Модельнаяй задача для полубесконечного скользящего токового "пятна"

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

• Содержание
• Введение
• 1. Квазистационарное решение для токового «пятна» конечной длины на контактной поверхности рельсов

1.1 Постановка задачи

1.2 Анализ решения

1.3 Безразмерный параметр подобия Re_m

1.4 Скоростной скин-слой для «пятна» конечной длины

• 2. Точное квадратурное решение модельной задачи для полубесконечного скользящего токового «пятна» на контактной поверхности рельсов

2.1 Постановка и решение задачи

2.2 Анализ квадратурного решения

2.3 Понятия скоростного скин-слоя и скоростного скин-фактора для скользящего токового «пятна

• 3. Результаты расчетов толщины скоростного скин-слоя
• Заключение
• Список литературы

Введение

В последнее десятилетие интенсивно развивались исследования по созданию высокоскоростных электродинамических рельсовых ускорителей с бездуговым контактированием электродинамического поддона с токоподводящими рельсами. Это направление исследований становится приоритетным во всем мире после того, как стала очевидной несостоятельность концепции электроплазменного поршня для создания на таком принципе ускорителей различного назначения с высоким (сотни выстрелов) ресурсом работы. Принцип действия бездуговых рельсовых ускорителей состоит в ускорении электропроводного тела электромагнитной силой, т. е. объемно распределенной силой, действующей на проводник с током в магнитном поле (см. рис. 1)

,

где - плотность тока, протекающая через электродинамический поддон, -индукция магнитного поля, а - электромагнитная сила, отнесенная к единице объема поддона.

Рис. 1. Классическая схема рельсового ускорителя с твердым якорем и принцип его действия

На рис. 2 приведена фотография экспериментального образца рельсового ускорителя с твердым якорем и дополнительной системой подмагничивания. Ускоритель имеет канал круглого поперечного сечения калибром 23 мм. На рис. 3 приведены фотографии электродинамических поддонов с твердыми металлическими якорями и сборки якорей с метаемыми стержнями.

Рис. 2. Рельсовый ускоритель с твердым металлическим якорем калибра 23 мм и дополнительной системой подмагничивания

Рис. 3. Металлические якоря (электродинамические поддоны), сердечники и их сборки

Токосъемная часть якорей поджимается к контактной поверхности рельсового блока ускорителя электродинамической силой, что обеспечивает надежный скользящий электрический контакт, через который протекает электрический ток.

Основной причиной, препятствующей созданию бездуговых рельсовых ускорителей со скоростями метания свыше 2 км/с является скоростной скин-эффект. Он состоит в стягивании токовых линий на заднем торце поддона и в соответствующей подвижной контактной зоне рельсов. В результате происходит резкое повышение плотности тока в тыльной области электрического контакта, при этом тепловыделение увеличивается пропорционально, что приводит к плавлению поддона, возникновению электрической дуги и повреждению электроконтактной поверхности рельсового блока.

Основными факторами, влияющими на распределение плотности тока в электроконтактном «пятне» рельсов, является конвективное движение «пятна», а при высоком удельном сопротивлении электроконтактного слоя рельсов еще и температурная зависимость сопротивления слоя от его температуры. При этом диффузионным механизмом в распределении тока можно пренебречь. На электродинамическом поддоне (ЭДП) основными механизмами являются диффузия и температурная зависимость удельного сопротивления поддона.

В работе численно-аналитически исследуются распределения плотности тока и магнитного поля в электроконтактном слое рельсового блока (см. рис. 4 и 5). Расчеты проводятся на основе квадратурного решения модельной задачи о скользящем токовом «пятне» в электроконтактном слое рельсов. С помощью построенного решения получено выражение для скоростного токового скин-слоя в «пятне». Величина скин-слоя является интегральной характеристикой скоростного эффекта стягивания тока на скользящем электрическом контакте к тыльной части контакта, обращенной к токоподводам к рельсовому блоку. Толщина скоростного скин-слоя описывает протяженность электрического контакта, начиная от тыльной части, в которой в основном сосредоточен разрядный ток, протекающий через «пятно».

