Верификация обобщенной модели динамики твердого тела

Е. Б. Замятина, А. В. Шафранов

Размещено на Allbest.ru

84

Размещено на Allbest.ru

Проводится анализ обобщенной модели теории динамики твердого тела, обладающей динамической симметрией. Указана область применения модели к некоторым интегрируемым задачам этой теории при движении тела в евклидовом пространстве. Рассмотрены простейшие движения твердого тела в комбинированном силовом поле.

Ключевые слова: структурная симметрия; динамическая система; комбинированное силовое поле.

Введение

Одной из актуальных задач теории динамики твердого тела является задача о движении абсолютно твердого тела вокруг неподвижного полюса в некотором комбинированном силовом поле (суперпозиции силовых полей). Компонентами этого поля могут являться потенциальное поле, магнитные поля различной природы (поле магнитного диполя; поля, порожденные эффектами Барнетта [1, 2] или Лондона [2]), поле сил Лоренца [3, 4], а также моментно-силовые воздействия, порождённые гироскопическими силами [5].

Динамика твердого тела в подобного рода силовых полях сложной структуры является предметом исследования обобщенной ("абстрактной" [6, 7]) теории динамики, являющейся одним из фундаментальных направлений классической механики. Роль и значение этого направления в исследовании интегрируемых задач рациональной механики к настоящему времени полностью не раскрыты и его возможности в полной мере не используются.

Общие закономерности, устанавливаемые этой теорией, позволяют исследовать свойства уравнений движения твердого тела, обусловленные их структурной и динамической симметрией и порождающие их интегральное многообразие.

Несмотря на абстрактность и высокую степень обобщенности, многие применения этой теории имеют вполне естественное и конкретное физическое содержание. В частности, классические уравнения Пуанкаре-Ламба-Жуковского [8, 9] содержатся в системе динамических уравнений Эйлера для конфигурационного пространства SO(4) [10], описывающих свободное вращение четырехмерного твердого тела вокруг неподвижного полюса. Уравнения этой задачи могут являться определенными модельными приближениями при описании геодинамических процессов взаимодействия твердой мантии Земли с ее жидким центральным ядром [11].

Динамические уравнения Эйлера в пространстве SO(4) рассматривались также в работах [12, 13] в связи с исследованием динамики взаимодействующих спинов во внешнем силовом поле, а также в работе [14].

В применении к динамике абсолютно твердого тела на основе обобщенной теории динамики получена общая форма гироскопических и потенциальных сил, при которой уравнения движения тела сохраняют свойства интегрируемости, характерные для классических задач механики. Эти свойства обусловлены структурно-динамической симметрией механических систем [7].

1. Система уравнений движения и первые интегралы модель динамика тело

Пусть абсолютно твердое тело движется относительно неподвижного полюса О под воздействием потенциальных, соленоидальных и гироскопических сил. В качестве соленоидальных силовых полей рассматриваем магнитные поля различной природы. Такого рода суперпозицию силовых полей назовем обобщенным силовым полем (ОСП).

Введем координатный ортобазис Г (Оx₁x₂x₃), неизменно связанный с телом, оси Ox_j которого направлены по главным в полюсе О осям тензора инерции тела A = diag (A₁, A₂, A₃). Обозначим: s = [s₁ s₂ s₃]^T - орт, неизменно связанный с инерциальным конфигурационным пространством, заданный координатами в базисе Г; U(s) - силовая функция потенциального поля; щ = [щ₁ щ₂ щ₃]^T - мгно-венная угловая скорость твердого тела. Здесь и всюду далее все координатные элементы заданы в осях базиса Г.

Введем характерные функции [7]

, (1)

заданные на сфере Римана ||s||² = 1, такие, что (U, f) C¹(s), F C⁰(s), где C^r - символ класса гладкости порядка r = 0,1,2,… данной функции. Здесь F, f - заданные величины с размерностью кинетического момента.

Движение твердого тела в ОСП при данных предпосылках определяется системой уравнений, отнесённых к ортобазису Г

(2)

где обозначено

Динамическая система (2), обладающая полем симметрии (термин [15]), в дальнейшем называется обобщенной динамической системой (ОДС) или системой уравнений М.П. Хар-ламова [7]. В этой системе вектор Ф обусловливает гироскопическое воздействие на твёрдое тело, поскольку (Ф Ч щ) щ = 0.

Для ОДС (2) имеют место первые алгебраические интегралы [7]

(3)

, (4)

где h_1, h₂ - постоянные интегрирования.

