могут быть измерены одновременно и со сколь угодной точностью. Однако для микрообъектов дело обстоит совершенно иначе. Природа микромира устроена так, что некоторые пары величин не могут быть измерены одновременно точно, то есть погрешности измерения этих сопряженных величин не могут быть уменьшены одновременно до сколь угодно малых значений. Так, например, не могут быть одновременно измерены координата x и проекция импульса px, у и py, z и pz и т.д. То есть произведение погрешностей измерений (?х ?px), (?y ?py), (?z ?pz), не могут быть сколь угодно малыми.

В. Гейзенберг, выдающийся немецкий физик, сформулировал это утверждение в виде принципа неопределенностей:

				(2.1)
где:

Величины, связанные соотношениями, подобными (2.1) называются канонически сопряженными. В применении к микрочастицам понятия определенного положения в пространстве и траектории теряют смысл.

Движение по определенной траектории несовместимо с волновыми свойствами микрочастиц.

В соответствии с принципом неопределенностей при увеличении точности в измерении координат, неопределенность в определении соответствующего импульса неограниченно растет.

Принцип неопределенностей, однако, не запрещает сколь угодно точно измерять или только координату, или только импульс микрочастицы. Кроме координат и импульса, невозможно точно одновременно измерять время и энергию. Для этих величин принцип неопределенностей может быть записан как:

				(2.2)

Принцип неопределенности сыграл весьма важную роль при создании теории микромира, получившей название квантовой или волновой механики.

Таким образом, принцип неопределенностей устанавливает пределы, за которыми принципы классической физики становятся неприемлемыми.

Чтобы понять, почему эксперимент с микрочастицами не дает большей точности в определении координат и импульса, чем позволяет принцип неопределенностей, предположим, что необходимо точно определить положение электрона, летящего в пучке со скоростью V и импульсом p.

На пути пучка находится щель шириной a. Ширина щели сравнима с длиной волны де Бройля для электрона. За щелью находится экран, на котором наблюдается дифракционная картина. Рассмотрим центральный максимум на дифракционной картине. Максимумами высшего порядка по сравнению с ним можно пренебречь. Тогда положение первого минимума определяется следующим соотношением:

				(2.3)

квантовый механика биометрия волна

Так как каждый электрон до щели движется в пучке перпендикулярно щели вдоль оси x, то составляющая импульса на ось x равна нулю, а координата x имеет совершенно неопределенное значение. В момент прохождения электрона через щель положение изменяется. В определении координаты электрона теперь имеется неопределенность, зависящая только от ширины щели:

		?x = a.

Вместо полной неопределенности координаты x появляется неопределенность ?x, но это достигается ценой утраты определенности значения px. Вследствие явления дифракции имеется некоторая вероятность того, что электрон будет двигаться в пределах угла 2?. Здесь ? - угол, соответствующий первому дифракционному минимуму. Максимумами высших порядков можно пренебречь, их интенсивность мала по сравнению с интенсивностью центрального максимума. Из-за дифракции появляется составляющая импульса, неопределенность которой зависит от угла ?:

		?px = p sin?.
Учитывая (2.3), получаем:
				(2.4)



Этот результат соответствует соотношению (2.1) и, следовательно, подтверждает справедливость принципа неопределенностей.

3. Статистический смысл волн де Бройля. Волновая функция

Как уже было сказано, состояние классической частицы может быть точно задано с помощью строго определенных значений координат, импульса, энергии и т.д. Согласно принципу неопределенности такое задание состояния невозможно для микрообъектов для описания их поведения в различных ситуациях.

