Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Учебное пособие

Курс лекций по теоретической механике

Часть II Кинематика

Канарёв Ф.М.

Содержание

Вводная часть

1. Основные понятия и аксиомы кинематики

2. Классификация движений материальных объектов

3. Кинематика точки

3.1 Координатный способ задания движения точки

3.2 Векторный способ задания движения точки

3.3 Естественный способ задания движения точки

3.4 Переход от координатного способа задания движения точки к естественному

3.5 Определение скорости точки при векторном способе задания ее движения

3.6 Определение ускорения точки при векторном способе задания ее движения

3.7 Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания ее движения

3.8 Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения

3.9 Некоторые частные случаи движения точки

3.10 Сложное движение точки

3.11 Определение модуля и направления кориолисова ускорения

4. Кинематика твердого тела

4.1 Поступательное движение твердого тела

4.2 Вращательное движение твердого тела

4.3 Скорость и ускорение точек вращающегося тела

4.4 Метод Эйлера для определения скорости и ускорения точки вращающегося тела

4.5 Вращение тела относительно нескольких осей

4.6 Винтовое движение твердого тела

4.7 Плоское (плоскопараллельное) движение твердого тела

4.8 Скорость и ускорение точки катящегося кольца

4.9 Кинематика игольчатого диска

4.10 Теорема о проекциях скоростей двух точек тела

4.11 Методы определения скоростей точек механизмов

4.12 Определение ускорений точек КШМ

4.13 Мгновенный центр ускорений

4.14 Движение твердого тела вокруг неподвижной точки

4.15 Кинематические характеристики движения твердого тела вокруг неподвижной точки

4.16 Скорости точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки

4.17 Ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки

4.18 Общий случай движения свободного твердого тела

4.19 Кинематические заблуждения теоретиков ХХ века

Вводная часть

История науки уже зафиксировала: истоки глобальных теоретических научных ошибок лежат в элементарном кинематическом заблуждении теоретиков. Излагаем вначале классическую учебно-научную информацию по кинематике и показываем в конце этой части Теоретической механики суть элементарных кинематических заблуждений теоретиков ХХ века, которые привели к глобальному кризису фундаментальных наук.

1. Основные понятия и аксиомы кинематики

Кинематика - раздел механики, в котором изучается движение материальных точек и твердых тел независимо от сил, приложенных к ним.

Кинематика, как и вся механика, базируется на фундаментальных аксиомах и постулатах Естествознания.

Аксиома - очевидное утверждение, не требующее экспериментальной проверки и не имеющее исключений.

Постулат - неочевидное утверждение, достоверность которого доказывается экспериментально или - совокупностью теоретических результатов, следующих из экспериментов.

Гипотеза - недоказанное утверждение, которое не является постулатом. Доказательство может быть теоретическим и экспериментальным. Оба эти доказательства не должны противоречить аксиомам и общепризнанным постулатам.

Ценность аксиомы не зависит от её признания. Она сама защищает свою достоверность очевидной связью с реальностью.

Ценность постулата определяется уровнем признания его достоверности научным сообществом.

Под движением в механике понимается изменение положения твердого тела в пространстве и во времени.

Пространство в классической механике рассматривается как абсолютное, трехмерное, в котором все построения базируются на геометрии Евклида. В качестве основной единицы измерения пространственной протяженности принят метр.

Время в классической механике также абсолютно. Оно одинаково и равномерно течет во всех точках пространства. Пространство и время считаются абсолютными потому, что в природе нет таких явлений, которые бы могли влиять на пространство и время. Например, искривлять пространство или изменять темп течения времени (ускорять или замедлять его ход). Единица измерения времени в системе СИ - секунда.

Абсолютное пространство и абсолютное время - главные аксиомы механики. Они в корне отличаются от псевдонаучных постулатов относительного пространства и относительного времени.

В задачах кинематики время - скалярная величина (аргумент). Все другие переменные величины: расстояния, скорости, ускорения - функции времени.

Чтобы точно описать движение одного тела относительно другого, нужно с одним из тел связать систему отсчета и рассматривать в ней движение другого тела.

В механике системы отсчета делятся на два класса: инерциальные и неинерциальные.

Система отсчета, которая находится в покое или движется прямолинейно и равномерно называется инерциальной. В практике инженера - механика сельского хозяйства инерциальной системой отсчета считается система отсчета, связанная с Землей. Однако, в астрономических исследованиях система отсчета, связанная с Землей уже не может быть инерциальной, так как Земля движется не прямолинейно, а криволинейно - по орбите вокруг Солнца со скоростью около 30 км/с.

Задать закон движения точки или тела - значит составить такое математическое уравнение, которое позволит определить положение рассматриваемой точки или тела в выбранной системе отсчета в любой момент времени.

Все законы классической механики работают в рамках основной аксиомы Естествознания - аксиомы Единства пространства, материи и времени. Математическая суть этой аксиомы выражается в зависимости координат объектов, движущихся в пространстве, от времени.

2. Классификация движений материальных объектов

Отмечаем главное - отсутствие параграфа по классификации движений маетериальных объектов в теоретической механике - одна из причин глобальных теоретических заблуждений в фундаментальных науках: математике, физике, химии, астрофизике. Отсутствие этого параграфа - главная причина ошибочности первого закона динамики Ньютона, а также Специальной и Общей теорий относительности А. Эйнштейна. Сущность этих заблуждений мы изложим в конце раздела «Кинематика», а сейчас отметим главное - все движения, всех материальных тел начинаются с ускоренной фазы движения. Из этого автоматически вытекает необходимость начала описания всех движений с их ускоренной фазы, которая может переходить в фазу равномерного движения или в фазу замедленного движения, минуя фазу равномерного движения материальных объектов.

