Размещено на http://www.allbest.ru/



Аннотация

Темой данной работы являлось изучение влияния сверхпроводящих и ферромагнитного слоёв друг на друга на границе раздела двух сред, используя линеаризованное уравнение Узаделя; исследование зависимости значений импеданса данной SF-многослойной структуры от различных параметров. сверхпроводящий ферромагнитный импеданс

The theme of this work was to research the influence of superconducting and ferromagnetic layers on each other at the boundary between two surroundings, using the linearized Usadel equation; research of the relation of the impedance values of this SF- multilayer structure on various parameters.

Введение

Данная работа знаменует собой окончание магистерской программы "Материалы. Приборы. Нанотехнологии" НИУ ВШЭ МИЭМ. В ней рассматривается слоистая структура, состоящая из двух сверхпроводящих и одного ферромагнитного слоёв. Ввиду этого автор рекомендует понимать следующие основные понятия: сверхпроводимость, ферромагнетики, функции Грина. В качестве примера источников имеется учебник Свидзинского [1], в котором выводится уравнение Узаделя, используемое в данной работе. Для лучшего понимания раздела физики, изучающего понятия и свойства сверхпроводимости, автор изучил книгу [2].

В последние десятилетия (особенно с развитием ВТСП [21]) стало очень перспективным и востребованным изучение различных сверхпроводящих слоистых структур. Многие учёные занимаются исследованиями различных композитов в поиске определенных, нужных им свойств, меняя некоторые параметры композита. Большое применение данная тема находит в создании и улучшении магнитных систем, основанных на явлении сверхпроводимости [22, 23]. В медицине применяются сверхпроводящие магниты для создания ЯМР-томографов. Сверхпроводящие НТСП-провода применяются в бытовой электронике. В данной работе в качестве сверхпроводника был взят Ниобий (Nb), а в качестве ферромагнетика - сплав железа и кобальта (FeCo). Данная композитная структура представляет практический интерес для исследования свойств данной системы. Основное уравнение для расчёта импеданса системы взято из статьи [26]. В ней автор указывает на то, что в данном уравнении присутствуют квазиклассические функции Грина, которые можно найти непосредственно из уравнений Узаделя, что и будет сделано в данной работе.

Главы организованы следующим образом: в первой главе приводится вводное описание данной работы и рассматривается исследуемая слоистая структура. Основные теоретические положения, необходимые читателю для более полного понимания данной работы представлены во второй главе. Также в ней даётся описание математического инструмента, используемого для решения поставленных задач. В третьей главе представлено аналитическое решение уравнения Узаделя.

В последующих главах представлены полученные результаты, выводы и заключения по данной работе.

Рассматриваемая модель

Данная структура состоит из одного ферромагнитного слоя, расположенного между двумя сверхпроводящими слоями, как это показано на рис. 1.

Рис. 1. Рассматриваемая в данной работе слоистая SFS структура

Сверхпроводящим материалом было принято взять ниобий (Nb). А FeCo послужил в качестве ферромагнетика. В данной задаче мы рассматриваем случай, когда толщина сверхпроводящего слоя намного больше длины когерентности .

Толщину ферромагнитного слоя FeCo берём в диапазоне:

Для достижения поставленных целей необходимо решить следующие задачи для структуры, рассматриваемой в данной работе:

· записать для каждого слоя данной структуры уравнение Узаделя;

· записать граничные условия Куприянова - Лукичева [19] для обеих границ;

· решить уравнения Узаделя с заданными граничными условиями;

· вычислить функции Грина для сверхпроводящего и ферромагнитного слоёв;

· воспользовавшись математическим пакетом Matlab или Wolfram Mathematica упростить выражения, записать формулу для расчёта импеданса;

· исследовать зависимость импеданса структуры от всех зависящих параметров, проанализировать полученные результаты;

Теоретическая часть

Явление сверхпроводимости

В 1911 году обнаружил явление нулевого сопротивления сверхпроводника, используя ртуть при низких температурах. Он выяснил, что сверхпроводимость сопровождается резким скачком удельного сопротивления при понижении температуры [5]. Температура, при которой происходит данный скачок называется критической. Далее, в 1933 году

