Цель и задачи работы

Целью данной работы является описание динамики плоских волн в материале, который на микроуровне представляет собой квадратную решётку с одинаковым типом частиц. Рассматриваются квадратные решётки (Рис.1, 2), для которой в работе [7] получены уравнения движения.

Были решены задачи построения однополевых и многополевых (двух- и четырёхполевых) моделей для обеих решёток.

В работах [3] и [5] показано, что дисперсионныи? анализ позволяет выделить 2 разныхспектра колебании? частиц, высокочастотный и низкочастотный. В случае низкочастотных колебании? все частицы на графике зависимости перемещения от времени лежат на однои? гладкои? кривои?. В этом случае континуальные уравнения можно получить разложением в ряд Теи?лора. Такои? подходполучил название однополевои? модели, который совпадает с классическим микрополярным описанием.

В случае высокочастотных колебании? зависимость перемещений от времени является быстро меняющейся функцией, поэтому нельзя провести стандартную процедуру разложения в ряд. Однако если разделить все частицы на че?тные и нече?тные [3] и рассматривать колебания этих групп отдельно, то для каждои? из них станет возможным разложение в ряд.

При исследовании движения частиц в решётках подразумевается, что атомы можно считать материальными точками, соединёнными между собой линейными пружинами.

Неустойчивая решётка

Рассмотрим квадратную реше?тку с периодома.Рассматривается взаимодействие центральной частицы c четырьмя соседними частицами:

.Взаимодеи?ствие между частицами с одинаковыми массами m моделируется посредством пружин жесткостью С. Рассмотримраспространение плоской волны , полагая y_m=0. Тогда уравнение для центральнои? частицы будет иметь вид:

(1)

Представим смещение по горизонтали как непрерывную функциюu(x, t). Разложим смещения соседних с центральной m частиц в ряд Теи?лора:

(2)

Подставив разложение в определяющее уравнение, получим:

(3)

Для того, чтобы решить данное уравнение, будем искать решение в виде бегущей волны, для чего необходимо прибегнуть к следующей замене [5]:

, где -фазовая скорость.

Решением будет являться функция:

, (4)

где -константы, зависящие от граничных условий, а

Дисперсионное соотношение для неустойчивой решётки при y_m = 0 совпадает с соотношением для одноатомной цепочки:

Рис.3

Неустойчивая решётка

Нумерация производится в соответствии со схемой:

Положим в уравнении (1) за w смещение че?тных частиц,z- нече?тных.

Уравнения динамики будут иметь следующии? вид:

Положим wm=u(x, t) , zm = v(x, t)Разложения смещении? соседних c (m,n)частиц в ряд Теи?лора для каждои? компоненты примут вид:?

После подстановки разложений (7), (8)в уравнения(5), (6), получим:

Чтобы получить решение, введём новые переменные:

и

Нетрудно видеть, что если положить u=v, останется только акустическая компонента (U) , а еслиu=-v-- оптическая (V).Таким образом, из (8) и (9)получим:

Тогда первое уравнение аналогично уравнению (3)однополевой модели, а решением второго при замене [5] является функция:

, где -константы, (13)

а -- корни уравнения:

, где:

Дисперсионное соотношение для двухполевой модели:

Рис.5

Если сравнить полученные уравнения для однополевой и двухполевой моделей, можно увидеть, что первое уравнение двухполевой модели совпадает с уравнением однополевой. Это значит, что двухполевая модель содержит классическую микрополярную (однополевую) и ведёт себя так же при описании длинных волн, но дополняет и уточняет её при описании коротковолновых эффектов.

Устойчивая решётка

Вывод уравнений проводится по аналогии с неустойчивой решёткой.

Замена переменных приводит к следующим уравнениям:

Решение уравнений аналогично решениям для однополевой и двухполевой моделей для неустойчивой решётки, с приведёнными ниже отличиями.