Из изложенного следуют три последовательные фазы движений материальных объектов: ускоренная, равномерная и замедленная. Если мы хотим отразить реальность изучаемого процесса движения материального объекта, то обязаны начинать его с анализа ускоренной фазы движения, так как фазы равномерного и замедленного движеий материальных объектов - всегда, повторим ещё раз, всегда являются следствиями ускоренного их движения. Это требование обусловлено тем, что любое следствие имеет причину, поэтому нельзя изучать следствие, не зная причину, породившую это следствие. Из этого автоматиески следует логический запрет постановки на первое место равномерного движения материального объекта.

Однако, Иссак Ньютон не обратил внимание на этот фундаметальный факт и начал в своей динамике описание движения материальных объектов с равномерного движения. Не заметили этого факта и его последователи. В результате, множились теоретические заблуждения в других фундаментальных науках и сейчас развитие этих заблуждений достигло апогея.

Человеческая мысль не может мириться с обилием противоречий, сформировавшихся в фундаментальных науках, и ищет выход из научного тупика. Представленная классификация движений материальных объектов - начало выхода из него. Мы попытаемся изложить последовательно начальную информацию выхода из этого кризиса, владея которой исследователи будут понимать причины кризиса фундаментальных наук и излагаемую нами последовательность выхода из этого кризиса.

3. Кинематика точки

Точка - упрощённая модель реального объекта, которая позволяет описать его поведение математически. Cуществуют следующие основные способы задания движения точки по отношению к выбранной системе отсчета: а - координатный; б - векторный; в - естественный.

3.1 Координатный способ задания движения точки

Это наиболее наглядный и удобный способ задания движения точки. Положение точки по отношению к выбранной системе отсчета в данном случае определяют ее декартовы координаты (рис. 1). При изменении положения точки меняются ее координаты ; следовательно, они являются функциями времени:

(1)

Эти уравнения описывают закон движения точки в пространстве. Уравнения, описывающие закон движения точки в плоскости XOY и по прямой OX соответственно, имеют вид:

(2)

(3)

Рис. 1. Схема к координатному способу задания движения точки

Приведенные уравнения содержат переменный параметр , поэтому их называют уравнениями движения точки в параметрической форме. Они определяют закон движения точки. Чтобы найти уравнение траектории движения точки, надо исключить из них параметр .

Пример. Определить траекторию движения точки, если заданы уравнения ее движения:

.

Исключив параметр , получим:

Как видно, траектория движения точки - окружность.

3.2 Векторный способ задания движения точки

Пусть точка движется в системе отсчета . Ее положение можно определить с помощью радиуса-вектора, проведенного из начала координат в точку (рис. 2).

Рис. 2. Схема к векторному способy задания движения точки

При движении точки ее координаты будут изменяться, следовательно, будет меняться модуль и направление вектора . Таким образом, вектор является переменным вектором (вектором функцией), зависящим от аргумента , поэтому можно записать:

(4)

(5)

где x, y, z - проекции вектора на оси координат; - единичные векторы - орты декартовых осей.

Приведенные уравнения определяют закон движения точки в векторной форме. Так как проекции вектора на оси координат равны координатам его конца, то есть координатам точки , то уравнение (2.5) позволяет перейти от векторного способа задания движения точки к координатному. В уравнении (2.5) и Построив соответствующий вектор с помощью его проекций x,y,z на оси координат, мы таким образом устанавливаем положение движущейся точки в пространстве. Модуль вектора определится по формуле

(6)

а направление вектора в пространстве определится через направляющие косинусы (рис. 2):

(7)

(8)

(9)

Таким образом, приведенные формулы позволяют определить в любой момент времени положение конца вектора в пространстве, соответствующее положению точки .

Геометрическое место концов вектора называется годографом этого вектора и представляет собой траекторию движения точки .

Пример. Точка движется по закону: Здесь: Пусть , тогда Таким образом, при координаты точки равны: . По этим координатам определяют положение точки в пространстве в момент времени .

Как видно, преимущество векторного способа задания движения точки заключается в экономности записи (4), (5), а недостаток в том, что при построении траектории движения приходится переходить к координатам точки (1).

3.3 Естественный способ задания движения точки

Естественный способом задания движения точки используется в том случае, когда траектория движущейся точки заранее известна, тогда саму траекторию берут в качестве координатной оси и выделяют на ней начало отсчета с положительным (+) и отрицательным (-) направлениями (рис. 2.3).

При естественном способе задания движения точки, ее положение на траектории однозначно определяется дуговой координатой .

Рис. 3. Схема к естественному способу задания движения точки

С течением времени положение точки на траектории изменяется, меняется и ее координата . Отсюда видно, что для определения положения точки в любой момент времени надо знать закон изменения ее дуговой координаты , то есть функцию

(10)

Эта функция является законом движения точки вдоль траектории. Заметим, что не уравнение траектории, а уравнение закона движения точки вдоль заданной траектории.

Таким образом, чтобы задать движение точки естественным способом, надо задать: а) траекторию точки; б) начало движения этой точки (начало отсчета на этой траектории; в) закон движения точки вдоль траектории в виде .