В соотношениях (3), (4) интеграл J₁ выражает свойство гироскопичности моментно-силового Ф-воздействия, а интеграл J₃ - свойство инвариантности задачи относительно действия группы поворотов по отношению к силовым линиям поля. Векторное поле этой группы порождается ортом s. Интеграл J₂ является интегралом Э.Нетер [16] и порождён группой симметрий.

Обобщенная динамическая система (2) представима в форме уравнений А.Пуанкаре [17] для группы SO(3), а также в форме уравнений Кирхгофа-Ламба [8] для движения твёрдого тела в безграничной идеальной несжимаемой жидкости. В силу гамильтоновости этих уравнений на многообразиях уровня их первых интегралов для полной интегрируемости данной системы по Буру-Лиувиллю [9] необходимо нахождение дополнительного по Уиттекеру [18] независимого алгебраического первого интеграла, находящегося в инволюции [16]. Существование этого интеграла обусловлено структурно-динамической симметрией твердого тела. При этом выполнение условия полной симметричности достаточно для интегрируемости ОДС (2) [9].

2. Особенности структуры обобщенной динамической системы

Уравнения обобщенной ДС (2) в проекциях на оси координатного базиса Г будут

(5)

Здесь и,ц,ш - углы Эйлера (0 < и < р),

Система уравнений (5) аналитически замкнута относительно переменных щ_j, s_j ( j = 1,2,3). Известен ее интегрирующий множитель Якоби [7].

Характерно, что система первых интегралов (3), (4) для ОДС (2), (5) не содержит функцию F (s). Эта величина по отношению к интегральному многообразию данной ОДС, по-видимому, имеет индифферентный характер; вопрос о физическом смысле данной функции остается открытым. Однако функция F (s) может содержаться в некоторых дополнительных (частных) интегралах ОДС. При этом физический смысл частных интегралов, содержащих эту функцию, не установлен [19].

Характерные функции (1) могут быть заданы в виде квадратичных форм [7]

(6)

Здесь N = [ N_ij ], K = [ K_ij ] - заданные квадратные числовые матрицы; а = [a_i], b = [b_j ] -заданные постоянные векторы (i, j = 1,2,3).

Задание величины U в виде (6) соответствует, в частности, выражению для потенциала центрального (ньютоновского) силового поля [5], а также для некоторых силовых полей Д.Н.Горячева [20].

При задании характерных функций (1) в виде (6) из ОДС (5) следует система уравнений задачи о движении твердого тела в безграничной идеальной несжимаемой жидкости (уравнения Кирхгофа-Ламба [8]) в переменных Г.В.Коло-сова [21]. Интегрируемость ОДС (5) при различных формах задания функций (6) исследовалась рядом авторов (см. библиографию [19]). Примечательно, что для задания характерных функций в виде (6) в работах авторов, упомянутых в цитируемой библиографии, принято F (s) ? 0.

Дополнительные по Уиттекеру [18] частные алгебраические интегралы ОДС (5), содержащие только переменные щ_j ( j = 1,2,3), могут существовать для отдельных видов характерных функций (1), не подчиненных выражениям (6). Некоторые из этих интегралов получены в работе [19].

3. Простейшие движения твердого тела в обобщенном силовом поле

Рассматриваются интегрируемые задачи динамики твердого тела, движущегося в ОСП, связанные с его простейшими движениями. К последним отнесем стационарные и маятниковые движения, а также полурегулярную прецессию.

3.1 Стационарные движения

Представим систему первых интегралов (3), (4) в виде

(7)

Здесь < … > - символ суммирования величин по индексу j = 1,2,3.

Определим множество стационарных движений твердого тела, существующее на многообразии интегралов (7). Составим полную невырожденную линейную связку этих интегралов в виде

(8)

где л, м - множители Лагранжа, имеющие размерности угловой скорости и механической энергии соответственно. Выражение (8) можно рассматривать как линейное пространство первых интегралов (7), принимаемых за базисные [22].

Введем переменные q_i , r_i ,такие, что

(9)

Здесь { … } - символ совокупности значений указанных величин. Тогда множество стационарных движений твердого тела определяется системой уравнений

(10)

Уравнения (10) с переменными (9) в силу связки (8) можно интерпретировать как множество преобразований Лежандра от переменных q_i к переменным r_i (i = 1, … , 6), параметризованное величинами л, м. В исходных переменных это множество совпадает с ядром данной системы преобразований [22].