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.4. Схема простейшего бездугового рельсового ускорителя.

1 - направляющие рельсы, 2 - соеденительные кабели, 3 - токоподводы, К - ключ, С - конденсаторная батарея, М - ЭДП с метаемым телом.

Рис. 5. Схема токового «пятна» в окрестности электроконтактной поверхности рельсов.

1 - электроконтактный слой рельсов; 2 - линии электрического тока в токоподводящей части рельсов 3; 4 - скользящий токовый слой в электроконтактной поверхности рельсов; x_п(t) - координата тыльной части «пятна»; l - протяженность токового «пятна» в направлении ускорения якоря

В первом разделе работы строится и анализируется квазистационарное решение задачи о распределение электромагнитных параметров в токовом «пятне» конечной длины l на контактной поверхности рельсов.

Во втором разделе получено точное решение задачи для полубесконечного токового «пятна», введено понятие скоростного скин-слоя и скин-фактора для распределения тока в «пятне».

В третьем разделе приведены результаты параметрического анализа эффекта скоростного стягивания тока к тыльному торцу контактного «пятна» рельсов. Обсуждаются направления уменьшения влияния скоростного скин-эффекта на распределение тока в «пятне».

Основные результаты работы сформулированы в Заключении.

1. Квазистационарное решение для токового «пятна» конечной длины

Задача состоит в определении электромагнитных параметров (плотности тока j, напряженности магнитного поля H) в электроконтактной зоне рельсов - токовом «пятне», движущимся со скоростью V (V - скорость движения электродинамического поддона). Зона контактирования поддона с рельсами имеет конечную протяженность l в направлении оси выстрела.

1.1 Постановка задачи

Схема моделируемого процесса в скользящем электроконтактном «пятне» показана на рис. 6.

Будем решать модельную задачу при следующих основных предположениях и допущениях:

- электроконтактный слой рельсов конечной толщины имеет постоянную электропроводность у₀ в направлении, перпендикулярном контактной поверхности рельсов;

- контактное «пятно» движется с постоянной скоростью V;

- распределения плотности тока j и напряженности магнитного поля H в электроконтактном слое рельсов одномерны в декартовой системе координат x, y, z

,

.

Уравнение магнитной индукции в контактном слое рельсов имеет вид:

, . (1)

При этом область контактного пятна является переменной:

.

Перед якорем собственное магнитное поле отсутствует (см. рис. 6.)

. (2)

Из условия

,

выражения для и (2) следует, что

, (3)

где b - ширина электроконтактного «пятна».

Рис.6. Схема моделируемого процесса в скользящем электроконтактном «пятне»

1 - собственное магнитное поле в межрельсовом промежутке за якорем и в его объеме, 2 - скользящий электрический разряд в электроконтактном слое, 3 - электроконтактный слой рельсов с ортотропной проводимостью

1.2 Анализ решения

При сделанных допущениях (V=const) в переменных t`, x` задача является квазистационарной, поскольку при прохождении контактным «пятном» фиксированного сечения рельсов ток I(t) изменяется несущественно

.

Переходя к безразмерной координате , получим:

(4)

- магнитное число Рейнольдса для контактного слоя рельсов.

Решение краевой задачи (4). Проинтегрируем дважды уравнение в (4) с учетом граничных условий:

где

Таким образом, приведенная плотность тока в «пятне» определяется следующим выражением:

(5)

1.3 Безразмерный параметр подобия Re_m

На рис. 7. приведены распределения плотностей тока по длине контактного «пятна» при различных значениях . Из графиков видно, что с увеличением числа неоднородность в распределении тока на контактном «пятне» рельсов увеличивается, причем плотность тока на тыльной стороне «пятна» резко увеличивается, а та часть «пятна», в которой сосредотачивается основной ток разряда, уменьшается.

Рис.7. Зависимости при различных значениях

1 - , 2 - , 3 - , 4 - , 5 - .

