Приведённая система геометрической динамики твёрдого тела

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Приведённая система геометрической динамики твёрдого тела

Н. Н. Макеев

Приводятся структурные свойства интегрального многообразия динамической системы твёрдого тела, движущегося вокруг неподвижного полюса в центральном ньютоновском гравитационном поле псевдоевклидова пространства

Ключевые слова: твёрдое тело; интегральное многообразие; псевдоевклидово пространство.

Введение© Макеев Н. Н., 2013

Рассматривается движение абсолютно твёрдого тела в псевдоевклидовом пространстве c метрическим тензором gij, отнесённым к пространству конфигураций, компоненты которого g11 = g22 = ?1, g33 = 1 и gij = 0 при i ? j (i, j = 1, 2, 3). Тело вращается вокруг неподвижного полюса О в центральном ньютоновском гравитационном поле, центр притяжения которого находится на расстоянии R от неподвижного полюса тела О. При этом предполагается, что все точки твёрдого тела расположены внутри изотропного конуса пространства , а неподвижный полюс ? в вершине этого конуса. Тогда радиусы-век-торы точек тела являются собственными векторами, для которых rs2 = gij ris rjs > 0. Определения основных динамических величин для неевклидовых пространств даны в работе [1].

В пространстве существуют силовые поля трёх типов: собственное, идеальное и изотропное силовое поле. Пусть s ? направляющий орт силовых линий поля гравитации. Тогда собственному, идеальному и изотропному (несобственному) силовым полям соответствуют такие направляющие орты s, что, соответственно, 2 = (1, ?1, 0). На проективной модели Э.Бельтрами - Ф.Клейна эти силовые поля могут быть представлены пучками первого, второго и третьего рода соответственно.

1. Предварительные положения

Введём правый координатный ортобазис Оx1x2x3, неизменно связанный с телом, оси которого совмещены с главными осями тензора инерции данного тела, отнесённого к неподвижному полюсу О.

Обозначим: Aj ? диагональные элементы матрицы тензора инерции тела; ? угловая скорость тела; ? радиус-вектор центра масс тела; - направляющий орт силовых линий поля; P - вес тела. Здесь всюду j = 1, 2, 3; две оси Оxj (главные оси инерции данного тела) являются идеальными и одна ? собственной [1].

Предполагается, что расстояние от центра притяжения гравитационного поля до полюса О достаточно велико по сравнению с характерными размерами тела. Тогда потенциал гравитационного поля U может быть представлен выражением

(1)

где ? матрица тензора инерции тела, отнесённого к полюсу О; л ? 0 ? характерный гравитационный параметр.

Для дальнейшего положим

(2)

Движение твёрдого тела вокруг неподвижного полюса О в пространстве в силу соотношений (1), (2) определяется динамической системой

 (3)

Аналогами уравнений Пуассона в пространстве являются уравнения [3]

(4)

Здесь и всюду далее точка сверху обозначает дифференцирование по времени t.

Система уравнений (3),(4) имеет независимые алгебраические первые интегралы

(5)

существующие при любых начальных условиях. Здесь < … > ? символ суммирования указанных величин по индексу j; h, H ? постоянные интегрирования; ? = 1, ?1, 0 в случаях, при которых орт s ? собственный, идеальный и изотропный соответственно.

Для системы уравнений (3), (4) имеет место дополнительный первый квадратичный интеграл [2]

(6)

где K ? постоянная интегрирования.

Соотношение (6) является аналогом интеграла А.Клебша [4] для твёрдого тела в пространстве R3, существующем в пространстве В некоторых литературных источниках интеграл типа (6), отнесённый к евклидову пространству R3, связывают с именами М.Тиссерана [5] и Ф.Бруна [6], получившими этот интеграл позднее А.Клебша.

В равенстве (6) алгебраическая сумма первых трёх слагаемых является квадратом модуля вектора кинетического момента тела в пространстве Сумма величин с коэффициентом л2 соответствует потенциалу силового поля, притягивающего точки твёрдого тела неподвижной плоскостью силами, пропорциональными по модулю расстояниям точек тела до этой плоскости. Этот потенциал относится к одному из силовых полей типа видоизменённых полей Д.Н.Горячева [7].

