Размещено на http://www.allbest.ru/

Исследование процессов распространения лесного пожара методами стохастического анализа

Ю.А. Абрамов, д-р техн. наук, профессор, проректор АПБУ,

Л.В. Мигунова, канд. техн. наук, доцент, АПБУ,

А.А. Тарасенко, ст. преподаватель, АПБУ

В работе сравнивается детерминированный и вероятностный подход к построению моделей распространения лесных пожаров. Предложена стохастическая модель, обобщающая собой детерминированное описание. Показаны преимущества такого подхода.

Постановка проблемы. Распространение лесных пожаров по обширным площадям свидетельствует о недостатке сил и средств для их своевременной локализации. Поэтому имеющиеся людские и технические возможности необходимо использовать с большей эффективностью. Меры по решению данной проблемы обозначены в Государственной программе обеспечения пожарной безопасности на период до 2010 года.

Эффективность проведения профилактических и оперативно-тактических мероприятий по предотвращению распространения лесных пожаров напрямую зависит от точности, своевременности и объема информации, получаемой в результате мониторинга и прогноза динамики чрезвычайных лесопожарных ситуаций (ЧЛПС) [1]. Получить такой прогноз можно используя математические модели развития лесных пожаров.

Анализ последних достижений и публикаций. Существующая по данной тематике литература демонстрирует широкий спектр предметов и объектов исследования и посвящена моделированию различных физических и геометрических характеристик лесного пожара [2-10]. По назначению модели можно разделить на три класса: фундаментального уровня, оперативно-тактического и стратегического. Наиболее ценные с практической точки зрения оперативно-тактические модели используют аналитические и имитационные методы. Данные модели отличаются разнообразием используемых приемов, но для подавляющего большинства из них характерен детерминированный подход. Отличительной особенностью при этом является описание распространения пожара по кусочно-однородной области, все пирологические характеристики которой принимают свои средние на каждой из подобластей значения. Препятствия и границы подобластей задаются в виде многоугольников [8, 9, 10] (иногда криволинейных [2]) координатами своих вершин либо сторонами, что предполагает наличие резкой пространственной дифференциации лесопирологических характеристик, что далеко не всегда имеет место. При этом, естественно, невозможно учесть т.н. «мозаичную» неоднородность лесных массивов, и различия в этом случае нивелируются за счет усреднения. Таким образом, для детерминированного описания характерно игнорирование влияния пространственных флуктуаций пирологических характеристик на процесс распространения лесного пожара, в связи с этим частично теряется прогностическая ценность получаемой информации. Кроме того, к недостаткам детерминированных моделей следует отнести то, что точность их определяется степенью детализации, закладываемой в них на входе информации. Это приводит к необходимости оптимизации ее количества в каждом конкретном случае. Кроме того, по утверждению авторов данных моделей, они являются моделями оперативно-тактического назначения, т.е. дают краткосрочный прогноз, но, поскольку авторы не приводят зависимости значений погрешностей от времени, данное утверждение ниоткуда не следует.

Альтернативой детерминированному подходу является стохастический. Примерами в этой области могут являться модели [3, 5, 7]. При этом [7] не оперирует понятием скорости распространения огня и тем самым не является моделью оперативно-тактической. Кроме того, данная модель базируется на большом числе допущений. Модель [5] более реалистична, но в противовес ей же автор в [2] развивает иной подход и в дальнейшем не рассматривает влияние флуктуаций скоростеобразующих факторов на сам прогноз и погрешности прогноза. Таким образом, из всех известных моделей ни одна не рассматривает вопрос о точности получаемой прогностической информации.

Вместе с тем вопрос о влиянии пространственных флуктуаций на точность прогноза может быть решен лишь в рамках стохастических моделей, поскольку при детерминированном задании параметров среды вторые моменты не учитываются.

Постановка задачи и ее решение. В связи с этим актуальна задача построения математической модели, принадлежащей к классу стохастических описаний, использование которой открывает возможности определить интегральные характеристики лесного пожара и при этом учесть случайные неоднородности пространственного распределения лесопирологических параметров, а также найти зависимость точности значений этих характеристик от времени прогноза.