Если точка движется прямолинейно вдоль оси , то - закон прямолинейного движения точки.

3.4 Переход от координатного способа задания движения точки к естественному

Если движение точки задано координатами: то, используя известную зависимость между дифференциалом дуги и дифференциалами ее проекций , имеем

(11)

Это соотношение можем переписать так

 (12)

Учитывая, что:

,

получим

(13)

Считая, что при , , и интегрируя выражение (13)

(14)

получим закон движения точки:

Пример. Движение точки задано уравнениями:

Найти траекторию точки и закон ее движения по этой траектории. Исключая из уравнений , имеем:

Это - окружность. Дифференцируя уравнения движения точки, имеем:



Далее, подставляя в уравнение (2.14) и , получим:

Окончательно имеем: - закон движения точки по окружности в естественной форме. Точка движется по окружности равномерно.

Скорость и ускорение материальной точки

Скорость и ускорение движения материальной точки - величины векторные. В силу этого у них могут изменяться сразу две характеристики: модуль вектора и направление его в пространстве.

Изменение положения точки или тела в пространстве в единицу времени называется скоростью, а изменение модуля и направления вектора скорости точки тела с течением времени - ускорением.

3.5 Определение скорости точки при векторном способе задания её движения

Рис. 4. Схема к определению скорости точки в момент времени

Пусть точка в момент времени находится в положении , определяемом вектором , а в момент времени - в положении , определяемом вектором (рис. 4).

Если точка движется криволинейно, то вектор направлен по хорде (рис. 4), а если она движется прямолинейно вдоль прямой , то из векторного треугольника видно, что

откуда

За время точка переместится в пространстве на величину . Средняя скорость движения точки за время определится по формуле:

(15)

Направление векторов и совпадают. В пределе, когда , получим скорость точки в данный момент времени.

(16)

Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса - вектора по времени .

Рис. 5. Направление вектора скорости точки

Так как предельным направлением секущей является касательная, то вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону ее движения (рис. 5).

3.6 Определение ускорения точки при векторном способе задания ее движения

Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение модуля и направления вектора скорости точки с течением времени.

Рис. 6. Схема к определению ускорения точки

Пусть в момент времени скорость точки равнялась , а в момент времени - . Тогда за время cкорость точки изменится на величину .

Изменение вектора за время - есть среднее ускорение .

 (17)

Направление векторов и совпадают. В пределе при получим вектор - ускорение точки в данный момент времени.

(18)

Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса - вектора по времени.

Направление вектора

При прямолинейном движении точки вектор , очевидно, направлен вдоль прямой. При криволинейном движении точки в плоскости вектор , как и вектор (рис. 2.6), направлен в сторону вогнутости кривой.

Если траектория точки не плоская кривая, то направлен в сторону вогнутости кривой и лежит в плоскости П, проходящей через касательную к траектории в точке и прямую, параллельную касательной в соседней точке (рис. 2.7).

Рис. 7. Схема к определению расположения кривой в соприкасающейся плоскости П

В пределе, когда и плоскость П занимает положение, при котором она не касается, а соприкасается с кривой в точке и поэтому называется соприкасающейся плоскостью. Следовательно, в общем случае вектор лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

3.7 Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания её движения

При координатном способе задания движения материальной точки сами координаты являются функциями времени:

(19)

Проекции вектора скорости точки на оси координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

(20)

Тогда модуль вектора скорости

(21)

Углы и между вектором и осями координат OX, OY, OZ определяются с помощью направляющих косинусов:

(2.22)

Ускорение точки

Известно, что Поэтому на основании теоремы: проекция производной от вектора на какую-нибудь ось равна производной от проекции дифференцируемого вектора на ту же ось, имеем:

(2.23)

(2.24)

(2.25)

То есть проекции ускорения точки на оси координат равны вторым производным от соответствующих координат точки по времени.

Модуль ускорения точки

(2.26)

Направляющие косинусы вектора ускорения:

(2.27)

Если точка движется прямолинейно, например, вдоль оси , то: , а скорость и ускорение определятся по формулам:

(2.28)

3.8 Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания её движения

Закон движения точки в этом случае записывается так За время дуговая координата точки изменится на величину . Средняя скорость изменения дуговой координаты будет равна (рис. 2.8)

Рис. 8. Схема к определению скорости точки при естественном способе задания ее движения

(29)

Переходя к пределу, найдем численную величину скорости точки в данный момент времени

(30)

Численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от криволинейной координаты по времени.

Ускорение точки при естественном способе задания её движения рассматривается относительно самой траектории движения. Для четкости представления закономерности изменения модуля и направления вектора ускорения вводятся естественные оси. Они необходимы для того, чтобы учесть изменение кривизны траектории движения точки в пространстве. Естественные оси направляются следующим образом (рис. 9):

Рис. 9. Схема к аналазу образования касательного и нормального ускорений точки

Касательная ось - вдоль касательной к траектории в сторону положительного отсчета координаты ;

Нормальная ось - по нормали, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории;

Бинормальная ось - перпендикулярно первым двум осям так, чтобы она образовала с ними правую систему координат.

Нормаль называют главной нормалью, а - бинормалью.

Нам уже известно, что полное ускорение точки , движущейся по криволинейной траектории, направлено в сторону вогнутости кривой и лежит в соприкасающейся плоскости.

