Основные законы механики

Закон сохранения количества движения - если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна 0, то вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению: и = const, в проекциях (например по оси ох): , тогда Qx= const. Из закона следует, что внутренние силы изменить суммарное количество движение системы не могут.

Теорема о движении центра масс системы.

Центр масс (центр инерции) - геометрическая точка, радиус-вектор которой определяется равенством:

где - радиусы-векторы

точек, образующих систему. Координаты центра масс:

и т.д.

Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил - дифференциальное уравнение движения центра масс. В проекциях на оси координат:

, ,

Закон сохранения движения центра масс. Если главный вектор (векторная сумма) внешних сил остается все время равным нулю, то центр масс механической системы находится в покое или движется прямолинейно и равномерно. Аналогично в проекциях на оси, если ,то , если при этом в начальный момент vCx0= 0, то и xC= const. Необходимо помнить, что во всех общих теоремах динамики перемещения, скорости и ускорения должны рассматриваться в неподвижной системе отсчёта, т.е. абсолютными.

Главный момент количеств движения (кинетический момент) материальной системы. Теорема об изменении кинетического момента.

- величина, равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно центра 0.

.

Скорость точек тела, вращающегося относительно неподвижной точки, определяется формулой или в проекциях на оси декартовой системы координат

Подставляя полученные формулы в выражение **, и произведя векторное умножение, получаем для проекции кинетического момента на ось на ось oz

Раскрывая полученные произведения и приводя подобные члены при проекциях угловых скоростей, заметим, что мы получаем одинаковые сомножители типа

Выражения, задаваемые формулами первой строки носят названия осевых моментов инерции. Моментом инерции системы материальных точек относительно оси называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до оси. Выражения, задаваемые формулами второй строки носят названия центробежных моментов инерции. Эти формулы для сплошного твёрдого тела можно записать в интегральной форме

Тройной интеграл берётся по объёму всего тела. Подставляя полученные моменты инерции в формулу для кинетического момента, получим

Полученные выражения можно представить в матричной форме



здесь - вектор столбец кинетического момента, - вектор столбец угловой скорости, а - матрица моментов инерции тела.

Теорема об изменении момента количеств движения системы (кинетического момента):

Продифференцируем по времени выражение для кинетического момента

Первое слагаемое равно нулю (как векторное произведение одинаковых векторов), а второе есть

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра векторно равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему относительно того же центра. Аналогичные равенства относительно осей координат: и т.д.

Закон сохранения кинетического момента: если , то . Главный момент количеств движения системы является характеристикой вращательного движения.

Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела: . Если Mz= 0, то Jz = const, Jz - момент инерции тела относительно оси oz

Геометрия масс.

Формулы для осевых и центробежных моментов инерции тела (системы) приведены в предыдущем параграфе. Другая запись осевого момента инерции относительно оси oz - Jz= M2, где - радиус инерции тела - расстояние от оси до точки в которой нужно сосредоточить массу всего тела, чтобы ее момент инерции равнялся моменту инерции тела.

Моменты инерции относительно оси (осевые моменты инерции) всегда >0. статика трение кинетический энергия

Центробежные моменты инерции симметричны относительно своих индексов, т.е. Jxy=Jyx и т.д. В отличие от осевых, центробежные моменты инерции могут иметь любой знак и обращаться в нуль.

Главной осью инерции тела называется ось, для которой оба центробежных момента инерции, содержащие индекс этой оси, равны нулю. Например, если Jxz=Jyz=0, то ось z - главная ось инерции.

Главной центральной осью инерции назыв. главная ось инерции, проходящая через центр масс тела.

1)Если тело имеет плоскость симметрии, то любая ось, перпендикулярная к этой плоскости, будет главной осью инерции тела для точки, в которой ось пересекает плоскость.

2)Если тело имеет ось симметрии, то эта ось является главной осью инерции тела . Размерность всех моментов инерции [кгм2]

Центробежный момент инерции зависят не только от направления координатных осей, но и от выбора начала координат.

Моменты инерции некоторых однородных тел:

стержень массы m и длины L:

; .

Однородный сплошной диск с центром в точке С радиуса R и массы m: . Полый цилиндр: , цилиндр с массой распределенной по ободу (обруч): .

Теорема Гюйгенса-Штейнера момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси ей параллельной и проходящей через центр масс тела плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:



.