В. Мейснер и Р. Оксенфельд сообщили всему миру об открытии нового эффекта: внешнее магнитное поле не может проникнуть внутрь сверхпроводника [6]. Создается впечатление, что сверхпроводник может быть диамагнетиком, но данное утверждение не верно, так как внутри сверхпроводника нулевая намагниченность. Это явление было качественно не обосновано вплоть до момента, пока в 1935 году братья Фриц и Хайнц Лондоны не вывели уравнение, связывающее магнитное поле и электрический ток в сверхпроводниках. Они показали, что в сверхпроводник проникает магнитное поле, но на небольшую фиксированную глубину [7]. Затем ученые много лет пытались качественно объяснить физику процесса данного явления, и только спустя 40 лет после открытия сверхпроводимости учёные Дж. Бардин, Л.Купер и Дж. Р.Шриффер (БКШ) смогли теоретически описать данный эффект и опубликовали в 1957 г. статью [3], в которой объяснялось возникновение явления сверхпроводимости. Расскажем, в чём же заключалась суть данной теории. Тяжелые атомы металлов при сверхнизких температурах ввиду своего низкого теплового движения практически не колеблются. Электроны, будучи свободными, движутся между положительно заряженными ядрами, взаимодействую и с ними, и между собой. Однако смысл в том, что пока электрон проходит между ядрами, он как бы "отвлекает" их на себя. Созданы благоприятные условия для последующего продвижения следующего электрона сразу же вслед за предыдущим. В итоге электроны перемещаются парами, так как это им энергетически выгодно. Данные пары называются куперовскими парами. Для понимания данного явления можно привести пример из спорта: автогонщик нередко "висит на хвосте" у соперника, значительно уменьшая сопротивление воздуха. Электроны попарно взаимодействуют друг с другом, расходуя на это почти всю свою энергию. В связи с этим электроны сильно замедляются, но и окружающие их атомы уже не способны "тормозить" свободные электроны. Поэтому куперовские пары перемещаются между атомами металла, практически не теряя энергии от соударений с атомами, и, соответственно, электрическое сопротивление стремится к нулю. Таким образом именно из-за куперовского спаривания сверхпроводники являются фазово-когерентными, а также имеют нулевое сопротивление при постоянном токе. В теории БКШ сверхпроводник описывается изотропным параметром порядка Д.

Явление сверхпроводимости широко применяется в современном мире. Как известно, электрический ток возбуждает вокруг себя магнитное поле. Тогда сверхпроводник является идеальным материалом для изготовления электромагнитов. Ядерно-магнитный резонанс (ЯМР) как раз основан на таких электромагнитах.

С 1986 года активно изучаются высокотемпературные сверхпроводники (ВТСП), открытые сотрудниками компании IBM Г.Беднорцем и А.Мюллером [21]. На сегодняшний день известны сверхпроводники с критической температурой вплоть до , как например для сероводорода [8].

Понятие ферромагнетика

Все вещества по магнитным свойствам делятся на три типа: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Нас интересует только третий тип.

Ферромагнетики - это такие вещества, в которых наблюдается явление ферромагнетизма: появление спонтанной намагниченности при температуре вещества ниже точки Кюри. Если нагреть ферромагнетик сильнее, его структура перестраивается, он перестаёт намагничиваться. Данное свойство позволяет создавать различные полезные устройства, которые используют намагниченность для хранения, обработки информации. Магнитофонная лента, жёсткий диск компьютера являются одними из самых известных примеров. Типичными ферромагнетиками являются , а также соединения ферромагнитных материалов с неферромагнитными:и др. В данной работе в качестве ферромагнетика будет использоваться сплав железа и кобальта: FeCo.

Атомы кобальта и железа в кристаллах располагаются особенным образом: собственные магнитные поля неспаренных электронов направленны параллельно друг другу и внутри кристалла образуются домены. В каждом домене ориентация магнитного поля своя, но суммарное магнитное поле всех доменов равно нулю. Если поместить ферромагнетик во внешнее магнитное поле, то внутренние магнитные поля доменов будут ориентироваться по направлению этого внешнего поля. Это значит, что ферромагнетик намагничивается.

