Система реологических уравнений

Размещено на Allbest.ru

Исследованы решения задачи сдвигового течения жидкости, описываемой нелинейной реологической моделью Покровского-Виноградова. Получены аналитические зависимости компонент тензора анизотропии от скорости сдвига, определены диапазоны параметров модели, при которых решение физически реализуется.

Ключевые слова: сдвиговое течение; реологическая модель; аналитическое решение.

Введение

нелинейная реологическая модель

Известно, что не каждое решение уравнений движения фактически реализуется в природе. Реально существующие типы движений демонстрируют устойчивость к малым возмущениям. Полученные профили скорости должны быть динамически и кинематически допустимыми, т. е. удовлетворять не только гидродинамическим уравнениям, но и законам термодинамики, условиям на границах и лежать в пределах рассматриваемой геометрической зоны.

При исследовании работоспособности различных реологических моделей часто используют куэттовский тип течения, в котором кинематика потока известна заранее, а эффективная вязкость, а также первая и вторая разности нормальных напряжений подлежат определению. Многие линейные и нелинейные модели описывают такие течения вполне реалистично. Исследования, выполненные Трусделом и Нолом [1], Колеманом [2], Данном и Фосдиком [3], показали, что существуют кинематически допустимые течения, в которых мощность напряжения может становиться отрицательной. Едва ли вероятно, что такие движения могут реализовываться в природе. Изучение течения вокруг тела, проведенное Альтманом и Денном [4] для линейной упруговязкой жидкости Максвелла, привело авторов к заключению, что условие разграничивает две различные ситуации. В докритическом случае () уравнения, описывающие течение, относятся к эллиптическому типу и имеют гладкие непрерывные решения. В закритическом случае () уравнения гиперболичны и их решения имеют сильные тангенциальные разрывы. Анализ некоторых нелинейных реологических моделей показал, что краевая задача о плоскопараллельном течении в канале под действием перепада давления может иметь неединственное решение и приводить к слабым тангенциальным разрывам в профиле скорости. Так, исследование течения четырехконстантной жидкости Олдройда в трубе [5] показало возможность неединственности решения задачи и немонотонности распределения градиента скорости в радиальном направлении. В зависимости от значений перепада давления и отношения времени ретардации к времени релаксации вычисленные профили скорости либо имеют гладкую параболическую форму, либо содержат слабые тангенциальные разрывы. Кривые течения такой жидкости имеют гистерезисный характер. В работах [6, 7] рассмотрены одномерные течения раствора полимера в плоском канале под действием градиента давления. Для описания реологических свойств раствора полимера выбраны две модели. Первая является обобщением феноменологической модели Джеффриса [4] и содержит объективную временную производную с шестью произвольными материальными константами. Вторая - дифференциальная векторная модель, предложенная Реммелгасом, Харрисоном и Лилом, является аппроксимацией статистической модели Дои - Эдвардса - Марручи - Грызутти [4].

Для этих двух моделей получены точные аналитические решения задачи течения в плоском канале. Показано, что в обоих случаях, в зависимости от исходных параметров модели, задача может иметь как единственное, так и неединственное решение. Профили скорости могут быть либо гладкими, почти параболическими, либо содержать слабые тангенциальные разрывы. Найдены критериальные условия появления неоднозначных режимов течения.

В работах В. Н. Покровского, Г. В. Пыш-нограя и др. [8-11] предложено обобщение реологической модели Виноградова - Покров-ского. В диссертации С. А. Зинович «Полидисперсность в мезоскопической теории вязкоупругости линейных полимеров» (2001) приведено решение задачи о стационарном течении простого сдвига для модели Виноградова - Покровского методом последовательных приближений. Показано качественное соответствие зависимостей компонент тензора анизотропии от сдвига поведению вязкоупругой жидкости.

В работе [12] исследовано течение между параллельными плоскостями под действием постоянного перепада давления нелинейной вязкоупругой жидкости с одним тензорным внутренним параметром. Получе-ны все точные аналитические решения этой задачи в параметрическом виде. Из множества решений выделены заведомо физически недопустимые решения. Получены распреде-ления компонент тензора анизотропии, скорости и градиента скорости по высоте канала для различных параметров реологи-ческой модели. Показано, что для значений перепада давления выше критических наблю-дается неоднозначность решения, приводящая к разрывам в профилях компонент тензора анизотропии.

Целью данной работы является получение и анализ всех аналитических решений задачи течения в плоском канале с подвижной границей нелинейной упруговяз-кой жидкости Виноградова - Покровского.

