Интегральная модель электрической дуги

Для расчета дугогасительных устройств сильноточных коммутационных аппаратов требуется знать динамические характеристики дуги отключения. Необходимость моделирования диктуется сложностью экспериментального исследования гашения дуги из-за быстротечности процесса и большой коммутируемой мощности.

При аналитическом построении математической модели дуги как элемента электрической цепи базируются на исследовании уравнения переноса энергии. Это обосновано тем, что тепловые процессы наиболее инерционны и поэтому в основном определяют динамические свойства дуги.

Для нахождения сопротивления дуги необходимо определить изменение во времени радиуса дуги и удельной проводимости . При этом зависимость можно считать известной и для вычисления надо знать зависимость от времени температуры и радиуса дуги.

Для этого необходимо решить систему уравнений электродуговой плазмы, которую целесообразно упростить, введя следующие допущения:

1) дуга однородна по длине, среда неподвижна;

2) перенос энергии излучением отсутствует;

3) плазма квазиизотермична;

4) влияние собственного магнитного поля отсутствует.

По оценке работы [1], движение масс под действием теплового насоса может замедлить скорость дуги на 10 %. Эта оценка, а также результаты экспериментов [2] дают основание считать первое допущение обоснованным.

По данным [3], для открыто горящей дуги мощность излучения составляет при токах 30, 500, 3000 А соответственно 5, 15, 10 % от общей мощности. Это позволяет считать справедливым и второе допущение.

При атмосферных давлениях и больших токах дуги все компоненты плазмы находятся в условиях локального термического равновесия [4, 5], и можно считать, что теплопроводность и электропроводность являются функциями единой температуры.

По оценке [4] влиянием собственного магнитного поля дуги можно пренебречь.

При данных допущениях расчет процесса гашения электрической дуги сводится к решению уравнения энергии и закона Ома в интегральной форме:

;

,

где с, cp, л, T, у, Eд - соответственно плотность, теплоемкость, теплопроводность, температура, удельная проводимость, напряженность электрического поля плазмы дуги; i, rд, r - соответственно ток дуги, радиус проводящей зоны, координата.

Для определения зависимости от времени температуры и радиуса дугового ствола воспользуемся интегральным методом. С этой целью сначала определим параметры (максимальную температуру и радиус) эквивалентного температурного профиля для стационарной дуги.

Уравнение энергии (1) в этом случае сводится к уравнению нелинейной теплопроводности с внутренним источником тепла Эленбааса - Геллера и имеет вид

.

Для возможности линеаризации введем в расчет функцию теплопроводности [4]:

.

Тогда для стационарной дуги в неподвижной среде при относительно малом объемном излучении уравнение энергии в цилиндрических координатах имеет вид

.

Применение интегрального метода подразумевает, что заранее задается некоторая форма профиля температуры (функции теплопроводности), удовлетворяющая ряду граничных условий, которые можно поставить на оси и на границе проводящей зоны. Затем профиль подставляется в интегральное уравнение энергии и закон Ома, из совместного решения которых определяются параметры эквивалентного профиля.

Зададимся профилем функции теплопроводности в виде

,

где , - соответственно значения теплопроводности на оси и на границе проводящей зоны дуги; n - коэффициент, определяющий форму профиля; - относительная координата.

Функция удовлетворяет условиям и .

Обращая формулу (4), определяем зависимость

.

При этом и .

В этом случае после интегрирования по сечению дуги уравнение (3) примет вид

,

а уравнение (2)

.

В уравнении (6) дифференцирование ц производится по аргументу .

Тогда получаем уравнения (5) и (6) в следующем виде:

; .

Зная зависимость у(S), можно определить параметры профиля функции теплопроводности. Для получения аналитического решения воспользуемся кусочно-линейной аппроксимацией действительной зависимости электропроводности от функции теплопроводности. Так как при относительно низких температурах электропроводность у имеет экспоненциальный характер зависимости от температуры, а S - степенной, то в некотором диапазоне температур (периферия дуги) можно вообще пренебречь проводимостью плазмы. Там, где проводимость дуги заметна (приосевая зона), аппроксимируем ее отрезком наклонной прямой:

; ,

где A - тангенс наклона аппроксимирующей прямой.

Такое представление функции теплопроводности хорошо соответствует действительности, и решение, полученное при такой аппроксимации, удовлетворительно согласуется с результатами точного решения [1, 4].

Тогда

.

Параметры эквивалентного профиля функции теплопроводности для стационарной дуги:

; .

Обозначим . Окончательно получаем:

; .

Здесь B - коэффициент формы профиля функции теплопроводности.