Полагая представим интегралы в виде

(7)

2. Приведённая система

Интеграл I3 (5) выражает свойство инвариантности относительно действия группы поворотов по отношению к силовым линиям поля с направляющим ортом s, порождающим векторное поле этой группы. При этом пространство переменных есть пятимерное многообразие а динамическая система, определяющая движение твёрдого тела вокруг неподвижного полюса в конфигурационном пространстве задаётся системой уравнений (3), (4).

Проведём анализ структуры интегрального многообразия данной системы для случая собственного силового поля псевдоевклидова пространства следуя известному подходу [8].

Выполним преобразование щ (щj) в силу уравнений системы (4). На множестве переменных, определяемом интегралом I2 (5), преобразование, обратное данному, является единственным и представляется системой соотношений

(8)

где обозначено

(9)

Равенства (8), (9) являются аналогами кинематических соотношений Г.В.Колосова, имеющих место для евклидова пространства R3 [9].

Соотношения I1, I4 (7), выраженные через переменные  по формулам (8), примут вид соответственно

(10)

Здесь P, Q - алгебраические функции компонент указанных векторов.

В силу тождества пространство переменных является касательным расслоением T (S 2) единичной сферы I3 (5).

Применяя к системе уравнений (3), (4) преобразование (8), в результате получим систему уравнений второго порядка относительно переменных определя-ющую на касательном расслоении векторное поле V. Известно [10], что векторное поле такого рода в некоторой симплектической структуре является гамильтоновым, генерированным гамильтонианом H = P (10).

Векторное поле V, для которого скобка Пуассона [P, Q] ? 0 является приведённой системой [8], определяющей движение орта s собственного силового поля относительно базиса, неизменно связанного с твёрдым телом. В силу этого данное поле определяет движение тела с точностью до его вращения вокруг оси с собственным направляющим ортом s, проходящей через неподвижный полюс О.

Пусть - подмножество, определяемое равенствами (10), представляющее интегральную поверхность приведённой системы. Это подмножество для всех значений параметров h, K является гладким двумерным многообразием. При этом, если W не является пустым множеством, то каждая её связная компонента диффеоморфна двумерному тору, движение на котором ? условно-периодическое [8].

Можно показать, что в случае собственного силового поля для достаточно больших значений параметров (h, K) > 0 имеет место режим быстрых вращений тела, в силу чего данная приведённая система может быть интерпретирована как возмущение соответствующей приведённой системы для аналога случая Эйлера-Пуансо в пространстве В этом случае дополнительный интеграл I4 (7) в фазовом пространстве “отделяется” от интеграла, выражающего инвариантность модуля вектора кинетического момента тела для случая интегрируемости Эйлера-Пуансо.

Введём интегральное отображение [8]

: (11)

Для движения твёрдого тела в пространстве R3 в случае Эйлера-Пуансо отмечено [11], что все некритические интегральные многообразия имеют связные компоненты. Это свойство имеет место и в случае собственного силового поля пространства При этом, согласно теореме Морса [12], это свойство сохраняется при малых возмущениях интегрального отображения (11).

Таким образом, рассмотренные свойства интегрального многообразия уравнений движения твёрдого тела в собственном силовом поле пространства идентичны соответствующим свойствам, существующим в аналогичной динамической задаче для евклидова пространства [8].

3. Кинематические соотношения

В задачах динамики твёрдого тела для пространства иногда целесообразно вместо зависимостей (8) пользоваться соотношениями вида

(12)

Здесь - вектор параметров ориентации ? аналогов углов Эйлера [3], причём

Выполняя в аналоговых равенствах (8) преобразования

(13)

(j = 1, 2, 3), получим зависимости вида (12)

 (14)

Соотношения вида (13) для каждого силового поля пространства (собственного, идеального и изотропного) известны [13]. В силу преобразований (13) зависимости (14) представляются равенствами

(15)

Здесь обозначено

причём

(16)

? для собственного силового поля (= 1);

(17

- для идеального силового поля = ? 1);

(18)

? для изотропного силового поля (= 0).

