Колебания двойного маятника

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Волгоградский государственный социально-педагогический университет»

(ФГБОУ ВПО «ВГСПУ»)

Факультет математики, информатики и физики

Кафедра высшей математики и физики

Реферат

по дисциплине «Физика»

направления 44.03.05 «Педагогическое образование» профилей «Математика», «Информатика»

Колебания двойного маятника

Работу выполнила

студентка группы МИФ-МИБ-31

Градобоева Александра Николаевна

Проверил

Доктор физико-математических наук

Глазов Сергей Юрьевич

Волгоград, 2019



Введение

Двойной маятник - это, несомненно, настоящее чудо природы. Поразителен скачок сложности, который наблюдается при переходе от простого одиночного маятника к двойному. Колебания простого маятника имеют регулярный характер. При малых отклонениях от равновесия такие колебания являются гармоническими и описываются функцией синус или косинус. В случае нелинейных колебаний период зависит от амплитуды, но регулярность движения сохраняется. Другими словами, в случае простого маятника приближение малых колебаний вполне отражает существенные свойства системы. Двойной маятник "ведет себя" совершенно иначе. Уже в режиме малых колебаний у двойного маятника возникает такое новое явление как эффект биений. А при увеличении энергии характер колебаний маятников меняется принципиально ? колебания становятся хаотическими. Несмотря на то, что двойной маятник можно описать системой нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений, то есть вполне детерминированной моделью, появление хаоса выглядит очень необычно. Данная ситуация напоминает систему Лоренца, где детерминированная модель из трех уравнений также демонстрирует хаотическое поведение. Попробуйте поэкспериментировать с приведенным ниже приложением и понаблюдайте за движением двойного маятника при различных отношениях масс тел и начальных углах.

Далее мы займемся построением математической модели двойного маятника в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений. Начнем с вывода уравнений Лагранжа. маятник колебание легранж



1. Уравнения Лагранжа

В лагранжевой механике для описания системы используются обобщенные координаты и обобщенные скорости. В нашем случае в качестве таких переменных можно взять углы отклонения маятников б1,б2 и угловые скорости . Используя указанные переменные, построим лагранжиан двойного маятника и запишем дифференциальные уравнения Лагранжа. Упрощенная модель двойного маятника показана на рисунке 1. Будем считать стержни невесомыми. Их длины равны l₁ и l₂ . Массы точечных тел (они представлены шарами конечного радиуса) составляют m₁ и m₂. В точках подвеса трение отсутствует.

<tbody> </tbody>

Введем систему координат Oxy, начало которой совпадает с точкой подвеса. Координаты маятников определяются следующими соотношениями:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кинетическая и потенциальная энергия маятников (соответственно T и V) выражаются формулами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тогда лагранжиан записывается в виде

Размещено на http://www.allbest.ru/

Учтем, что



Размещено на http://www.allbest.ru/

Следовательно,

Размещено на http://www.allbest.ru/

В результате лагранжиан системы принимает такой вид:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теперь мы можем составить уравнения Лагранжа (иногда их называют уравнениями Эйлера-Лагранжа):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Входящие в уравнения частные производные выражаются следующими формулами:



Размещено на http://www.allbest.ru/

Следовательно, первое уравнение Лагранжа записывается как

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сокращая на l₁ ? 0, получаем:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аналогично выведем второе дифференциальное уравнение:

Размещено на http://www.allbest.ru/



После сокращения на m₂l₂? 0 уравнение принимает такой вид:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Таким образом, нелинейная система двух дифференциальных уравнений Лагранжа записывается как

Размещено на http://www.allbest.ru/

Малые колебания двойного маятника

Если считать углы б₁(t),б₂(t) малыми, то колебания маятников вблизи нулевого положения равновесия можно описать линейной системой уравнений. Чтобы получить такую систему, вернемся назад к исходному лагранжиану системы:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Запишем этот лагранжиан в более простом виде, раскладывая его в ряд Маклорена и сохраняя линейные и квадратичные члены. Тригонометрические функции можно заменить следующими приближенными выражениями:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Здесь мы учли, что слагаемое с cos(б₁?б₂) содержит произведение малых величин и имеет второй порядок малости. Поэтому в разложении косинуса можно ограничиться линейным членом. Подставляя это в исходный лагранжиан и учитывая, что потенциальная энергия определяется с точностью до константы, получаем квадратичный лагранжиан двойного маятника в виде:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Выведем дифференциальные уравнения Лагранжа для данного лагранжиана. Они записываются в таком виде:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Найдем частные производные:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Получаем систему двух дифференциальных уравнений Лагранжа:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Данную систему уравнений можно записать в компактной матричной форме. Введем матрицы