Наименьший момент инерции будет относительно той оси, которая проходит через центр масс. Момент инерции относительно произвольной оси ОL:

J = Jxcos2 + Jycos2 + Jzcos2 - 2Jxycoscos - 2Jyzcoscos - 2Jzxcoscos,

если координатные оси являются главными относительно своего начала, то:



J = Jxcos2 + Jycos2 + Jzcos2 .

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия системы - скалярная величина Т, равная арифметической сумме кинетической энергий всех точек системы:

Если система состоит из нескольких тел, то Т = Тк.

Теорема Кенига: - кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии центра масс системы, масса которого равна массе всей системы, и кинетической энергии этой системы в ее относительном движении относительно центра масс

где

кинетическая энергия системы в ее относительном движении относительно центра масс.

Поступательное движение: Тпост=.

Вращательное движение: Твр=, Jz- момент инерции относительно оси вращения.

Плоскопараллельное (плоское) движение: Тпл=+, vC - скорость центра масс. Другая формула Т=,

JP - момент инерции тела относительно (МЦС).

Работа силы

Работа силы на элементарном перемещении, или элементарная работа определится выражением ( учитывая, что )

В общем же случае выражение не представляет полного дифференциала и символ следует понимать только как символ бесконечно малой величины, а отнюдь не дифференциала. Работа силы на конечном перемещении определиться интегралом

Интегрирование в полученном выражении производится по величинам, отнесенным к бесконечно малым дугам кривой . Поэтому этот интеграл называется криволинейным интегралом, взятым вдоль дуги кривой от точки до точки . Такие интегралы называются криволинейными. Вычисление работы может быть сведено к вычислению простого определенного интеграла в следующих случаях:

1. если движение прямолинейное, например по оси Ох, и сила являлась функцией только х, то элементарная работа действительно представляет дифференциал .

2.Предположим, что движение точки задано уравнениями (см.раздел «динамика точки») . Тогда, написав выражение элементарной работы через проекции силы и перемещения на оси и подставив их выражения через время t, получим ,где Ф (t) - известная функция времени. Чтобы найти работу на пути , надо взять интеграл ,

где - моменты, соответствующие прохождению движущейся точкой положений и . Задача свелась к вычислению определенного интеграла по аргументу t.

3. Область пространства, в каждой точке которого однозначно определена некоторая функция, будем называть полем; Силовым полем называется область пространства, в каждой точке которой определен вектор силы , действующий на помещенную в силовое поле материальную точку. Силовое поле называется потенциальным, если сила представляет собой градиент скалярной функции. Рассмотрим свойства потенциальных силовых полей. По определению

,

Здесь П = П(x, у, z) - потенциальная энергия (или потенциал) силового поля. Тогда

а это, в свою очередь, означает, что элементарная работа

в рассматриваемом случае будет полным дифференциалом. Итак, элементарная работа потенциальной силы является полным дифференциалом. Интегрируя полученное соотношение получим выражение для работы на конечном участке пути

Правая часть полученного выражения зависит только от положения (координат) начальной и конечной точек и, следовательно, работа в потенциальном силовом поле не зависит от вида пути.

Желая охарактеризовать работу с точки зрения времени, в течение которого она производится, вводят понятие мощности

Мощность равна скалярному произведению векторов силы и скорости. За единицу мощности можно принять любую единицу работы, отнесенную к единице времени, т. е. эрг/сек, джоуль/сек, кГм/сек. Иногда принято работу измерять в единицах мощности, умноженных на единицу времени, т.е. в ватт * сек, в киловатт-часах и т.п.

Работа сил, приложенных к твёрдому телу.

Пусть силы ……., приложены к твердому телу в точках …,. Выбирая произвольную точку тела О за полюс и обозначая вектор-радиус -й точки тела , получим: , т. е. перемещение точки равно геометрической сумме перемещения полюса и перемещения вокруг полюса (- бесконечно малый вектор поворота). Тогда элементарная работа силы запишется в форме:

.

Второе слагаемое, согласно свойству скалярно-векторного произведения, может быть переписано в виде

.

Элементарная работа всех сил будет

Обозначая через - главный вектор системы сил, через - ее главный момент относительно полюса О, получим

В частном случае поступательного движения твердого тела , где - элементарное перемещение, одинаковое для всех точек тела. При вращении тела вокруг неподвижной оси (пусть это будет ось Oz), выбирая за полюс точку, лежащую на оси вращения, получим .

В случае плоского движения твердого тела имеем



где через обозначен главный момент системы сил относительно оси Oz, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через полюс О.