В равенствах (16)?(18) обозначено

(19)

Для соотношения (15) в случае собственного, идеального и изотропного силовых полей имеем, соответственно,

(20)

где причём E ? единичная матрица; определяются равенствами (19).

Соотношения (15)?(18), полученные на основе преобразования Г.В.Колосова, отличаются от известных аналогичных уравнений для пространства [13] тем, что в приведённых соотношениях компоненты щj вектора щ не зависят явно от величины скорости прецессии

4. Частные решения

Приведём некоторые частные решения системы уравнений (3), (4) для твёрдого тела в пространстве подчинённые заданным структурно-динамическим ограничениям. В силу вводимых ограничений задача поиска данных решений рассматривается как ограниченная задача с заданными связями.

Случай линейных кинематических связей

Из полного многообразия возможных движений, порождаемых динамической системой (3), (4), выделим движения, совместимые с линейным кинематическим условием

(21)

где и n1n2n3 ? 0. Здесь постоянные подлежат определению.

Подставляя выражения (21), представленные в компонентах векторов, в уравнения системы (3), (4), получим условия совместности соответствующих подсистем в виде

(22)

Система уравнений (22) относительно величин имеет решение

(23)

где обозначено

(24)

Здесь c ? 0 - произвольный параметр, такой, что аj ? 0 ( j = 1, 2, 3) и, кроме того,

(25)

В соотношениях (22), (23) предполагается, что

Система уравнений (3) в силу соотношений (22)-(24) приводима к виду

(26)

и имеет независимые алгебраические первые интегралы

(27)

Здесь h1, H1 - постоянные интегрирования, H - постоянная интеграла I2 системы (5).

Исключая из системы (27) величину щ3, в результате получаем

(28)

где обозначено

В фазовом щ-пространстве уравнение (28) соответствует цилиндрической поверхности, которая в силу условия (25) не является распадающейся.

Введём геометрический инвариант

При I0 > 0 цилиндр (28) является эллиптическим, а при I0 < 0 - гиперболическим. В первом случае уравнению (28) относительно щ1, щ2 удовлетворяет решение

(29)

а во втором - решение

(30)

В соотношениях (29), (30) обозначено

а u - новая (промежуточная) переменная.

Уравнению (28) удовлетворяет также решение, представленное в эллиптических функциях Якоби

(31)

имеющее место при I0 > 0.

Из первого равенства системы (27) в силу соотношений (29) следует

(32)

Аналогичные выражения имеют место и для решений (30), (31).

Из соотношений (29), (32) в силу уравнений системы (26) следует, что зависимость вида u (t) выражается в эллиптических функциях времени. Действительно, из первого уравнения (26) в случае собственного силового поля для переменной следует квадратура вида

(33)

Здесь с, с1, с2 - постоянные, выраженные через параметры соотношений (26), (29), (32); б - постоянная интегрирования. Интеграл в равенстве (33) приводится к эллиптическому интегралу первого рода [14].

Обращая соотношение (33), получаем явную зависимость u(t) в виде эллиптической функции Якоби.

Аналогичная задача поиска частных решений системы уравнений движения твёрдого тела в евклидовом пространстве рассмотрена в работе [15].

Случай плоских движений

Под плоскими движениями твёрдого тела в различных силовых полях пространства понимаются аналоги собственно плоского движения тела в пространстве R3, подчиняющиеся условиям Характер данных движений обусловлен видом силового поля, под воздействием которого происходит движение тела.

Учитывая выражения для компонент щj ( j = 1, 2, 3) в зависимости от параметров ориентации для данных движений получаем следующие представления.

* Орт s ? собственный. Здесь имеем

(34)

В этом случае система (3) сводится к определяющему уравнению

(35)

где обозначено

* Орт s - идеальный. В этом случае получаем

,

и выражения (34) для щj , а также уравнение (35) сохраняются.

* Орт s - изотропный. Здесь имеют место соотношения

где согласно обозначениям (19). В силу этого система (3) сводится к определяющему уравнению

(36)

где обозначено

Таким образом, плоские движения тела в силовых полях пространства определяются уравнениями (35), (36). Интегрирование этих уравнений стандартными приёмами сводится к квадратурам, которые для уравнения (35) являются эллиптическими, а для уравнения (36) с точностью до аддитивной постоянной представляются в виде

где F - известная элементарная функция. В силу этого характер плоских движений твёрдого тела при заданных условиях в собственном, идеальном и изотропном силовых полях полностью определён.