Размещено на http://www.allbest.ru/

Тогда система дифференциальных уравнений представляется в виде

Размещено на http://www.allbest.ru/

В случае одного тела такое уравнение описывает свободные незатухающие колебания с определенной частотой. В случае двойного маятника решение (как вы увидим ниже) будет содержать колебания с двумя характерными частотами, которые называются нормальными модами. Нормальные моды представляют собой действительную часть комплекснозначной векторной функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

где H₁, H₂ ? собственные векторы, щ ? действительная частота. Значения нормальных частот щ_1,2 определяются из решения характеристического уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Выведем общие формулы для циклических частот щ_1,2 в случае произвольных масс m₁, m₂ и длин l₁, l₂ :



Мы получили биквадратное уравнение для частот щ. Вычислим дискриминант:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Таким образом, квадраты нормальных частот щ_1,2 равны

Размещено на http://www.allbest.ru/

или

Размещено на http://www.allbest.ru/

Данное выражение является несколько громоздким. Поэтому далее рассмотрим случай, когда длины стержней обоих маятников равны: l₁=l₂=l. Тогда нормальные частоты будут определяться более компактной формулой



Как видно, собственные частоты щ_1,2 зависят лишь от отношения масс м = m₂/m₁. Зависимости частот щ₁, щ₂ от параметра м (при условии g/l = 1) показаны на рисунке 2. В частности, при равных массах m₁=m₂ = m, т.е. при м = 1, собственные частоты равны

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теперь, после того как собственные частоты щ_1,2 известны, для описания нормальных мод нужно определить еще собственные векторы H_1,2 . Они находятся из решения векторно-матричного уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть собственный вектор H₁=(H₁₁, H₂₁)^T (верхний индекс ^T означает операцию транспонирования) соответствует нормальной частоте щ₁ . Тогда получаем следующее уравнение для определения H₁:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Координаты собственного вектора H₁ удовлетворяют уравнению



Размещено на http://www.allbest.ru/

Таким образом, собственный вектор H₁ равен

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аналогичным образом найдем координаты второго собственного вектора H₂= (H₁₂, H₂₂)^T:

Размещено на http://www.allbest.ru/



Следовательно, собственный вектор H₂ имеет такие координаты:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Общее решение матричного уравнения записывается в виде

Размещено на http://www.allbest.ru/

где постоянные C₁, C₂, ц₁, ц₂ зависят от начальных положений и скоростей маятников. Рассмотрим характер малых колебаний для некоторого конкретного набора начальных данных. Пусть, например, координаты и скорости маятников в начальный момент имеют такие значения:

Размещено на http://www.allbest.ru/

В этом случае начальные фазы равны нулю: ц₁ = ц₂ = 0. Определим постоянные C₁ и C₂:

Размещено на http://www.allbest.ru/



Тогда закон колебаний маятников выражается формулами

Размещено на http://www.allbest.ru/

где циклические частоты щ_1,2 определяются соотношением

Размещено на http://www.allbest.ru/

Здесь углы б₁(t), б₂(t) выражаются в радианах, а время t в секундах. На рисунках 3-5 приведены графики малых колебаний маятников для трех значений м м: м₁=0.2, м₂=1, м₃=5, при условии l=l₁=l₂=0.25м, g=9.8м/с². Углы отклонения маятников для удобства приведены в градусах. Из графиков видно, что в системе происходят биения, при которых энергия циклически переходит от одного маятника к другому. Когда один маятник почти останавливается, другой раскачивается с максимальной амплитудой. Через некоторое время маятники "меняются ролями" и так далее. Колебания с большей частотой щ₁ модулируются более низкочастотными колебаниями с частотой щ₂. Это особенно хорошо заметно на рисунке 5 при большом значении м (м₃ = 5), когда разница между частотами щ₁ и щ₂ велика.

