Корреляционные функции третьего порядка и их приложения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Корреляционные функции третьего порядка и их приложения

Введение

корреляционный функция электроснабжение

В приложениях теории случайных функций большое распространение получило так называемое «корреляционное приближение». Это приближение позволяет для исследуемой случайной функции (СФ) получить начальный момент первого порядка - математическое ожидание m(t) (среднее значение СФ), а также второй центральный двухточечный момент - корреляционную функцию K(t₁, t₂). Если f (x, t) - одномерная (одноточечная) плотность вероятности ординаты случайного процесса X(t) в момент времени t, а f (x₁, x₂, t₁, t₂) - двухточечная плотность вероятностей ординат случайного процесса (СП) в моменты времени t₁ и t₂, то

M[X(t)] = m(t) =,

K(t₁, t₂) = M[(X(t₁) - m(t₁))(X(t₂) - m(t₂))]=

Среднее значение случайного процесса m(t) характеризует поведение функции X(t) в «среднем», а корреляционная функция K(t₁, t₂) описывает степень статистической связи между сечениями X(t₁) и X(t₂).

Следует признать, что такая информация о СП, в некоторых случаях являющаяся вполне приемлемой, не описывает достаточно полно СП, и этих данных часто не хватает для решения практических задач.

Истинная ценность корреляционного приближения проявляется только для нормальной СФ X(t). В этом случае знание корреляционной функции K(t₁, t₂) и среднего значения m(t) позволяет записать закон распределения любой совокупности сечений СФ, а значит, получить исчерпывающее описание СФ, позволяющее решать все интересующие нас задачи. Поэтому можно сказать, что корреляционное приближение аналогично замене реального процесса нормальным СП.

1.Корреляционные функции третьего порядка

Однако далеко не всегда в приложениях фигурируют нормальные СФ. Зачастую реальные функции значительно отличаются от нормальных, и корреляционное приближение для задачи дает значительные погрешности. В этом случае актуальна проблема нахождения некоторых поправок к корреляционному приближению, учитывающих те или иные особенности в поведении СФ.

В данной работе мы остановимся на уточнении корреляционного приближения с помощью третьего центрального момента K(t₁, t₂, t₃):

K(t₁, t₂, t₃) = M[(X(t₁) - m(t₁))(X(t₂) - m(t₂))(X(t₃) - m(t₃))] =

= (1)

где f (x₁, x₂, x₃, t₁, t₂, t₃) - совместная плотность распределения системы случайных величин X(t₁), X(t₂), X(t₃).

Будем называть этот третий момент корреляционной функцией третьего порядка (КФ3), следуя [1]. Заметим, что при t₁ = t₂ = t₃ = t мы получим, что КФ3 пропорциональна коэффициенту асимметрии распределения ординат СФ в момент времени t. При различных же значениях моментов времени t₁, t₂, t₃ введенная функция описывает статистическую связь ординат процесса в эти произвольные три момента времени и асимметрию этой связи.

Очевидно, что если хотя бы одна из ординат процесса X(t₁), X(t₂), X(t₃) будет независима от других, то K(t₁, t₂, t₃) = 0. Также очевидно, что если хотя бы одна из величин |t₃ - t₁| или |t₂ - t₁| стремится к бесконечности, то и K(t₁, t₂, t₃) 0. Это отражает тот факт, что с ростом расстояния между сечениями статистическая связь между ними ослабевает.

Отметим, что родственный подход к кумулянтным функциям (и не только третьего порядка) случайного процесса X(t) был реализован в [2].

Все сказанное выше было справедливо для любых случайных функций. Имеется специальный класс СФ, который широко применяется в различных приложениях. Это стационарные случайные процессы (ССП). Для ССП X(t) все совместные законы распределения сечений не зависят от сдвига по временной оси. Говорят, что эти законы распределения инвариантны к сдвигу по времени. Это означает, например, что одномерная плотность вероятностей f (x, t), а значит, и среднее значение m(t) случайного процесса не зависят от времени. Двумерная плотность будет зависеть только от разности t₂ - t₁: f (x₁, x₂, t₁, t₂) = f (x₁, x₂, t₂ - t₁). Применительно к корреляционной функции получим: K(t₁, t₂) = K(t₂ - t₁) = K().

Если предположить, что инвариантность относительно сдвига по времени верна только для законов распределения не выше второго порядка, то такую стационарность называют стационарностью в широком смысле. Если же такая инвариантность справедлива для законов распределения любого порядка, то такая стационарность называется стационарностью в узком смысле.

Очевидно, что только для нормальных (гауссовых) случайных процессов понятия стационарности в узком и широком смысле совпадают. Для остальных же ССП эти понятия не будут эквивалентными.

Таким образом, корреляционное приближение на самом деле означает, что исследуемый процесс заменяется нормальным СП.

Уточнение корреляционного приближения для негауссовых ССП может идти по разным путям. Мы будем это делать, учитывая центральный момент третьего порядка для сечений СП. Другими словами, будем считать, что у ССП инвариантными к сдвигу по времени будут законы распределения вплоть до третьего порядка. Назовем такие функции стационарными функциями третьего порядка.

