Об одном методе решения нестационарных задач теплопроводности

Представлены результаты разработки приближенного аналитического метода решения нестационарных задач теплопроводности, основанного на совместном использовании метода разделения переменных и ортогональных методов взвешенных невязок. Отмечается высокая точность получаемых из решения краевой задачи Штурма - Лиувилля собственных значений. Так, например, при нахождении первых 17 собственных чисел первые четыре из них с точностью до 16-го знака после запятой совпадают с точными их значениями, а последнее (17-е) - с точностью до первого знака. Столь высокая точность определения собственных чисел объясняется тем, что благодаря принятому методу решения дифференциальное уравнение краевой задачи Штурма - Лиувилля в количестве точек области, равном числу собственных чисел, удовлетворяется точно.

Ключевые слова: задача Штурма - Лиувилля, аналитическое решение, ортогональные методы, метод разделения переменных, собственные числа.

В работах [1, 2] приведены результаты разработки метода решения нестационарных задач теплопроводности, основанного на использовании дополнительных граничных условий. Физический смысл таких условий заключается в выполнении дифференциального уравнения краевой задачи Штурма - Лиувилля, получаемого после разделения переменных в исходном дифференциальном уравнении, и производных от него различного порядка в граничных точках пространственной переменной. Решение задачи Штурма - Лиувилля разыскивается при этом в виде бесконечного ряда при использовании алгебраических или тригонометрических координатных функций. Удовлетворение дополнительных граничных условий приводит к выполнению дифференциального уравнения внутри области с точностью, зависящей от числа приближений (числа членов ряда решения). Такой метод позволяет решать нестационарные задачи для любых дифференциальных операторов, допускающих разделение переменных. Однако при его использовании отмечается медленная сходимость ряда решения, когда с увеличением числа его членов точность повышается незначительно.

Ниже излагается новый подход к решению указанных задач, не связанный с использованием дополнительных граничных условий. Идею метода рассмотрим на примере решения краевой задачи теплопроводности для бесконечной пластины при симметричных граничных условиях первого рода в следующей математической постановке:

; (1)

; ; , (2)

где t - температура; x - координата; ? время; ? начальная температура; ? температура стенки; а - коэффициент температуропроводности; ? половина толщины пластины.

Введем следующие безразмерные переменные:

; ; ,

где ? относительная избыточная температура; ? безразмерная координата; Fo - число Фурье.

С учетом принятых обозначений задача (1), (2) приводится к виду

; (3)

; (4)

; (5)

. (6)

Решение задачи (3) - (6), следуя методу разделения переменных, разыскиваем в виде

. (7)

Подставляя (7) в (1), находим

; (8)

, (9)

где ? некоторая постоянная.

Решение уравнения (8) известно и имеет вид

, (10)

где А - неизвестный коэффициент.

Подставляя (7) в (5), (6), получаем

; (11)

. (12)

Решение краевой задачи Штурма - Лиувилля (9), (11), (12) принимается в виде

, (13)

где - неизвестные коэффициенты. Отметим, что соотношение (13) удовлетворяет граничному условию (11).

Соотношение (11) позволяет ввести еще одно граничное условие

. (14)

Подставляя (13) в (14), находим = 1.

Потребуем, чтобы соотношение (13) удовлетворяло граничному условию (12) и уравнению (9) в точках Подставляя (13), ограничиваясь пятью членами ряда, в соотношение (12) и уравнение (9), применительно к точкам относительно неизвестных коэффициентов получаем систему пяти алгебраических линейных уравнений. Из решения этой системы находим:

;

;

;

;

;

;

Найдем интеграл взвешенной невязки уравнения (9)

. (15)

Определяя интегралы в (15), с учетом найденных значений коэффициентов относительно собственных чисел получаем алгебраическое уравнение пятой степени

. (16)

Из решения уравнения (16) получаем пять собственных чисел, два из которых - комплексные самосопряженные. Принимая только действительные собственные числа, получаем ; ; .

Точные значения первых трех собственных чисел [3] ; ; .

Для уточнения собственных чисел составим невязку уравнения (9) и потребуем ортогональность невязки к собственной функции (13)

. (17)

Определяя интегралы в (17), относительно собственных чисел получаем следующее алгебраическое уравнение:

(18)

Из решения уравнения (18) получаем девять собственных чисел, шесть из которых комплексные. Действительные собственные числа имеют вид ; . Как видно из полученных результатов, требование ортогональности невязки уравнения (9) к собственной функции (13) приводит к значительному повышению точности определения собственных чисел. Следует, однако, отметить, что объем вычислительной работы в данном случае существенно возрастает - возрастает также степень алгебраического уравнения относительно собственных чисел.

Подставляя (10), (13) в (7), для каждого собственного числа будем иметь частные решения вида

. (19)

Каждое частное решение из (19) точно удовлетворяет граничным условиям (5), (6) и приближенно (в третьем приближении) - уравнению (3). Однако ни одно из них, в том числе и их сумма

, (20)

не удовлетворяют начальному условию (4). Для выполнения начального условия составляется его невязка и требуется ортогональность невязки к каждой собственной функции, т. е.

; (21)

Определяя интегралы в (21), для нахождения получаем систему трех алгебраических линейных уравнений. Ее решение

; ; .

Точные значения первых трех коэффициентов приведены в таблице.

Результаты расчетов по формуле (20) при и даны на рис. 1. Их анализ позволяет заключить, что в диапазоне чисел отличие полученного решения от точного не превышает 1 %.

Для повышения точности решения необходимо увеличивать число членов ряда (13). Для получения дополнительных уравнений с целью определения неизвестных коэффициентов будем увеличивать число точек по координате , в которых следует выполнять уравнение (9). И, в частности, принимая число таких точек равным 48 (с шагом начиная от точки ), относительно неизвестных коэффициентов получаем 49 уравнений (еще одно уравнение добавляется в результате выполнения граничного условия (12)). После определения из решения этой системы уравнений неизвестных дальнейший ход решения повторяется.

В таблице приведены полученные для данного количества членов ряда (13) первые 17 собственных чисел в сравнении с точными их значениями. В этой же таблице приведены значения коэффициентов , найденные из выполнения начального условия (4) в 17 точках переменной . И, в частности, условие (4) выполнялось с шагом по координате начиная с точки . Отметим, что ввиду плохой обусловленности матрицы коэффициентов системы алгебраических линейных уравнений, являющейся заполненной квадратной матрицей с большим разбросом коэффициентов по абсолютной величине, ее решение для получения как можно большей точности выполнялось методом итераций.

Рис. 1. Графики изменения температуры в пластине:

---- - расчет по формуле (20) (третье приближение); _ - точное решение

Расчетные значения собственных чисел в сравнении с точными

Результаты расчетов по формуле (20) для n = 17 даны на рис. 2. Их анализ позволяет заключить, что в диапазоне числа расхождение с точным решением не превышает 1,0 %.

Рис. 2. Графики изменения температуры в пластине:

---- - расчет по формуле (20) (семнадцатое приближение); _ - точное решение температура дифференциальное уравнение переменный