Размещено на http://www.allbest.ru/

Численное исследование конвективного вихря в неоднородно нагретой вращающейся области

Д. А. Винокуров¹, Е. Л. Тарунин²

¹df6.626@gmail.com; 89058621711

²tarunin@psu.ru; (342) 2-237-10-31

Методами математического моделирования исследовалась конвекция во вращающейся цилиндрической области. Исходная постановка задачи соответствовала экспериментам на лабораторной установке, выполненным в Перми для моделирования тайфуна. Исследовались условия формирования интенсивного циклонического вихря около оси цилиндра и условия перестройки течения на оси цилиндра со сменой направления движения жидкости. Определены границы существования рассматриваемых течений в плоскости чисел Грасгофа и Рейнольдса.

Ключевые слова: конвекция; приближение Буссинеска; дифференциальное вращение; тропический циклон; перестройка течения; двухполевой метод.

конвекция вращающийся цилиндрический вихрь

Numerical investigation of convective vortex in locally heated rotating vessel

D. A. Vinokurov¹, E. L. Tarunin²

¹df6.626@gmail.com; 89058621711

²tarunin@psu.ru; (342) 2-237-10-31

The convection in rotating cylindrical vessel was studied with using methods of mathematical modeling. The original formulation of the problem corresponded to the laboratory setup made in Perm for a typhoon modeling. Conditions of the intensive cyclonic vortex formation near a cylinder axis and conditions of flow restructuring were studied. Borders of concerned flows existence were determined in a plane of Grashof and Reynolds dimensionless numbers.

Key words: convection; Boussinesq approximation; differential rotation; tropical cyclone; flow restructuring, two-field method.

Введение

Ярким примером природного явления с вихревым течением газа является тропический циклон. С целью изучения тропического цикло-на экспериментаторы в Перми выполнили серию лабораторных исследований конвекции во вращающейся цилиндрической кювете диаметром 30 см [1-5]. Эти эксперименты были начаты Богатырёвым Г.П. и продолжены его коллегами. В качестве рабочей жидкости ис-пользовались трансформаторное масло и его смесь с авиационным керосином. Конвективное течение возникало за счет нагрева центральной части дна кюветы. Наибольшее значение разности температур достигало . В некото-рых опытах азимутальная скорость вращения жидкости превосходила скорость твердотель-ного вращения примерно в 10 раз.

Численная трехмерная модель, схожая с лабораторной по объекту и предмету иссле-дования, описывается в работе [6]. Рассмат-ривалась задача о зарождении вихря во вращающейся кювете при неравномерном подо-греве ее снизу. Представлены результаты расчета режима формирования интенсивного вихря из крупномасштабной конвективной ячейки. Полу-ченный вихрь совершал циклоническое враще-ние, на порядок превосходившее скорость враще-ния кюветы, и обладал характерными чертами тайфунов в земной атмосфере. Дополнительно были исследованы стадии перестройки течений в вихре после отключения нагрева.

В работе [7] с помощью пакета ANSYS CFX исследовалось похожее явление при варьировании различных параметров (геоме- трические параметры, вязкость, поток тепла, скорость вращения) в размерной постановке. Основное внимание уделялось интегральным характеристикам дифференциального вращения, была исследована зависимость относи- тельного углового момента слоя от различных параметров.

В данной работе методами математи- ческого моделирования также исследуется кон- вективное течение во вращающейся кювете. Постановка задачи выбиралась близкой (по геометрии и значениям безразмерных пара- метров) к лабораторным экспериментам [4].

В отличие от предыдущих численных исследований, в этом иследовании основное внимание уделено условиям формирования ин-тенсивного циклонического вихря и условиям перестройки течения на оси цилиндрической области. Течение в центре тропического циклона называют в метеорологии "глазом тайфуна", а при отсутствии вращения течение называют "костром Каина" [8].