Система реологических уравнений

Модифицированная модель Покровского-Виноградова получена при рассмотрении динамики невзаимодействующих гантелей, движущихся в нелинейной анизотропной среде. Гантель состоит из двух бусинок, соединенных пружиной. Форма и ориентация гантелей в потоке характеризуется тензором:

где - вектор соединяющий концы гантели и описывающий относительное движение бусинок, - равновесное значение выражения. В равновесии. Выражение для тензора напряжения и эволюционное уравнение для тензора анизотропии имеют следующий вид:

(1)

(2)

где и - феноменологические параметры модели, которые характеризуют вклады, связанные с анизотропией, причем учитывает вклад, связанный с ориентацией макромолекулярного клубка, с его размерами; и - начальные значения сдвиговой вязкости и времени релаксации; - верхняя конвективная производная тензора анизотропии; - первый инвариант тензора анизотропии.

Сдвиговое течение в плоском канале

Для задачи стационарного течения простого сдвига уравнение неразрывности выполняется тождественно. Уравнение сохранения импульса преобразуется к виду

(3)

(4)

(3)

Система уравнений модели Виноградова - Покровского записывается следующим образом:

. (5)

Подставим полученное соотношение (9) в (6) :

(6)

Выражение (10) для подставим в уравнение (7) и выразим из него компоненту :

(7)

Тогда

(8)

(9)

Подставим соотношение (13) в (10), а (12) в (6) и возведём в квадрат. Затем приравняем полученные выражения для .

(10)

(11)

где - безразмерные компоненты тензора экстранапряжения (размерное значение определяется из) ; - компоненты безразмерного тензора анизотропии,, - безразмерные параметры модели, характеризующие вклад анизотропии, число Вайсенберга.

Рис. 1. Характерный вид кривой

Это уравнение может иметь два или четыре действительных корня и может не иметь действительных корней вообще в зависимости от знака дискриминанта и знаков коэффициента и выражения.

Если, то исследуемый полином четвертой степени будет иметь два действительных и два сопряженных мнимых корня. Если, и, то полином будет иметь четыре действительных корня, в противном случае все корни уравнения четвертой степени будут мнимыми.

Характерный вид кривой представлен на рис. 1. В области, следовательно, существует два действительных корня уравнения (14), в области, и и здесь существует четыре действительных решения рассматриваемого уравнения, в области уравнение (14) не имеет действительных решений.

Поскольку дискриминант является кубическим уравнением относительно, то значения параметров и, при которых происходит переход из области с двумя действительными решениями в область с четырьмя решениями, а также из области с двумя решениями в область с чисто мнимыми решениями, можно определить аналитически:

Рис. 1. Характерный вид кривой

:

: 1

Рис. 2. Зависимость

Как видно из рис. 2, для при, т. е. когда решение проходит через область, нижняя кривая зависимости имеет S-образный вид (кривые 2, 3 для на рис. 2). Для в этом диапазоне значений параметра S-образный вид зависимости появляется на верхней кривой (кривая 3 для на рис. 2).

В силу того что при жидкость не движется, т. е., то соответствовать действительности будет только кривая, монотонно уменьшающаяся от нуля (верхняя кривая). Поскольку именно на этой кривой для появляется S-образная неоднозначность, которая будет приводить к физически не реализуемым решениям, то для модифицированная модель Виноградова - Покровского может применяться только при.

Для при, т. е. когда решение проходит через область, зависимость имеет разрывы, поэтому для модифицированная модель Виноградова-Покровского может быть применена только для. При для, а для.

Рассмотрим далее зависимость и, соответственно, . Согласно соотношению (11) является квадратичной функцией относительно и в зависимости от значений параметров и может иметь одно, два или не иметь действительных решений. Исследование дискриминанта показало, что при имеет два решения при любых значениях и , однако одно из них физически реализовываться не будет, т. к. одно из значений будет превышать для и для .

Для , согласно исследованию зависимости , модифицированная модель Виноградова - Покровского дает физически реализуемые результаты при и , где определяется по формуле (16). Зависимость и, соответственно, будет однозначной только для , где

(12)

На рис. 3 приведены зависимости и . Например, для

, .

Рис. 3. Зависимости и

В области ниже сплошной кривой зависимость однозначна и монотонно убывает, в области ниже пунктирной кривой зависимость однозначна и монотонно возрастает. В области между этими кривыми зависимость имеет пик при некотором значении числа , затем уменьшается и выходит на постоянную прямую (рис. 4).

Для построения зависимости от переменную выразили из уравнения (14) :

(13)

В результате определяется параметрически через по формулам (11) и (18).

