Квазискользящие процессы в релейных системах с отрицательным переменным гистерезисом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Квазискользящие процессы в релейных системах с отрицательным переменным гистерезисом

В.Е. Вохрышев

Д.А. Рагазин

Исследованы квазискользящие процессы в релейных системах и алгоритмы их управления, построенные с использованием в обратной связи экстремумов регулируемой координаты.

В практике управления динамическими объектами релейные системы, работающие по принципу «включено-выключено», получили широкое распространение благодаря простой конструкции, алгоритмической и программной реализации, высокому быстродействию и надежности [1, 2].

Существенным преимуществом релейного управления является также значительное упрощение исполнительного механизма системы за счет снижения требований к его характеристикам, возможность получения заданных динамических свойств системы при малых весах и габаритах исполнительных управляющих устройств. К релейным законам управления часто обращаются и в тех случаях, когда необходимо обеспечить высокую точность режима слежения на так называемых ползучих скоростях [3].

Релейные автоматические системы обладают высоким быстродействием вследствие того, что управляющее воздействие в них изменятся практически мгновенно, «скачком», и исполнительное устройство подвержено максимальному постоянному воздействию. Структурную схему релейной системы обычно изображают следующим образом (рис. 1).

Рис. 1. Структурная схема релейной системы

Здесь W1(s) - передаточная функция объекта, объединенного с датчиком и исполнительным механизмом, РР - релейный регулятор, так что управляющее воздействие U(t) действует непосредственно на объект.

В простейшем случае управление U(t) определяется отклонением регулируемой координаты х(t) от своего заданного конечного состояния хk и принимает лишь два значения +В или - В, которые соответствуют предельным значения управления при переключениях релейного регулятора. В общем же случае оно может зависеть и от иных величин, характеризующих состояние объекта (от производных, интегралов отклонения и пр.) [2, 4].

Управление U(t) как уравнение релейного регулятора можно записать следующим образом:

+ В0,

где Ф(t) - оператор, зависящий от вида статической характеристики релейного регулятора, которая определяется функцией переключения М(t), действующей на его входе, В0 - постоянная величина (смещение), необходимость введения которой обусловлена стремлением повысить точность управления в установившемся режиме работы объекта без астатизма или обеспечить симметричность автоколебаний регулируемой координаты возле заданного конечного состояния. Смещения может и не быть.

В соответствии со структурной схемой (рис. 2) объект управления предполагается линейным и задается передаточной функцией

,

а движение объекта описывается линейным дифференциальным уравнением следующего вида:

,

где p - оператор дифференцирования .

Предполагается также, что многочлен P(s) (исходя из физической реализуемости) имеет более высокую степень, чем многочлен R(s).

В релейных системах колебательный переходный процесс может вырождаться в так называемый скользящий процесс. В этом случае изображающая точка (ИТ) в фазовом пространстве системы оказывается на многообразии М(t)=0 и движется вдоль него в заданное конечное значение без перерегулирования. Порядок системы дифференциальных уравнений, описывающих это движение, всегда на единицу меньше исходной системы [9]. Однако реализация подобного движения помимо измерения выходной координаты объекта х(t) требует доступа и к другим переменным состояния (в частности, измерения производной х(t)).

В данной статье исследуются процессы в релейных системах, управление в которых построено с использованием в обратной связи экстремумов регулируемой координаты [5], что позволяет существенно повысить его эффективность без применения в законе управления производных, а также организовать квазискользящие процессы в системе.

Пусть линейная часть системы имеет передаточную функцию

,

а движение объекта описывается линейным дифференциальным уравнением вида

,

где .

Подобное уравнение в первом приближении имеют электромеханические объекты, системы вентиляции и отопления, следящие системы [6, 7].

В качестве нелинейной части будем использовать двухпозиционный регулятор [8]

с функцией переключения

,

Рис. 2. Статическая характеристика регулятора с отрицательным переменным гистерезисом

где - экстремальные значения регулируемой координаты (ее максимум или минимум ); - постоянный коэффициент, -1<k<1; - знаковая функция, принимающая значения +1 или -1 в зависимости от знака функции переключения ; В - величина управляющего воздействия.

Из соотношения (4) видно, что величина ) есть не что иное, как амплитуда входного сигнала, а сама функция М(t) на протяжении управления при переводе объекта из заданного начального состояния в предписанное конечное может менять знак не менее чем один раз. Статическая характеристика регулятора для случая, когда 0<k<1, представлена на рис. 2.

Это релейный регулятор с отрицательным переменным гистерезисом, ширина которого поставлена в линейную зависимость от амплитуды автоколебаний.

Без потери общности анализа будем считать и найдем сигнал, действующий на входе релейного регулятора (функцию переключения)

.

Переключения управления происходят, когда функция М(t) обращается в нуль.

.

Полагая в уравнении (2) , получим систему дифференциальных уравнений

;

.

Движения изображающей точки (ИТ) на фазовой плоскости определяется соотношением.

.

Уравнение линии переключения (5) на фазовой плоскости представляет собой прямую, которая параллельна оси х2(t) и проходит через точку с координатами .

Если функция переключения , т.е. , то изображающая точка (ИТ) находится справа от линии переключения, а управление U(t)= -В. Уравнение движения при U(t)=-В, полученное решением дифференциального уравнения (7), имеет вид

.