Ферромагнетики делятся на два типа: магнитомягкие и магнитожёсткие. Магнитомягкие - такие ферромагнитные материалы, у которых при выключении действия внешнего магнитного поля собственное магнитное поле почти полностью исчезает, вещество размагничивается. Из таких материалов изготавливаются электромагниты, сердечники для трансформаторов. Магнитожёсткие материалы используются для производства постоянных магнитов, дисков для магнитной записи хранения информации, также для изготовления магнитных лент.

Эффект близости

Изучение сверхпроводимости на малых масштабах позволило ученым открыть интересные эффекты. Эксперименты Х. Мейснера 1960 года [9] показали, что из сверхпроводника в нормальный металл может проникать сверхпроводимость. Данное явление назвали эффектом близости. Оно возникает в структурах SN (сверхпроводник - нормальный металл) или SF (сверхпроводник - ферромагнетик) с частично или полностью прозрачной границей сверхпроводника и металла [10]. Оказалось, что на границе соприкосновения сверхпроводника и нормального металла имеет место так называемое "Андреевское отражение". Оно заключается в том, что падение электронов из нормального металла на сверхпроводник сопровождается одновременным появлением дырок с противоположной скоростью, зарядом и направлением, но уже в свою очередь из сверхпроводника на нормальный металл.

Микроскопическая модель Андреевского отражения описывает то, как электроны в одном материале принимают порядок соседнего слоя, принимая во внимание частичную прозрачность интерфейса, и состояния, из которых могут рассеиваться электроны.

Как правило для данной системы масштаб эффекта близости имеет порядок сверхпроводящей длины когерентности. Именно на такую глубину "проникает" сверхпроводимость в нормальный слой. Следовательно, нормальный металл вблизи границы приобретает сверхпроводящие свойства.

На практике такие контакты позволяют "подстраивать" свойства сверхпроводящих образцов под необходимые задачи, условия, меняя такие параметры, как толщина слоёв или свойства границ. Данная возможность интересна как с прикладной точки зрения, так и с фундаментальной.

Рис. 2 Эффект близости в S/F структуре.

Однако, намного любопытнее эффект близости проявляется в S/F системах. В таких структурах могут наблюдаться интересные особенности, не существующие отдельно в S или F слоях. С одной стороны, куперовские пары электронов, в которых спины противоположны, а с другой стороны в ферромагнитном состоянии спины электронов ориентированы в одну сторону. Результатом такого противоречия является необычное состояние возле границы S/F (рис.2). Очевидно, что при удалении от границы в сторону несверхпроводящего слоя, будут уменьшаться сверхпроводящие свойства (случай S/N систем). Вместе с тем, в S/F структурах такое спадание сопровождается осцилляциями.

Так, например, можно подобрать определенную толщину ферромагнитного слоя в SFS контакте и длину волны осцилляций, в результате которых критический джозефсоновский ток будет формально отрицательным [17].

Основной фактор подавления сверхпроводимости в S/F структуре является обменное взаимодействие [11]. В работе [12] была сформирована теория критического состояния S/F структур с учетом спин-орбитального рассеяния. В серии статей Прошина Хусаинова [13-16] была рассмотрена проблема описания критического состояния S/F структур с F-слоями из сильного ферромагнетика. Уравнения этих теорий были получены из уравнений Эйленбергера и совпали по форме с уравнениями Узаделя, в который коэффициент диффузии принял мнимую часть. Об уравнениях Узаделя будет рассказано дальше.

Уравнение Узаделя

Уравнение Узаделя является стандартным теоретическим инструментом для описания сверхпроводящих структур в диффузионном пределе. Это уравнение является упрощенным вариантом уравнения теории сверхпроводимости для описания так называемого "грязного" сверхпроводника, в котором высока концентрация немагнитных примесей (, где - длина свободного пробега электронов, - длина когерентности). Оно выводится из квазиклассического уравнения Эйленбергера аппроксимацией функций Грина с учетом первой и второй гармоник, а также усреднению значения импульса по направлению [18]. Физический факт, на котором основано упомянутое упрощение, состоит в изотропизации функций Грина сверхпроводника по мере повышения концентрации примесей [1, с. 150].

В данной работе рассмотрен случай при отсутствии магнитного поля. Тогда уравнения Узаделя в общем виде принимают вид

(1)

(2)

где мацубаровская частота, энергия обменного расщепления и она не равна нулю только в ферромагнитном слое, и функции Грина, коэффициент диффузии материала, параметр порядка.