Вероятностная модель распространения лесного пожара. Проводником горения низового лесного пожара является пространственно неоднородно распределенный ЛГМ. Среди физических характеристик слоя ЛГМ можно выделить т.н. скоростеобразующие факторы: запас w0, теплотворную способность h, толщину горючего слоя , влагосодержание M, долю негорючей компоненты Se, характерные размеры частиц, формирующих слой. Данные факторы, согласно [11], влияют на скорость распространения огня V. Естественно, что все вышеперечисленные физические параметры в реальных условиях (в отличие от лабораторных) подвержены пространственным флуктуациям и таким образом являются случайными полями. Если принять в качестве допущения, что случайные значения каждой из вышеназванных характеристик не зависят от пространственного расположения точки, в которой рассматриваются данные характеристики, то такие поля являются однородными, т.е. плотность вероятности случайной величины - значения i-ой характеристики одинакова в каждой точке. Таким образом, случайные поля аппликат скоростеобразующих факторов можно задать законом распределения с известными (получаемыми в виде замеров) средними и дисперсионными значениями и корреляционной функцией. Следует отметить, что существующие лесотаксационные описания оперируют в основном усредненными значениями физических параметров Хi (т.е. МХi,), пренебрегая данными о разбросе этих значений Хi.

Знание средних значений физических параметров слоя ЛГМ позволяет, используя существующие модели, получить среднюю скорость распространения огня MV= как функцию этих параметров =f(w0, h, , , M, Se). Нами в качестве таковой выбрана экспериментально-теоретическая модель скорости Ротермела [11], которая по многочисленным отзывам является лучшей среди такого класса моделей. При этом мы исходим из того факта, что данная модель, получаемая в лабораторных условиях, не учитывает факта наличия пространственных флуктуаций скоростеобразующих факторов, которые имеют место в реальных условиях. Исходя из представлений о случайном характере распределения данных характеристик, и полагая, что между собой они не коррелированны, мы находим дисперсию скорости распространения огня v2 по формуле [12]

, (1)

где Хi- каждый из скоростеобразующих факторов.

Найдя таким образом значение математического ожидания и дисперсии радиальной скорости распространения огня, и, учитывая, что распространение пожара происходит по однородному случайному полю, можно утверждать, что радиальная скорость распространения представляет собой стационарный случайный процесс (СП) V(t). Кроме того, поскольку формирование значения скорости происходит под воздействием большого количества факторов, можно предположить нормальный характер данного процесса. Тогда скорость V(t) будет задана плотностью вероятности

fv = , (2)

где, в силу стационарности,

MV(t) = = const, (3)

DV(t) = v2 = const. (4)

Поскольку радиальная скорость не может принимать отрицательные значения (пожар - необратимое явление), а функция нормального распределения задана на всей числовой оси, то на значения MV(t) и DV(t) следует наложить ограничение, - в частности, будем полагать, что вероятность появления отрицательных скоростей исчезающе мала (правило «трех »), т.е.

MV(t) > 3. (5)

В силу (1) следует, что ограничением предлагаемой модели являются такие значения моментов случайных полей физических параметров, которые удовлетворяют требованию (5).

Кроме того, будем полагать, что корреляционная функция стационарного СП V(t) имеет вид

Kv(t1,t2) = Kv(t2 - t1) = Kv() = , (6)

где , - константа, численное значение которой указывает на силу корреляционной связи случайных величин - скоростей V(t1) и V(t2) и является функцией от радиусов корреляции случайных полей и средней скорости .

Поскольку в приводимых рассуждениях не учитывается влияние скорости ветра и рельефа, то радиальная скорость не является функцией угла, т.е. одинакова по всем направлениям.

Поэтому рассмотрим область пожара как круг радиуса R(t). При этом полагаем, что в начальный момент времени t0 = 0 (момент обнаружения), площадь пожара (очага) равняется

S0 = r02. (7)

Радиус области пожара в момент t будет равен

R(t) = r(t) + r0. (8)

