Общие положения термодинамики

Размещено на http://www.allbest.ru/

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ

1. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

Первый закон термодинамики является следствием закона сохранения и превращения энергии:

энергия изолированной системы при любых, происходящих в системах процессах, не меняется и равна сумме всех видов энергии

Е_i = cоnst.

Для неизолированной термодинамической системы, находящейся в механическом и тепловом равновесии с окружающими телами изменение энергии системы Е₂ - Е₁ будет связано с произведенной системой работой L и полученным системой количеством теплоты Q равно

Е₂ - Е₁ = Q - L, (1.1)

- одна из формулировок первого закона термодинамики.

Основным следствием закона сохранения энергии для неизолированной системы является существование внутренней энергии и энтальпии.

Разность элементарных количеств теплоты и произведенной системой работой dQ - dL представляет собой полный дифференциал некоторой функции состояния системы, названной внутренней энергией U

dQ - dL = dU (1.2)

Сравнивая уравнения 1.1 и 1.2, можно сказать, что внутренняя энергия есть собственная энергия системы. Рассуждая аналогично, можно получить выражение для энтальпии, как разность элементарных количеств теплоты dQ и полезной внешней работы dL

dQ - dL = dН, (1.3)

то есть энтальпия dН это тепловая функция или теплосодержание системы.

Так как произведенная телом работа изменения объема dL равна

dL = P dV,

а полезная внешняя работа dL равна

dL = - V dP,

то первый закон термодинамики, в формулировке уравнения 1.2, запишется уравнением

dQ = dU + p dV, (1.4)

а в формулировке 1.3 запишется уравнением

dQ = dH - V dP. (1.5)

Состояние системы характеризуется только двумя независимыми параметрами, т.е. один из параметров, например, давление является функцией объема и температуры, а уравнения 1.4 и 1.5 имеют вид:

dQ = dU (V, T) + P (V, T) dV U=U(V, T) (1.6)

- аналитическое выражение первого начала термодинамики для обратимых процессов изменения состояния системы с независимыми параметрами V, T, или

dQ = dH (P, T) - V (P, T) dP H = H(P, T) (1.7)

при независимых параметрах Р, Т.

2. ТЕПЛОЕМКОСТЬ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА И СИСТЕМЫ

2.1 Теплоемкость процесса

Сообщение системе теплоты приводит к изменению ее температуры, зависящему от внешних условий, в которых происходит изменение состояния системы, т.е. от характера процесса.

Отношение количества теплоты dQ, полученного телом при бесконечно малом равновесном изменении его состояния, к произошедшему вследствие этого изменения температуры тела dT, называется теплоемкостью системы в данном процессе

. (2.1)

Таким образом, в равновесном процессе полученная системой от окружающей среды теплота dQ равна

dQ = C dT. (2.2)

Определим состояние системы через независимые переменные T и V, тогда по свойству полного дифференциала, выражение для изменения внутренней энергии dU имеет вид

. (2.3)

Подставим полученное выражение в уравнение 1.6

 (2.4)

и определим теплоемкость системы при условии dV=0 или V=const из полученного уравнения 2.4

или (2.5)

- теплоемкость системы при постоянном объеме равняется частной производной от внутренней энергии по температуре.

Количество теплоты изохорного процесса, необходимое для нагрева единицы системы от t₁ до t₂ равно

Q_v = c_v (t₂ - t₁). (2.6)

Определив состояние системы через независимые переменные V и Т аналогично можно получить значение теплоемкости при условии Р=const или dP= 0

, или (2.7)

- теплоемкость системы при постоянном давлении равняется частной производной от энтальпии по температуре.

Количество теплоты изобарного процесса, необходимое для нагрева единицы системы от t₁ до t₂ равно

Q_р = c_р (t₂ - t₁). (2.8)

Теплоемкости С_р и С_v всегда больше нуля, причем С_р > С_v.

Первая исторически сложившаяся единица количества теплоты - калория, численно равная удельной теплоемкости воды. Однако теплоемкость зависит от температуры, а точность измерения теплоемкости определяется уровнем техники. В настоящее время за единицу измерения количества энергии принимается джоуль: 1 кал = 4,184 Дж.

Для произвольного процесса X = const теплоемкость процесса равна

(2.9)

или (2.10)

Так как значение теплоемкости при постоянном давлении С_р и объеме и С_V всегда больше нуля, то С_х будет отрицательна только в том случае если <0, то есть если увеличение температуры тела сопровождается уменьшением объема, т.е. совершением извне работы над телом в количестве, превосходящем изменение внутренней энергии тела, таким образом чтобы нагреть тело не нужно поводить тепло, а необходимо наоборот часть затраченной работы выделить в форме тепла.