Теорема об изменении кинетической энергии системы

Для вывода этой теоремы, умножим обе части основного дифференциального уравнения динамики точки ,

скалярно на элементарное перемещение точки , получим

Замечая, что , находим

в правой части равенства стоит выражение элементарной работы внешних и внутренних сил; следовательно,

=,

для системы точек будем иметь

Это соотношение представляет теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме: приращение кинетической энергии на элементарном участке пути равно элементарной работе внешних и внутренних на этом участке пути.

Интегрируя полученное уравнение, имеем теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме

Для ряда приложений имеет значение другая формулировка доказанной теоремы: производная по времени от кинетической энергии равна мощности действующих на точку сил.

,

Если система есть твёрдое тело, то работа и мощность внутренних сил равна нулю.

Закон сохранения полной механической энергии: Если все (внутренние и внешние) силы, под действием которых происходит движение системы, являются потенциальными, теорема об изменении кинетической энергии может быть написана в виде

перепишем равенство в форме

При движении в потенциальном силовом поле сумма кинетической и потенциальной энергий системы, сохраняет постоянную величину. Такие механические системы называются консервативными.

Динамика твёрдого тела.

С помощью этих двух фундаментальных законов

можно получить дифференциальные уравнения движения твёрдого тела и системы тел. Эти уравнения можно переписать в форме, похожей на уравнения статики виде

Эти уравнения называются уравнениями кинетостатики, где индекс «a» обозначает активные силы и моменты активных сил, «r» - силы реакций и моменты сил реакций, а индекс «»- силы инерции и моменты сил инерции, которые равны

,

1. Дифференциальные уравнения поступательного движения тела:

В проекциях на оси

и т.д.



2. Дифференциальное уравнения вращения тела вокруг неподвижной оси:

, или . если = 0, то = const.

3. Уравнение колебаний физического маятника:

,

если sin , тогда

- дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Здесь

Решение этого уравнения:

= С1coskt + C2 sinkt или = Аsin(kt + ).

Период малых колебаний физического маятника Т= 2/k = 2 .

Величину L= называют приведенной длинной физического маятника.

4. Дифференциальные уравнения плоского движения тела:

; ; .

Рассмотрим подробно часто встречающуюся задачу движения колеса по шероховатой плоскости. При качении цилиндра (колеса) контакт между колесом и поверхностью происходит не в точке, а из-за деформации колеса и самой поверхности реакция контакта распределена на некотором участке. Так как рассматривается плоское движение, то и распределённую реакцию образует плоская система сил, которая может быть заменена равнодействующей.

Рассмотрим два случая: движение под действием силы, приложенной в центре колеса и под действием крутящего момента. На рисунке показаны все силы, действующие на колесо. Разложим реакцию F на две составляющие: вертикальную N и горизонтальную T. Составим дифференциальные уравнения движения



Индекс «С» в дальнейшем будем опускать, здесь r радиус колеса, k- коэффициент трения качения. Для определённости пусть момент инерции равен . Так как колесо движется горизонтально, не подпрыгивая, то из второго уравнения следует . Возможны два вида движения: без скольжения, тогда мгновенный центр скоростей находится в точке Р и со скольжением. Для первого случая можно записать условие тогда, сложив первое и третье уравнения, получим

откуда имеем

.

Определим силу Т, которую по смыслу можно назвать силой трения между колесом и поверхностью. , при этом .

Если сила Q больше, то уравнения движения запишутся так

т.е. два независимых уравнения для . В случае, если и то колесо будет скользить и не вращаться, т.е. двигаться поступательно.

Рассмотрим вторую задачу: колесо движется под действием момента (на рис он показан изогнутой стрелкой) М.

Уравнения движения запишутся в виде

, , .

Как и в предыдущей задаче возможны два вида движения: без скольжения, тогда мгновенный центр скоростей находится в точке Р, и со скольжением. Для первого случая можно записать условие тогда, разделив третье уравнение на r и сложив первое и третье уравнения получим (при этом Т сократится)

Сила Т, которую и здесь назовём силой трения, будет равна

т.е. скольжение колеса будет происходить, если .

Если это условие выполняется, то получаем два независимых уравнения для движения центра колеса и его вращения

, .

Основы аналитической механики

Возможные (виртуальные) перемещения системы (s, ) - любая совокупность бесконечно малых перемещений точек системы, допускаемых в данный момент наложенными на систему связями. Возможные перемещения рассматривают как величины первого порядка малости, пренебрегая при этом величинами высших порядков малости. Число независимых возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы. Свободное твердое тело имеет 6 степеней свободы.

