Эффекты асимметричных вращательных колебаний в задаче о тепловой конвекции в полости квадратного сечения с подогревом снизу

Методами математического моделирования исследованы эффекты, возникающие при вращательных колебаниях полости квадратного сечения в случае тепловой конвекции жидкости, подогреваемой снизу. Были рассмотрены как симметричные, так и асимметричные колебания.

Рубрика Физика и энергетика
Вид статья
Язык русский
Дата добавления 26.04.2019
Размер файла 296,3 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 532.5.013.3

Эффекты асимметричных вращательных колебаний в задаче о тепловой конвекции в полости квадратного сечения с подогревом снизу

А.Б. Мелентьев

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

a.b.melentyev@mail.ru; +7 906 889-89-49

Методами математического моделирования исследованы эффекты, возникающие при вращательных колебаниях полости квадратного сечения в случае тепловой конвекции жидкости, подогреваемой снизу. Вращательные колебания были вызваны поворотами полости относительно внутренней оси. Были рассмотрены как симметричные, так и асимметричные колебания. Выявлены пороговые значения параметров, при которых происходит смена направления течения для случая колебательных и стационарных режимов. Выяснено, что отклонение от симметрии колебаний приводит к смещению пороговых значений параметров.

Ключевые слова: конвекция; вращательные колебания; асимметрия.

математический колебание тепловой конвекция

Asymmetric rotation oscillations effects in free convection task in a square-cross-section cavity with heating from below

A. B. Melentyev

Perm State National Research University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st., 15

a.b.melentyev@mail.ru; +7 906 889-89-49

Effects of heat convection with heating from below and presence of rotation oscillations were investigated with math modeling method. The task was heat convection in a square-cross-section cavity. Rotation oscillations were generated by rotation of the cavity around inner axis. Symmetric and asymmetric oscillations were considered. Threshold values of parameters were found, these values correspond change of a flow direction in case of stationary and oscillation modes. It was found that deviation from oscillations symmetry leads to threshold parameters values shift.

Key words: convection; rotation oscillations; asymmetry.

В конвективных задачах важным является учет вибраций и других модуляций параметров, так как эти воздействия ведут к различным эффектам, особенно в случае подогрева снизу [1-3]. Вибрации неоднократно исследовались теоретически и экспериментально. Сравнительно часто рассматривался высокочастотный предел, позволяющий использовать метод осреднения. Модуляции низкой частоты исследовались значительно реже. Кроме того, как правило, исследовалась модуляция по гармоничному закону. В то же время исследования [4] показали, что асимметрия модуляций приводит к ожидаемым эффектам.

В работе численно исследуются конвективные режимы в бесконечном цилиндре квадратного сечения под действием симметричных и асимметричных (кусочно-синусоидальных) низкочастотных изменений угла поворота цилиндра вокруг собственной оси.

Постановка задачи

Equation Chapter (Next) Section 1Область квадратного сечения, для которой решалась задача, изображена на рис. 1.

Рис. 1. Схема задачи

Здесь 0X0Y0 - инерциальная система отсчета; 0xy - неинерциальная система отсчета, связанная с полостью; - угол отклонения 0xy от 0X0Y0..

Для описания движения жидкости использовались уравнения свободной конвекции в приближении Буссинеска [1]. Особенностью постановки является добавление слагаемых в правой части уравнения для скорости, соответствующих силам, возникающим при поворотах системы: силе Эйлера, центробежной силе и силе Кориолиса [5-7] при допущении независимости плотности от температуры в этих слагаемых (отсутствие значительного влияния эффекта теплового расширения на указанные силы) вследствие малых частот модуляций угла.

(1.1)

Здесь - скорость жидкости, - угол поворота полости, - угловая скорость вращения полости, - производная от угловой скорости по времени, - радиус-вектор компоненты жидкости, - поле температуры, - давление, - единичные векторы, направленные вдоль осей x и y соответственно.

Уравнения записаны в безразмерных переменных. Масштабам расстояния, времени, скорости, давления и температуры соответствовали: , , , , ( - коэффициент температуропроводности, - плотность, - кинематическая вязкость, - разность температур между нижней и верхней границей полости).