Рассмотрим далее зависимость и, соответственно,. Согласно соотношению (11) является квадратичной функцией относительно и в зависимости от значений параметров и может иметь одно, два или не иметь действительных решений. Исследование дискриминанта показало, что при имеет два решения при любых значениях и, однако одно из них физически реализовываться не будет, т. к. одно из значений будет превышать для и для.

Поскольку дискриминант сам в свою очередь является полиномом третьей степени относительно , то диапазон значений параметра , при которых возникает неоднозначность зависимости , также можно вычислить аналитически из решения уравнения

Например, для неоднозначность существует в диапазоне , для - при , для - при .

= 1. 2: = 1) 0. 5; 2) 0. 89; 3) 0. 99

= 0. 5: = 1) 0. 5; 2) 0. 99; 3) 1. 17

Рис. 6. Характерный вид зависимости

Исследование зависимости

Безразмерная функция эффективной вязкости определяется как

Из соотношения (6), используя (12), определяем выражение для :

 (14)

Зависимость от определяется через параметр из системы уравнений (20) и (18). При . При .

Характерный вид данной зависимости для и приведен на рис.

В области ниже сплошной кривой зависимость однозначна и монотонно убывает, в области ниже пунктирной кривой зависимость однозначна и монотонно возрастает. В области между этими кривыми зависимость имеет пик при некотором значении числа, затем уменьшается и выходит на постоянную прямую (рис. 4).

Исследование зависимости

Рассмотрим зависимость от и, соответственно, в рамках параметров модели и, для которых зависимость однозначна. Зависимость является полиномом третьей степени относительно

Соотношение (19) может иметь одно или три действительных решения в зависимости от значений параметров, и. Характерный вид кривой для различных параметров приведен на рис. 5.

Для параметров модели, принадлежащих области ниже кривой, зависимость имеет три действительных решения (), однако исследование дискриминанта показывает, что при физически реализовываться могут только два решения, так как одно из решений не принадлежит области однозначности зависимости.

Характерный вид зависимости для приведен на рис. 6.

При в области будут реализовываться все три решения для некоторых значений, в результате чего зависимость будет иметь область бифуркации (рис. 6).

Поскольку дискриминант сам в свою очередь является полиномом третьей степени относительно, то диапазон значений параметра, при которых возникает неоднозначность зависимости, также можно вычислить аналитически из решения уравнения

Рис. 7. Зависимость

Таким образом, модифицированная модель Виноградова - Покровского показывает, что в диапазоне параметров модели и , в котором безразмерная эффективная вязкость однозначна, сдвиговая компонента тензора экстранапряжений может иметь область бифуркации при и пик с дальнейшим снижением и выходом на постоянное значение при .

Исследование зависимости

Безразмерные материальные функции первой и второй разности нормальных напряжений вычисляются по формуле

Исходя из соотношений (14) и (18) выражение для имеют следующий вид:

(15)

Зависимость от определяется через параметр из системы уравнений (21) и (18). При . При (т. е. ) .

Зависимость (21) является полиномом третьей степени относительно компоненты и поэтому в зависимости от знака дискриминанта этого полинома может иметь один, три или не иметь действительных корней. Исследование данного дискриминанта показало, что для и , т. е. в диапазоне однозначности зависимости , всегда будет реализовываться одно из решений , так как два других будут превышать предельное значение , к которому стремится при . Характерный вид зависимости для приведен на рис. 8.

Рис. 8. Зависимость

При зависимость однозначна и монотонно убывающая только для , которая определяется следующим образом:

(16)

Например:

при , а ,

при , а ,

при , а .

Исследование зависимости

Таким образом, модифицированная модель Виноградова - Покровского показывает, что в диапазоне параметров модели и, в котором безразмерная эффективная вязкость однозначна, сдвиговая компонента тензора экстранапряжений может иметь область бифуркации при и пик с дальнейшим снижением и выходом на постоянное значение при.

Исследование зависимости

Зависимость (21) является полиномом третьей степени относительно компоненты и поэтому в зависимости от знака дискриминанта этого полинома может иметь один, три или не иметь действительных корней. Исследование данного дискриминанта показало, что для и, т. е. в диапазоне однозначности зависимости, всегда будет реализовываться одно из решений, так как два других будут превышать предельное значение, к которому стремится при. Характерный вид зависимости для приведен на рис. 8.

Вид зависимости в сравнении с другими ограничениями на параметр при приведен на рис. 9.

Вид зависимости в сравнении с другими ограничениями на параметр при приведен на рис. 9.