Возможная (виртуальная) работа А - элементарная работа, которую, действующая сила могла бы совершить на возможном перемещении.

Связи являются идеальными, если сумма элементарных работ реакций этих связей при любом возможном перемещении системы равна нулю, т.е.

Статический принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении была равна нулю или в проекциях:

.



Принцип возможных перемещений дает в общей форме условия равновесия для любой механической системы, дает общий метод решения задач статики.

Общее уравнение динамики .

Свободная точка описывается дифференциальным уравнением

,

где - равнодействующая задаваемых сил, приложенных к точке. Рассмотрим несвободную систему с идеальными связями. Обозначая, как и раньше, массы точек через , равнодействующую задаваемых сил через, ускорение точки - , реакции связей через, возможные перемещения через . Тогда уравнения движения точки запишется в виде

.

Вычитая из второго первое уравнение, получим

Умножим каждое из полученных уравнений на возможное перемещение и просуммируем по всем точкам системы

.



В случае идеальных связей правая часть уравнения равна нулю, тогда имеем

.

Это основное, как мы дальше увидим, для всей динамики несвободной системы полученное уравнение получило название общего уравнения динамики. При движении системы с идеальными связями в каждый данный момент времен сумма элементарных работ всех сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю.

Общее уравнение динамики в обобщённых координатах называется уравнение Лагранжа второго рода.

Уравнения Лагранжа 2-го рода:

, (i=1,2…s)

Полученное уравнение позволяет составить n (по числу степеней свободы) обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с n независимыми обобщенными координатами, являющимися искомыми функциями времени. Оператор

носит название оператор Эйлера-Лагранжа. s - число степеней свободы системы (число независимых координат); qi - обобщенная координата (координаты x.y.z, угол ц,ш, площадь и др.); - обобщенная скорость (линейная скорость, угловая, секторная и др.).

Т = Т(q1,q2,…,qS,,…,t)- кинетическая энергия системы, Qi - обобщенная сила (сила, момент и др. Для вычисления обобщенной силы, например Q1, задаем возможное перемещение, при котором все вариации обобщенных координат, кроме q1, равны нулю:

q10, q2= q3=…= qS= 0. Вычисляем на этом перемещении возможную работу А1 всех активных сил, приложенных к системе. Имея , находим

Если силы, действующие на систему, потенциальные (консервативные) (например, силы тяжести, силы упругости), то , - потенциальная энергия.

Если ввести функцию Лагранжа: L = T - П, тогда - уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы.

Основные формулы.

Статика

Для пространственной системы:

,

Fx=Fcos; Fy=Fcos; Fz=Fcos; ;

.

Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси: Rx=Fix; Ry=Fiy; Rz=Fiz;

Условия равновесия системы сходящихся сил:

векторное:, в проекциях: Fix=0; Fiy=0; Fiz=0.

Равнодействующая двух пересекающихся сил- -- диагональ параллелограмма .

Равнодействующая сходящихся сил .

Проекции силы на оси координат (для плоской системы сил):

Fx=Fcos; Fy=Fcos. Модуль силы:

;

Момент силы относительно точки:

=(yFz - zFy)+(zFx - xFz)+(xFy - yFx),

Модуль векторного произведения: RFsin= Fh. проекции момента силы на оси координат:

М0x()=yFz - zFy; М0y()=zFx - xFz; М0z()=xFy - yFx.



Плоская система сил: Fh,

Условия равновесия плоской системы сил:

1)

2)

где А,В,С - точки, не лежащие на одной прямой, или

3) ,

ось "х" не перпендикулярна отрезку АВ. Здесь и далее - реакции связей.

Момент пары сил

Кратчайшее расстояние между силами h называют плечом пары сил.

Вектор называется - главный вектор системы сил.

Вектор называется - главный момент системы сил относительно выбранного центра. Зависимость главного момента от центра приведения

Условия равновесия пространственной системы сил:



.

Трение. Закон Кулона (закон Амонтона - Кулона):

.

Сила трения скольжения:

.

Мтр? fкачN - момент трения качения.

.

Координаты центра параллельных сил:

Координаты центра тяжести:



; ; где Р=рk.

Центр тяжести плоской фигуры:

, .

Центр тяжести: дуги окружности с центральным углом 2:

;

кругового сектора:

.

Центр тяжести плоской фигуры с вырезанной частью:

.