На границах полости задано условие прилипания скорости и значения температуры:

(1.2)

Задача зависит от числа Прандтля , числа Грасхофа , а также от параметров, определяющих поведение зависимости угла от времени :

(1.3)

Здесь - амплитуда, - полный период модуляций, - время первой доли периода, при котором изменяется от до . Параметр асимметрии [4] равен

(1.4)

Метод решения

Equation Section (Next)Задача решалась численно двухполевым методом [1, 2, 8] в переменных функции тока и вихря скорости :

(2.1)

Соответствующие уравнения в неинерциальной системе отсчета 0xy (см. рис. 1) имеют вид

(2.2)

Здесь - вторая производная по времени от . В расчетах в качестве точки начала координат использовалась левая нижняя точка полости, а не центр полости, как на рис. 1. Для решения системы (2.2) использовалась явная схема с центральными разностями с порядком аппроксимации .

Для большинства расчетов шаг сетки равнялся 1/20. При таком шаге погрешность интегральных характеристик была менее 3%. Алгоритм решения соответствовал [2], в цикле по времени:

на первом этапе находились значения температуры и вихря скорости для внутренних узлов по явной схеме;

на втором этапе методом ПВР [2, 9] находились значения функции тока для внутренних узлов;

на третьем этапе по формуле Тома [2] находились значения для вихря на границе.

Шаг по времени определялся по формуле, с запасом, обеспечивающим устойчивость в исследуемом интервале параметров [2]:

. (2.3)

В расчетах типичное значение . Решение задачи Дирихле для функции тока методом ПВР на каждом временном шаге проводилось с точностью .

Счет по времени продолжался до установления стационарного максимального значения функции тока с точностью . Колебательный режим считался установившимся при относительном изменении амплитуды на соседних периодах максимума функции тока менее .

Результаты вычислительных экспериментов

Equation Section (Next)В расчетах менялись значения числа Грасхофа и параметры модуляции: амплитуда , полный период и параметр асимметрии . Число Прандтля было фиксированным .

Стационарные значения угла наклона

Сначала были рассмотрены стационарные конвективные режимы при постоянном угле наклона для определения параметров бифуркации. Как будет показано, эти параметры бифуркации позволяют предсказать эффект модуляции. Аналогичный прием применения параметров бифуркации был использован в задаче управления равновесием [10].

Начальные условия соответствовали равновесному значению температуры для и возмущению вихря скорости: . (3.1)

Типичное значение в формуле (3.1) при расчётах составляло ±100. В дальнейшем использовался метод продолжения по параметру, в котором при смене параметров использовалось решение, полученное при предыдущих значениях параметров.

Для угла наклона, равного , были получены стационарные решения для различных значений числа Грасхофа . Результаты этих решений представлены зависимостью экстремальных значений функции тока от числа Грасхофа на рис. 2.

Рис. 2. Зависимость экстремума функции тока от числа Грасхофа (стационарное решение)

Штриховая линия (линия 3) соответствует тривиальной бифуркации при угле наклона . Критическое значение числа Грасхофа, соответствующего значению для квадратной области, [1, 2]. Кружками отмечены значения функции тока, соответствующие "благоприятной" ветви, на которой вращение жидкости происходит против часовой стрелки. Треугольниками обозначены отрицательные экстремальные значения функции тока на "неблагоприятной" ветви, на которой основная масса жидкости вращается по часовой стрелке. Выход на неблагоприятную ветвь осуществляется при определенных условиях. Для выхода на эту ветвь можно в начальном условии для вихря скорости (3.1) задать закрутку по часовой стрелке выбором знака , а затем задать значение , уменьшающее интенсивность этого течения.

Отметим, что при смене знака угла наклона "благоприятная" и "неблагоприятная" ветви меняют свои знаки. При этом картина ветвления является зеркально симметричной относительно горизонтальной оси для случая с другим знаком.