• В общем случае S0 и r0 случайные величины. Мы же будем исходить из неслучайности конкретной реализации фиксируемой наблюдателем площади и радиуса очага.
• Площадь пожара S(t) = [r(t) + r0]2, и с учетом (7)
• S(t) = [r(t)]2 + 2r(t)+ S0. (9)
• Зная характеристики случайного процесса V(t), можем найти характеристики случайного процесса r(t) - приращения радиуса пожара. Очевидно, что
• r(t) = . (10)
• Тогда математическое ожидание Mr(t) в силу линейности оператора интегрирования и с учетом (2) равно
• Mr(t) = M= ==. (11)
• Дисперсия стационарного случайного процесса равна
• Dr(t) = 2 .
• Поэтому после интегрирования с учетом (6) получим
• Dr(t). (12)
• Видно, что при больших значениях t дисперсия Dr(t) растет линейно.
• С учетом (12) среднеквадратичное отклонение равно
• (13)
• Поскольку интеграл от нормального процесса - нормальный процесс [13], то СП r(t) тоже имеет гауссовский характер. Поскольку при этом правило “3” выполнено, то с вероятностью 0,997 истинное значение расстояния контура пожара от очага в момент t находится в области , при этом, поскольку процесс нормальный, наивероятнейшее местоположение контура совпадает с математическим ожиданием, т.е. с . Данный факт иллюстрируется рис. 1. Видно, что с течением времени ширина коридора, в котором находится истинное местоположение контура, растет. Т.е. растет неопределенность положения границы пожара и точность прогноза ухудшается. Когда ширина коридора достигает значения выше некоторого значения, критичного для масштаба проводимых мероприятий, то теряется прогностическая ценность такого описания. Продемонстрируем это следующим примером: для скорости распространения огня 0,2 м/с (при скорости ветра 10 м/c) трехчасовой прогноз дает значение наивероятнейшего удаления фронта от очага равное примерно 2,3 км, а ширина коридора, в котором может находиться истинное значение этого расстояния примерно 0,7 км. При данной скорости распространения огня такая пространственная неопределенность приводит к более чем часовой неопределенности во времени достижения пожаром объекта, находящегося на расстоянии 3 км от очага. Такое время может оказаться критичным при проведении эвакуационных работ. Данный пример иллюстрирует возникновение понятия оперативно-тактического, краткосрочного, среднесрочного и долговременного прогноза развития пожара [1]. Как уже отмечалось, во многих моделях имеет место указание на временную пригодность предлагаемых описаний в пределах 3-4 часов. Нужно отметить, что ни из одной детерминированной модели данное значение оптимального времени прогноза ниоткуда не вытекает, поскольку отсутствует само понятие дисперсии радиуса пожара. В предлагаемой же нами модели точность прогноза обратно связана с временной глубиной прогноза, что наглядно демонстрирует зависимость (13) и рис. 1.
• Перейдем теперь к рассмотрению площади пожара.
• С учетом предыдущих замечаний о нормальности СП r(t), для плотности вероятности получим
• f(r,t) = , (14)
• где задано выражением (13).
• Зная числовые характеристики (11), (13), (14) случайного процесса r(t), рассмотрим случайный процесс S(t) - площадь пожара.
• Интегральная функция распределения
• F(s) = P( S(t) < s) =. (15)
• С учетом (9)
• F(s) = P([r(t)]2 + 2r(t)+ S0 < s). (16)
• Рассмотрим неравенство
• [r(t)]2 + 2r(t)+ S0 < s. (17)
• Решая (17) относительно r(t), получим дискриминант D=4s. Из этого можно сделать вывод, что s 0.
• С учетом решения (17), получим
• F(s) = P =, (18)
• .
• Приравнивая (18) к (15), найдем вид дифференциальной функции
• ==. (19)
• Поскольку , то (19) перепишется следующим образом
• (20)
• Переобозначая и учитывая (13), а также замечание о неотрицательности s, окончательно получим дифференциальную функцию распределения для случайного процесса S(t)
• , (21)

Видно, что распределение (21) уже не носит нормальный характер и поэтому наиболее вероятное значение площади пожара не будет совпадать с математическим ожиданием этой площади.

Зная (21), можно вычислить моменты случайного процесса S(t). Найдем математическое ожидание

ds. (22)

Вычислив (22), получим

. (23)

Проанализируем выражение (23).

Рассмотрим предельный (детерминированный) случай, когда = 0. В силу (12) также равно 0. Введем обозначение

(24)

- площадь пожара, распространяющегося с детерминированной скоростью .

Тогда (23) примет вид

. (25)

Таким образом, (23) обобщает собой детерминированное описание площади распространения пожара.

Кроме того, рассмотрим (23) в момент времени t = 0. В этом случае в силу (12) и тогда из (23) получим выполнение начальных условий

, (26)

что также подтверждает правильность вывода (23).

Таким образом получаем, что математическое ожидание случайного процесса - площади пожара S(t) в момент времени t зависит от площади очага S0, средней скорости распространения огня и дисперсии этой скорости , а также силы корреляционной связи скорости фронта, которая, по-видимому, зависит от степени неоднородности горючего вещества (радиуса корреляции случайного поля физических параметров, влияющих на скорость), т.е.

MS(t) = MS( S0, , v2, , t ). (27)

Зависимость (23) демонстрирует интересный результат - рост MS(t) при росте дисперсии скорости (рис. 2), т.е. любое случайное развитие пожара опережает детерминированное. Таким образом, горение неоднородного горючего материала отличается большей скоростью по сравнению с горением однородного и разница эта тем больше, чем больше дисперсия характеристик горючего материала. Этот результат необходимо учесть в виде соответствующей поправки при лабораторных исследованиях влияния различных факторов на скорость распространения огня.