Функция Грина описывает поведение нормальных электронов, а аномальная функция Грина - сверхпроводящих частиц.

(3)

(4)

Граничные условия

Рис. 3 SFS структура в проекции на перпендикулярную поверхности ось Х

Уравнение Узаделя является дифференциальным уравнением второго порядка. Для того, чтобы получить однозначные решения необходимо знать граничные условия. В данной работе мы рассматриваем случай SFS структуры.

Для данной структуры граничные условия на границе с вакуумом

Граничные условия взяты из литературы Куприянова-Лукичева [19] и в общем случае для границы 1/2 они выглядят следующим образом

(6)

(7)

где безразмерные параметры границы раздела двух сред [20].

где электрическое сопротивление границы 1/2, площадь границы 1/2, удельное сопротивление материала первого слоя и второго соответственно, длина когерентности материала первого слоя и второго соответственно.

Аналитическое решение уравнения Узаделя

Для того, чтобы решить уравнение Узаделя аналитически, необходимо взять приближение: температура материала близка к критической температуре . Тогда аномальная функция Грина мала и можно взять упрощение

Запишем уравнение Узаделя в общем виде в случае отсутствия магнитного поля (1) и условие нормировки (2):

,

,

где Д - параметр порядка,

щ -

мацубаровская частота для фермионов,

а функции Грина равны

Уравнение самосогласования:

Запишем уравнение Узаделя для каждого слоя структуры, представленного на рис. 3

Слой :

Тогда упрощая данное уравнение, получим

Или

Уравнение (8) является дифференциальным уравнением второго порядка. Запишем характеристическое уравнение

Тогда

В общем виде решение уравнения (8) выглядит следующим образом



С учетом (5) получаем, что при функция должна стремиться к . А это значит, что слагаемое равно нулю.

Следовательно, уравнение (8) принимает окончательный вид

Слой :

Тогда упрощая данное уравнение, получим

Или

Уравнение (10) также является дифференциальным уравнением второго порядка. Запишем характеристическое уравнение

Тогда

В общем виде решение уравнения (10) выглядит следующим образом

Слой :

Тогда упрощая данное уравнение, получим

или



Уравнение (12) является дифференциальным уравнением второго порядка. Запишем характеристическое уравнение

Тогда

В общем виде решение уравнения (12) выглядит следующим образом

С учетом (5) получаем, что при функция должна стремиться к . А это значит, что слагаемое равно нулю.

Следовательно, уравнение (12) принимает окончательный вид

Запишем граничные условия Куприянова-Лукичева [19] на границе двух сред (6), (7) конкретно для нашей структуры. Также учтем, что параметры границ

Значит

Для первой границы

:

Для второй границы

:

где сопротивление на границе сверхпроводник/ферромагнетик, удельное сопротивление сверхпроводника, площадь границы SF.

Коэффициенты диффузии рассчитывались по следующим формулам

где постоянная Больцмана, ;

постоянная Планка, .

Значение коэффициента диффузии в ферромагнетике (в частности, в FeCo) было представлено в работе [24]

Таким образом, необходимо решить систему уравнений .

Подставим и сделаем замену



Тогда получим систему из четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.

Далее будет представлено последовательное решение данной системы уравнений.

1) Выразим из (18) коэффициент

2) Разделим (19) на (18) и подставим в него уравнение (22), и выразим



3) Подставим (23) в (22) и выразим коэффициент через

4) Выразим коэффициент из (20)

5) Разделим (21) на (20) и подставим в него уравнение (25)

(26)

6) Подставим в (26) выражения для (24) и (23).

Для упрощения вида уравнения использовались гиперболические функции

Следовательно, получим уравнение для коэффициента , расчитанное аналитически.

Коэффициенты представлены ниже

В нормальном виде они не помещаются в ширину страницы, поэтому будут представлены так, как они выглядели в программе Wolfram

Mathematica 12.0.



Вспомогательные функции Грина Ф для каждого слоя выглядят следующим образом

Расчёт искомых величин

Импеданс материала высчитывается по следующей формуле

где

нормальная частота излучения, и реальная и мнимая части выражения соответственно.