Подобные бифуркационные зависимости, описываемые складкой Уитни, рассматривались, например, в [12, 13]. В работе [12] причиной, нарушающей равновесие, был угол поворота нагрева относительно вертикали для полости кругового сечения. В работе [13] причиной, нарушающей равновесие, было движение верхней границы. При малых значениях параметра, нарушающего равновесие, теория [13] подсказывает описание этой зависимости кубической параболой:

. (3.2)

Обработка результатов расчета методом наименьших квадратов (далее - МНК) позволила получить коэффициенты этой зависимости . Ветви этой зависимости на рис. 2 изображены сплошными линиями как для "благоприятной" (линия 3), так и для "неблагоприятной" (линия 5) ветвей. Согласно теории при существует 3 решения, соответствующих корням кубического уравнения. Два из них устойчивы относительно бесконечно малых возмущений, а третье нустойчиво.

Неустойчивая ветвь (линия 6) отмечена пунктирной линией.

Важной характеристикой ветвления является точка . Для коэффициентов и , найденных методом МНК, эти величины равны и .

Обсудим точность описания ветвления кубическим уравнением. Как известно [13], для кубического уравнения при отношение модулей амплитуд "благоприятной" ветви к "неблагоприятной" равно 2. Соответствующее отношение амплитуд при превышает ожидаемое значение 2 на 18%. Это свидетельствует о значительной погрешности описания амплитудной зависимости кубическим уравнением при .

Поэтому для получения характеристик ветвления в зависимости от угла были выполнены следующие вычислительные эксперименты (далее - ВЭ). В этих ВЭ после получения решения на "неблагоприятной" ветви уменьшалось значение с шагом . Последнее значение, при котором реализуется "неблагоприятная" ветвь, давало приближенные значения характеристик ветвления: . Отличие этих значений от полученных из зависимости (3.2) менее 5%.

На рис. 3 представлены изолинии функции тока и температуры для "благоприятной" и "неблагоприятной" ветвей при одном и том же значении числа Грасхофа , близким к .

Рис. 3. Изолинии 1) функции тока и 2) температуры для а) "благоприятной" и б) "неблагоприятной ветви"

Как видно, искривление изотерм на "благоприятной" ветви значительно больше, чем на "неблагоприятной"; соответствующие тепловые потоки примерно равны 2.174 и 1.519.

Обсудим особенности перестройки течения при переходе с "неблагоприятной" ветви на "благоприятную" при значениях числа Грасхофа, близких . Для таких значений числа Грасхофа время перестройки велико, при удалении от время перестройки уменьшается. Иллюстрацией к отмеченной особенности является рис. 4.

Рис. 4. Зависимость максимума функции тока от времени

На этом графике показана зависимость экстремума функции тока от времени для четырёх значений числа Грасхофа: , , , и . До момента значение числа Грасхофа было фиксированным и . При было установлено значение угла и к моменту было получено стационарное решение на "неблагоприятной" ветви. При представлены решения для трех значений числа Грасхофа, уменьшенных на 50 (линия 1), 100 (линия 2), 200 (линия 3). Интервалы времени с момента до момента смены знака экстремума функции тока соответственно равны 1.635, 0.926, 0.591.

В дальнейших ВЭ определялись значения , приводящие к перестройке течения с "неблагоприятной" ветви на "благоприятную", для различных значений числа Грасхофа в интервале от до . Эти ВЭ позволили определить зависимость . Обработка этой зависимости методом МНК позволила представить ее в виде линейной зависимости:

. (3.3)

Отличие расчетных значений от зависимости (3.3) на указанном интервале чисел Грасхофа не превосходит 10%.

Модуляция угла наклона

Рассмотрим конвективные режимы при колебании угла наклона (1.3). В этом случае при поиске установившихся режимов использовались нулевые начальные условия, так как наклон полости сам вырабатывал возмущения определенного знака. Колебательные режимы жидкости рассматривались без учета Шлихтинговского механизма [3, 14], так как использовались низкочастотные колебания, при которых толщина пограничного слоя

(3.4)

сравнима с характерным размером полости.

Обсудим вначале колебательные режимы при наличии симметричной () модуляции угла наклона с амплитудой и периодом колебаний .