Из выражения для j(,) и представленных графиков следует, что при увеличении параметра происходит резкое «стягивание» тока к задней границе контактного слоя. При этом

т.е. при 2 плотность тока на тыльной границе «пятна» в - раз превосходит его среднее значение.

1.4 Скоростной скин-слой для «пятна» конечной длины

Определим продольный размер той части «пятна», в которой сосредоточен основной ток разряда. Для этого воспользуемся известным алгоритмом определения скин-слоев для различных величин [2]. Введем понятие скоростного скин-слоя для плотности тока в «пятне» конечного размера с помощью выражения

Из последнего выражения следует, что в квазистационарном приближении толщина скоростного скин-слоя не зависит от закона изменения тока со временем, а зависит только от безразмерного параметра подобия Re_m и продольного размера токового «пятна» l (см. рис. 8).

Рис.8. Зависимость толщины скоростного токового скин-слоя на контактном «пятне» рельсов от числа

Из графика следует, что отвечает случаю равномерного распределения и поэтому скин-слой равен длине контактной зоны.

2. Точное квадратурное решение модельной задачи для полубесконечного скользящего токового «пятна» на контактной поверхности рельсов

2.1 Постановка и решение задачи

В отличие от квазистационарной постановки задачи в уравнении магнитной индукции будем учитывать нестационарное слагаемое . При этом контактное «пятно» будем рассматривать полубесконечным, то есть

.

Такое приближение позволяет определить элетромагнитные параметры в «пятне» с помощью квадратурных формул. Предполагаем также, что электроконтактный слой рельсов конечной толщины имеет постоянную электропроводность у₀ в направлении, перпендикулярном контактной поверхности рельсов, контактное «пятно» движется с постоянной скоростью V, распределения плотности тока и напряженности магнитного поля в электроконтактном слое рельсов одномерны в декартовой системе координат x, y, z (см. рис. 6).

При сделанных допущениях уравнение магнитной индукции для контактного слоя рельсов в системе координат, движущейся вместе с тыльной границей «пятна» записывается в следующем виде:

(6)

Граничные условия для определения магнитного поля H записываются в виде:

(7)

Решение ищется при нулевом начальном условии:

(8)

С помощью замены искомой функции по формуле

уравнение (6) преобразуется к виду:

Решение этого уравнения с соответствующими граничными условиями известно[3]. С его помощью решение граничной задачи (6)-(8) определяется в квадратурном виде, то есть в виде интегралов по параметрам:

(9)

Из (10) следует, что на тыльной границе «пятна» плотность тока j определяется следующим выражением:

2.2 Анализ квадратурного решения

В качестве примера рассмотрим следующий униполярный закон изменения тока I(t) на контактном «пятне» рельсов:

где A, - постоянные коэффициенты. При таком законе изменения тока выражения для H(t, x`) и j(t,x`) получаются в конечном аналитическом виде. На рис. 9 построены расчетная осциллограмма такого тока при конкретных значениях коэффициентов A, . Такой закон изменения тока характерен для бездуговых рельсовых ускорителей с катушками подмагничивания калибром 23?30 мм [12].

Рис. 9. Изменение тока I(t) на контактном «пятне» рельсов.

На рис. 10 построены графики изменения магнитного поля а) в тыльном сечении «пятна» x`=0 и б) в сечении x`=1 мм при различных скоростях скольжения V=1; 2; 4 км/с. В тыльном сечении графики H(t, x`=0) совпадают в соответствии с граничным условием (7). Магнитное поле в сечении x`=1 уже много меньше, чем при x`=0, причем его величина резко убывает с ростом скорости скольжения V. Из графиков следует, что на распределение магнитного поля в «пятне» скорость его скольжения оказывает существенное влияние. Чем выше скорость скольжения «пятна», тем быстрее магнитное поле стремится к нулю в любом фиксированном сечении «пятна» x`

На рис. 11 построены графики изменения плотности тока а) в тыльном сечении «пятна» x`=0 и б) в сечении x`=1 мм при различных скоростях скольжения «пятна» V=1; 2; 4 км/с.