Рис. 9. Вид зависимости

При или, если , то при зависимость может иметь как два, так и три подходящих действительных решения . На рис. 4 приведен вид данной зависимости для , при котором существует пик зависимости (т. е. реализуются два решения), после которого значение монотонно уменьшается и выходит на постоянное значение. Для будет существовать бифуркация при (т. е. реализуются три действительных решения ), после которой данная зависимость также монотонно уменьшается, выходя на постоянное значение при .

При или, если, то при зависимость может иметь как два, так и три подходящих действительных решения. На рис. 4 приведен вид данной зависимости для, при котором существует пик зависимости (т. е. реализуются два решения), после которого значение монотонно уменьшается и выходит на постоянное значение. Для будет существовать бифуркация при (т. е. реализуются три действительных решения), после которой данная зависимость также монотонно уменьшается, выходя на постоянное значение при.

Заключение

Анализ решений для сдвигового течения нелинейной упруговязкой жидкости показал:

1. Модифицированная модель Покровского - Виноградова предсказывает монотонное изменение зависимости при и, а при - для. Вне этих диапазонов параметров зависимость имеет бифуркацию.

2. Изменение зависимости при и также однозначна и монотонна. При зависимость монотонна и однозначна при, а зависимость монотонна и однозначна в более узком диапазоне. В области зависимость имеет пик при некотором значении числа, затем уменьшается и при выходит на постоянное значение.

3. Зависимость может быть неоднозначной. Так, для при данная зависимость будет иметь бифуркацию. Для и зависимость всегда будет иметь пик, после которого значение постепенно снижается, выходя на постоянное значение при.

4. Первая разность в диапазоне параметров модели и, при которых зависимость однозначна, также однозначна и монотонно возрастает, за исключением области параметров и, в котором данная зависимость имеет пик, после которого значение монотонно уменьшается, достигая постоянного значения при.

5. В области параметров модели и, при которых зависимость однозначна, эффективная вязкость и сдвиговое напряжение однозначно и монотонно возрастают с ростом. Вне этого диапазона кривая течения имеет максимум.

Список литературы

Truesdell C., Noll W. The non-linear fluid theories of mechanics. 3-rd ed. Springer-Verlag, 2004. P. 627.

Coleman B. D. Kinematical concepts with applications in the mechanics and thermodynamics of incompressible viscoelastic fluids // Arch. Rat. Mech. Anal. 1962. V. 9. P. 273.

Dunn J. E., Fosdick R. L. Thermodynamics, stability and boundedness of fluids of complexity 2 and fluids of second grade // Arch. Rat. Mech. Anal. 1974. V. 56. P. 191.

Астарита Дж., Марручи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М. : Мир, 1978. 309 с.

Андрейченко Ю. А., Брутян М. А., Образцов И. Ф., Яновский Ю. Г. Спурт-эффект для вязкоупругих жидкостей в 4-константной модели Олдройда // Докл. АН. 1997. Т. 32. № 3. С. 327-330.

Аристов С. Н., Скульский О. И. Точное решение задачи течения шестиконстантной модели жидкости Джеффриса в плоском канале // Прикладная механика и техническая физика. 2002. Т. 43. № 6. С. 39-45.

Аристов С. Н., Скульский О. И. Точное решение задачи течения раствора полимера в плоском канале // Инженерно-физический журн. 2003. Т. 76. № 3. С. 88-95.

Пышнограй Г. В., Покровский В. Н., Яновский Ю. Г., Карнет Ю. Н., Образцов И. Ф. Определяющее уравнение нелинейных вязкоупругих (полимерных) сред в нулевом приближении по параметрам молекулярной теории и следствия для сдвига и растяжения // Докл. АН. 1994. Т. 339. №5. C. 612-615.

Pyshnograi G. V., Gusev A. S., Pokrovskii V. N. Constitutive equations for weakly entangled linear polymers // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 2009. V. 163. №1-3. P. 17-28.

Алтухов Ю. А., Гусев А. С., Макарова М. А., Пышнограй Г. В. Обобщение закона Пуазейля для плоскопараллельного течения вязкоупругих сред // Механика композиционных материалов и конструкций. 2007. № 4. С. 581-590.

Гусев А. С., Пышнограй И. Г., Пышнограй Г. В., Ярмолинская В. В. Об определении поля скоростей полимерной жидкости в плоскопараллельном течении // ЭФТЖ. 2008. Т. 3. С. 6-16.

Кузнецова Ю. Л., Скульский О. И., Пышнограй Г. В. Течение нелинейной упруговязкой жидкости в плоском канале под действием заданного градиента давления // Вычислительная механика сплошных сред / Computational Continuum Mechanics. 2010. Т. 3. №2. С. 55-69

Размещено на Allbest.ru