Исследование микрорельефа поверхности сильвина с помощью метода Хёрста

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 539.3

Исследование микрорельефа поверхности сильвина с помощью метода Хёрста

В.Н. Аптуков, В.Ю. Митин, А.П. Скачков

Пермский государственный университет, Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

aptukov@psu.ru; (342) 239-819; (342) 2396-345

skachkov@psu.ru; (342) 2396-375

Данные измерений микрогеометрических характеристик поверхности сильвина, полученные на приборе NanoTest-600, обработаны статистическим методом нормированного размаха. Для отдельных сегментов экспериментального ряда определены параметры Хёрста.

Ключевые слова: сильвин; нанотест; микрорельеф; параметр Хёрста.

микрогеометрический сильвин хёрст статистический

The investigation of sylvite surface microrelief using the Hurst method

V. N. Aptukov, V. Y. Mitin, A. P. Skachkov

Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st., 15

aptukov@psu.ru; (342) 239-819; (342) 2396-345

skachkov@psu.ru; (342) 2396-375

The measured data concerning some microgeometric properties of sylvite surface received on the device NanoTest-600 have been treated by statistical technology of rescaled range. The Hurst parameters for several segments of the experimental series have been determined.

Key words: sylvite; nanotest; microrelief; Hurst parameter.

Механические свойства минеральных агрегатов существенным образом зависят от их микроструктуры: размеров, геометрии и свойств зерен, размеров и механических параметров межзеренных границ [1, 2]. При изучении микромеханических характеристик зерен соляных пород, таких как модуль упругости и твердость, на современном экспериментальном оборудовании [3] необходимо принимать во внимание "качество" исследуемой поверхности - наличие на ней случайно расположенных микропор, микротрещин и иных дефектов. Кроме того, сведения о микрогеометрии поверхности кристаллов могут быть использованы при выяснении механизмов разрушения и построении соответствующих математических моделей.

В предлагаемой статье делается попытка оценки вероятностных характеристик микрорельефа поверхности сильвина на основе измерений профиля поверхности на приборе NanoTest-600 путем определения параметров Херста отдельных сегментов экспериментального ряда данных.

Экспериментальные измерения

Кристаллы сильвина (KCl) имеют кубическую структуру и входят наряду с галитом (NaCl) в состав биминеральной породы сильвинита - основного сырья для получения калийных удобрений.

Микрорельеф поверхности зерна сильвина измерялся на приборе NanoTest-600 вдоль системы 20 параллельных линий длиной 870 мкм и расстоянием между ними 10 мкм в точках, расположенных на приблизительно равных расстояниях друг от друга (0,34 мкм). Количество измерений на каждой линии составляло, таким образом, около 2500 точек. Величина усилия на конический индентор при сканировании профиля 1 мН, погрешность измерений высоты (профиля) не превышала 1 нм.

Вид исследуемой поверхности сильвина приведен на рис. 1, отражающем микронеоднородности различной геометрии, размеров и ориентации.

Рис. 1. Вид поверхности сильвина при увеличении 1100 х (размер отрезка 20 мкм)

Рис. 2. Рельеф поверхности и линия регрессии

Типичный вид профилограммы приведен на рис. 2. Максимальный размах изменения профиля по высоте составляет на этом участке 9,5 мкм, прямая линия - линия регрессии, показывающая среднее изменение рельефа. В дальнейшем при обработке данных значения высот во всех случаях модифицировались таким образом, чтобы линия регрессии (рис. 2) была горизонтальной.

Показатель Херста

Показатель (параметр) Херста [4] определяется как угловой коэффициент наклона линии регрессии эмпирической зависимости (1), построенной в двойных логарифмических координатах

, (1)

где - нормированный размах, - период (длина ряда) наблюдений.

Нормированный размах определяется через разность

(2)

накопленного максимального и минимального отклонения случайной величины от ее среднего значения за время

(3)

и стандартное отклонение

,

. (4)

Метод нормированного размаха применяется обычно при обработке временных рядов, но есть примеры его использования в случае, когда роль времени играет пространственная координата, например в работах [4, 5].

Теоретически доказано, что для случайного процесса (броуновского движения) показатель Херста = 0,5. Псевдослучайный сигнал (стандартный генератор случайных чисел) дает = 0,56.

На большом эмпирическом материале было показано [4], что для многих природных процессов и явлений показатель Херста лежит в диапазоне = 0,72 - 0,74 - это справедливо для процессов, имеющих трендовую составляющую (наличие памяти и сохранение имеющейся тенденции). Для детерминированного сигнала получен показатель =1,026.

Антиперсистентные системы, проявляющие цикличность (после роста идет спад), дают значения показателя < 0,5.