Проектируя полное ускорение точки на касательную и нормаль, получим касательное и нормальное ускорения.

Касательное ускорение

Пусть в момент времени точка занимает положение (рис. 2.9) и имеет скорость , а в момент времени - положение и - скорость . Тогда предел отношения разности скоростей ко времени определит касательное ускорение точки в данный момент времени.

Из рис. 9 находим:

 (31)

Поскольку при угол и , то

(32)

Следовательно, касательное ускорение направлено вдоль касательной к траектории и численно равно

(33)

Нормальное ускорение

Для определения нормального ускорения возьмем предел разности проекций скоростей точек и на нормаль к интервалу времени их изменения . Из рис. 9 также имеем

(34)

Составляющие формулы (34) равны:

(35)

и

(36)

Величина - кривизна кривой, а - радиус ее кривизны.

После подстановки полученных данных в исходное уравнение (2.34) окончательно имеем

. (37)

Нормальная составляющая полного ускорения точки при ее криволинейном движении равна частному от квадрата скорости на радиус кривизны траектории в данный момент времени.

Рис. 10. Схема к анализу изменения направления вектора касательного ускорения

Полное ускорение точки

(38)

(39)

где - угол между нормалью к кривой и вектором полного ускорения точки (рис. 10, б).

Ускорение совпадает с направлением скорости при ускоренном движении (рис. 10, а) и противоположно направлению при замедленном движении (рис. 10, б).

Таким образом, если движение точки задано естественным способом (известна траектория движения) то, зная закон движения , можно определить модуль вектора и его направление в пространстве в любой момент времени.

3.9 Некоторые частные случаи движения точки

Прямолинейное неравномерное движение. В этом случае радиус кривизны траектории точки равен бесконечности , а нормальное и тангенциальное ускорения равны соответственно:

Из этого имеем После двукратного интегрирования этого уравнения получим закон прямолинейного движения точки Таким образом, тангенциальное (касательное) ускорение точки характеризует изменение численной величины ее скорости.

Равномерное прямолинейное движение точки

Нетрудно видеть, что в этом случае: и

Из этого имеем:

Это - единственный вид движения, в котором полное ускорение точки равно нулю.

Равномерное криволинейное движение точки. При равномерном криволинейном движении Следовательно, нормальное ускорение точки характеризует изменение вектора скорости по направлению.

Равнопеременное криволинейное движение точки. При этом виде движения точки имеем:

Если при и или то

Далее

.

Если при: то

Окончательно

3.10 Сложное движение точки

Во многих задачах механики целесообразно, а иногда и необходимо рассматривать движение точки сразу относительно двух систем отсчета, одна из которых неподвижна, а вторая движется относительно первой определенным образом (рис. 11).

Рис. 11. К описанию сложного движения точки при поступательном переносном движении подвижной системы отсчета

Движение точки по отношению к подвижным осям координат называется относительным, траектория этого движения - относительной траекторией, скорость - относительной скоростью, и ускорение - относительным ускорением.

Движение, совершаемое подвижной системой отсчета и неизменно связанной с ней точкой по отношению к неподвижной системе является для точки переносным движением.

Скорость точки , неизменно связанной с подвижными осями , называется переносной скоростью , а ускорение - переносным ускорением .

Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета, называется абсолютным движением, скорость - абсолютной скоростью , а ускорение - абсолютным ускорением .

Рассмотрим вначале самый простой случай, когда подвижная система отсчета движется поступательно (рис. 2.11). Движение подвижной системы отсчета считается переносным движением.

Теорема сложения скоростей при поступательном переносном движении подвижной системы отсчета

Теорема: При поступательном переносном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

(40)

Из векторного треугольника на рис. 11 для радиуса - вектора точки относительно неподвижной системы отсчёта имеем

. (41)

Разложим вектор на составляющие по осям

(42)

Так как оси параллельны осям то, дифференцируя составляющие этого уравнения, характеризующие поступательное движение, по времени, имеем

(43)

В этой формуле:

; ;

Подставляя результаты в уравнение (43), получим . Теорема доказана.

Теорема сложения ускорений при поступательном переносном движении подвижной системы отсчета

Теорема: При поступательном переносном движении подвижной системы отсчета абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного и относительного ускорений.

Дифференцируя уравнение (2.43) второй раз, имеем

(44)

В этой формуле:

; ;

Подставляя результаты дифференцирования в исходное уравнение (43), имеем . Теорема доказана.

Теорема сложения скоростей при непоступательном переносном движении подвижной сиситемы отсчета

Теорема: при непоступательном переносном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей .

Из векторного треугольника (рис. 12) имеем

(45)

Так как переносное движение непоступательное, то единичные векторы также переменные величины.

(46)

Рис. 12. К описанию сложного движения точки при непоступательном переносном движении подвижной системы отсчета

Обратим внимание на уравнение (46). Оно представляет собой сложную функцию с независимыми переменными которые являются функциями времени . Поэтому при дифференцировании уравнения (46) необходимо определять частные производные. Однако, чтобы упростить процедуру дифференцирования, будем считать функцию суммой переменных, зависимых от и определять не частные, а обычные производные.

После дифференцирования уравнения (46) с учетом того факта, что в этом случае - величины также переменные, имеем

(47)

В этой формуле

(48)

Переносную скорость движения подвижной системы отсчета определят: производная, фиксирующая движение начала О подвижной системы отсчета, и производные от орт , фиксирующие вращение этой системы в пространстве

(49)

Производные по времени от координат подвижной системы отсчета дают относительную скорость .