Данное уравнение взято из литературы [26].

Стоит учесть тот факт, что во всех вышеперечисленных формулах присутствуют пять аргументов, от которых зависят все функции: . Это означает, что интересно будет исследовать зависимость импеданса S и F слоёв от каждого из этих аргументов (кроме энергии, импеданс от неё не зависит), варьируя три других (изменяя толщину, параметр порядка и координату, посмотреть, как меняется зависимость импеданса от частоты излечения и аналогично другие варианты).

Представим все переменные, не являющимися аргументами и имеющие числовое значение.

(*действующая температура*)

(*постоянная Больцмана*)

(*постоянная Планка*)

(*критическая температура сверхпроводника*)

(*длина когерентности ферромагнетика*)

(*длина когерентности сверхпроводника*)

(*удельная проводимость сверхпроводника*)

(*удельная проводимость ферромагнетика*)

; (*параметр порядка*)

(*энергия обменного расщепления для сплава FeCo*)

 (*удельное электрическое сопротивление ферромагнетика*)

(*удельное электрическое сопротивление сверхпроводника*)

(*коэффициент диффузии ферромагнетика*)

(*коэффициент диффузии сверхпроводника*)

(*параметр границы*)

Аргументы импеданса исследуются в диапазонах:

(*частота излучения*)

(*толщина ферримагнитного слоя*)

(*параметр границы (безразмерен)*)

Особенный интерес представляет изучение зависимости импеданса вблизи границ.

Мацубаровскую частоту представляем в виде

Следовательно, все функции, зависящие от на самом деле зависят от энергии .

Значит

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

А значит искомый импеданс

зависит от всех четырёх аргументов.

Так как в формуле (28) присутствуют

,

а функции Грина зависят от энергии, то необходимо рассчитать нормальные и аномальные функции Грина от .

Задача нахождения функций Грина от для сверхпроводящего и ферромагнитного слоёв для значений

к сожалению, оказалась нереализуема в рамках данной работы. Пример одной из таких функций Грина представлен в Приложении данной работы.

Ввиду того, что в формулах приведены гиперболические тангенсы, зависящие от гиперболических синусов и косинусов (что означает ) при решении задачи в математическом пакете Matlab и Wolfram Mathematica возникли сложности как с расчётом функций Грина, так и с подынтегральным выражением импеданса.

Выводы

Из изученных и полученных результатов можно сделать вывод, что физические явления, происходящие возле границ сверхпроводник - ферромагнетик являются очень интересными и перспективными для дальнейшего изучения. Уравнения Узаделя с заданными граничными условиями позволяют рассчитать необходимые параметры с помощью математических пакетов Matlab и др. Но, к сожалению, автор данный работы, не смог исследовать зависимость импеданса каждого слоя структуры от различных параметров. В Приложении к данной работе представлены коды программ, написанные автором, реализация которых с некоторыми корректировками позволит увидеть зависимости импеданса от аргументов. Данные корректировки возможны на основании размерности физических величин, диапазона значений зависящих аргументов и др.

Заключение

Необходимо отметить то, что были выполнены следующие задачи:

1. Проанализирована существующая литература по данной теме;

2. Аналитически решено уравнение Узаделя с заданными граничными условиями для каждого слоя структуры;

3. В работе представлены вспомогательные функции Грина для каждого слоя данного композита.

4. В приложении к работе представлен код программы в Wolfram Mathematica, с помощью которого можно получить функции Грина для слоёв данной структуры.

5. В приложении к работе представлен код программы в Matlab для исследования зависимости подынтегрального выражения формулы импеданса сверхпроводящего слоя от энергии.

Библиографический список

1. Свидзинский А.В. Пространственно-неоднородные задачи теории сверхпроводимости - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. - 312 с.

2. В.В. Шмидт. Введение в физику сверхпроводников. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: МЦНМО, 2000. с. 65-108.

3. Bardeen J., Cooper L.N., Schrieffer J.R. Theory of superconductivity // Phys. Rev. 1957. Vol. 108, № 5. P. 1175-1204.

4. Meissner W., Ochsenfeld R. Ein neuer Effekt bei Eintritt der Supraleitfhigkeit // Naturwissenschaften. 1933. Vol. 21, № 44. P. 787-788.