Случай осевой кинетической симметрии

Выполним интегрирование уравнений системы (3), (4) при условии

(37)

для различных видов силовых полей.

Из последнего уравнения системы (3) при условии (37) следует Обозначим

В силу условия (37) представим интегралы I1, I2 системы (5) в виде

(38)

Для дальнейшего используются известные зависимости вида

для каждого типа силовых полей пространства [13].

* Случай собственного силового поля. В этом случае имеют место соотношения

в силу чего интегралы (38) приводятся к виду

(39)

Исключая из соотношений (39) величину и полагая в результате получим

(40)

Уравнение (40) является определяющим для величины , причём



(41)

Согласно [14] в силу уравнения (40) получаем

(42)

где - корень полинома - символ эллиптической функции Вейерштрасса с инвариантами

(43)

D1, D2 - постоянные, определяемые равенствами

* Случай идеального силового поля. Здесь имеем тождества

где - радиус опорной сферы для тела в пространстве [3]. В этом случае интегралы (38) принимают вид



(44)

Исключая из равенств (44) величину

и полагая получаем для w уравнение вида (40), в котором

а знаки величин в выражениях (41) для этого случая изменены на противоположные.

* Случай изотропного силового поля. Для данного силового поля имеют место соотношения

В силу этих зависимостей интегралы (38) принимают вид

(45)

Из системы (45) аналогично предыдущему получаем определяющее для у уравнение вида (40)

в котором для данного случая



а знак величины b3 противоположен знаку соответствующего выражения (41).

Выражение (41) для b1 в каждом из данных случаев сохраняется.

Таким образом, явная зависимость вида для каждого типа силовых полей выражается через эллиптические функции времени с заданными инвариантами (43) аналогично представлению (42).

При известной явной зависимости вида функции могут быть получены из интегралов (39), (44), (45) соответственно. Для собственного силового поля зависимость вида с точностью до аддитивной постоянной определяется из аналога кинематического уравнения Эйлера [3]

(46)

В случае идеального и изотропного силовых полей соотношения типа (46), содержащие величину не имеют места в силу структурных особенностей аналогов кинематических уравнений Эйлера для пространства Отсюда положение тела в конфигурационном пространстве при воздействии этих силовых полей определяется с точностью до движения по углу ц.

Заключение

геометрический динамика тело пространство

Механика неевклидовых пространств первоначально возникла на основе неевклидовой геометрии пространств постоянной ненулевой кривизны. Постоянность кривизны пространства проистекает из постулата однородности и изотропности (в среднем) мирового пространства Вселенной. Интенсивное развитие современной теории динамических систем инициировало распространение результатов решения задач классической динамики твёрдого тела на неевклидовы пространства.

Это обусловлено, в частности, тем, что познание динамических свойств объектов, движущихся в неевклидовых пространствах, способствует новому пониманию известных свойств движения в евклидовом пространстве. Например, по Л.Кронекеру, закон притяжения Ньютона, открытый для евклидова пространства, фактически является лишь частным проявлением универсальных аналитических законов, действующих в пространствах ненулевой кривизны [16, c. 24].

Некоторые положения евклидовой механики, воспринимаемые обычно как установившиеся очевидные знания, в реальности являются проявлением особых симметрических свойств евклидова пространства. Эти свойства исчезают при переходе к пространству ненулевой кривизны [16, c. 11].

Симметричность - одно из фундаментальных свойств пространства и времени. В расширенном смысле симметричность есть свойство инвариантности отдельных сторон, процессов и отношений объектов относительно некоторых преобразований. В силу этого исследование свойств движения механических объектов в неевклидовых пространствах имеет кардинальное значение не только для механики неевклидовых пространств как самостоятельного научного направления, но и для классической механики, построенной в евклидовом пространстве.