Кинематика точки.

Скорость точки. Вектор скорости: - первая производная от радиус-вектора по времени (точка обозначает производную по времени);

Проекции скорости:

, , .

Модуль скорости:

,

направляющие косинусы:

и т.д.

При естественном способе задания движения: , - орт касательной.

Движение в полярной системе координат: r=r(t) - полярный радиус, =(t) - угол. Проекции скорости на радиальное направление , поперечное направление , модуль скорости ; x=rcos, y=rsin.

Ускорение точки. , [м/сек2].

Проекции ускорения: и т.д.

Модуль ускорения: ,

направляющие косинусы: , и т.д.

При естественным способе задания движения полное ускорение раскладывают на нормальное и касательное (тангенциальное) ускорения:

.

Модуль нормального ускорения: , - радиус кривизны траектории. Модуль касательного ускорения .

Частные случаи движения точки:

1) Прямолинейное: = (бесконечно большой); аn=0, a=a.

2) Равномерное криволинейное движение: v=const ; a=0, a=an.

3) Равномерное прямолинейное движение: а=a=an=0.

4) Равнопеременное криволинейное движение:

a=const, v=v0+at, . 

Кинематика твёрдого тела

При поступательном движении тела все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Вращение вокруг неподвижной оси. Уравнение (закон) движения:

=f(t) - угол поворота тела в радианах. (1 рад= 180о/=57,3о).

Угловая скорость:, [рад/с]

Если "n"- число оборотов в мин. [об/мин], 1об=2 рад, .

Угловое ускорение тела: , [рад/с2]. Вектор углового ускорения также направлен вдоль оси вращения. 1) Равномерное вращение: =const, =t, =/t,

2) Равнопеременное вращение: =0+t; , здесь начальный угол 0=0.

Скорости и ускорения точек вращающегося тела.

- скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Модуль: v=rsin()= (CM), (СМ) - расстояние от точки М до оси вращения.



,

x,y,z - проекции вектора угловой скорости. Проекция скорости:

vx=yz - zy; vy=zx - xz; vz=xy - yx.

Если ось вращения совпадает с осью z, то vx= - y; vy=x.

Ускорение точек тела:

,

Учитывая, что , получим

- вращательное ускорение, его модуль равен - осестремительное ускорение, направленное всегда к оси вращения и численно равно

Модуль полного ускорения: .

Угол, между векторами полного и осестремительного ускорений: .

Плоское движение твердого тела.

Уравнения плоского движения: xA= f1(t), yA= f2(t), = f3(t), точка А называется полюсом. Скорости точек тела при плоском движении: vBA= BA,

;,

проекции скоростей двух точек тела на ось, проходящую через эти точки, равны между собой:

vAcos = vBcos.

Мгновенный центр скоростей (МЦС) - точка Р плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю.

- скорость любой точки плоской фигуры ; , скорости точек тела пропорциональны их расстояниям до(МЦС).

Ускорения точек:



,

, , , .

.

Ускорения: , вращательное ускорение модуль вращательного ускорения авр=rsin=h1, h1- расстояние от точки до вектора . Осестремительное ускорение , аос=2h, направлено к мгновенной оси вращения.

Движение свободного твердого тела (общий случай движения).

Уравнения движения свободного твердого тела:

Сложное движение точки (тела)

Теорема о сложении скоростей:

- абсолютная скорость.

- переносная скорость.

,



модуль: .

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса):

,

Здесь , , .

переносное ускорение

,

- абсолютное ускорение точки, - ее относительное ускорение.

- ускорение Кориолиса (кориолисово ускорение), его модуль

ас= 2|evr|sin(e^vr),

Кориолисово ускорение равно нулю в трех случаях:

1) e=0, 2) vr=0; 3) sin(e^vr)=0,

Сложение вращений вокруг 2-х параллельных осей.



1. Вращения направлены в одну сторону. =2+1, С - мгновенный центр скоростей, .

2. Вращения направлены в разные стороны.

, =2--1

С - мгн. центр ск. и мгн. ось вращения, .

Пара вращений - вращения вокруг |параллельных осей направлены в разные стороны и угловые скорости по модулю равны ( - пара угловых скоростей). В этом случае vA=vB, результирующее движение тела - поступательное ( или мгновенное поступательное) движение со скоростью v=1AB

Дифференциальные уравнения движения материальной точки:

Основной закон динамики ( 2-ой закон (Ньютона)):

.