5. Kamerlingh-Onnes H. On the Sudden Change in the Rate at Which the Resistance of Mercury Disappears. / Comm. Phys. Lab. Univ. Leiden, 1911, p.124.

6. Meissner, W. and Ochsenfeld, R. (1933) Naturwissenschaften, 21, 787.

7. London, F.; London, H. (1935). "The Electromagnetic Equations of the Supraconductor". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical andEngineeringSciences. 149 (866):71. Bibcode:1935RSPSA.149...71L. doi:10.1098/rspa.1935.0048.

8. А.П. Дроздов, М.И. Еремец, И.А. Троян, В. Ксенофонтов, С.И. Шилин. Conventional superconductivity at 203 kelvin at high pressures in the sulfur hydride system // Nature. - 2015. - Т. 525. - С. 73-76. - ISSN 1476-4687

9. Meissner H. Superconductivity of contacts with interposed barriers // Phys. Rev. 1960. Vol. 117, № 3. P. 672-680.

10. Buzdin, A. I. Proximity effects in superconductor--ferromagnet heterostructures / A. I. Buzdin // Rev. Mod. Phys. - 2005. - Vol. 77. - P. 935 -- 976.

11. Абрикосов А.А., Л.П. Горьков, ЖЭТФ 39 (1960) 1781.

12. Demler E.A., G.B. Arnold, M.R. Beasly, Phys. Rev. B 55 (1997) 15174.

13. Khusainov M.G., Yu.N. Proshin, Phys. Rev. B 56 (1997) R14283

14. Прошин Ю.Н., М.Г. Хусаинов, Письма в ЖЭТФ 66 (1997) 527.

15. Прошин Ю.Н., М.Г. Хусаинов, ЖЭТФ 113 (1998) 1708; 116 (199) 1887

16. Izyumov I.A., M.G. Khusainov, Yu.N. Proshin, ФНТ 32(2006) 1065.

17. V. V. Ryazanov, V. A. Oboznov, A. Y. Rusanov, A. V. Veretennikov, A. A. Golubov, and J. Aarts, Phys. Rev. Lett. 86, 2427 (2001)

18. Eilenberger G. Transformation of Gorkov's equation for type II superconductors into transport-like equations // Zeitschrift fьr Phys. 1968. Vol. 214, № 2. P. 195-213.

19. Куприянов М.Ю., Лукичев В.Ф. ЖЭТФ 94 139 (1988)

20. Kupriyanov, M. Yu., and V. F. Lukichev, 1988a, Zh. Eksp. Teor.Fiz. 94, 139 [Sov. Phys. JETP 67, 1163 (1988)]

21. Bednorz, J.G. and Mьller, K.A. (1986) Possible High Tc Superconductivity in the Ba-La-Cu-O System. Zeitschrift fьr Physik, B64,189-193

22. Зенкевич В.Б., Сычев В.В., Магнитные системы на сверхпроводниках, М., 1972;

23. Кремлёв М. Г., Сверхпроводящие магниты, "Успехи физических наук", 1967, т. 93, в. 4.

24. https://openaccess.leidenuniv.nl/bitstream/handle/1887/17955/Chapter%201.pdf?sequence=15

25. Тинкхам М. Введение в сверхпроводимость: - М.: Атомиздат, 1980. - Пер, изд.: США, 1975. 310 с.

26. Ya. V. Fominov, M. Houzet, L. I. Glazman Surface impedance of superconductors with weak magnetic impurities, Phys. Rev. B 84, 224517 (2011)

Приложения

В данном приложении будет приведён код программы для математического пакета Matlab, который можно использовать для расчётов.

clear;

close all;

syms Z(w, x, gamma_B, d)

syms f(w, x, gamma_B, d, E)

syms A_1(gamma_B, d, E)

syms omega(E)

syms Ep(w, E) Em(w, E)

syms H D_F D_S delta

syms k_F(E) k_S(E)

syms G(E) F(x, gamma_B, d, E)

syms Phi_1(x, gamma_B, d, E)

syms k h T Tc rho_S xi_S rho_F xi_F H sigma_S sigma_F Eex

xi_F = 3.7e-9;

xi_S = 12e-9;

k = 1.38e-23;

h = 6.626e-34;