Вводя вектор p = щ - лs и применяя необходимые условия существования условного экстремума для функции V(p, s)

в силу соотношений (7), (8) получаем

(11)

(12)

В равенстве (12) обозначено: E - единичная матрица, U_j = ?U ? ?s_j, f_j = ?f ? ?s_j ( j = 1,2,3). Соотношение (11), равносильное равенству

, (13)

определяет множество перманентных вращений тела относительно орта s со скоростями |щ| = л. В равенстве (13) значения л > 0 соответствуют "прямому" перманентному вращению, а значения л < 0 - "обратному". Уравнение (12) определяет ориентацию оси перманентного вращения в конфигурационном пространстве (s-пространстве параметров s_j).

Из двух любых уравнений системы (12) составим подсистему, определяющую величины л, м, и подставим их выражения в оставшееся уравнение данной системы. В результате получим уравнение, содержащее функции переменных s₁, s₂, s₃. Это уравнение определяет в s-пространстве линейчатую поверхность, образующими которой являются оси перманентного вращения.

Для определения характера стационарных движений тела на выделенном множестве составим якобиан преобразования перехода от переменных q_i к переменным r_i (i = 1, … , 6)

(14)

Обозначим

В результате для соотношения (14) получаем

где c_j = 2А_j, n_j = - лc_j ( j = 1,2,3). В блок М входят выражения

В равенствах (15) обозначено

Представляя якобиан D в развернутой форме, в силу приведенных выражений получаем варианты, соответствующие следующим видам стационарных движений.

1. Значения параметров л, м, для которых D ? 0, соответствуют группе невырожденных преобразований Лежандра. При этом точке r_i = 0 соответствует единственная определённая точка q_i = 0 (i = 1, … ,6). Следовательно, данная часть многообразия стационарных движений составлена из множества перманентных вращений.

2. Из множества значений параметров л, м выделим такие, при которых ранг якобиана D меньше шести. Тогда уравнения (10), представленные в форме

(15)

или в виде

совместно с уравнениями движения (5) определяют множество регулярных прецессий. Эти прецессии при определенных значениях параметров вырождаются в перманентные вращения.

Таким образом, данное многообразие стационарных движений твердого тела составлено из перманентных вращений и регулярных прецессий.

3.2 Маятниковые движения

Из многообразия динамически возможных движений твердого тела выделим движения, для которых выполняются условия (ш, ц) = const. Этим условиям удовлетворяет состояние, при котором

(16)

где s₁ = sin и, s₂ = cos и.

В силу системы уравнений (5) для состояния (16) получаем

(17)

где U_r = U_r (и), Ф_r = Ф_r (и) (r = 1,3). Второе соотношение (17) тождественно удовлетворяется в силу интеграла V₂ (7).

Из уравнения (17) получаем

(18)

где (19)

Соотношение (18) является уравнением беспрецессионных маятниковых колебаний, если Q - периодическая функция [23].

Из интеграла энергии (7) для ДС (18) следует уравнение, позволяющее получить зависимость вида и (t), выраженную в эллиптических функциях.

3.3 Полурегулярная прецессия

Под полурегулярной по Гриоли [24] прецессией понимается движение, удовлетворяющее условиям

, , (20)

где 0 < и ⁰ < р. B силу условий (20) в динамических уравнениях системы (5) имеем Ф_j = Ф_j (ц), U_j = U_j (ц) (j = 1,2,3). Из этих уравнений для данного движения получаем

(21)

(22)

В соотношениях (21), (22) обозначено

,

Поскольку из соотношений (21) только одно является независимым, имеет место ограничение

(23)

Соотношение (23) налагает ограничение на выбор значений параметров и ⁰, ?, определяемых условиями (20), а уравнение (22) устанавливает зависимость вида ц (t). В частности, если характеристики твердого тела и силового поля связаны условиями

, (24)

то искомая зависимость имеет вид

. (25)

Соотношения (20), (25) определяют частный вид рассматриваемого движения - регулярную прецессию. Следовательно, ограничения (24) выражают необходимое условие существования регулярной прецессии. К условиям (24) следует присоединить ограничение (23).

В силу условий (24) для Ф_i , U_i (i = 1,2) получаем . (26)

Полагая

, ,

где с (ц ) = ( sin ц, cos ц ), R = const , из системы условий (21) при А₁ = А₂ получаем

(27)

Здесь величины Ф₃, U₃ предполагаются постоянными. При этом условия (23), (24), (26) тождественно удовлетворяются.

Уравнение (27) является определяющим для параметра ?. В случае, при котором выполняются условия

, ,

данная прецессия реализуется в одном из двух режимов: как "медленная" или как "быстрая" прецессия. При регулярной прецессии соотношения (15), (27) идентичны; при этом л = ?, м = А₁?² .