(50)

После подстановки полученных данных в исходное уравнение (2.47), имеем теорема доказана.

Теорема сложения ускорений при непоступательном переносном движении подвижной системы отсчета

Теорема: При непоступательном переносном движении подвижной системы отсчета абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного , относительного и кориолисова ускорений

(51)

Учитывая, что и - величины в этом случае переменные, и дифференцируя уравнение (47) по времени второй раз последовательно: вначале переменные , которые характеризуют переносное движение в каждом слагаемом, а затем - переменные , которые характеризуют относительное движение, имеем

(52)

В этой формуле:

; (53)

(54)

(55)

(56)

Подставляя результаты дифференцирования в исходное уравнение (52), окончательно получим

(51)

Здесь: - ускорение, установленное французким профессором механиком Кориолисом и названное в его честь кориолисовым ускорением.

Придерживаясь принципа последовательности, видим, что в выражении

(57)

для наблюдателя, находящегося в неподвижной системе отсчета , важны в первую очередь те составляющие, которые характеризуют переносную часть движения. Это составляющие:

(58)

В них заложен механический смысл, соответствующий вращению подвижной системы отсчета в пространстве. Следовательно, эти составляющие мы можем заменить вектором угловой переносной скорости , с которой вращается подвижная система отсчета. Составляющие же

, (59)

соответствуют вектору относительной скорости точки . Учитывая это и опуская преобразования в скобке выражения (57), можем записать его так (60)

Это и есть кориолисово ускорение. Оно характеризует одновременное изменение направления вектора переносной угловой скорости (ввиду того, что орты , входящие в выражение (2.57), переменны по направлению), а также изменение модуля и направления вектора относительной скорости точки .

3.11 Определение модуля и направления кориолисова ускорения

(61)

Известно, что модуль векторного произведения двух векторов равен

(62)

Если то

(63)

Для определения направления вектора кориолисова ускорения надо спроектировать вектор относительной скорости точки на плоскость, перпендикулярную вектору (оси переносного вращения), и полученную проекцию повернуть в сторону этого вращения на . Полученное таким образом направление совпадает с направлением вектора (рис. 12, 13, 14).

Если точка движется в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения (вектору , то и формула (63) становится такой

(64)

Рис. 13. К определению направления вектора кориолисова ускорения при движении точки в пространстве

Кориолисово ускорение обращается в нуль, если:

1. - переносное движение поступательно или когда в данный момент

2. - относительная скорость в данный момент равна нулю.

3. Когда или , то есть когда вектор параллелен вектору .

Рис. 14. Примеры определения направления вектора для точки

4. Кинематика твердого тела

В кинематике рассматриваются следующие виды движения твердого тела:

- поступательное движение;

- вращательное движение;

- плоское или плоскопараллельное движение;

-движение твердого тела относительно неподвижной точки;

- движение свободного твердого тела;

Основные задачи кинематики твердого тела

1. Установление математических способов задания движения твердого тела по отношению к выбранной системе координат.

2. Установление кинематических характеристик тела в целом и отдельных его точек при известных уравнениях движения.

Рассмотрим вначале простейшие движения твердого тела: поступательное и вращательное.

4.1 Поступательное движение твердого тела

Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая (например, AB), связанная с этим телом, остается параллельной своему первоначальному положению за все время движения твердого тела (рис. 15).

Простейшим примером поступательного движения твердого тела является прямолинейное движение. В общем случае при поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями.

В примерах, приведенных на рис. 16, прямая , связанная с телом, остается параллельной своему первоначальному положению, а точки тела описывают окружности (движутся по окружностям).



Рис. 15. Схема поступательного движения тела

Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой.

Рис. 16. Примеры поступательного движения а) колесо обозрения; б) соломотряс комбайна; в) спарник

Теорема. При поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые траектории и имеют в каждый данный момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Рис. 17. Схема к определению скоростей и ускорений точек поступательно движущегося тела

Пусть положение точек и тела в момент времени определяется радиусами - векторами и (рис. 17). Проведем вектор , соединяющий эти точки, тогда

(65)

Так как тело абсолютно твердое, то вследствии постоянства расстояния между точками тела.

По определению поступательного движения, вектор не меняет своего модуля и направления с течением времени. Следовательно, при наложении вектора на вектор траектории всех точек прямой окажутся одинаковые.

Скорости и ускорения точек поступательно движущегося тела

Из рис. 17 и уравнения после дифференцирования по времени имеем

(66)

но , поэтому и

. (67)

Поскольку:

; ,

то следовательно, скорости любых точек тела при поступательном движении одинаковы в каждый данный момент времени.

Учитывая, что вектор постоянен, и дифференцируя исходные уравнения (67) второй раз, имеем:

Можем обозначить:

Или .

Следовательно, ускорения точек и поступательно движущегося тела также одинаковы. Так как точки и были выбраны произвольно, то и другие точки имеют такие же скорости и ускорения.

Следствия теоремы

1. Поступательное движение твердого тела вполне определяется движением какой-нибудь одной его точки. Следовательно, изучение поступательного движения тела сводится к задаче кинематики точки.

2. Векторы и можно изображать приложенными в любой точке тела при его поступательном движении.

3. Понятия скорость и ускорение всего тела имеют смысл только при поступательном движении.