Итак, малые колебания двойного маятника имеют периодический характер и описываются суммой двух гармоник с частотами щ₁, щ₂, зависящими от параметров системы. Характерным свойством малых колебаний двойного маятника является эффект биений.



2. Преобразование Лежандра и уравнения Гамильтона

Вернемся теперь снова к исходной нелинейной системе уравнений и исследуем характер колебаний с произвольной амплитудой. Такая система уравнений не решается аналитически. Поэтому мы будем рассматривать численную модель двойного маятника. Приведенные выше уравнения Лагранжа являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Их удобнее преобразовать в форму канонических уравнений Гамильтона. В результате вместо 2 уравнений второго порядка мы получим систему 4 дифференциальных уравнений первого порядка. В гамильтоновой механике состояние системы определяется обобщенными координатами и обобщенными импульсами. В нашем случае в качестве обобщенных координат мы снова, как и в уравнениях Лагранжа, будем использовать углы б₁, б₂. Вместо обобщенных скоростей (в лагранжиане) введем теперь обобщенные импульсы p₁, p₂, связанные со скоростями формулами

Размещено на http://www.allbest.ru/

или в краткой записи:

Переход от лагранжевой к гамильтоновой форме уравнений производится с помощью преобразования Лежандра, которое определяется следующим образом. Предположим, что f(x) ? гладкая выпуклая вниз функция (рисунок 6). Рассмотрим прямую y = px, проходящую через начало координат. Расстояние между прямой y = px и функцией y = f(x) вдоль оси Oy зависит от координаты x. При определенном значении x это расстояние будет максимальным. Ясно, что оно зависит от наклона прямой, т.е. от параметра p. Таким образом мы вводим новую функцию g(p):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Такое преобразование функции f(x) в сопряженную функцию g(p) называется преобразованием Лежандра. Заметим, что функция g(p) достигает максимального значения по переменной x когда p = df/dx. Действительно,

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зная зависимость p(x), можно найти обратную функцию x(p). Тогда преобразование Лежандра будет выражаться соотношением

Размещено на http://www.allbest.ru/

Преобразование Лежандра легко обобщается на случай функций нескольких переменных. В модели двойного маятника переход от функции Лагранжа к функции Гамильтона описывается преобразованием Лежандра в форме:

Размещено на http://www.allbest.ru/

В этом выражении L является лагранжианом, а функция H представляет собой гамильтониан системы, который зависит от обобщенных координат б₁, б₂ и обобщенных импульсов p₁, p₂. В результате такого преобразования каждое уравнение Лагранжа переходит в систему двух канонических уравнений Гамильтона, имеющих вид:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определим теперь конкретный вид уравнений Гамильтона для двойного маятника. Обобщенные импульсыp₁, p₂ выражаются через частные производные лагранжиана в виде

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решим эту систему уравнений и выразим угловые скорости через обобщенные координаты и импульсы. Воспользуемся формулами Крамера и вычислим соответствующие определители:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Отсюда получаем следующие выражения для угловых скоростей:



Размещено на http://www.allbest.ru/

Эти формулы представляют собой первые 2 (из 4) дифференциальных уравнений Гамильтона. С учетом данных выражений гамильтониан можно записать в следующем виде:

Размещено на http://www.allbest.ru/



Последнюю формулу можно представить как

Размещено на http://www.allbest.ru/

Числитель N в этом выражении является весьма громоздким. Упростим его:

Размещено на http://www.allbest.ru/



Следовательно, функция Гамильтона принимает такой вид:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Здесь первое слагаемое представляет собой обобщенную кинетическую энергию T, а два других слагаемых ?потенциальную энергию V, т.е. гамильтониан H определяется как

где

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теперь мы можем составить еще два дифференциальных уравнения Гамильтона для обобщенных импульсов:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вычислим отдельно частные производные обобщенной кинетической энергии:



Размещено на http://www.allbest.ru/

где символами A₁ и A₂ обозначены выражения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Производная кинетической энергии T по переменной б₂ будет иметь такой же вид, только с противоположным знаком:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Отсюда получаем уравнения Гамильтона в виде:

Итак, в результате громоздких преобразований мы получили то, к чему так долго стремились ? систему 4 канонических уравнений Гамильтона, описывающих движение двойного маятника. Запишем их вместе в окончательном виде:

где

3. Теперь можно приступить к численному анализу уравнений

Численное моделирование хаотических колебаний

Наиболее распространенным методом численного решения дифференциальных уравнений является метод Рунге-Кутты 4-го или 5-го порядка точности. Различные вариации этого метода используются в большинстве математических пакетов (MatLab, Maple, Mathematica, Mathcad), как правило, с автоматическим контролем точности и адаптивным временным шагом. Для моделирования движения двойного маятника мы также воспользуемся классическим методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности. Предварительно несколько упростим дифференциальные уравнения, полагая, что длины маятников одинаковы: l₁=l₂ = l. Введем также параметр м, равный отношению массы второго маятника к массе первого: м = m₂/m₁. Тогда система уравнений принимает следующий вид:



где

Данную систему можно переписать в векторной форме:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вектор Z составлен из 4-х канонических переменных данной системы, а компоненты вектора f соответствуют правым частям дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутты предполагает на каждом шаге последовательное вычисление четырех промежуточных векторов:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Значение вектора Z_n+1 в следующем временном узле вычисляется по формуле

Размещено на http://www.allbest.ru/



Суммарная ошибка данного алгоритма на конечном интервале имеет порядок O(ф⁴), т.е. точность вычислений возрастает в 16 раз при уменьшении временного шага ф в два раза.

Решение задач

1.Найти функцию Лагранжа двойного плоского маятника , находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g).(Рис. 7)

Решение. В качестве координат берём углы ц₁ и ц₂, которые нити l₁ и l₂ образуют с вертикалью. Тогда для точки m₁ имеем:

чтобы найти кинетическую энергию второй точки, выражаем её декартовы координаты x₂, y₂(начало координат в точке подвеса, ось y - по вертикали вниз) через углы ц₁ и ц₂:

после этого получим:

окончательно:

2.Найти функцию Лагранжа плоского маятника, находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g) с массой m₂, точка которого (с массой m₁ в ней) может совершать движения по горизонтальной прямой.

Решение. Вводя координату x точки m₁ и угол ц между нитью маятника и вертикалью, получим:

3. Найти функцию Гамильтона для одной материальной точки в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.

Решение. В декартовых координатах x, y, z:

В цилиндрических координатах r, ц, z:

В сферических координатах r, и, ц:

11. Определить малые колебания двойного плоского маятника.

Решение. Для малых колебаний найденная в задаче 1 параграфа 5 функция Лагранжа принимает вид :

Уравнения движения:



После подстановки (23,6) :

Корни характеристического уравнения:

Ответ:

.

При частоты стремятся к пределам и , соответствуют независимым колебаниям двух маятников.



Заключение

Описанную модель мы реализовали в анимации, приведенной на web-странице [7]. Для упрощения мы положили начальные углы отклонения маятников равными: б₁ = б₂ = б. Данное приложение наглядно демонстрирует хаотическую динамику двойного маятника при различных значениях параметров м и б. Интересно, что в некоторых режимах в системе возникают устойчивые траектории, как, например, на рисунке 8, или компактные области притяжения, как на рисунке 9. Похоже, что двойной маятник еще не полностью изучен физиками и математиками и таит в себе много неожиданностей.



Список литературы

1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. - M.: Высшая школа, 1986.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1970. Т. 1

3. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. М.: Наука. 1969

4. Боровой А., Херувимов А. Колебания и маятники. Ж. Квант. № 8, 1981

5. Голубева О. В. Теоретическая механика. - М.: Высшая школа, 1976.

6. https://lektsii.org/5-40986.html

7. http://www.math24.ru/двойной-маятник.html

8. https://ru.wikipedia.org



Приложение

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3



Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6



Рис. 7

Рис.8 (м = 2.75, б = 171°)

Рис.9 (м = 1.21, б = 154°)

Размещено на Allbest.ru

...