4. Динамические модели, основанные на уравнениях обобщенной теории динамики

Уравнения ОДС (5) соответствуют некоторой обобщенной динамической модели, частные виды которой реализуются в силовых полях различной природы. В случаях, при которых твердое тело и силовое поле, воздействующее на него, обладают структурно-дина-мической симметрией, задача о движении данного тела является вполне интегрируемой.

В данном разделе показано, что частными видами ОСП являются реальные физические поля, для которых задачи о движении твёрдого тела в определенных случаях являются интегрируемыми.

4.1. Гироскопическое силовое воздействие

В динамических уравнениях ОДС (5) введем условие стационарности

, (28)

где вектор k = const и имеет размерность кинетического момента. Условию (28) удовлетворяет задание характерных функций (1) в виде

, . (29)

Это задание соответствует представлениям характерных функций (1) выражениями (6).

Данный случай соответствует движению твёрдого тела при гироскопическом моментно-силовом воздействии k. В силу этого вектор Ф (s) = k играет роль гиростатического момента, а ОДС (5) является динамической системой гиростата, движущегося в силовом поле с потенциалом U (s).

Таким образом, условие стационарности (28), приводящее к представлению (29), показывает, что величина f (s) выражает проекцию постоянного гиростатического момента k на ось с направляющим ортом s. При этом интеграл (3) проекции кинетического момента тела принимает вид ( A щ + k ) * s = h₂.

4.2 Комбинированное силовое поле (суперпозиция силовых полей)

Предполагается, что твердое тело движется в суперпозиции силовых полей: консервативного и постоянного магнитного поля. Эти силовые поля являются однородными с прямолинейными силовыми линиями, параллельными орту s. На внешней поверхности тела распределены статические одноименные электрические заряды, система которых характеризуется постоянными электростатическими параметрами B_j, b_ij, где [25]

(30)

В равенствах (30) обозначено: S - односвязная область внешней поверхности тела, по которой распределены электрические заряды; у - плотность поверхностного распределения зарядов.

Потребуем, чтобы центр инерции тела был совмещен с центром системы электрических зарядов; тогда все b_ij = 0. В этом случае при движении тела в данном комбинированном силовом поле возникает сила Лоренца, компоненты момента которой, отнесенные к полюсу О, для принятых предпосылок равны [25]

. (31)

Здесь m - характерная магнитная постоянная, величина которой пропорциональна модулю напряжённости магнитного поля.

При данных ограничениях ОДС (5) содержит уравнения движения относительно полюса О твердого тела в суперпозиции потенциального, магнитного полей и поля сил Лоренца с силовым моментом, заданным равенствами (31), и переходит в них при определенных условиях.

Действительно, положим в уравнениях ОДС (5) F (s) = const и введем матрицу M = diag (m₁, m₂, m₃), постоянный вектор m =[m_j ], где m_j = F + mB_j ( j = 1,2,3), а также характерную функцию

, . (32)

В силу представления (32) имеем

,

откуда Ф_j = - mB_j s_j ( j = 1,2,3), что и обусловливает переход динамических уравнений ОДС (5) в указанные уравнения.

4.3. Магнитное поле при эффектах Барнетта и Лондона

Твердое тело, обладающее свойствами ферромагнетика, движется относительно неподвижного полюса в суперпозиции силовых полей: консервативного и постоянного магнитного. Известно, что при быстром собственном вращении в магнитном поле ферромагнетик намагничивается вдоль оси вращения (эффект Барнетта [1, 2], или гиромагнитный эффект [3, с.323]). При этом собственный магнитный момент тела выражается в виде [1]

, (33)

где Л = [л_ij] (i, j = 1,2,3) - постоянная матрица симметричного линейного оператора.

Сходное по эффекту явление имеет место и при вращении в магнитном поле твердого тела, обладающего свойствами сверхпроводимости (эффект Лондона [2]). В этом случае имеет место зависимость, аналогичная равенству (33). При формальной идентичности этих соотношений вида (33) механизм намагничивания твердых тел в каждом из этих случаев различен [1].

Для характерных функций (1) положим

, (34)

и зададим оператор Л в виде Л = лЕ [2], где Е - единичная матрица. То

гда Ф = - лs и ОДС (5) совпадает с системой уравнений движения относительно неподвижного полюса тела-ферромагнетика или сверхпроводящего твердого тела, движущегося в комбинированном силовом поле. При этом выражение (34) для f является частным видом соотношений (6), (32).

Аналогичное утверждение имеет место и при более общей зависимости для магнитного момента I вида (33).

