Анализ активной, реактивной, комплексной и полной мощности пассивного двухполюсника

Под активной мощностью Р понимают среднее значение мгновенной мощности p за период T:

(1)

Если ток i=I_msinщt, напряжение на участке цепи u=U_msin(щt+?), то:

(2)

Активная мощность физически представляет собой энергию, которая выделяется в единицу времени в виде теплоты на участке цепи в сопротивлении R. Действительно, произведение Ucos?=IR Следовательно,

(4)

Единица активной мощности -- Вт.

Под реактивной мощностью Q понимают произведение напряжения U на участке цепи на ток I по этому участку и на синус угла Ф между напряжением U и током I:

 (5)

Единица реактивной мощности -- вольт-ампер реактивный (ВАр). Если sinц>0, то Q>0, если sinц<0, то Q<0.

Рассмотрим, что физически представляет собой реактивная мощность. С этой целью возьмем участок цепи с последовательно соединенными R, L и С. Пусть по нему протекает ток I=I_msinщt.

Запишем выражение для мгновенного значения суммы энергий магнитного и электрического полей цепи:

(6)

Из полученного выражения видно, что W_мэ , имеет постоянную составляющую W_мэ0, неизменную во времени, и переменную составляющую щ_мэ, изменяющуюся с двойной угловой частотой:

. (7)

Где . W_{мэ0 и} W_мэ=cos2t (8)

На создание постоянной составляющей W_мэ0 была затрачена энергия в процессе становления данного периодического режима. В дальнейшем при периодическом процессе энергия W_мэ0 остается неизменной и, следовательно, от источника питания не требуется энергии на ее создание.

Среднее значение энергии w_мэ поступающей от источника за интервал времени от -Т/8 до +Т/8,

 (9)

Таким образом, реактивная мощность Q пропорциональна среднему за четверть периода значению энергии, которая отдается источником питания на создание переменной составляющей электрического и магнитного поля индуктивной катушки и конденсатора.

За один период переменного тока энергия W_{мэ ср} дважды отдается генератором в цепь и дважды он получает ее обратно, т. е. реактивная мощность является энергией, которой обмениваются генератор и приемник.

Полная мощность:

Единица полной мощности -- В*А.

Мощности Р, Q и S связаны следующей зависимостью:

(10)

На щитке любого источника электрической энергии переменного тока (генератора, трансформатора и т. д.) указывается значение S, характеризующее ту мощность, которую этот источник может отдавать потребителю, если последний работает при cosц= (т. е. если потребитель представляет собой чисто активное сопротивление).

1.2 Анализ активного и пассивного двухполюсника

Двухполюсники иногда обозначают прямоугольником внутри которого ставится буква П - у пассивных двухполюсников и А - у активных.

Рис.1.1 Двухполюсники

Как уже говорилось, пассивный двухполюсный только потребляет, энергию, при этом ток и напряжение на его клеммах совпадает. Активный двухполюсный может отдавать энергию, а может её потреблять. В последнем случае он не отличается от пассивного. Определить является ли активный двухполюсный приёмником энергии или источником можно по направлению тока и напряжения на его клеммах. Если ток и напряжение совпадают - то двухполюсник поглощает энергию, а если ток и напряжение противоположны - то отпадает.

Количество энергии, выделяемой источниками равно количеству энергии поглощающейся нагрузками (потребителями) плюс потери энергии в проводниках при передаче и потери на внутренних сопротивлениях источников. Часть в задачах двумя последними составляющими пренебрегают.

Энергия, поглощающаяся на сопротивлении определяется:

(11)

Энергия, вырабатываемая источником ЭДС:

 (12)

при этом, если ток совпадает с ЭДС - то источник отдаёт энергию, а если ток и ЭДС противоположны, то ЭДС поглощает энергию, т.е. работает как потребитель и должен быть помещён в уравнении баланса мощности рядом с потребителями или быть записан со знаком «-» .

Для определения мощности источника тока, необходимо определить напряжение на его зажимах .

при этом, если напряжение на клеммах источника тока противоположно току источника, то он будет источником энергии, а если ток совпадает с напряжением - то приемником и записывается либо знаком «-», либо c потребителями энергии.

В левой части уравнения баланса мощности записываются все мощности потребителей, а в правой источников:

(13)

Уравнение баланса мощности можно использовать для проверки правильности расчёта электрической цепи.

Любой реальный генератор имеет внутреннее сопротивление и может рассматриваться как активный двухполюсник:

(14)

Если менять величину при неизменных параметрах генератора, то график мощности будет выглядеть примерно так, как показано на рисунке:

Для определения точки максимальной мощности возьмем производную от (1) по . Это сложная функция. Переменная входит в числитель и знаменатель.

Используем правило:

(15)

Определим максимальную мощность:

(16)

Определим КПД источника в этом режиме ( );

Теорема об эквивалентном генераторе (метод эквивалентного генератора).

Выделим в электрической цепи одну ветвь 2 - 2' с сопротивлением R присоединённую в точках 1 - 1' к активному двухполюснику(рис.1.2)

Рис. 1.2

Чтобы найти ЭДС активного двухполюсника разъединим цепь между точками 1 и 2 (рис.1.3)и определим напряжение опытным или расчетным путём.

Рис. 1.3.

Затем подсоединим к точкам 1 и 2 источник с ЭДС , направленной на встречу (рис.1.4).

Рис. 1.4

Ток в ветви 2 - 2' останется равным нулю, так как при этом разность потенциалов не изменилась.

Эта схема будет эквивалентна заданной, если между точками 1 и 2 ввести ещё одну ЭДС противоположно направленную ЭДС (рис.1.4).

Рис.1.5

По принципу наложения ток в ветви 2 - 2' эквивалентной схемы (рис.4), а значит и заданной (рис.1), найдём как алгебраическую сумму токов, создаваемых каждым из источников. Но все источники, находящиеся внутри активного двухполюсника, совместно с источником не вызывают тока в ветви 2 - 2', поэтому ток ветви 2 - 2', создаваемый одним источником ЭДС равен действительному току в этой ветви (рис.1.6).

Рис. 1.6.

Где - входное сопротивление пасивного двухполюсника, получающегося из заданного активного после того, как все ЭДС источников напряжения и все источники токов принять равными нулю.

Моё объяснение теоремы об эквивалентном генераторе проще и понятнее.

Представляем схему по отношению к ветви 2 - 2' в виде активного двухполюсника с внутренним сопротивлением и эквивалентным ЭДС (рис.1.7).

Рис. 1.7

размыкаем ветвь 2 - 2' и убираем её (рис.1.8).При этом ток будет равен 0. По второму закону Кирхгофа получаем, что .

Рис.1.8

Далее убираем все источники в двухполюснике и он становится пассивным (рис.1.9).

Рис. 1.9

Определяем его входное сопротивление либо расчетным путем, либо экспериментально (опыт короткого замыкания

Теперь возвращаемся к исходной схеме (рис.1.7) и определяем ток по закону Ома для полной цепи:

(17)

Если ветвь 2 - 2' содержит ЭДС, то эта ЭДC добавляется в числитель к если она совпадает с током, или вычитается из - если противоположны току.

Для любой линейной электрической цепи, ток в ветви К, вызванный ЭДC, включённой в ветвь m, равен току ветви m, вызванному ЭДC, включённой в ветвь К при условии, что ЭДC равны.

в силу симметричности определителя полных сопротивлений, а так как по условию, то

2. ТЕХНИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