1) В проекциях на оси декартовой системы координат

,

2) При естественном способе задания;

1) В полярной системе координат

.

4)-- дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки, его общее решение:

x=f(t,C1,C2), начальные условия: t=0, x=x0, =Vx=V0.

Общее решение задачи имеет вид

;



Колебания точки.

; c/m=k2, ;

Решение уравнения

x= C1coskt + C2sinkt,

С1= х0, С2=/k, т.е. x= х0coskt + (/k)sinkt.

Обозначив С1=Аsin, C2=Acos, получим x=Asin(kt+) - уравнение гармонических колебаний.

А= амплитуда колебаний,

, - начальная фаза свободных колебаний;

- собственная частота колебаний; период Т=2/k.

Статическое отклонение ст=Р/с. Т=2.

Учет линейно-вязкого трения. Rx= - b -- сила сопротивления,

, b/m=2n, ,

а) n<k ,

.

, ;



Частота затухающих колебаний: k*=; период колебаний

.

- декремент колебаний; - nT*/2 логарифмический декремент; "n" - коэффициент затухания.

б) Апериодическое движение n k .

При n > k: ,

обозначая С1=(В1+В2)/2, С2=(В1-В2)/2,

.

с) При n = k: , ,

Вынужденные колебания.

Возмущающая сила: Q = Hsin(pt+), р - частота возмущающей силы, - начальная фаза.

, . h=Н/m,

Решение уравнения х = C1coskt + C2sinkt+sin(рt+). Уравнение биений

Вынужденные колебания при наличии вязкого трения:

+Hsin(pt+), или ,

общее решение в зависимости от величины k и n:

1) при n<k ;

2) при n>k ;

3) при n=k .

Уравнение динамики относительного движения.

Абсолютное ускорение точки задаётся известным соотношением

Откуда следует, что

Вектор называется переносной силой инерции, а - поворотной или кориолисовой силой инерции.

Динамика системы материальных точек и твердого тела

Количество движения системы -

, М - масса всей системы, - скорость центра масс.

Теорема об изменении количества движения системы: . В проекциях: , и т.д. Теорема об изменении количества движения системы в интегральной форме:

,

где - импульсы внешних сил.

В проекциях: Q1x - Q0x = Sekx и т.д.

Теорема о движении центра масс системы.

Центр масс (центр инерции)

,

где - радиусы-векторы

точек, образующих систему. Координаты центра масс: и т.д.

- дифференциальное уравнение движения центра масс. В проекциях на оси координат: , ,

Главный момент количеств движения (кинетический момент) материальной системы



.

Если , то

для проекции кинетического момента на ось на ось oz имеем

Выражения, задаваемые формулами первой строки носят названия осевых моментов инерции оси. Выражения, задаваемые формулами второй строки носят названия центробежных моментов инерции. Для сплошного твёрдого тела

Т

ройной интеграл берётся по объёму всего тела.



В матричной форме

здесь - вектор столбец кинетического момента, - вектор столбец угловой скорости, а - матрица моментов инерции тела.

Теорема об изменении момента количеств движения системы (кинетического момента):

относительно осей координат: и т.д.

Если , то . Кинетический момент вращающегося тела Kz = Jz. Если Mz= 0, то Jz = const.

Другая запись осевого момента инерции относительно оси oz - Jz= M2, где - радиус инерции тела.

Дифференциальное уравнение движения точек системы:



или в проекциях на оси координат: и т.д. для каждой точки (тела) системы.

Количество движения системы .

Теорема об изменении количества движения системы: .

Теорема об изменении кол-ва движения системы в интегральной форме:

.

- импульсы внешних сил, - импульсы внешних сил.

Закон сохранения количества движения: , откуда = const,

Теорема о движении центра масс системы:

- дифференциальное уравнение движения центра масс: Закон сохранения движения центра масс. Если , то , и если при этом в начальный момент vCx(0)= 0, то и xC= const.

Главный момент количеств движения матер. системы (кинетический момент) .

Теорема об изменении кинетического момента: ; .

Закон сохранения кинетического момента: если , то .

Кинетический момент вращающегося тела Kz = Jz. Если Mz= 0, то

Jz = const.

Геометрия масс.

Моменты инерции твёрдого тела: осевые и центробежные

Другая запись осевого момента инерции - Jz= M2, где - радиус инерции тела.

Матрица моментов инерции в данной точке:

Моменты инерции стержня:

; .

Сплошной диск: . Полый цилиндр



:

Теорема Гюйгенса-Штейнера:

.