1. Модель

Осесимметричное конвективное движе- ние вязкой жидкости в приближении Бусси- неска [9] описывалось следующей системой уравнений в безразмерных переменных:

(1)

(2)

(3)

(4)

где - вектор скорости, - температура, вихрь скорости определен формулой

(5)

а функция тока введена следующим образом:

(6)

Геометрия рассматриваемой области изображена на рис. 1. Дно и боковые границы области полагались твердыми и непроницае-мыми. Верхняя граница считалась свободной, но не деформируемой. Повышенная темпера-тура задавалась на дне полости при . Отсчет температуры осуществлялся от задан-ной температуры на верхней границе. Остальные части полости были теплоизо-лированными. Задача содержит три безраз-мерных критерия подобия - числа Грасгофа, Прандтля и Рейнольдса:

В качестве единиц обезразмеривания для расстояния, скорости, времени, температуры и давления были выбраны соответственно: , , , , , где - высота слоя жидкости, - максимальный перепад температур.

a

b

Рис. 1. Геометрия исследуемой области

Вихрь скорости на твердых границах определялся по формуле Тома, на свободной верхней границе и оси он полагался нулевым:

(7)

Граничные условия для функции тока соответствовали непроницаемым оси и стенкам:

(8)

Граничные условия для температуры:

Граничные условия для азимутальной скорости:

(10)

Начальные условия соответствовали непрогретой покоящейся жидкости:

(11)

Эволюционные уравнения системы (1,3-4) решались по явным двухслойным схемам с использованием направленных разностей в конвективных слагаемых (центральные разно- сти приводили к неустойчивости схемы). Поря-док погрешности аппроксимации схемы . Уравнение Пуассона для функции тока (2) на каждом шаге по времени решалось итерационным методом последовательной верх-ней релаксации [10]. Шаг по времени выбирался из соображений устойчивости используемой разностной схемы, но с некоторым запасом.

Пространственная сетка была равно- мерной. Число используемых узлов сетки по горизонтали и вертикали изменялось от до . Оценка погрешности по кинетической энергии с использованием идеи Рунге-Ромберга показывает, что на сетке относительная погрешность составляет , а при - . В основном для расчетов использовалась сетка .

В ходе вычислений определялись раз-личные интегральные характеристики течения: кинетическая энергия (полная, меридиональная, вращательная, циклоническая и антицикло-ническая), максимальная скорость, максималь-ная функция тока, максимальное отклонение азимутальной скорости от твердотельного вра-щения. Расчет останавливался при установле-нии характеристик течения. Безразмерное время установления решения в зависимости от пара-метров менялось от 0.5 до 10.

2. Результаты

2.1 Формирование интенсивного циклонического вихря

Основными изменяемыми параметрами были числа Грасгофа () и Рейнольдса (). Число Прандтля изменялось от до . Указанные значения параметров близки к тем, что использовались в лабораторных экспериментах. Отметим, что полноценное срав-нение результатов расчета с результатами лабо-раторных экспериментов едва ли возможно.

Во-первых, в расчетах не учитывается зависимость параметров жидкости от темпе-ратуры. А при максимальной разности темпера-тур в следует ожидать изменения числа Прандтля более чем в два раза.

Во-вторых, в эксперименте на верхней границе происходил теплообмен с воздухом, а в расчетах температура на верхней границе была фиксированной.

Были получены два типа характерных картин установившихся течений. В первом случае циклоническая и антициклоническая зоны при-мерно одинаковы по максимальным значениям азимутальной скорости, во втором - циклон вытесняет антициклон из центральной зоны и значительно превосходит его по максимальной скорости. Второй случай характерен для больших чисел Грасгофа. Наглядной характеристикой интенсивности циклона и антициклона является относительное отклонение азимутальной ско-рости от скорости твердотельного вращения:

где - азиму-тальная скорость твердотельного вращения.

a

b

Рис. 2. Изолинии (a) и (b) для случая , ,

a

b

Рис. 3. Изолинии (a) и (b) для случая , ,

Вид линий тока и для первого случая представлен на рис. 2, для второго - на рис. 3. Отметка на дне около показывает границу нагреваемой зоны. Как видно из изолиний , в нижней части вблизи оси образуется зона циклона - жидкость движется быстрее, чем при твердотельном вращении (), а в остальной части - зона антициклона, жидкость движется медленнее (). Черной сплошной линией на рисунках обозначалась граница между циклоном и антициклоном (изолиния ).

В лабораторных экспериментах [4] граница возникновения интенсивного циклони-ческого вихря определялась следующим образом. Использовался поплавковый датчик, состоящий из трех плексигласовых стакан-чиков. Ось вращения датчика совпадала с осью кюветы. Высота стаканчиков практически совпадала с глубиной слоя жидкости. Таким образом, датчик осреднял угловую скорость по всей глубине слоя (3 см) в центральной зоне кюветы и так получалось значение . Точка изменения угла наклона графика или считалась точкой образования интенсивного вихря.

a

b

Рис. 4. , . (a), (b, 1) и (b, 2)

В данной работе была сделана попытка осреднять угловую скорость аналогично лабораторным опытам. Однако на большинстве графиков не было заметно изменений угла наклона, аналогичных изменениям на графиках, полученных лабораторным путем. В то же время на рисунках был отчетливо виден интенсивный вихрь вблизи оси.