Отличия:

· показатель степени А для однополевой модели:

· Корни уравнения для двухполевой модели:

Т.к. Коэффициент А отличается от соответствующего коэффициента для неустойчивой решётки:

И решение имеет вид:

(17)

Диперсионное соотношение для однополевой модели имеет вид:

Рис.6

Диперсионное соотношение для двухполевой модели:

Рис.7

Анализ дисперсионных соотношений для устойчивой и неустойчивой решёток показывает, что качественного различия не наблюдается.

Количественные различия заключаются в том, что максимум оптической ветви двухполевой модели устойчивой решётки достигается в точке, в раз превышающей значение максимума двухполевой модели неустойчивой решётки.

Максимум акустической ветви дисперсионного соотношения для неустойчивой решётки достигается в точке , для устойчивой решётки это значение

Четырёхполевая модель

Неустойчивая решётка.

Четырёхполевая модель реализуется посредством разбиения рассматриваемой системы на четыре подрешётки.

Рис.8

Дискретные уравнения:

Замена переменных

приводит к следующим континуальным уравнениям:

В результате анализа полученнной системы можно сделать следующие выводы: однополевой диперсионный плоская волна

Четырёхполевая модель содержит в себе двухполевую, и может описывать с достаточно высокой степенью точности как длинноволновое, так и коротковолновое приближения.

Последние два уравнения системы представляют собой уравнения двухполевых моделей, построенные с другим методом выделения подрешёток, в результате чего получаются разные спектры для каждого метода выделения, каждый из которых соответствует разным типам волн, помимо акустических и оптических: например, тепловым.

Рис.9. Дисперсионное соотношение для четырёхполевой модели (неуст. решётка)

Четырёхполевая модель

Рис. 11. Дисперсионное соотношениедля четырёхполевой модели (уст. решётка)

Заключение

B результате проведённых исследований были получены уравнения распространения плоских волн в материалах, чья структура описывается моделью квадратной кристаллической решётки. Были рассмотрены два типа квадратных решёток, для каждой построены многополевые модели, в которых показано, что они применимы для моделирования длинноволновых эффектов, т.к. содержат в себе однополевую (классическую) модель, и при этом уточняют её при рассмотрении коротковолновых эффектов.[8]

Четырёхполевая модель объединяет уравнения классической однополевой модели и уравнения двухполевых моделей, построенные с разными методами выделения подрешёток, и может быть использована для описания разных типов волн, как коротких, так и длинных.

Сравнение результатов, полученных для устойчивой и неустойчивой решёток показало, что качественных различий в уравнениях не наблюдается.

Основные планируемые результаты

Планируется переход к более сложным решёткам (с разными типами частиц, с пружинами разной жёсткости, etc), а также получение численных результатов для четырёхполевых моделей для обеих типов решёток.

Список литературы

1. М.Борн, Х.Кунь «Динамическая теория кристаллических решёток» М.: Издательство иностранной литературы, 1958. С.70-77

2. А Н.Ашкрофт, Н.Мермин. «Физика твёрдого тела» М.: Мир, 1979. (том 2) С. 122-130.

3. N. Zabusky, G. Deem. «Dynamics of nonlinear lattices» Journal of computational physics, V.2, 1967. P.126-131.

4. A.V.Porubov, I.V.Andrianov «Nonlinear waves in diatomic crystals» Wave MotionV.50, Issue 7,2013, P. 1153-1160.

5. A.V. Porubov, I.E. Berinskii.«Nonlinear plane waves in materials having hexagonal structure» International Journal of Non-Linear Mechanics,V. 67, 2014. P. 27-33.

6. А.А. Васильев, А.Е. Мирошниченко. «Алгоритм построения иерархической системы многополевых моделей среды Коссера.» 2007. Стр.5-10.

7. А.Е. Осокина, И.Е. Беринский. «Уравнения динамики треугольной и квадратной кристаллических решёток»Неделя науки СПбГПУ. Материалы конференции, 2014. C. 241.

8. А.А. Васильев, А.Е. Мирошниченко. «Дискретная и обобщённо-континуальная микрополярные модели плоской структурной системы в задаче устойчивости.» С.29-34.

Размещено на Allbest.ru