Момент инерции относительно произвольной оси:

если координатные оси главные, то:

.

Кинетическая энергия системы

. Т = Тк.

Теорема Кенига: Т=+.

Поступательное движение: Тпост=. Вращательное: Твр=.

Плоскопараллельное (плоское): Тпл=+, vC - скорость центра масс.

Работа сил.

Работа силы на элементарном перемещении, ( учитывая, что )

Работа силы на конечном перемещении определиться интегралом

1. если движение прямолинейное, то .

2.Если движение точки задано ее уравнениями (см.раздел «динамика точки») то ,

3. Если ,

Здесь П = П(x, у, z) - потенциальная энергия (или потенциал) силового поля. Тогда

и



Мощность

Работа сил, приложенных к твёрдому телу.

.

.

Элементарная работа всех сил будет

В случае поступательного движения твердого тела , при вращении тела вокруг неподвижной оси (пусть это будет ось Oz), получим .

В случае плоского движения

Теорема об изменении кинетической энергии точки и системы:

,

Замечая, что , находим



следовательно, =,

для системы точек будем иметь

Интегрируя полученное уравнение, имеем теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме

в дифференциальной форме

,

Если система есть твёрдое тело, то работа и мощность внутренних сил равна нулю.

Закон сохранения полной механической энергии: или

Такие механические системы называются консервативными.

Динамика твёрдого тела

Уравнения кинетостатики,



где индекс «a» обозна чает активные силы и моменты активных сил, «r» - силы реакций и моменты сил реакций, а индекс «»- силы инерции и моменты сил инерции, которые равны

,

1. Дифференциальные уравнения поступательного движения тела:

В проекциях на оси

и т.д.

2. Дифференциальное уравнения вращения тела вокруг неподвижной оси:

, или . если = 0, то = const.

3. Уравнение колебаний физического маятника:

,

если sin , тогда

- дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Здесь

Решение этого уравнения:

= С1coskt + C2 sinkt или = Аsin(kt + ).

Период малых колебаний физического маятника Т= 2/k = 2 .

Величину L= называют приведенной длинной физического маятника.

4. Дифференциальные уравнения плоского движения тела:

; ; .



Задача качения цилиндра (колеса

Если тогда, получим

откуда имеем

.

Сила трения между колесом и поверхностью. , при этом .

Если сила Q больше, то уравнения движения

В случае, если и то колесо будет скользить и не вращаться, т.е. двигаться поступательно.

Колесо движется под действием момента М.

Уравнения движения запишутся в виде

, , .



Для случая

Сила Т, которую и здесь назовём силой трения, будет равна

скольжение колеса будет происходить, если . В этом случае

,

Главный момент сил инерции при плоском движении: .

Основы аналитической механики

Возможные (виртуальные) перемещения системы (s, ) - любая совокупность бесконечно малых перемещений точек системы, допускаемых в данный момент наложенными на систему связями. Возможная (виртуальная) работа А - элементарная работа, которую, действующая сила могла бы совершить на возможном перемещении.

Связи являются идеальными, если сумма элементарных работ реакций этих связей при любом возможном перемещении системы равна нулю, т.е.



Статический принцип возможных перемещений:

Общее уравнение динамики .

.

Общее уравнение динамики в обобщённых координатах - уравнение Лагранжа второго рода.

, (i=1,2…s) ,

Оператор носит название оператор Эйлера-Лагранжа. s - число степеней свободы системы (число независимых координат); qi - обобщенная координата (координаты x.y.z, угол ц,ш, площадь и др.); - обобщенная скорость (линейная скорость, угловая, секторная и др.).

Для консервативной системы , - потенциальная энергия. Если ввести функцию Лагранжа: L = T - П,

тогда - уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы.

Содержание тестов по статике

1. Что такое момент силы относительно точки?

2. Чему равен момент силы F с проекциями на оси декартовой системы координат (1,2,3) относительно оси Oy, если координаты точки ее приложенная (0,1,5)

3. Напишите условия равновесия сходящейся системы сил в векторной форме, а также в проекциях на оси декартовой системы координат.

4. Что такое пара сил, чему равен ее момент?

Как зависит главный момент от выбора центра приведения, прокомментируйте введенные обозначения?

5. Чему равен момент силы Р=10 н и F=15н относительно оси 0Z , перпендикулярной плоскости рисунка, если ОА= 0.1м, АВ=0.15м Углы Ь и в равны соответственно р/6 и р/4. Все силы лежат в плоскости чертежа.