T = 4;

Tc = 9.25;

Eex = 1;

% x = -d/2

delta = 1.76 * k * Tc;

sigma_S = 1.9e6;

sigma_F = 6.369e6;

rho_S = 1/sigma_S;

rho_F = 1/sigma_F;

gamma = (rho_F * xi_F)/(rho_S * xi_S);

H = k * 1000;

Ep(w, E) = E + w/2;

Em(w, E) = E - w/2;

omega(E) = E/1i;

D_F = 2 * pi * H * xi_F ^ 2 / h;

D_S = 2 * pi * Tc * xi_S * xi_S * k / h;

k_F(E) = sqrt(2 * abs(H - E) / D_F);

k_S(E) = sqrt(2 * E / D_S);

% Альтернативная форма записи

% k_F(E) = sqrt(2 * (omega(E) + 1i * H) / (sign(omega(E)) * D_F));

% k_S(E) = sqrt(2 * omega(E) / (sign(omega(E))) * D_S);

A_1(gamma_B, d, E) = delta * (- gamma * cosh(k_F(E) * d) + sinh(k_F(E) * d) * (k_F(E) * xi_F * exp(k_S(E) * d / 2) / (k_S(E) * xi_S) - gamma_B * k_F(E) * xi_F) - 2 * gamma) * exp(k_S(E) * d / 2) / ...

2 * ((sinh(k_F(E) * d) * (gamma_B * k_F(E) * xi_F - k_F(E) * xi_F * exp(k_S(E) * d / 2) / (k_S(E) * xi_S) - gamma * gamma_B ^ 2 * k_F(E) * xi_F * k_S(E) * xi_S + gamma * gamma_B * k_F(E) * xi_F * exp(k_S(E) * d / 2) + gamma ^ 2 * k_S(E) * xi_S / (k_F(E) * xi_F)) + gamma * cosh(k_F(E) * d) * (1 - gamma * gamma_B * k_S(E) * xi_S + gamma_B * k_S(E) * xi_S - exp(k_S(E) * d / 2))));

Phi_1(x, gamma_B, d, E) = A_1(gamma_B, d, E) * exp(sqrt(2 * E / D_S) * x) + delta;

% Альтернативная форма записи

% Phi_1(x, gamma_B, d, E) = A_1(gamma_B, d, E) * exp(sqrt(2 * omega(E) / (D_S * sign(omega(E)))) * x) + delta;

G(x, gamma_B, d, E) = sqrt(1 - Phi_1(x, gamma_B, d, E) * conj(Phi_1(x, gamma_B, d, E)));

F(x, gamma_B, d, E) = G(x, gamma_B, d, E) * Phi_1(x, gamma_B, d, E) / omega(E);

f(w, x, gamma_B, d, E) = 1i / 2 * (tanh(Em(w, E) / (2 * T)) * (G(x, gamma_B, d, Ep(w, E)) * real(G(x, gamma_B, d, Em(w, E))) - 1i * F(x, gamma_B, d, Ep(w, E)) * imag(F(x, gamma_B, d, Em(w, E)))) - tanh(Ep(w, E) / (2 * T)) * (conj(G(x, gamma_B, d, Em(w, E))) * real(G(x, gamma_B, d, Ep(w, E))) + 1i * conj(F(x, gamma_B, d, Em(w, E))) * imag(F(x, gamma_B, d, Ep(w, E)))));

w = 1e12;

d = 3e-9;

x = -d/2 - xi_F / 2;

gamma_B = 1;

E = 1e-19;

% A_1(gamma_B, d, E)

double(Phi_1(x, gamma_B, d, E))

double(f(w, x, gamma_B, d, E))

ww = linspace(0, 100, 10);

EE = linspace(0.1, 10, 10);

for i = 1:length(EE)

plot(ww, abs(double(f(ww, x, gamma_B, d, EE(i)))))

hold all;

end

double(Phi_1(x, gamma_B, d, EE))

plot(EE, double(Phi_1(x, gamma_B, d, EE)))

И код математического пакета Wolfram Mathematica.



Ниже представлено значение функции Грина для энергии с заданными ранее параметрами. Другие значение функций Грина выглядят аналогичным образом.

Размещено на Allbest.ru

...