Гипотеза де Бройля о волнах, сопровождающих движение материальных тел, в дальнейшем была обобщена. Было предложено описывать поведение частиц с помощью некоторой комплексной функции координат и времени ? (х, у, z, t). Естественно, что немедленно возник вопрос о физическом смысле ? - функции. Довольно скоро было понято, что волна, описываемая ? - функцией, не может быть материальной. Так, например, движущийся к фотопластинке электрон сопровождается ? - волной. В момент падения на фотопластинку электрон мгновенно поглощается, следовательно, волна должна мгновенно стянуться в точку. Но никакое материальное тело не может перемещаться "мгновенно”, то есть быстрее скорости света - это запрещено фундаментальными принципами теории относительности. Некоторое время физический смысл ? - функции был неясен, а предлагаемые трактовки не выдерживали проверки. Приемлемую трактовку ? - функции дал М. Борн в 1926 г. Согласно М. Борну физический смысл имеет не сама ? - функция, а квадрат ее модуля, который определяет вероятность d? того, что частица находится в объеме пространства dV:



		d? = |?|2dV.		(3.1)
где:		|?|2 = ?·?*,
где:	?* - сопряженное значение функции ?.

Из (3.1) следует:

Величина называется плотностью вероятности и определяет вероятность обнаружения микрочастицы в данной точке пространства. Другими словами, величина плотности вероятности, определяет интенсивность волн де Бройля. Поэтому волны де Бройля называют волнами «вероятности».

Так как вероятность того, что частица находится где-то во всем объеме V, равна единице, то интеграл от (3.1) равен:

				(3.2)

Равенство (3.2) называется условием нормировки. Оно означает, что пребывание в какой-то точке пространства есть достоверное событие. Из смысла ? - функции вытекает, что квантовая механика имеет статистический характер. В квантовой механике нельзя утверждать, что частица находится в данной точке, можно лишь определить вероятность того, что частица находится в объеме dV вокруг заданной точки. На первый взгляд может показаться, что квантовая механика менее точно описывает действительность, чем классическая, где положение и импульсы частиц одновременно точно заданы, а уравнения движения позволяют точно предсказать динамику движения материальных тел. На самом деле это не так. Квантовая механика гораздо глубже вскрывает и предсказывает истинное поведение микрочастиц, тогда как классическая механика с её детерминированностью, в принципе, не применима к микромиру. Многочисленные приложения доказали правильность квантовой механики, тогда как многочисленные альтернативные варианты теорий микромира либо не выдержали проверки практикой, либо оказались частными случаями квантовой механики.

С помощью волновой функции в квантовой механике можно вычислить средние значения физических величин, которые характеризуют данный микрообъект.



Глава II

4. Основные постулаты квантовой механики. Уравнение Шредингера

Основные постулаты квантовой механики:

1. Принцип неразличимости частиц.

В микромире нет возможности экспериментировать над отдельными микрообъектами, как это можно делать в классической физике (в макромире). Квантовая механика использует квантовые ансамбли.

Квантовый ансамбль - совокупность микрообъектов, тождественных по природе и находящихся в состояниях, приготовленных одинаковым образом.

Таких объектов в опыте должно быть много и объекты не должны быть связаны друг с другом.

Примером такого ансамбля является поток электронов, создаваемых в опыте Дэвиссона и Джермера.

2. Волновая функция как характеристика микрообъектов.

Движение и состояние микрообъектов описывается волновой функцией ?(x, y, z). Задание ? - функции определяет положение частицы в пространстве. Функция ? - непрерывная, конечная, однозначная и удовлетворяет условию нормировки (3.2).

3. Микрообъекты подчиняются статистическим законам.

Законы квантовой механики имеют статистический характер, т.е. это законы больших чисел.

4. Средние значения физических величин в микромире.

Вычисление средних значений физических величин для объектов в микромире производится с помощью волновой функции следующим образом:



Здесь x и f(x) - некоторые физические величины.

5. Принцип суперпозиции.

Если имеются две волновые функции ?1 и ?2, то существует также их линейная комбинация:

		? = a?1 + b?2,		(4.2)
где:	a и b - некоторые константы.

6. Линейные операторы.

Физические величины описываются линейными операторами.

Любое правило, с помощью которого изменяются функции, называется оператором.

Приведем примеры операторов.

		sin f(x) = ?(x),
Здесь синус - это оператор.

Обозначим оператор буквой L, тогда можно, например оператор возведения в квадрат записать так:



Линейные операторы удовлетворяют следующим условиям.

Оператор можно применять почленно:

				(4.3)

Константу можно выносить за знак оператора.