Для нахождения данной поправки найдем значение коэффициента в (6). Этот показатель может быть оценен по формуле

,

где rk - радиус корреляции случайного поля.

Как показывает анализ (23) и (13), влияние неоднородности в распределении горючего вещества тем больше, чем больше радиус корреляции характеристик случайных полей. Например, поля влажности имеют радиус корреляции порядка сотен метров [10]. При средней скорости распространения огня 0,2 м/c, с-1, среднеквадратичном отклонении скорости 0,06 м/c поправка только по влажности к скорости роста площади составит до 1,5%. Очевидно, что учет всех видов неоднородностей увеличит эту поправку в несколько раз.

Найдем дисперсию площади пожара . С учетом (21)

=

=. (28)

Рисунок 1 - Наивероятнейшее расстояние между фронтом пожара и очагом в зависимости от времени (2) и область (1) - (3), внутри которого может находиться фронт пожара. Значения параметров взяты из [11]

Рисунок 2 - Зависимость математического ожидания площади пожара от времени: (1) - слой ЛГМ неоднородный, (2) - слой ЛГМ однородный. Значения параметров взяты в [11]

Произведя интегрирование, получим

. (29)

Анализ (29) показывает, что при отсутствии дисперсии скорости (детерминированном ее задании), отсутствует и дисперсия площади (DS(t)=0). Кроме того, в момент обнаружения пожара дисперсия площади также равна 0, что согласуется с неслучайным заданием нами площади очага.

Выводы. Предложены математические модели одной из интегральных характеристик лесного пожара - площади горения. Модели принадлежат к классу вероятностных и получены в виде математического ожидания и дисперсии площади горения. Адекватность доказана путем предельного перехода к моделям, принадлежащим детерминированному классу.

Анализ полученных моделей позволяет выявить новые закономерности применительно к процессу распространения лесного низового пожара, а также получить обоснованные рекомендации по прогнозным оценкам параметров таких процессов. Впервые получены оценки метрологических характеристик.

Использование разработанных математических моделей, описывающих процесс распространения низового лесного пожара, открывает возможность для формирования эффективных управленческих решений при организации тушения таких пожаров.

распространение пожар стохастический анализ

Литература

3 Воробьев О.Ю., Доррер Г.А. Вероятностная модель распространения лесного пожара // Вопросы лесной пирологии. - Красноярск: Институт леса и древесины, 1974. - С.118 - 133.

4 Гришин А.М. Математическое моделирование лесных пожаров// Лесные пожары и борьба с ними. М.: ВНИИЛМЛХ, 1987. - C. 65 - 78.

5 Доррер Г.А. Оценка статистических характеристик контуров лесных пожаров // ФГВ. - 1978. - № 2. - C. 71 - 76.

6 Курбатский Н.П., Доррер Г.А, Дорогов Б.И. Расчет распределения источников пожаров в лесу // Лесное хозяйство. - 1978. - № 7. - C.76 - 78.

7 Воробьев О.Ю., Валендик Э.Н. Вероятностное множественное моделирование распространения лесных пожаров. - Новосибирск.: Наука, 1978. - 159 с.

8 Kutsenko L., Shoman O. Geometric modeling of interim phases of a heterogeneous process in time. The 10-th International Conference on Geometric and Graphics, July 28 - August 2, 2002. Volume 2, Р. 14 - 18.

9 Комяк В.А., Откидач Н.Я., Шило С.А. Геометрическое моделирование в прогнозах динамики развития лесного пожара // Проблемы пожарной безопасности. Сб. науч. тр. - Вып.5. - Харьков: ХИПБ, 1999. - C. 124 - 127.

10 Покровский Р.Л. Раннє виявлення осередків ландшафтних пожеж та прогноз динамики їх розповсюдження. Автореф. дис… канд. техн. наук: 21.06.02 / АПБУ - Харьков, 2002. - 18 с.

11 Гусев В.Г., Корчунова И.Ю. О методе расчета скорости распространения лесного низового пожара. Сб. науч. тр. Лесные пожары и борьба с ними. Л.: ЛенНИИЛХ, 1986. - С. 31 - 50.

12 Профос П. Измерения в промышленности. М.: Металлургия, 1990. - 492 с.

13 Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. - М.: Наука, 1968. - 464 с.

Размещено на Allbest.ru