Значения коэффициента B для различных профилей функции теплопроводности приведены в таблице.

Значения коэффициента B для различных профилей функции теплопроводности

На рисунке представлены профили функции теплопроводности при различных коэффициентах B. В частном случае для формы профиля в виде функции Бесселя нулевого порядка

, где x0 - первый корень функции J0(x) .

Профили функции теплопроводности дугового ствола

при различных значениях коэффициента B:

1 B = 1,35; 2 B = 0,5р; 3 B = 0,6р; 4 B = 0,75р

При известных токе дуги и напряженности на дуге, а также форме температурного профиля из уравнений (7) могут быть определены максимальное значение функции теплопроводности и радиус проводящей зоны стационарной дуги.

Если форма профиля функции теплопроводности неизвестна, то можно говорить лишь об эквивалентном профиле, при котором проводимость равна действительной проводимости дугового ствола. Очевидно, что величины максимума функции теплопроводности Sm и радиуса дуги rд в этом случае не соответствуют действительным.

В общем случае в процессе коммутации могут изменяться как температура и радиус дуги, так и форма температурного профиля. При расчете по эквивалентному профилю его форма может быть принята постоянной (), а ее изменение в процессе гашения дуги учитываться соответствующим изменением Sm и rд. Это позволит проводить расчет изменения тока и напряжения дуги в процессе отключения по любому эквивалентному профилю функции теплопроводности.

Интегрируя уравнение переноса энергии (1) по объему дуги, можно получить уравнение теплового баланса

,

где Q - теплосодержание ствола дуги; P - мощность теплоотвода от дуги, определяемая условиями охлаждения дугового ствола; ui - мощность тепловыделения на дуге, определяемая мощностью источника энергии.

Определяем проводимость столба дуги без учета приэлектродной зоны. Проводимость единицы длины столба дуги

.

Переходя к постоянному верхнему пределу, получим

,

где - коэффициент формы профиля функции теплопроводности дугового ствола.

Теплосодержание единицы длины дугового ствола определяется выражением

. (10)

Из сопоставления выражений (9) и (10) следует равенство

или .

Подставляя (11) в (8), получим

.

С учетом (9) выражение (12) примет вид

или ,

где P0 - мощность теплоотвода с единицы длины дугового ствола, определяемая условиями охлаждения.

Усредненная величина может быть определена из соотношения

.

В процессе гашения электрической дуги происходит изменение не только температуры и радиуса, но и ее длины. В этом случае в мощности теплоотвода надо учесть не только составляющую теплоотвода с поверхности дуги, но и составляющую, определяющую нагрев холодного газа до температуры профиля дуги.

В этом случае мощность теплоотвода определяется выражением

.

С учетом (13) окончательно получаем интегральную модель дуги с переменной геометрией: температурный дуга гашение

.

Здесь g, u, i, l - соответственно проводимость, напряжение, ток, длина дугового ствола; И - переменный коэффициент, имеющий физический смысл постоянной времени дугового ствола.

Полученная интегральная модель дуги позволяет учитывать не только изменение температурного режима дуги (как модель Майра) и радиуса дуги (как модель Касси), но и изменение длины дуги в процессе гашения.

Динамические свойства модели (14) определяются коэффициентом И - так называемой постоянной времени дуги. Так как коэффициент И изменяется в процессе гашения дуги, то говорить о «постоянной времени» можно только условно.

Для определения коэффициента И по выражению (15) необходимо знать, как будет меняться температура (функция теплопроводности) и радиус проводящей зоны, если к дуге подводится переменная во времени мощность. При этом изменение отводимой от дуги мощности определяется условиями теплоотвода, и в ряде случаев удельная мощность теплоотвода может быть принята постоянной или соответствующей статической характеристике [4-6].

Зная температурный профиль дуги в любой момент времени, можно определить проводимость столба дуги и другие динамические характеристики. Если принять форму профиля температур неизменной в процессе гашения, то эквивалентный профиль будет определен, если определены функции Sm(t) и rд(t).

Для определения изменения функции теплопроводности во времени представим внешнюю по отношению к дуге электрическую цепь в виде активного двухполюсника. От двухполюсника подводится энергия, необходимая для процесса горения дуги.

По аналогии с процессом в электрической цепи можно говорить о процессе в тепловой цепи. К дуге подводится тепловая энергия

.

Как элемент тепловой цепи дуга характеризуется тепловым сопротивлением RT, учитывающим выделяющееся из дугового ствола в окружающую среду тепло, и тепловой постоянной времени И, учитывающей тепловую инерционность дуги.