Соответствующие результаты представлены на рис. 5. Пунктирная линия (корневой закон Ландау) соответствует стационарным решениям без модуляции (). При модуляциях периодическая смена направления вращения отчётливо реализуется до значений числа Грасхофа . Для чисел Грасхофа в результате установления реализуется однонаправленный режим колебаний (без смены направления вращения жидкости). Соответствующий диапазон значений экстремума функции тока указан штриховкой. В области вблизи велико время выхода на установившиеся колебания. Эта область на рис. 5 отмечена отсутствием штриховки.

Рис. 5. Зависимость амплитуды функции тока от числа Грасхофа

Отметим, что при значении периода колебаний и значениях числа Грасхофа близок к значениям функции тока стационарного решения на "благоприятной" ветви, а - к значениям на "неблагоприятной" ветви. Этот факт свидетельствует о большом значении периода модуляции.

Перейдем к рассмотрению результатов для больших значений амплитуды модуляции . Пусть - критическое значение амплитуды модуляции, разделяющее два различных режима установившихся колебаний - без смены направления вращения жидкости и со сменой. Эта граница зависит от числа Грасхофа. На рис. 6 показано, что при реализуется режим с однонаправленным вращением жидкости (линия 1), а при - режим со сменой направления (линия 2).

Рис. 6. Зависимость амплитуды функции тока от времени

Модуляция включается после получения стационарного решения для и в момент с фазой, обеспечивающей .

Как видно, до времени обе линии примерно совпадают. При эти зависимости существенно различны: при экстремальное значение функции тока остается отрицательным, а при на интервале времени существуют положительные экстремальные значения функции тока, что свидетельствует о смене направления вращения жидкости.

Следующая серия ВЭ была направлена на выяснение зависимости . Обработка результатов этих многочисленных ВЭ позволила получить приближенную формулу ():

(3.5)

На исследуемом интервале чисел Грасхофа от до погрешность этой формулы менее 13%. В следующих экспериментах выяснялась зависимость от периода модуляций.

Для периода модуляций , например, соответствующая формула имеет вид

(3.6)

Формула дает значения угла с отклонением не выше 8% для чисел Грасхофа от до . Отметим, что отношение коэффициентов в формулах (3.5) и (3.6) примерно совпадает с отношением частот, равным 10.

Выполненные ВЭ показывают, что для реализации колебаний со сменой направления вращения жидкости требуется выполнение неравенства . Логично предположить, что для реализации течений со сменой направления вращения жидкости требуется выполнение двух условий: и достаточного интервала времени , при котором . Оба этих условия могут быть выполнены при достаточных значениях интеграла

. (3.7)

В формуле (3.7) - время начала и окончания превышения над на одном периоде модуляций (см. рис. 7).

Рис. 7. Превышение над

В следующих ВЭ определялся минимум величины , обеспечивающий колебательный режим со сменой направления вращения жидкости. Перебор значений амплитуды модуляции с шагом при фиксированном периоде модуляций и значениях числа Грасхофа от до позволил получить методом МНК линейную зависимость с погрешностью, не превышающей 5%:

. (3.8)

Далее были исследованы конвективные режимы с параметром асимметрии (1.4), отличным от 1. При большом периоде модуляции и параметре асимметрии и критическое значение угла меняется незначительно.

Однако асимметрия сказывается на экстремальных значениях функции тока. При минимальное значение функции тока -4.94, максимальное - 2.52. При наоборот минимальное значение функции тока - 2.52, максимальное - 4.94 (укажем, что при минимальное значение функции тока -4.60, максимальное - 4.60).

При уменьшении периода модуляции значение уменьшается. Так, например, при и коэффициент в формуле (3.6) уменьшается 2.87 раза.

Заключение

Найдены зависимости характеристик ветвления при постоянных значениях угла наклона от угла наклона . Показано, что эти зависимости являются вспомогательными при определении эффектов медленных модуляций с периодом . Найдено критическое значение величины (3.8), при превышении которой в установившемся решении реализуется режим модуляции со сменой направления. Отмечены особенности асимметричных модуляций.