Из приведенных графиков j(t, x`,V) следует, что с увеличением скорости движения контактного пятна плотность тока в начальном сечении x`=0 возрастает, а в «удаленном» сечении x`=1 мм - убывает, то есть ток на контактном «пятне» стягивается к начальному сечению x`=0.



а)

б)

Рис. 10. Изменение магнитной индукции H в двух сечениях контактного «пятна»: а) в начальном сечении x`=0, б) в «удаленном» сечении x`=1 мм при различных скоростях скольжения «пятна»

- при V=1 км/с, - при V=2 км/с, - при V=4 км/с



а)

б)

Рис. 11. Изменение плотности тока j а) в тыльном сечении «пятна» и б) в «удаленном» сечении x`=1 мм при различных скоростях скольжения V

1-при V=1 км/с, 2-при V=2 км/с, 3-при V=4 км/с.

2.3 Понятия скоростного скин-слоя и скоростного скин-фактора для скользящего токового «пятна»

Наиболее наглядной характеристикой «стягивания» тока является толщина скин-слоя, которая определяется по общепринятой формуле [2]:

где А(x)?распределение величины А в полубесконечном слое В нашем случае A=j. С помощью формул (9)?(11) последнее выражение преобразуется к виду:

При выводе (13) учитывается что:

Из (13) следует, что

Здесь - толщина токового скин-слоя для неподвижного «пятна». В данном случае значение обусловлено изменением тока со временем. При I(t) > const > , то есть при постоянном токе распределение плотности тока в неподвижном полубесконечном «пятне» является равномерным.

Введем безразмерный скоростной скин-фактор как отношение к :

Безразмерный параметр характеризует степень стягивания токовых линий в контактном слое рельсов в зависимости от скорости перемещения этого контакта V. Тогда выражение для токового скин-слоя удобно записать в виде:

В (16) первый сомножитель описывает влияние нестационарности тока на толщину скин-слоя (в этот сомножитель не входит скорость скольжения V), а второй сомножитель описывает влияние скорости «пятна» (скоростной скин-фактор ).

При I = const, V выражение (13) принимает вид:

Значение в «чистом» виде описывает влияние скорости скольжения «пятна» на толщину токового скин-слоя.

Величина практически не зависит от времени при .

На рис. 6а построены значения для трех характерных скоростей скольжения токового «пятна»: V_i = 1; 2; 4 км/с для контактного слоя рельсов из титана Функция erf(x) из (17) монотонно изменяется от 0 до 1 при причем при . В нашем случае при . Для V_i = 1; 2; 4 км/с t₀(V_i)=0.0023; 0.0005; 0.00014 мс, то есть практически с момента начала разряда величина д₀ не зависит от времени при скоростях скольжения «пятна» . Это видно из графиков д₀(t, V_i), приведенных на рис. 6а.

Рис. 12. Зависимости толщины скин-слоя от времени t при характерных скоростях скольжения токового «пятна».

1 - V=1 км/с, 2 - V=2 км/с, 3 - V=4 км/с.

Таким образом, выражение для можно представить в следующем виде:

То есть толщина «чистого» скоростного скин-слоя обратно пропорциональна скорости скольжения. Формулу (18) можно выразить через безразмерный параметр Re_m для электроконтактного слоя рельсов:

где l, з, V - характерные значения соответствующих параметров для электроконтактного «пятна» рельсов.

3. Результаты расчетов толщины скоростного скин-слоя

На рисунках 13 - 15 представлены результаты расчетов скоростных скин-слоев для различных законов изменения токов при различных значениях скоростей скольжения токового «пятна» V=1; 2; 4 км/с. А также проведено сравнение результатов полученных для квазистационарного токового «пятна» конечной длины и нестационарного токового пятна полубесконечной протяженности.