4. Во всех остальных видах движения абсолютно твердого тела (кроме поступательного) его точки движутся с разными скоростями и ускорениями и термины: скорость тела и ускорение тела для всех других видов движения тела теряют смысл, так как разные точки тела имеют в этих случаях разные скорости и ускорения.

4.2 Вращательное движение твердого тела

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу, все время остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти неподвижные точки тела, называется осью вращения.

При вращении тела вокруг оси угол поворота тела является функцией времени (рис. 18), то есть

Рис. 18. Схема вращения тела: HП - неподвижная плоскость; ПП - подвижная плоскость

. (68)

Это уравнение--закон вращательного движения твердого тела. Кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются:

- угол поворота;

- угловая скорость;

- угловое ускоpение.

Если функция известна, то легко находятся и другие характеристики вращения, а если нет, то её надо найти.

Так как положение твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется одним параметром - углом то говорят, что такое тело имеет одну степень свободы.

Угловая скорость вращения тела характеризует изменение угла его поворота в единицу времени. Пусть за время угол поворота изменится на величину , тогда средняя угловая скорость тела . При угловая скорость тела в данный момент времени

(69)

Угловое ускорение вращения тела характеризует изменение его угловой скорости в единицу времени. Если за время угловая скорость тела изменится на величину , то среднее угловое ускорение будет равно

(70)

Переходя к пределу при , получим угловое ускорение в данный момент времени

(71)

Размерность углового ускорения рад/.

Векторы угловой скорости и углового ускорения

Угловую скорость и угловое ускорение тела можно представить в виде вектoров и , направленных вдоль оси вращения. Векторы и , можно изображать в любых точках оси вращения. Они являются скользящими векторами (рис. 19). Вектор направлен в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки.



Рис. 19. Направление векторов и : а) при ускоренном вращении тела; б) при замедленном вращении тела.

Вектор направлен в сторону вектора , если вращение тела ускоренное. Если векторы и направлены в разные стороны, то тело вращается замедленно.

Равномерное вращение твердого тела

Если , то и вращение тела называется равномерным. Большинство деталей тракторов и сельскохозяйственных машин вращается равномерно при отсутствии нагрузки и неравномерно при наличии нагрузки.

Найдем закон равномерного вращения ().

Учитывая, что или , и интегрируя последнее выражение, запишем

(72)

Это - закон вращения тела. Как видно, угол поворота равномерно вращающегося тела равен произведению угловой скорости на время .

В инженерных расчетах скорость вращения тела определяется числом оборотов в минуту. Обозначая число оборотов в минуту через об/мин., найдем зависимость между и За один оборот рад., а за оборотов рад. Следовательно, за 1 минуту (60 сек) Отсюда имеем

(73)

Равнопеременное вращение твердого тела

Если угловое ускорение тела все время остается постоянным (), то вращение называется равнопеременным. Для нахождения закона равнопеременного вращения необходимо знать начальную угловую скорость. . Пусть в момент времени , и , тогда

(74)

Далее

(75)

После интегрирования последнего уравнения получим

(76)

Это математическое выражение закона равнопеременного вращения. Если при этом и имеют одинаковые знаки, то движение равноускоренное, а если разные - равнозамедленное.

4.3 Скорость и ускорение точек вращающегося тела

При вращении тела точка будет описывать окружность радиуса , плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр лежит на самой оси (рис 20).

Если за время тело повернется на угол , то точка опишет элемент дуги , причем тогда

. (77)

В отличие от угловой скорости скорость называется линейной или окружной скоростью. Окружная скорость точки равна произведению угловой скорости на расстояние от этой точки до оси вращения. . Направлена эта скорость по касательной к окружности в сторону вращения.

Рис. 20. К определению скорости точки вращающегося тела

Так как значение для всех точек тела в данный момент времени одно и то же, то линейные скорости точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям от оси вращения (рис. 20).

Для определения ускорений точек вращающегося тела воспользуемся известными формулами (34), (38):

(78)

(79)

Полное ускорение точки

(80)

Отклонение вектора от радиуса окружности, описываемой точкой , определяется углом (рис. 21).

Так как в данный момент и для всех точек тела имеют одно и то же значение, то полное ускорение всех точек вращающегося тела пропорционально их расстояниям от оси вращения и образует в данный момент один и тот же угол с радиусами описываемых ими окружностей (рис. 21)

Рис. 21. Схема к определению направления вектора

. (81)

4.4 Метод Эйлера для определения скорости и ускорения точки вращающегося тела

На рис. 22 видно, что скорость точки определится по формуле . Поскольку треугольник прямоугольный, то . Тогда в общем виде (рис. 22).

Рис. 22. Схема для определения скорости и ускорения точки вращающегося тела методом Эйлера

Это скалярное выражение векторного произведения

(82)

предложенного Эйлером для определения скорости и ускорения точки вращающегося тела. Действительно, модуль данного векторного произведения определяется по формуле

, (83)

где .

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы и , входящие в векторное произведение, и направлен по касательной к окружности.

Таким образом, векторное произведение по модулю и направлению определяет скорость точки . Следует только считать этот вектор приложенным не в точке О, а в точке .

Ускорение точки вращающегося тела (рис. 22)

(84)

Но

Поэтому С другой стороны - это касательное ускорение, а - это нормальное ускорение. Модуль векторного произведения Так как , то - касательное ускорение (рис. 2.22). Нормальное ускорение равно

(85)

Так как векторы и взаимноперпендикулярны, то направление вектора векторного произведения параллельно вектору и направлен он от точки к оси вращения (рис. 22). Таким образом, векторное произведение и есть вектор нормального ускорения .