Если , т.е. (t) (ИТ слева от линии переключения), то управление U(t)=+В, а уравнение движения

.

Понятно, что если в качестве линий переключения использовать уравнения фазовых полутраекторий (8) и (9), ведущих в начало координат фазовой плоскости, перевод ИТ из произвольного начального состояния в начало координат осуществлялся бы за одно переключение релейного элемента, а управление было бы оптимальным по быстродействию.

Однако сложности реализации подобного управления, связанные главным образом с необходимостью измерения скорости выходной координаты в условиях помех, а также причины, обусловленные приближенностью математического описания реального объекта и элементами его неопределенности, вынуждают чаще всего отказываться от подобного решения и аппроксимировать эти полутраектории более простыми функциями [5, 9]. квазискользящий релейный фазовый

Если коэффициент k в функции переключения (6) подобрать или вычислить тем или иным образом так, чтобы линия переключения (5) проходила через точки, расположенные на полутраекториях (8) или (9), ведущих в начало координат фазовой плоскости, то протекающие в системе процессы также будут оптимальными по быстродействию. Следует обратить внимание на то, что ИТ не может быть переведена управлением (3) в начало координат за одно переключение при движении ее из области начальных условий, расположенной между полутраекторией (правее ее) (9), которая ведет в начало координат во втором квадранте фазовой плоскости, и осью ординат, или из области, лежащей между полутраекторией (левее ее) (8), ведущей в начало координат, и осью ординат в четвертом квадранте. Для этого необходимо как минимум выполнить два переключения так, как показано на рис. 3. Движение ИТ на этом рисунке начинается из точки «с». В точке «в» происходит первое переключение, а в точке «а» - второе. Это обусловлено тем, что знак на первом интервале управления при использовании функции переключения (4) всегда отрицательный, если в начале управления ИТ располагается справа от оси ординат, и положительный - в противном случае, тогда как знаки на первом интервале управления в вышеобозначенных областях при оптимальном по быстродействию управлении всегда положительны и отрицательны соответственно. Поэтому в этих областях фазовой плоскости управление (3) дополнительно один раз меняет знак.

Рис. 3. Квазиоптимальные по быстродействию процессы:

1 полутраектория (8), 2 полутраектория (9), 3 линии переключения (5),

4 - фазовая траектория движения ИТ из т очки «с» в точку «а» и затем в начало координат

Рис. 4. Фазовый портрет:

М(t) - линия переключения, 1 - фазовая траектория

Рис. 5. Переходный процесс в релейной системе с отрицательным переменным гистерезисом:

u(t) управление, х(t) - регулируемая координата

Если коэффициент k в функции переключения (4) положить больше оптимального (так, чтобы линия переключения (4) проходила на фазовой плоскости правее линии «1» или левее линии «2» на рис. 3), в системе всегда будут возникать квазискользящие процессы, как показано на рис. 4, а переходный процесс будет заканчиваться без перерегулирования (рис. 5). Движение на этих рисунках начинается из некоторого начального состояния в начало координат. Подобное движение обусловлено тем, что ИТ в момент переключения не может остаться на линии переключения (как это имеет место в релейных системах с линейной функцией переключения [6, 9]), а продолжает двигаться по траектории (9) до момента пересечения траекторией оси абсцисс.

Появление экстремума регулируемой координаты приводит к скачкообразному перемещению линии переключения М(t) левее этого экстремума, и управление (8) вновь меняет знак. В результате в системе возникает квазискользящий процесс. В конечном состоянии управление удерживает ИТ в начале координат фазовой плоскости

В заключение отметим, что использование релейного регулятора (3) в системах управления динамическими объектами позволяет существенно упростить техническую и алгоритмическую реализацию управления, наделить систему адаптивными свойствами к действию сигнальных возмущений и реализовать в системе второго порядка (при некоторых несущественных для практики ограничениях) оптимальное по быстродействию управления с использованием только выходной координаты или ошибки системы.

Библиографический список

1. Фалдин Н.В. Релейные системы автоматического управления. Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления / Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. М.: МГТУ им. Баумана, 2004. С. 573-636.

2. Цыпкин, Я.З. Релейные автоматические системы. / Я.З. Цыпкин // М.: Наука, 1974. 704 c.

3. Руднев С.А., Фалдин Н.В. Исследование периодических движений в релейных системах, содержащих звенья с ограничителями // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2007. №2. С. 15-27.

4. Бурляев В.В. Условия возникновения полигармонических колебаний в двухпозиционных регуляторах с отрицательным гистерезисом // Изв. вузов. Электромеханика. 1970. №6. С. 706-709.

5. Вохрышев В.Е. Метод диверсификации экстремумов фазовых координат в прикладных задачах синтеза управления динамическими объектами: Монография. Изд-во Самарского науч. центра РАН. Самара, 2004. 116 с.

6. Бесекерский В.А., Попов Е.А. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1979. 767 с.

7. Kurman J. Ventilation and air conditioning // Landis and Staefa Basic Training. 1981. 234 c.

8. Пат. № 2302029 РФ. Регулятор с релейной характеристикой / В.Е. Вохрышев. Опубл. 2007. Бюл. № 18. С. 703.

9. Старикова М.В. Автоколебания и скользящий режим в системах автоматического регулирования. М.: Машгиз, 1962. 201 c.

Размещено на Allbest.ru