Так, на рис. 13 построена зависимость толщины скин-слоя для переменного тока (12) на неподвижном полубесконечном «пятне». Этот график показывает только влияние изменения тока на толщину скин-слоя д(V=0). Из приведенных графиков следует, что при неподвижном полубесконечном «пятне» ток с течением времени стремится к равномерному распределению по «пятну», что соответствует стремлению толщины скин-слоя д(V=0) к +. Характерные значения д(V=0, t) много меньше, чем значения д_V(t) при скоростях скольжения (см. рис. 14). Отсюда следует, что толщину скин-слоя на скользящем «пятне» определяет, в основном, скорость скольжения V.

На рис. 14 построены зависимости толщины токового скин-слоя от скорости скольжения «пятна» в фиксированный момент времени для двух законов изменения тока: для постоянного тока и экспоненциально изменяемого тока (12). Из графиков следует, что толщина скоростного скин-слоя практически не зависит от формы тока. Это отличительная особенность скин-слоев для различных величин, которая отмечается в [2].

скользящий токовый электроконтактный рельсовый



а)

б)

Рис. 13. Зависимость а) толщины токового скин-слоя от времени при неподвижном токовом «пятне» для тока б)

Рис. 14. Зависимость скоростного скин-слоя от скорости скольжения V токового «пятна» в момент t₀ = 0.25 мс для двух токов:

? I = const, ? .

На рис. 15 приведены результаты сравнения скорстных скин-слоев для квазистационарного токового «пятна» конечной длины д_V.l(V) и нестационарного токового пятна полубесконечной протяженности д₀ (V).

Рис. 15. Зависимости скоростных скин-слоев д_V.l(V) и д₀ (V) от скорости скольжения V токового «пятна» в максимальный момент времени t = 2.5 мс: ?

Квазистационарный скоростной скин-слой д_V.l(V) не зависит от закона изменения тока, а выражение д₀ (V) получено в приближении I = const. Сравнение проведено при различных скоростях скольжения токового «пятна» по контактной поверхности рельсов.

Из графиков следует, что скоростные зависимости скин-слоев д_V.l(V) и д₀ (V) практически совпадают. Выражение для скоростного скин-слоя при квазистационарном конечном пятне и квазистационарном полубесконечном пятне практически совпадают для различных законов изменения тока.

Поэтому для оценки неравномерности тока в скользящем токовом пятне можно пользоваться выражением для квазистационарного скоростного скин-слоя в конечном пятне, то есть:

Из (19) следует, что скоростной скин-слой зависит от двух основных параметров: удельного сопротивления электроконтактного слоя рельсов з и скорости якоря V. Для обеспечения более равномерного распределения тока в «пятне» мы можем управлять лишь одним параметром - з. Увеличение его значения увеличивает толщину токового скин-слоя и, следовательно, обеспечивать более равномерное распределение тока в «пятне». Это позволяет увеличить пропускаемые токи в бездуговом режиме контактирования и тем самым увеличить скорость металлического якоря и всей метаемой сборки. Увеличение сопротивления контактного слоя возможно в силу малого времени нахождения слоя под токовой нагрузкой при высоких скоростях скольжения V. Время реального контактирования каждого поперечного слоя ф покрытия рельсов определяется выражением:

Из (20) следует, что для контактного титанового покрытия при скоростях реальное время контактирования

Оптимальным контактным покрытием рельсов, на наш взгляд, было бы покрытие с возрастающим по длине рельсов удельным сопротивлением з. Причем значение з возрастало бы прямо пропорционально скорости якоря в данном сечении рельсов. В этом случае, как это видно из (19), толщина скоростного скин-слоя оставалась бы постоянной в течение всего процесса ускорения, а время контактирования якоря с рельсами в процессе его разгона уменьшалось. За счет уменьшения времени контактирования омический нагрев контактного слоя рельсов по длине разгона не увеличивался.

Заключение

Основные результаты, полученные в настоящей дипломной работе, можно сформулировать следующим образом.

1. Построены два аналитических решения модельной задачи о распределении электромагнитных параметров в окрестности электроконтактного «пятна» рельсов, ? конечного и полубесконечного;

2. Показано, что основными параметрами, влияющими на распределение тока в токовом «пятне» рельсов являются скорость электродинамического поддона и удельное электрическое сопротивление контактного слоя рельсов.