6. Напишите условие равновесия твердого тела ( в самом общем случае).

7. Какие уравнения равновесия необходимо записать для плоской системы сил, если все силы расположены в плоскости XOY ( варианты XOZ,YOZ )?

Крышка ABCD открыта на угол б=р/6 и удерживается в этом положении стержнем СЕ. Отношение АВ/ВС=3/4 Чему равны проекции силы F на указанные оси координат?

8. Чему равен момент силы F относительно оси OX (OZ)? Сила F направлена по линии ВD

9. Какие уравнения равновесия необходимо записать для системы сил, параллельных оси OY (варианты OX,OZ ) ?

10. Сформулируйте теорему Пуансо.

11. Какие статические инварианты Вам известны, прокомментируйте введенные обозначения?

12. В каких случаях система сил приводится к равнодействующей?

13. Приведите указанную на рисунке систему сил к силе и паре. Равные силы направлены по диагоналям граней кубика со стороной b.



В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю ?

14. Сформулируйте теорему Вариньона.

15. Векторная формула центра параллельных сил.

16. Докажите, что система параллельных сил приводится к равнодействующей.

17. Векторная формула центра тяжести , прокомментируйте введенные обозначения.

18. Где находится центр тяжести указанной фигуры, состоящей из квадрата и равностороннего треугольника со стороной в?..

19. Чему равна сила трения в указанном примере, если вес груза 100 н, угол наклона плоскости р/4, сила F=50 н, а коэффициент трения скольжения f=0.4?

Содержание тестов по кинематике точки и твердого тела.

20. Векторная формула скорости точки. Чему равна скорость точки, если ее движение задано законом

x(t)= f1(t), y(t)= f2(t), z(t)= f3(t)

Векторная формула ускорения точки . Чему равно ускорение точки, если ее движение задано законом x(t)= y(t)= z(t)=

26. Формула нормального ускорения точки, прокомментируйте введенные обозначения. Когда оно равно нулю?

27. Чему равно касательное ускорение точки, если ее движение задано законом



x(t)= f1(t), y(t)= f2(t), z(t)= f3(t) ?

28. Как направлен вектор угловой скорости и вектор углового ускорения тела, вращающегося относительно неподвижной оси ?

29. Векторная формула (Эйлера) скорости точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

30. .Какие ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Вам известны, прокомментируйте введенные обозначения?

31. Чему равно и как направлено осестремительное ускорение?

32. Векторная формула скоростей точек плоской фигуры.

33. Определите скорости и угловую скорость плоской фигуры, представленной на рис., если известны углы длина отрезка и скорость одного из концов.

34. Приведите примеры нахождения мгновенного центра скоростей. Где находится мгн. центр скоростей в указанном примере?

35. Дайте определение прямой и обратной (основной) задачи динамики, в чем разница между этими задачами?

36. Напишите формулу центра масс системы.

37. Сосчитайте положение центра масс шатунно-кривошипного механизма, указанного на рисунке в функции от угла ц(t). Длина стержня L.

38. Какие уравнения кинетостатики ( в векторном виде) Вам известны?

39. Теорема об изменении главного вектора количества движения

40. Сформулируйте теорему о движении центра масс.

41. Как переместится центр доски, если стоящие по краям люди массами М1, М2 поменяются местами на длину L. Трение между доской и полом отсутствует, масса доски М3.

42. Векторная формула кинетического момента системы точек.

43. Теорема об изменении кинетического момента.

44. Дайте определения центральной и главной оси инерции.

45. Напишите дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси.

46. Как изменится угловая скорость вращения стержня длины L и массы M1 , если груз массы М переместится из положения h на конец стержня.



47. Напишите формулу Гюйгенса.

48. Сформулируйте теорему Кенига.

49. Кинетическая энергия тела при плоском движении (две формулы).

50. Чему равна кинетическая энергия катящегося однородного цилиндра?

51. Напишите формулу работы упругой силы.

52. Напишите формулу работы сил, приложенных к твердому телу (общий случай).

53. Чему равна работа силы трения цилиндра, катящегося по шероховатой поверхности (разберите два случая).

54. Теорема об изменении кинетической энергии ( две формулировки).

55. Какой путь пройдет центр однородного цилиндра, катящегося по наклонной плоскости, чтобы его скорость возросла в два раза, Коэффициент трения качения равен К. (рис 2)

Размещено на Allbest.ru

...