Характерным транзитивным свойством механизма соотнесения евклидова и неевклидовых пространств является установленный факт: перенос положений евклидовой механики на механику неевклидовых пространств принципиально невозможен [16, c. 10]. С другой стороны, некоторые свойства движения твёрдых тел в неевклидовых пространствах можно трактовать как определённые аналоги соответствующих свойств, имеющих место в евклидовом пространстве [3].

Интерес к механике неевклидовых пространств обусловлен выбором неклассической модели, построенной на основе неевклидова пространства, для исследования свойств движения механического объекта. Этот выбор всегда носит эмпирически-гипотетический характер. По словам К.Ф.Гаусса: "… Мы не можем обосновать геометрию a priori …" (письмо Ф.В.Бесселю от 27 января 1829 г.). И далее: " … пространство есть реальность и вне нашего ума, которой мы не можем всецело приписывать закона a priori" (письмо Ф.В.Бесселю от 9 апреля 1830 г.) (цитируется по тексту источника [17, c. 73]). В связи с этим А.Пуанкаре писал: "Никакая геометрия не может быть более истинна, чем другая" (цитируется по тексту источника [18, c. 41]). Эти высказывания можно отнести и к механике в псевдоевклидовых пространствах.

Список литературы

Широков А.П. Винтовая регулярная прецессия в пространстве Лобачевского // Уч. зап. Казан. ун-та. 1963. Т. 123, кн. 1. С.196?207.

Макеев Н.Н. Задача восстановления в динамике твёрдого тела // Вестник Пермского университета. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 1(13). С. 19-26.

Косогляд Э.И. Движение твёрдого тела под действием сил на плоскости Лобачевского // Изв. ВУЗ. Сер. Математика. 1970. № 9 (100). С. 59?68.

Clebch A. Uber die Bewegung eines Korpers in einer Flussigkeit // Mathematische Annalen. 1870. Bd. 3. S. 238?262.

Tisserand M.F. Sur les mouvements relatifs a la surface de la Terre // Comptes Rendus des sйances de l`Academie des sciences. 1872. V. 75, № 26. P. 1567.

Brun F. Rotation kring on fix punkt // Ofversigt at Kongl. Svenska Vetenskaps Akad. Forhandlinger. Stokholm, 1893. V.7. P. 455?468.

Горячев Д.Н. Некоторые общие интегралы в задаче о движении твёрдого тела. Варшава, 1910. 62 с.

Погосян Т.И., Харламов М.П. Бифуркационное множество и интегральные многообразия задачи о движении твёрдого тела в линейном поле сил // Прикладная математика и механика. 1979. Т. 43. Вып. 3. С. 419?428.

Колосов Г.В. О некоторых видоизменениях начала Гамильтона в применении к решению вопросов механики твёрдого тела. СПб., 1903. 76 с.

Харламов М.П. Понижение порядка в механических системах с симметрией // Механика твёрдого тела. Киев: Наукова думка, 1976. Вып. 8. С. 4?18.

Харламов М.П. Интегральные многообразия приведённой системы в задаче о движении по инерции твёрдого тела с неподвижной точкой // Механика твёрдого тела. Киев: Наукова думка, 1976. Вып. 8. С.18?23.

Милнор Дж. Теория Морса / пер. с англ. М.: Мир, 1965. 184 с.

Макеев Н.Н. Квадратуры геометрической теории динамики гиростата // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы / Перм. ун-т. Пермь, 2012. Вып. 44. С. 87?104.

Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа: в 2 ч. / пер. с англ. М.: Физматгиз. Ч. 2, 1963. 515 с.

Харламова Е.И. Некоторые решения задачи о движении тела, имеющего закреплённую точку // Прикл. математика и механика. 1965. Т. 29. Вып. 4. С. 733?737.

Классическая динамика в неевклидовых пространствах: сб. статей / под ред. А.В. Борисова, И.С. Мамаева. М.; Ижевск. Ин-т компьютерных исследований: науч.-изд. центр РХД, 2004. 348 с.

Альберт Эйнштейн и теория гравитации: сб. статей / под ред. Е. Куранского. М.: Мир, 1979. 592 с.

Пуанкаре А. Наука и гипотеза / пер. с фр. Сер.: Из наследия мировой философской мысли. М.: Книжный дом Либроком, 2010. 240 с.

Размещено на Allbest.ru

...