3. Показано, что основным безразмерным параметром, описывающим эффект скоростного «стягивания» тока к тыльной границе «пятна», является магнитное число Рейнольдса , в котором V - скорость скольжения контакта, l - протяженность пятна вдоль оси ускорителя, ?? - удельная электропроводность, ?? - магнитная проницаемость электроконтактного слоя рельсов.

4. Введено понятие толщины скоростного скин-слоя тока , представляющего собой продольный размер тыльной части токового «пятна», в которой сосредоточен основной ток через контактную поверхность «рельсы - электродинамический поддон».

5. Показано, что величина весьма слабо зависит от формы тока I(t).

6. Показано, что выражения для на квазистационарном конечном «пятне» и нестационарном полубесконечном «пятне» практически совпадают при различных законах изменения тока.

7. Получена простая аналитическая зависимость толщины скоростного скин-слоя тока от безразмерного параметра Re_m

.

Эта зависимость может быть использована при выборе удельного сопротивления электроконтактного покрытия рельсов при различных скоростях движения и продольных размерах ускоряемого электродинамического поддона.

Список литературы

1.И. Е. Тамм. Основы теории электричества. М.: Изд-во «Наука». 1976. 616 с.

2.Г. Кнопфель. Сверхсильные импульсные магнитные поля. М.: Изд-во «Мир». 1972. 340 с.

3.Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер. Уравнения в частных производных в математической физике. М.: Изд-во «Высшая школа». 1970. 710 с.

4.Д. Гурский, Е. Трубина. Вычисления в Mathcad 12. С.-Пб.: Изд-во «Питер». 2006. 544 с.

5.А. И. Плис, Н. А. Сливина. Mathcad: математический практикум для экономистов и инженеров. М.: Изд-во «Финансы и статистика». 1999. 656 с.

6.I. R. McNab. Technical Challenges in Achieving Launch to Space with an Electromagnetic Launcher / Гидродинамика высоких плотностей энергии. - Новосибирск: Изд-во Ин-та гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 2004. С.318 - 325.

7. Измайлов В.В., Митюрев А.А. Трибологические аспекты применения жидких металлов в электрических контактах // Материалы Международной конференции "Электрические контакты". - С.- Пб, 1996. - С. 52 - 53.

8.Милехин Ю. М., Бабаков Ю. П., Железный В. Б. и др. использование технологии электродинамического ускорителя для предварительного разгона ракеты при выводе полезного груза на околоземную орбиту // Известия PAPAH №2, 2006. С. 72 - 80.

9. Физика быстропротекающих процессов. Том 2. Перевод под редакцией Н. А. Златина. М.: Изд-во «Мир».1971. 252 с.

10..Баллистические установки и их применение в экспериментальных исследованиях. Под редакцией: Н. А. Златина и Г. И. Мишина. М.: Изд-во «Наука». 1974. 344 с.

11. Высокоскоростные ударные явления. Под редакцией: В. Н. Николаевского. М.: Изд-во «Мир» 1973. 534 с.

12.С. В. Синяев. Высокоскоростные рельсовые электродинамические ускорители с оперативно регулируемыми параметрами выстрела./Сб. докл. науч. конф. Волжского регион. центра РАРАН «Современные методы проектирования и отработки ракетно-артиллерийского вооружения». Саров.: Изд-во «РФЯЦ - ВНИИЭФ». 2000. С.503 - 506.

13. H. D. Fair. Electric Launch Science and Technology in the United States / Гидродинамика высоких плотностей энергии. - Новосибирск: Изд-во Ин-та гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 2004. С.256 - 266.

14. В.В. Жаровцев, С. В. Синяев. Выстрел из легкогазовой установки с электродинамическим подгоном метаемого тела / Гидродинамика высоких плотностей энергии. - Новосибирск: Из-во Ин-та гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СЩ РАН, 2004. С.349 - 357.

Размещено на Allbest.ru

...