Поэтому были испробованы другие способы определения границы режимов.

Во-первых, для определения точки воз-никновения вихря использовались графики за-висимости кинетических энергий от числа Грасгофа - энергии меридионального движения (рис. 4a), вращательного движения (рис. 4b, 1) и полной кинетической энергия (рис. 4b, 2). монотонно увеличивается с ростом числа Грасгофа. и отражают более сложное поведение. Сначала полная энергия падает с ростом числа Грасгофа. Это может быть объяснено следующим образом.

Основной вклад в кинетическую энергию вносится вращением, которое сначала осла-бевает из-за перемешивания развивающимся меридиональным течением. Затем зарождается интенсивный циклонический вихрь, полная и кинетическая энергия начинают расти. Точка изменения знака производной зависимости считалась точкой возникновения вихря, крити-ческим числом Грасгофа.

Рис. 5. Граница существования интенсив-ного циклонического вихря (1, 2 - вычисли-тельный эксперимент, 3 - лабораторный эксперимент [4])

Во-вторых, в описании лабораторных экспериментов упоминалось, что развитие ин-тенсивного вихря сопровождается выходом циклонического течения на поверхность жид-кости. Поэтому для определения границы воз-никновения интенсивного вихря вычислялась площадь, занимаемая циклоническими течени-ями в верхнем слое жидкости. При малых числах Грасгофа эта площадь близка к нулю, а после некоторого критического числа начинает линейно возрастать.

Для нескольких чисел Рейнольдса каждым из двух способов были определены и в результате были установлены границы существования интенсивного циклонического вихря. Граница, определенная по кинетическим энергиям, изображена на рис. 5, линия 1. Грани-ца, определенная по площади циклонических течений на поверхности, изображена на рис. 5, линия 2. Для сравнения линией 3 показан ре-зультат, полученный в лабораторном экспери-менте Богатырева Г. П. [4]. Зона существования интенсивного циклонического вихря распо-ложена выше этих границ. Как видно, правые ветви обеих линий, полученных в вычисли-тельном эксперименте, качественно схожи с результатом лабораторных экспериментов.

Однако получить значения на левой ветви не получилось, хотя в лабораторном экспери-менте они были.

a

b

Рис. 6. на уровне для случая , , (a) и для случая , , (b)

2.2 Перестройка течения на оси цилиндра

Обсудим результаты исследования перестройки течения на оси цилиндра. При определенных значениях и движение жидкости меняется с восходящего на нисхо-дящее. Зависимость вертикальной компоненты скорости от радиуса на уровне изображена на рис. 6a для значений , , . На рисунке отчетливо видны большие значения скорости, направленной вниз. Для сравнения на рис. 6b показан случай восходящего течения при других значениях чисел и .

Подобные течения существуют только при определенных значениях параметров. Граница существования этих течений показана на рис. 7, она определялась по знаку скорости . Выше границы раздела реализуется течение с восходящей струей на оси цилиндрической области. Как видно по положе-нию границы, нисходящее течение соответ-ствует большим числам Рейнольдса. Вихрь (об-суждался в предыдущем разделе) при этих зна-чениях параметра значительно ослабевает из-за большой скорости вращения кюветы, интенсив-ного циклонического вихря не образуется.

Рис. 7. Граница перестройки течения у оси кюветы

Для определения границы рассматри-ваемых режимов течения требуется большое число вычислительных экспериментов с малым шагом изменения параметров задачи. Затруд-нения связаны также с отсутствием стацио-нарного течения при больших значениях чисел Грасгофа и Рейнольдса. Нестационарность час-то проявляется в периодических колебаниях характеристик одного типа течения (восходя-щего или нисходящего).

Однако при некоторых значениях пара-метров со временем периодически меняется и тип течения. Пример колебательного режима с перестройкой течения на оси изображен на рис.8. Как видно, вертикальная компонента ско-рости меняет знак на каждом периоде коле-баний единиц безразмерного времени. На слайдах изотерм и функции тока в этом случае видна серия неустойчивых поперечных валов, возникающих в пограничном слое вбли-зи границы подогрева. Эти валы "проталки-вают" нисходящее течение к оси цилиндра.