Трехмерная плотность вероятностей f (x₁, x₂, x₃, t₁, t₂, t₃) для таких процессов имеет вид

f (x₁, x₂, x₃, t₁, t₂, t₃) = f (x₁, x₂, x₃, t₂ - t₁, t₃ - t₁) = f (x₁, x₂, x₃, , ).

Отсюда, используя (1), можно видеть, что K(t₁, t₂, t₃) = K(, ).

Запишем для удобства КФ3 в виде

K(, ) = M[(X(t) - m)(X(t + ) - m)(X(t + ) - m)],

где t - произвольный момент времени. Такая форма записи позволяет получить некоторые из основных соотношений для КФ3: во-первых, соотношение симметрии, а именно K(, ) = K(, ); во-вторых,

K(, ) = M[(X(t) - m)(X(t + ) - m)(X(t + ) - m)] =

= M[ (X(t + ) - m) (X((t + ) -) - m) (X((t +) + ( - )) - m)] =

= K(- , - ) = K( - , - ) = K( - , - ) = K(- , - ).

Таким образом, основные свойства для КФ₃ записываются в виде

K(, ) = K(, ), K(, ) = K(- , - ).

Из этих равенств, в частности, получим:

K(, ) = K(0, - ) = K(- , 0).

Легко видеть, что таким же соотношениям удовлетворяет и начальная моментная функция ₃(, ) третьего порядка ССП, так как

₃(, ) = M[X(t) X(t + ) X(t + )],

и можно повторить все выкладки, полученные выше.

Приведенные соотношения устанавливают особого рода симметрии для линий

K(, ) = C = const,

которые можно назвать линиями уровня для КФ3. В точках этой линии функция K(, ) принимает постоянные значения, равные C. Очевидно, что эта линия уровня и линия уровня

₃(, ) = C = const

подобны, т.е. в точках линии K(, ) = C функция ₃(, ) также принимает постоянное значение C₁ и в общем случае C₁ C.

Заметим, что такие линии, только для кумулянтных функций, в [2] называли изоковариантами.

Наиболее содержательно свойства корреляционной функции K(, ) проявляются, если представить ее в виде

K(, ) = ₃(, ) - m[K() + K() + K( - )] - m³, (2)

где K() - корреляционная функция второго порядка, m - среднее значение ССП, ₃(, ) - третья начальная моментная функция, определенная выше. Это представление получается из (1). Отсюда легко получить выражение

K() + K() + K( - ) =.

Рассмотрим одну из линий уровня K(, ) = C. Тогда будем иметь в точках этой линии ₃(, ) = C₁ C. Получается, что в точках (, ) линии уровня K(, ) = C, тогда будем иметь

K() + K() + K( - ) == C₂ = const,

т.е. линии уровня функции

(, ) = K() + K() + K( - )

будут также и линиями уровня K(, ) = C, где

C = C₁ - mC₂ - m³.

Здесь проявляется глубокая связь между корреляционными функциями второго и третьего порядков. Знание корреляционной функции второго порядка K() позволяет получить семейство линий уровня корреляционной функции третьего порядка K(, ) из уравнений

K() + K() + K( - ) = C = const.

Допустим, что мы имеем некоторую конкретную линию уровня, заданную уравнением

K() + K() + K( - ) = C₀.

В любой точке (₀, ₀) этой линии функция K(, ) принимает постоянное значение C, правда, какое это значение - пока неизвестно. Оценку этого значения можно получить только из натурных испытаний, т.е. обрабатывая некоторую достаточно представительную выборку, причем можно обойтись нахождением оценок моментов вида

K(₁, 0) = M[(X(t) - m)² (X(t + ₁) - m)].

Действительно, с учетом замкнутости линии уровня такое же значение C функция K(, ) принимает и в точке (₁, 0), где величина ₁ находится из уравнения

K(₁) + K(0) + K(- ₁) = C₀ 2K(₁) + D = C₀,

где D - дисперсия ССП.

Проводя серию экспериментов, можно с достаточной для приложений подробностью идентифицировать функцию K(, ).

2.Пример нахождения КФ3

Рассмотрим одну задачу, имеющую прикладное значение. В задачах электроснабжения промышленных предприятий очень часто можно считать, что величина тока I(t) в сети является нормальной стационарной функцией времени с известными средним значением Isr и корреляционной функцией второго порядка R(). Тогда квадрат тока I ²(t) = P(t) - величина, пропорциональная мощности, уже не является нормальной функцией, однако, как будет показано в дальнейшем, она представляет собой стационарную случайную функцию третьего порядка.

Найдем основные характеристики ССФ P(t), под которыми мы понимаем среднее значение Psr и корреляционные функции K() и K(, ) второго и третьего порядков соответственно.

В силу нормальности случайной функции I(t) получим:

Psr = M[P(t)] = M[I ²(t)] = ₂(t) = ₂ = const,

где ₂ - второй начальный момент тока в момент времени t, который в силу стационарности процесса не зависит от времени. Используя известное соотношение между моментами случайных величин, запишем:

Psr = ₂ = R(0) +,

где R(0) = ² - дисперсия случайной функции I(t).