				(4.4)

Так, например, в квантовой механике широко используется оператор Лапласа. Он обозначается знаком и представляет собой следующее действие:

				(4.5)

Оператор кинетической энергии микрочастицы массой m в квантовой механике вычисляется через оператор Лапласа и представляется следующим образом:

7. Собственные функции и собственные значения

Пусть f некоторая физическая величина, используемая как оператор. Тогда запишем следующее выражение:



				(4.6)

Может быть, что f0 пробегает ряд значений: f01, f02, f03, ... .

Этим собственным значениям соответствуют и собственные функции: ?1, ?2, ?3, .... Тогда принято обозначать так:

{f0} - совокупность собственных значений,

{?n} - система собственных функций

В квантовой механике всякой физической величине ставится в соответствие линейный оператор, так что спектр собственных значений оператора совпадает с наблюдаемыми значениями физической величины.

Уравнение Шредингера

Как обсуждено выше, волновая функция ? - это функция, которая полностью определяет состояние микрочастицы. Возникает вопрос: как найти эту функцию? В 1926 г. Эрвин Шр?дингер написал уравнение, которое явилось математическим фундаментом всей квантовой механики. Решая это уравнение для различных внешних полей, в которых движется микрочастица, и для различных граничных условий, можно найти ? - функцию и определить поведение микрообъекта в заданных внешних условиях.

В общем виде уравнение Шр?дингера может быть записано так:

				(4.8)



Функция ? является однозначной, непрерывной конечной и удовлетворяет условию нормировки, как уже обсуждалось выше, и

Уравнение Шр?дингера постулируется, но его справедливость доказывается тем обстоятельством, что следствия из этого уравнения самым точным образом согласуются с опытными данными. Из уравнения (4.8) следует, что ? - функция полностью определяется видом функции U(x, y, z, t).

Уравнение (4.8) называется иначе временным уравнением Шредингера и является основным уравнением квантовой механики. Волновая функция ?(z, y, z, t), являющаяся решением уравнения Шр?дингера, содержит всю информацию о поведении микрообъектов в заданном силовом поле.

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то есть не зависит от времени, то решение уравнения Шр?дингера разбивается на произведение двух сомножителей, один из которых зависит только от времени, а другой только от координат:

				(4.9)

где:

E - полная энергия частицы, которая в стационарном поле остается постоянной.

Подставляя (4.9) в (4.8), получим после простых преобразований стационарное уравнение Шр?дингера



Практическая часть

Глава III

5.Создание прибора для идентификации человека

Основываясь на приведенной выше теории, пользуясь гипотезой Луи де Бройля и выведенной им формулой (1.1), мы решили создать такой прибор, который смог бы определять личность человека по его физическим свойствам.

Внимательно изучив формулу, мы можем сделать вывод, что длина волны частицы прямо пропорциональна постоянной Планка и обратно пропорциональна произведению массы частицы на ее скорость. Именно этот вывод позволил нам вообразить, что в далеком будущем человечество сможет забыть об уже на тот момент устаревших системах распознавания людей по физическим и поведенческим чертам. Мы представили такой прибор, который предоставил бы нам возможность идентифицировать личность человека по длине его волны.

6. Практическое исследование

Первым делом мы решили узнать длину своей волны путем математических вычислений (наши значения:1 и 2).

				(1.1)



(за среднюю скорость движения человека мы приняли 5 км/ч)

Полученные результаты дали нам понять, что длины наших волн слишком малы, и в настоящее время не существует таких приборов, которые смогли бы считать настолько короткую волну.

Конечно же, мы можем надеяться на прогресс и на то, что в будущем появятся и такие приборы, но на данный момент этот вопрос требует более актуального решения.

Поэтому мы решили уделить большее внимание формуле и ее составляющим. Исходя из того, что длина волны де Бройля обратно пропорциональна скорости и массе, мы можем представить такой аппарат, который будет считывать скорость данного человека и его массу, а затем, производя математические вычисления, получать длину его волны.