Векторное произведение дает вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат эти векторы и направленный по касательной к окружности в точке в сторону углового ускорения . Следовательно, полученный вектор и есть вектор касательного ускорения .

Таким образом, вектор полного ускорения точки вращающегося тела

(86)

Модули касательного и нормального ускорений определяются соответственно:

(87)

(88)

Модуль полного ускорения точки вычисляется по формуле

(89)

Полученные формулы позволяют определить скорость и ускорение любой точки тела, если известен закон вращения тела и расстояние от точки до оси вращения.

По этим же формулам можно, зная характеристики движения одной точки тела, найти движение другой точки, а также кинематические характеристики движения всего тела в целом.

4.5 Вращение тела относительно нескольких осей

Вращения направлены в одну сторону

На рис. 23 показана схема вращения тела (диска), направленного в одну сторону вокруг двух параллельных осей: - угловая скорость относительного вращения вокруг оси aa'; - угловая скорость переносного вращения вокруг оси bb'. Ось aa' параллельна оси bb'.

Если вращения направлены в одну сторону, то в этом случае точка А получает скорость только от вращения вокруг оси bb' (рис. 23, б) и её скорость равна Точно так же

Поскольку векторы и параллельны друг другу (рис. 23, б) и направлены в разные стороны, то точка С является мгновенным центром скоростей . Ось сс' параллельная осям aa' и bb', является мгновенной осью вращения тела. Тогда, исходя из рис. 23, б имеем:

(90)

Рис. 23. Сложение вращений, направленных в одну сторону относительно двух параллельных осей aa' и bb'

С учетом свойств пропорции найдём

(91)

Учитывая, что (рис. 23, а) найдём

(92)

Тогда предыдущая пропорция дает такой результат:

(93)

Таким образом, если тело участвует одновременно в двух, направленных в одну сторону, вращениях относительно параллельных осей, то его результирующее движение будет мгновенным вращением вокруг мгновенной оси, параллельной данным осям, с угловой скоростью

С течением времени мгновенная ось cc' будет менять положение, описывая цилиндрическую поверхность.

Вращения направлены в разные стороны

Такая схема вращения показана на рис. 24. Для определенности примем, что

Рис. 24. Сложение вращений вокруг параллельных осей (вращения направлены в разные стороны)

Тогда из рис. 24 имеем:

При этом и параллельны друг другу () и направлены в одну сторону (рис. 24). Поэтому мгновенная ось вращения проходит через точку С (рис. 24, б), причем,

(94)

или, с учетом свойств пропорции

(95)

Учитывая значения и имеем

(96)

и

(97)

Итак, и в этом случае результирующее движение является мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг оси cc'.

Полученный результат показывает, что векторы угловых скоростей при вращении вокруг параллельных осей складываются, если направления вращения совпадают и вычитаются, если они противоположны.

Сложение вращений вокруг пересекающихся осей

Вращение тела вокруг пересекающихся осей показано на рис. 25. Очевидно, что скорость точки О пересечения осей, как лежащей одновременно на обеих осях, равна нулю. Следовательно, результирующее движение тела 1 является движением вокруг точки О и для каждого элементарного промежутка времени представляет собой элементарный поворот с угловой скоростью вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через точку О.

Результирующее движение тела 1 является мгновенным вращением с угловой скоростью

Рис. 25. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей

скорость ускорение точка твердый тело эйлер

Следовательно, при сложении вращений вокруг двух осей, пересекающихся в одной точке О, результирующее движение тела будет мгновенным вращением вокруг оси ОС, проходящей через точку О, причем угловая скорость этого вращения равна геометрической сумме относительной и переносной угловых скоростей.

Мгновенная ось вращения ОС направлена вдоль вектора , то есть по диагонали параллелограмма, построенного на векторах и .

С течением времени ось ОС меняет свое положение, описывая коническую поверхность, вершина которой находится в точке О.

Если тело участвует одновременно в мгновенных вращениях вокруг нескольких осей, пересекающихся в точке О, то

4.6 Винтовое движение твердого тела

Если сложное движение тела слагается из вращательного вокруг оси Aa с угловой скоростью и поступательного со скоростью параллельной оси Aa, то такое движение называется винтовым (рис. 26). Ось Аа - ось винта. Когда вектор и проекция вектора на ось винта направлены в одну сторону, то винт будет правым, если в разные стороны, то - левым.

Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если векторы и постоянны, то шаг винта постоянен. Если время одного оборота Т, то и . Откуда

(98)

Рис. 26. Схема винтового движения тела

Скорость точки М направлена по касательной к винтовой линии. Она складывается из относительной и переносной скоростей. Так как при этом то

(99)

Если цилиндрическую поверхность винта разрезать вдоль образующей bb' и развернуть, то винтовая линия обратится в прямую с углом наклона к основанию цилиндра . При этом

4.7 Плоское (плоскопараллельное) движение твердого тела

Плоским (плоскопараллельным) движением твердого тела называется такое движение, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости.

Техника имеет достаточно много деталей, движущихся по законам плоскопараллельного движения. Установлено, что такие же движения совершают и некоторые элементарные частицы. Фотон, например, представляет собой локализованное в пространстве электромагнитное образование, которое имеет плоскость поляризации и движется в этой плоскости плоскопараллельно.