Заключение

Обобщенная модель динамики твердого тела, основанная на концепции комбинированного силового поля, содержит в себе, как частные случаи, модели движения при силовых воздействиях различной природы: потенциального, гироскопического, магнитного и сил Лоренца. Такого рода дедуктивный подход позволяет расширить класс интегрируемых задач динамики твердого тела, выделить общие свойства движения, проявляющиеся при различных силовых воздействиях.

Приведенные примеры силовых полей, порождённых обобщенным силовым полем, интересны тем, что они соответствуют классу интегрируемых задач. Показано, что такого рода задачи моделируются объектами обобщённой теории динамики. По-видимому, этот класс задач не ограничен приведенными примерами и является более широким, охватывающим ряд проблем геодинамики, электродинамики и динамики сложных механических систем.

Поскольку ОДС (2), (5) допускает однопараметрическую группу симметрий (группу диффеоморфизмов), то, согласно теореме Э.Нетер [16], эта система имеет первые алгебраические интегралы (3), (4). Возможное расширение множества этих интегралов обусловливается существованием более широкой группы симметрий.

Как известно, конфигурационным многообразием твердого тела с неподвижной точкой является трехмерная группа вращений SO(3); она гомеоморфна трехмерному вещественному проективному пространству. С другой стороны, ОДС (2) является, вообще говоря, гамильтоновой системой, к которой применим аналитический аппарат гамильтоновой механики.

Таким образом, ОДС (2), как гамильтонова система с динамической симметрией, является перспективным модельным объектом для исследования интегрируемых задач динамики твердого тела.

Список литературы

Вонсовский С.В. Магнетизм. М.: Наука, 1971. 1032 с.

Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Физматгиз, 1963. 696 с.

Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1966. 624 с.

Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Механика // Берклеевский курс физики. М.: Наука, 1971.. Т. 1. 479 с.

Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М.: Мир, 1974. 526 с.

Харламов М.П. О некоторых применениях дифференциальной геометрии в теории механических систем // Механика твердого тела. Киев, 1979. Вып. 11. С.37-49.

Харламов М.П. Симметрия в системах с гироскопическими силами // Механика твердого тела. Киев, 1983. Вып. 15. С.87-93.

Ламб Г. Гидродинамика. М.; Л.: ГИТТЛ, 1947. 928 с.

Арнольд В.И. и др. Математические аспекты классической и небесной механики // Итоги науки и техники. Соврем. пробл. математики: фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1985. Т.3. 304 с.

Веселов А.П. Об условиях интегрируемости уравнений Эйлера на SO(4) // Докл. Акад. наук. 1983. Т.270, №6. С.1298-1300.

Мельхиор П. Физика и динамика планет. М.: Мир, 1976. Т. 2. 483 с.

Srivastava N. and others. Classical spin clusters: Integrability and dynamical properties // Journ. Appl. Phys. 1987. Vol.61, №8. P. 4438-4440.

Srivastava N. and others. Integrable and non-

integrable classical spin clusters // Z. Phys. B. Condensed Matter. 1988. Vol.70, №2. P.251-268.

Bogoyavlensky O.I. Integrable Euler Equations SO(4) and their Physical Applications // Commun. Math. Phys. 1984. Vol.93. P.417-436.

Козлов В.В. Симметрия, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмурт. ун-та, 1995. 431 с.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 432 с.

Poincare H. Sur une forme nouvelle des equations de la mechanique // C.r. Acad. Sci. 1901. Vol.132. P.369-371.

Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.; Л.: ОНТИ, 1937. 500 с.

Харламова Л.Н. Три новых случая интегрируемости уравнений динамики твердого тела // Докл. Акад. наук УССР. Сер. А. 1989. № 2. С.41-44.

Горячев Д.Н. Некоторые общие интегралы в задаче о движении твердого тела. Варшава, 1910. 127 с.

Колосов Г. В. О некоторых видоизменениях начала Гамильтона в применении к решению вопросов механики твердого тела. СПб., 1903.

Иртегов В.Д. О смене устойчивости при бифуркациях // Пробл. аналитич. мех., устойч. и управл. движ.: сб. науч. тр. Новосибирск: Наука (Сибирск. отд-ние), 1991. С.73 -79.

Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969. 379 с.

Grioli G. Generalized precessions // Revue roumaine des sciences techniques. Serie de mecanique appliquйs. 1970. Vol.15, №2. P. 249-255.

Лунев В.В. Интегрируемые случаи в задаче о движении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой в поле сил Лоренца // Докл. Акад. наук. 1984. Т.275, №4.

Размещено на Allbest.ru

...