Однако, как только мы представили этот прибор в действии, мы сразу же обнаружили огромный пробел во всей системе - ведь может случиться так, что масса и скорость двух совершенно разных людей может совпасть. Сначала это ввело нас в ступор, но мы начали думать над тем, как решить эту проблему, и пришли к выводу, что можно представить массу как произведение плотности на объем тела. Зная, что объем может высчитываться по формуле: «длина·ширина·высота», мы решили рассмотреть человека как математическую модель.

Издревле люди создают фигуры идеального, в их представлении, тела. Так, взяв за эталон размер какой-либо определенной части тела в процентных соотношениях, они рассчитывали объемы остальных. В нашем случае мы рассчитываем от размера окружности груди, который равен X см, тогда в идеале объем шеи должен равняться 0,38Х см, бицепса, в напряженном состоянии - 0,36X см, бедра - 0,6X см, голени - 0,4X см, предплечья - 0,305X см, и талии - 0,75X см. Зная эти соотношения, можно рассчитать оптимальные для каждого человека размеры тела.

Наши вычисления:

V головы Объем шара С - обхват головы	V туловища Объем прямоугольного параллелепипеда	V рук Объем прямоугольного параллелепипеда	V ног Объем прямоугольного параллелепипеда	V подошвы Объем прямоугольного параллелепипеда	V тела
C=55 см	A=23 см	A=8 см	A=11 см	A=26 см	V=0,049097м3
R=С/2р= 8,76 см	B=17 см	B=8 см	B=10 см	B=8 см
	C=55 см	C=61 см	C=64 см	C=7 см
V=4/3·р·R3= =2814,36 см3= =0,0028 м3	V=23·17·55= =21505 см3 = 0,021505 м3	V=8·8·61·2= =7808 см3= =0,0078 м3	V=11·10·64·2= =14080 см3= =0,01408 м3	V=26·8·7·2= =2912 см3= =0,002912 м3

Масса тела: 50 кг;

Плотность: 50/0,049097=1018,4 кг/м³

Получается, что в нашей системе присутствует слишком много параметров, и шанс того, что все они совпадут очень мал (если мы получаем равные длины волн, то начинаем сравнивать по каждому из параметров отдельно).

Но, все-таки шанс есть, а так как он не стремится к нулю, эта система не является идеальной сегодня, ведь на данный момент времени мы не располагаем всей необходимой ресурсной базой, но мы более чем уверенны, что в ближайшем будущем, пользуясь новыми открытиями в области квантовой физики, мы сможем доработать этот проект и представить прототип инструмента для идентификации человека по длине его волны.



Заключение

В итоге мы получили огромное количество информации по методу биометрии будущего через длину волны человека. Но все же, к нашему сожалению, знаний для создания прибора до сих пор не хватает. Мы очень надеемся, что в скором времени они непременно появятся, и мы начнем воплощать нашу исследовательскую работу в полноценный проект.

Для себя мы узнали много нового и получили удовольствие, во время работы с теорией квантовой физики. Теперь мы имеем представление о волнах де Бройля и об основах корпускулярно-волнового дуализма.

На вопрос, есть ли у проекта будущее, мы однозначно ответим, что, да, будущее безусловно есть. Есть так же над чем нужно поработать, что-то нужно довести до совершенства, что-то новое нужно и вовсе добавить.

Проведя анализ ситуации в мире, мы выяснили, что в некоторых странах (Россия и Великобритания) ведутся разработки схожих с нашим приборов. Мы верим, что когда несколько государств объединят усилия, станет возможным добиться реализации в более короткие сроки. Теперь мы знаем, что будущее начинается уже сегодня!



Список литературы и источников сети

1. А. А. Детлаф, Б. М. Яворский

«Курс Физики. Физические основы механики», 2000 г.

2. Геворкян Р. Г. «Курс Физики»

3. https://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2015/08/30/kak-vychislit-plotnost-i-obyom-chelovecheskogo-tela-s-tochki-zreniya-0

4. http://www.germany-electric.ru/331

5. http://www.wikiznanie.ru/ru-wz/index.php/%D0%94%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B_%D0%B4%D0%B5_%D0%91%D1%80%D0%BE%D0%B9%D0%BB%D1%8F

Размещено на Allbest.ru

...