Автор выражает благодарность В.Г.Козлову и Т.П.Любимовой за полезные дискуссии и Е.Л.Тарунину за руководство.

Список литературы

1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. С.242-255.

2. Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задаче свободной конвекции: учеб. пособие. Иркутск: Изд-во. Иркут. ун-та, 1990. 228 с.

3. Gershuni G.Z., Lyubimov D.V. Thermal Vibrational Convection. Wiley, NY etc. 1998. 358 p.

4. Тарунин Е.Л. Обзор особенностей асимметричных колебаний // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2005. №37. С.169-187.

5. Козлов В.Г. Вибрационная тепловая конвекция в полости, совершающей высокочастотные вращательные качания // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1988. №2. С.138.

6. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики: учеб. пособие для втузов. 4-е изд., испр. М.: Высш. шк., 2002. 718 с.

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учеб. пособие. В 10 т. Т.I. Механика. 4-е изд., испр. М.: Наука, 1988. 216 с.

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учеб. пособие. В 10 т. Т.VI. Гидродинамика. 3-е изд., перераб. М.: Наука, 1986. 736 с.

9. Самарский А.А. Теория разностных схем: учеб. пособие. М.: Наука, 1977. 656 с.

10. Келлер И.О., Тарунин Е.Л. Управление устойчивостью конвективного равновесия жидкости, подогреваемой снизу // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1990. №4.

11. Чернатынский В.И., Шлиомис М.И. Конвекция вблизи критических чисел Рэлея при почти вертикальном градиенте температуры // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1973. №1. С.64-70.

12. Тарунин Е.Л. Ветвление решений уравнений конвекции в замкнутой полости с подвижной границей при подогреве снизу // Современные проблемы тепловой гравитационной конвекции. Минск, 1974. С.51-58.

13. Вайнберг А.А., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

14. Иванова А.А., Козлов В.Г. Вибрационная конвекция при непоступательных колебаниях полости (Изотермический случай) // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2003. №2. С.25-32.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Динамические эффекты в различных средах. Колебания системы сред. Колебания жидкого слоя с покрытием под действием установившихся гармонических колебаний. Состояние идеальной жидкости с упругим покрытием. Двумерное и обратное преобразование Фурье.

    дипломная работа [546,5 K], добавлен 09.10.2013

  • Конвекция как вид теплообмена, при котором тепло переносится самими струями газа или жидкости. Ее объяснение законом Архимеда и явлением теплового расширения тел. Механизм, виды и основные особенности конвекции. Примеры конвекции в природе и технике.

    презентация [870,2 K], добавлен 01.11.2013

  • Понятие и внутреннее устройство простейшей тепловой трубы, принцип ее действия и взаимосвязь элементов. Теплопередача при пленочном кипении, путем теплопроводности, конвекции и излучения через пленку пара. Предпосылки и причины температурного перепада.

    реферат [603,0 K], добавлен 08.03.2015

  • Тепловой и гидродинамический пограничные слои при свободной конвекции. Критерии подобия (Грасгофа, Рэлея и Архимеда) и визуализация свободноконвективного теплообмена. Свободная конвекция в ограниченном пространстве и в горизонтальных прослойках.

    презентация [366,8 K], добавлен 15.03.2014

  • Разработка проекта модернизации районной котельной г. Волковыска. Выполнение расчёта тепловой схемы с применением методов математического моделирования. Создание программы для ЭВМ по расчету основных энергоносителей, КПД котлов и котельной в целом.

    дипломная работа [1,1 M], добавлен 03.04.2012

  • Определение коэффициента теплоотдачи при сложном теплообмене. Обмен теплотой поверхности твёрдого тела и текучей среды. Использование уравнения Ньютона–Рихмана при решении практических задач конвективного теплообмена. Стационарный тепловой режим.

    лабораторная работа [67,0 K], добавлен 29.04.2015

  • Упрощение системы уравнений движения и сплошности двухмерного пограничного слоя. Система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена двухмерного потока. Тепловой и гидродинамический пограничные слои при свободной конвекции у вертикальной стенки.