Кинематику всех плоскопараллельных движений удобнее всего рассматривать на примере катящегося колеса или кольца (рис. .27).

Рис. 27. Схема плоскопараллельного движения кольца

Если при качении кольца по прямой все его точки перемещаются параллельно плоскости П, то движение кольца в этом случае называется плоским или плоскопараллельным.

Закон плоского движения твердого тела

Чтобы найти метод математического описания плоского движения твердого тела, рассмотрим это движение подробнее (рис. 27).

Центр кольца совершает поступательное движение со скоростью . Следовательно, уравнения поступательного движения центра кольца имеют вид:

(100)

Второе движение кольца - вращательное отностительно центра с угловой скоростью . Эта часть движения описывается уравнением

. (101)

Таким образом, плоское (плоскопараллельное) движение кольца описывается тремя уравнениями (100), (101). Два первых описывают поступательное движение, а третье - вращательное.

Таким образом, плоское движение твердого тела в общем случае складывается из поступательного движения одной из его точек, например, точки , взятой за полюс, и вращательного движения вокруг оси, проходящей через этот полюс перпендикулярно плоскости движения (плоскости П). Следовательно, закон плоского движения тела определится тремя уравнениями, называемыми уравнениями плоского движения твердого тела. Поскольку все точки тела в поступательном движении движутся с одной и той же скоростью, то любую точку тела можно брать в качестве полюса. Однако, при решении конкретных задач в качестве полюса выбирают ту точку, которая приводит к получению простых уравнений движения. Нетрудно видеть, что при качении кольца такими точками являются точка или точка () касания кольца с прямой, по которой оно катится.

4.8. Скорости и ускорения точки катящегося кольца

Начнём с самого простого случая. Составим уравнения движения точки , расположенной на самом кольце для случая, когда кольцо движется без буксования и скольжения. В этом случае поступательная скорость кольца будет равна по модулю окружной скорости , а в точке их векторы будут направлены в противоположные стороны. Скорость точки в момент совпадения с точкой будет равна нулю, поэтому эту точку называют мгновенным центром вращения.

Конечно, точку можно взять в качестве полюса, однако уравнения движения точки оказываются проще, если в качестве полюса взять центр кольца - точку и учесть, что , то из рис. 27 имеем:

(102)

Дифференцируя эти уравнения, найдём проекции скорости точки на оси координат.

(103)

Учитывая, что при отсутствии буксования и скольжения кольца у точки скорости равны , найдём её абсолютную скорость (рис. 27)

. (104)

Когда точка оказывается в точке , то и формула (104) даёт результат , а когда точка оказывается в точке , то и эта же формула даёт результат

Поскольку плоское движение тела складывается из поступательного движения, при котором все его точки движутся со скоростью полюса , и из вращательного движения вокруг оси, проходящей через этот полюс перпендикулярно плоскости П движения, то скорость точки , лежащей на кольце, совершающем плоское движение, складывается геометрически из скорости полюса и скорости точки относительно полюса (рис. 27)

. (105)

Когда точка оказывается в положении , то, учитывая, что , модуль её абсолютной скорости определится из вектроного прямоугольного треугольника по теореме Пифагора . Когда точка окажется в положении точки , то и (рис. 27).

Для определения закономерности изменения абсолютного ускорения точки определим его проекции на оси координат. Дифференцируя уравнения (103) второй раз, имеем:

(106)

В результате абсолютное ускорение точки оказывается постоянным и равным нормальному ускорению

. (107)

Если кольцо представить, как контур круга, то возникает возможность составить уравнения движения точки . Для этого обозначим . Тогда окружная скорость точки будет равна (рис. 27).

(108)

Проекции скорости точки определятся по формулам:

(109)

Абсолютная скорость точки определится по формуле

. (110)

Дифференцируя уравнения (2.109) ещё раз, найдем проекции ускорения точки на оси координат.

(111)

Абсолютное ускорение точки определиться по формуле (107).

(112)

Если возьмём точку на радиусе и обозначим , то уравнения её движения будут иметь вид (рис. 27):

(113)

Абсолютная скорость точки запишется так

. (2.114)

Абсолютное ускорение также будет равно нормальному ускорению

(115)

Обратим внимание на то, что все точки имеют только нормальную составляющую полного ускорения. Обусловлено это постоянством угловой скрости вращения кольца .

На рис. 2.28 представлены траектории точек .

Рис. 28. Траектории движения точек , представленных на рис. 2.27: М - обыкновенная циклоида; К - укороченная циклоида; N - удлинённая циклоида

Обратим внимание на важные особенности. Радиус кольца равен и точка , лежащая на кольце, описывает обыкновенную циклоиду. Радиус окружности, описываемой точкой , и она описывает укороченную циклоиду, а радиус окружности, описываемой точкой - и эта точка описывает удлинённую циклоиду.

4.9 Кинематика игольчатого диска

На рис. 29 представлена модель игольчатого диска, используемого для обработки почвы. Если он перемещается по плоской поверхности, то совершает импульсные, скачкообразные движения. У него угловая скорость вращения непостоянна. Переменно и поступательное движение. Мы не будем описывать методику составления уравнений движения этого диска и уравнения движения его точек. Главными из них являются центр диска, обозначим его буквой , и конец иглы, обозначим его буквой и приведём уравнения, описывающие движение точки .

...