Интерес к показателю Херста при исследовании геометрии фрактальной кривой обусловлен также тем, что он связан с фрактальной размерностью соотношением

. (5)

4. Статистическая обработка данных

Множество точек (около 2500), расположенных вдоль линии, в которых замерялась высота профиля, разбивалось на три примерно равные группы точками с порядковыми номерами 800 и 1600. От каждой из них в обе стороны были отложены интервалы по 300 точек, концевые точки которых имеют порядковые номера 501, 1100 и 1301, 1900 соответственно.

Для каждого интервала рассматривалось три варианта статистической обработки:

в прямом направлении (501>1100, 1301>1900);

в обратном направлении (1100>501, 1901>1300);

в обоих направлениях от центра (800±300, 1600±300).

Для первых двух вариантов использовался метод, предложенный самим Херстом [4], для третьего варианта использовался модифицированный метод. Физический смысл третьего варианта состоит в определении статистической закономерности микрогеометрических характеристик при удалении от некоторого "центра" в обе стороны вдоль выбранной прямой.

На рис. 3 показана зависимость (1), построенная в логарифмических координатах, и соответствующая линия регрессии, по которой определялся параметр Херста.

Рис. 3. Зависимость параметров распределения и линия регрессии для второй группы точек (обратное направление)

Результаты обработки свидетельствуют о наличии статистической закономерности трендового характера с показателем Херста, несколько превышающим диапазон 0,72 - 0,74.

На рис. 4 для этого же диапазона представлена зависимость текущего параметра Херста от количества экспериментальных точек (длины ряда). Налицо переход от детерминированного поведения к постепенному случайному трендовому характеру, стабилизации значения . Подобная нетривиальная зависимость показателя от длины ряда обсуждается в работе [5], где выдвинуто предположение, что для очень большого числа наблюдений при ожидается стремление процесса к броуновскому движению, когда эффекты памяти стремятся к нулю: .

Рис. 4. Зависимость показателя Херста от количества экспериментальных точек для второй группы точек (обратное направление)

Результаты вычислений показателя Херста по двум группам точек в прямом и обратном направлении, а также в обоих направлениях от "центра" представлены в таблице.

Анализ результатов

Определение статистических параметров микрорельефа поверхности имеет существенную особенность по сравнению с их определением для временных рядов. Показатель Хёрста, вычисленный по известной схеме (как и для временных рядов), в той или иной степени зависит от выбранного направления в плоскости.

Сравнение результатов для выбранных групп точек с результатами исследования по всему интервалу точек показывает, что ряд в 600 значений может быть недостаточно велик для того, чтобы получить устойчивые значения показателя Херста.

Выбранные группы точек имеют различные значения показателя Хёрста: для первого интервала большие, для второго интервала - меньшие. В соответствии с теорией это означает следующее:

А) На втором участке рельеф поверхности ближе к случайному гауссовскому распределению ( = 0,5), но с наличием определенного тренда; на первом участке рельеф поверхности обладает почти детерминированным распределением.

Б) Поверхность первого участка менее изрезана, фрактальный показатель 0,9-1,0, по сравнению с поверхностью второго участка, где = 1,1 - 1,2.

В) Значения показателя , близкие к единице и даже большие единицы, возможно, говорят о недостаточности количества экспериментальных данных. Это косвенно подтверждает факт, что при вычислении показателя Херста на интервале данных, использующем все экспериментальные точки, таких высоких значений показателя не наблюдалось ( < 1).

Устойчивое отличие показателей Херста на разных отрезках, полученное как в прямом, так и в обратном направлениях, говорит о качественно различном характере геометрии поверхности отдельных сегментов кристалла сильвина.

В заключение авторы выражают искреннюю благодарность профессору С.А.Константиновой за обсуждение постановки задачи и результатов исследований.

Список литературы

1. Ржевский В.В., Новак Г.Я. Основы физики горных пород. М.: Недра, 1973. 286 с.

2. Баклашов И.В. Деформирование и разрушение породных массивов. М.: Недра, 1988. 271 с.

3. Аптуков В.Н., Константинова С.А., Скачков А.П. Микромеханические свойства карналлита, сильвинита и каменной соли Верхнекамского месторождения // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 2010. № 4. С.13-20.

4. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 254 с.

5. Потапов А.А., Булавкин В.В., Герман В.И. и др. Исследование микрорельефа обработанных поверхностей с помощью методов фрактальных сигнатур // Журнал технической физики. 2005. Т. 75, вып.5. С.28-45.

6. Калуш Ю.А., Логинов В.М. Показатель Херста и его скрытые свойства // Сибирский журн. индустр. математики. 2002. Т.5, № 4 (12). С.29-37.

Размещено на Allbest.ru