Для корреляционной функции второго порядка получим

K() = M[(P(t) - Psr) (P(t + ) - Psr)] = M[(I ²(t) - Psr) (I ²(t + ) - Psr)] =

=,

где f (x, y, ) - совместная плотность вероятностей сечений I(t) и I(t + ), а интегрирование производится по всей плоскости.

Используя нормальную двумерную плотность распределения для сечений I(t) и I(t + ), после интегрирования получим выражение

K() = 2R²() + 4R() = 2R()[R() + 2]. (3)

Итак, для квадрата случайного тока P(t) = I²(t) мы получили в корреляционной постановке все данные: среднее значение Psr = R(0) + и корреляционную функцию K(), определяемую выражением (3), причем легко видеть, что СП P(t) является стационарным, так как K() зависит от одного аргумента.

Для различных видов корреляционных функций, применяемых в приложениях, с использованием (3) было произведено сравнение нормированных корреляционных функций R()/R(0) исходного процесса I(t) и K()/K(0) для ССП P(t) = I²(t).

Оказалось, что при всех возможных вариантах выбора R() различие между этими нормированными функциями несущественно. Другими словами, корреляционный подход не выявляет разницы между СФ I(t) и I²(t), хотя первая из них распределена по нормальному закону, а вторая не является нормальной. Тот факт, что они отличаются средними значениями и дисперсиями, вряд ли можно считать в данном случае существенным.

Перейдем к вычислению корреляционной функции третьего порядка

K(, ) = M[(P(t) - Psr)(P(t + ) - Psr)(P(t + ) - Psr)] =

= M[(I ²(t) - Psr)(I ²(t + ) - Psr)(I ²(t + ) - Psr)].

Рассмотрев три сечения I(t), I(t + ) и I(t + ) нормальной случайной функции I(t), можно записать совместную плотность вероятностей f (x, y, z, , ) этих трех сечений, а затем вычислить интеграл

K(, ) =.

Вычисление данного тройного интеграла хотя и не представляет принципиальных затруднений, но связано с очень громоздкими преобразованиями. Здесь лучше применить другой подход, опирающийся на использование характеристической функции системы случайных величин.

Для данной системы сечений получим характеристическую функцию E(u₁, u₂, u₃) [3]:

E(u₁, u₂, u₃) =, (4)

где выражение под знаком экспоненты характеристической функции (4) можно записать в виде

.

Используем представление функции K(, ) вида (2), где нужно заменить m на Psr, т. е.

K(, ) = ₃(, ) - Psr[K() + K() + K( - )] - , (5)

а корреляционную функцию K() следует брать согласно (3).

В выражении (5) неизвестной является функция ₃(, ), которая равна начальному моменту шестого порядка

₃(, ) = M[P(t) P(t + ) P(t + )] = M[I ²(t) I ²(t + ) I ²(t + )]

для нормальной случайной функции I(t).

Для определения ₃(, ) получим [3]:

₃(, ) =.

Используя (4), а также (3), найдем корреляционную функцию третьего порядка K(, ):

K(, ) = 8R()R()R( - ) +8[R()R() + R()R( - ) + R()R( - )].

Зная K(, ), легко найти третий центральный момент ₃ = K(0, 0) для ССФ P(t).

₃ = K(0, 0) = M[(P(t) - Psr)³] = 8R²(0)(R(0)+3) > 0.

Отсюда коэффициент асимметрии Sk случайной функции P(t):

Sk == > 0.

Отметим, что коэффициент асимметрии для ССП I(t) равен нулю. Также легко показать, что корреляционная функция R(, ) третьего порядка для ССФ I(t)

R(, ) = M[(I(t) - I_ср)(I(t + ) - I_ср)(I(t + ) - I_ср)] = 0

для любых и . Это справедливо и для любого ССП с симметричным распределением вероятностей.

Заключение

Итак, если с точки зрения стационарных в широком смысле процессов случайные функции I(t) и P(t) = I ²(t) практически не отличаются, то рассмотрение корреляционных функций третьего порядка для этих процессов показывает кардинальное их отличие. Исходный процесс I(t) являлся симметрично распределенным, и поэтому его корреляционная функция третьего порядка обращается в ноль, в то время как для ССП P(t) = I ²(t) она отлична от тождественного нуля и для каждой пары значений и характеризует асимметрию сечений {P(t), P(t + ), P(t + )}.

Учитывая моменты до третьего порядка включительно, мы значительно пополняем свои знания о различных нюансах протекания случайного процесса. Имеется возможность учитывать взаимосвязи трех ординат ССП, что позволяет решать такие задачи, которые в рамках обычного корреляционного анализа невозможны в силу того, что там мы можем рассматривать только два сечения.

Корреляционная функция K(, ) позволяет учитывать асимметрию распределения, что может оказаться решающим для некоторых расчетов стохастических систем и, в частности, систем энергоснабжения.

Библиографический список

корреляционный функция электроснабжение

1. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. - М.: Сов. радио, 1961. - 558 с.

2. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. - М.: Сов. радио, 1978. - 376 с.

3. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. - М.: Наука, 1968. - 464 с.

Размещено на Allbest.ru