Рис. 8. при , ,

a

b

Рис. 9. , ,, . a - , b -

Рассмотрим структуры азимутальных и меридиональных течений для двух моментов времени, соответствующих положительной и отрицательной скоростям на графике коле-баний на рис. 8. Для восходящего течения и на рис. 9 показаны линии тока (рис.9a) и поле (рис. 9b). Для нисходящего течения и аналогичные графики приведены соответственно на рис. 10a и рис.10b.

Как видно по рисункам, структура течения в обоих случаях состоит из нескольких концентрических валов. Вал, обозначенный темным оттенком, соответствует движению жидкости против часовой стрелки в плоскости . Этот вал расположен между двумя ва-лами с движением жидкости по часовой стрелке и в ходе развития течения смещается к оси, вытесняет внутренний вал и впоследствии сам вытесняется внешним валом.

Помимо больших валов присутствуют и малые, размером на порядок меньше. Большая часть малых валов вращаются против часовой стрелки и не успевают вырасти, лишь один из них достигает размеров высоты слоя и превращается в большой вал, описанный ранее.

Циклонические и антициклонические течения (рис. 9b и рис. 10b) достаточно неус-тойчивы, меняются вместе с движением больших валов. Хотя и виден циклонический вихрь (по мак-симальному значению в четыре раза превос-ходящий антициклонические течения), он нестаби-лен, его форма и положение постоянно меняются.

a

b

Рис. 10. , , , ; a - , b -

Вычислительные эксперименты показали, что граница режимов понижается при увеличе-нии размеров теплового пятна на дне кюветы. Этот эффект понятен с точки зрения конвектив-ной устойчивости равновесия подогреваемой снизу жидкости даже без вращения [9].

Рис. 11. для ,

Перейдем к описанию вычислительных экспериментов, позволивших выяснить характе-ристики гистерезисных эффектов смены режи-ма течения. На рис. 11 показаны зависимости от числа Грасгофа. Линия 1 соответствует изменению числа Грасгофа от 2000 до 22000 с шагом 2000 с использованием метода продолжения по параметру. Линия 2 соответ-ствует изменению в обратном направлении. Жирные линии соответствуют средним значе-ниям по времени, штриховые линии показы-вают минимальные и максимальные значения в процессе колебаний.

Как видно, амплитуда колебаний возрас-тает с ростом числа Грасгофа. При значениях колебания практически не заметны.

Заключение

В ходе вычислительных экспериментов получены следующие результаты:

1. Частично подтверждена граница существования интенсивного циклонического вихря, выявленная в лабораторных экспериментах.

2. Определена граница перестройки течения жидкости на оси цилиндра со сменой направления движения.

3. Выявлен колебательный характер течения жидкости при больших значениях чисел Грасгофа и Рейнольдса.

4. Выявлен эффект гистерезиса для перестройки течения.

Список литературы

1. Богатырев Г.П. Возбуждение циклонического вихря, или лабораторная модель тропического циклона // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1990. Т.51, № 11. С.557-559.

2. Богатырев Г.П., Попова Э.В. Исследование поля скорости в лабораторной модели тропического циклона // Вестник Перм. ун-та. Сер. Физика. 1994. №2

3. Богатырев Г.П., Смородин Б.Л. Физическая модель вращения тропического циклона // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1996. Т.63, №1. С.25-28.

4. Богатырев Г.П., Колесниченко И.В., Левина Г.В., Сухановский А.Н. Лабораторная модель процесса образования крупно-масштабного спирального вихря в конвективно-неустойчивой вращающейся жидкости // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2006. Т.42, №4. С.60-466.

5. Batalov V., Sukhanovsky A., Frick P. Laboratory study of differential rotation in convective rotating layer // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. 2010. Vol.104, №4. P.349-368.

6. Иванов М.Ф., Поварницын М.Е. Численное моделирование эволюции интенсивных конвективных вихрей тайфунного типа во вращающейся жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 3. С. 69-77.

7. Сухановский А.Н. Формирование дифференциального вращения в цилиндрическом слое жидкости // Вычислительная механика сплошных сред. 2010. Т.3, № 2. С.103-115.

8. Тарунин Е.Л., Шарапова А.М. Ветвление осесимметричного конвективного течения // Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 2. С.23-33.

9. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. С.392.

10. Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. С.228.

Размещено на Allbest.ru