    презентация [339,9 K], добавлен 15.03.2014

  • Исследование тепловых явлений, влияющих на установление температурного режима в квартире. Обзор способов теплообмена: теплопроводности, конвекции и излучения. Анализ влияния толщины стекла на скорость теплообмена. Источники тепла в современных квартирах.

    презентация [2,9 M], добавлен 13.02.2013

  • Единый подход к изучению колебаний различной физической природы. Характеристика гармонических колебаний. Понятие периода колебаний, за который фаза колебания получает приращение. Механические гармонические колебания. Физический и математический маятники.

    презентация [222,7 K], добавлен 28.06.2013

  • Тепловой насос как компактная отопительная установка, его назначение и принцип действия, сферы и особенности применения. Внутреннее устройство теплового насоса, оценка его главных преимуществ перед традиционными методами получения тепловой энергии.

    реферат [83,3 K], добавлен 22.11.2010

  • Описание принципиальной тепловой схемы энергоустановки. Тепловой баланс парогенератора, порядок и принципы его составления. Параметры пара в узловых точках тепловой схемы. Расчет теплоты и работы цикла ПТУ, показателей тепловой экономичности энергоблока.

    курсовая работа [493,1 K], добавлен 22.09.2011

  • Характеристика тепловой нагрузки. Определение расчётной температуры воздуха, расходов теплоты. Гидравлический расчёт тепловой сети. Расчет тепловой изоляции. Расчет и выбор оборудования теплового пункта для одного из зданий. Экономия тепловой энергии.

    курсовая работа [134,1 K], добавлен 01.02.2016

  • Теплоотдача при вынужденном движении теплоносителей; естественной конвекции, изменении агрегатного состояния вещества. Движение жидкости около горизонтальной и вертикальной поверхности. Значения коэффициента теплоотдачи для разных случаев теплообмена.

    презентация [1,3 M], добавлен 24.06.2014

  • Конвективный теплообмен в однородной среде. Свободная (естественная) и вынужденная конвекции. Физические свойства жидкостей. Коэффициенты динамической вязкости, объемного (температурного) расширения жидкости. Гидродинамический пограничный слой.

    презентация [100,5 K], добавлен 18.10.2013

  • Конвекция как перенос энергии струями жидкости или газа, ее закономерности и значение. Сферы и направления практического применения данного явления, и основные факторы, влияющие на его интенсивность. Классификация, разновидности и механизмы конвекции.

    презентация [294,8 K], добавлен 14.04.2011

  • Определение максимальной тепловой мощности котельной. Среднечасовой расход теплоты на ГВС. Тепловой баланс охладителей и деаэратора. Гидравлический расчет тепловой сети. Распределение расходов воды по участкам. Редукционно-охладительные установки.

    курсовая работа [237,8 K], добавлен 28.01.2011

  • Исследование понятия колебательных процессов. Классификация колебаний по физической природе и по характеру взаимодействия с окружающей средой. Определение амплитуды и начальной фазы результирующего колебания. Сложение одинаково направленных колебаний.

    контрольная работа [1,6 M], добавлен 24.03.2013

  • Воздействие внешней периодической силы. Возникновение вынужденных колебаний, имеющих незатухающий характер. Колебания, возникающие под действием периодически изменяющейся по гармоническому закону силы. Зависимость амплитуды от частоты вынуждающей силы.

    презентация [415,6 K], добавлен 21.03.2014

  • Характеристика котла ТП-23, его конструкция, тепловой баланс. Расчет энтальпий воздуха и продуктов сгорания топлива. Тепловой баланс котельного агрегата и его коэффициент полезного действия. Расчет теплообмена в топке, поверочный тепловой расчёт фестона.

    курсовая работа [278,2 K], добавлен 15.04.2011

  • Составление расчетной тепловой схемы ТУ АЭС. Определение параметров рабочего тела, расходов пара в отборах турбоагрегата, внутренней мощности и показателей тепловой экономичности и блока в целом. Мощность насосов конденсатно-питательного тракта.

    курсовая работа [6,8 M], добавлен 14.12.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.