Тепловое сопротивление единицы длины дугового ствола стационарной дуги

.

В общем случае подводимая к дуге мощность изменяется по произвольному закону, поэтому для определения Sm(t) проведем расчет переходного процесса в тепловой цепи. Так как «постоянная времени» дуги , то тепловая цепь является нелинейной. По аналогии с электрической цепью процесс в тепловой цепи описывается дифференциальным уравнением

.

Здесь - тепловая индуктивность дуги, учитывающая накопление тепловой энергии в дуговом стволе.

После преобразования (16) получим:

.

Изменение максимального значения функции теплопроводности при изменении теплоотвода к дуге описывается выражением

.

При гашении сильноточной дуги радиус ствола претерпевает значительные изменения. В общем случае теплосодержание единицы длины дугового ствола определяется температурным профилем и радиусом проводящей зоны:

.

При изменении режима изменяется как температура, так и радиус дуги. Следовательно,

.

Преобразовав (17) относительно , получим выражение для скорости движения границы дугового ствола:

.

Теплосодержание единицы длины дугового ствола определяется по выражению (10). Тогда с учетом (10) и (8) получаем окончательное выражение для скорости движения границы проводящей зоны дугового ствола при любом изменении теплового баланса:

.

Радиус дуги меняется при прогреве или охлаждении приграничных слоев или изменении подводимой мощности. Скорость движения границы проводящей зоны пропорциональна разности между мощностью, подводимой к границе из проводящей области, и мощностью, рассеиваемой в непроводящей окружающей среде.

Полученное выражение (18) согласуется с результатами, полученными в [5] для скорости скольжения дугового ствола:

,

где z - функция различных параметров среды, граничных условий и т. д.; W1, W2 - энергии, отводимые теплопроводностью с противоположных кромок поверхности дуги при ее движении.

Зная динамическое сопротивление плазменного ствола Rд(t), ток i(t) и длину l(t) дуги, можно определить напряженность электрического поля дуги в любой момент времени:

.

При расчетах по модели (14)-(15) возможен и учет теплоотвода за счет излучения. В этом случае следует использовать эффективное значение теплопроводности лэф, полученное экспериментальным путем.

Выводы

1. Разработана интегральная модель дуги как элемента электрической цепи, позволяющая учитывать изменение температурного режима, радиуса и длины дуги в процессе гашения.

2. Получено выражение для расчета изменения максимального значения функции теплопроводности при изменении теплоподвода к дуге.

3. Получено выражение для определения скорости движения границы проводящего состояния дугового ствола при изменении теплового баланса дуги.

4. Результаты работы использованы при создании сильноточного коммутационного аппарата с жидкометаллическим контактом модели КСКА-50 для дистанционного полуавтоматического режима управления технологическим процессом электролиза [7].

Библиографический список

1. Меккер Г. Причины движения и смещения дуги // ТИИЭР. - 1971. - Т. 59. - № 4. - С. 4-14.

2. Hertz W., Mentel J., Stroh J., Niemann W. Experimental investigation of physic processes ocouring in high-voltage transmission circuit-breakes // Siemens Forsch und Entwicklungsber. - Ber.: 1975, v.4, p. 281-288.

3. Буткевич Г.В. Дуговые процессы при коммутации электрических цепей. -М.: Энергия, 1973. - 263 с.

4. Жуков М.Ф., Коротеев А.С., Урюков Б.А. Прикладная динамика термической плазмы. - Новосибирск: Наука, 1975. - 300 с.

5. Кузьмин А.Ф., Танаев В.В. Особенности горения дуги в аппаратах с жидкометаллическими контактами // Электротехническая промышленность. Сер. Аппараты низкого напряжения. - 1982. - Вып. 6 (103). - С. 5-6.

6. Киреев К.В., Новиков О.Я. Исследование шунтированной дуги в коммутационных аппаратах с жидким металлом // Динамика электрической дуги в коммутационных аппаратах: Тезисы докладов VII Всесоюзной сессии научного совета по проблемам «Физика низкотемпературной плазмы». Секция «Приложения низкотемпературной плазмы». - Улан-Удэ, 1988. - С. 13-14.

7. Киреев К.В. Жидкометаллический шунтирующий выключатель постоянного тока // Электрика. - 2011. - № 8. - С. 12-15.

Аннотация

Разработана интегральная модель дуги, позволяющая учитывать изменение температурного режима, радиуса и длины дуги в процессе гашения.

Ключевые слова: моделирование, электрическая дуга, температурный профиль.

Keywords: modeling, electric arch, a temperature profile.

Размещено на Allbest.ru