Таким образом, чтобы определить теплоемкость любого процесса необходимо знать теплоемкость при постоянном давлении или при постоянном объеме данной системы и уравнение состояния системы.

2.2 Теплоемкость системы

Удельная теплоемкость - это количество теплоты, необходимое для нагрева любой единицы системы на 1 градус.

Различают массовую, объемную и киломольную теплоемкости.

Пусть есть система с массой М, объемом V, в которой содержится N молей. Нагреем систему от температуры t₁ до температуры t₂, этим сообщим системе количество теплоты Q равное

Q = c•M (t₂ - t₁) = c'•V (t₂ - t₁) = мc•N (t₂ - t₁) (2.11)

где c - массовая, кДж/(кг град)

c' - объемная, кДж/(м³ град) удельные теплоемкости, соответственно.

мc - киломольная, кДж/(кмоль град)

Из уравнения 2.11 определяют взаимосвязь между теплоемкостями

c = c'V / М = c'v c= мc N/M = мc 1/ м

c' = мc N/V = мc 1/22,4 c' =c M/V = cс = c/v (2.12)

мc = c M/N = c м мc = c' V/N = c' 22,4

Принято чаще всего использовать массовую теплоемкость С.

Теплоемкость любой системы, состоящей из нескольких независимых частей, вследствие аддитивности внутренней энергии и энтальпии, равна сумме теплоемкостей ее отдельных частей, т.е. теплоемкость однородного тела пропорциональна числу киломолей N данного тела или его массе М.

Из наблюдений установлено, что для нагрева одной и той же системы на одинаковое число градусов, но при различной исходной температуре необходимо затратить разное количество теплоты (рисунок 1)

Дt₁ = Дt₂ q₁ ? q₂,

то есть теплоемкость величина, зависящая от температуры С = f(t).



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1 Зависимость теплоемкости от температуры

Значение истинной (действительной) теплоемкости определяется тангенсом угла касательной, проведенной в данной точки кривой зависимости С = f(t)

(2.13)

В расчетах используют среднее значение теплоемкости в интервале температур t₁ и t₂, которая равна

, (2.14)

где tgб - угол наклона секущей к кривой процесса q-t. При стремлении разности температур к нулю t₂ - t₁ > 0 значение средней теплоемкости стремится к значению действительной теплоемкости.

Из уравнения 2.13 выразим значение количества теплоты

dq =C_t dt

и проинтегрируем это выражение в интервале t₁ до t₂

(2.15)

Подставив в уравнение 2.14 уравнение 2.15, получим

(2.16)

Среднее значение теплоемкостей приводятся в таблицах при изменении температуры от 0⁰С до t. Поэтому количество теплоты q необходимое для нагрева от t₁ до t₂ определяется как разность теплоты q₂ - нагрева от 0⁰С до t₂ и теплоты q₁ - нагрева от 0⁰С до t₁, q₂ - q₁ = q

или

или

(2.17)

3. СМЕСИ ИДЕАЛЬНЫХ РАБОЧИХ СИСТЕМ

В теплотехнике в основном рассматриваются два вида газообразных рабочих тел: продукты сгорания топлива и водяной пар.

Продукты сгорания образуются из газов, далеко удаленных от жидкого состояния, поэтому как отдельные компоненты, так и вся смесь рассматривается как идеальный газ.

При исследовании газовых смесей их состав задается одним из трех способов: массовыми долями (весовыми) g_i, объемными долями r_i, числом молей N_i при этом выполняются условия

М_i / М_СМ = g_i Уg_i = 1

V_i / V_CM = r_i Уr_i = 1

N_i /N_CM = r_i Уr_i = 1

Соотношение объемных и массовых долей определяется выражением

(3.1)

Для идеального газа и его смесей выполняются следующие законы.

Закон Дальтона

Р_см = Р₁ + Р₂ + … = УР_i (3.2)

- давление газовой смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в смесь, т.е в смеси любой газ находится под своим парциальным давлением и при температуре смеси, занимая весь объем.

Закон парциальных объемов

V_CM = У v_i (3.3)

- сумма парциальных объемов компонентов смеси равна объему смеси.

Уравнение состояния идеального газа

Р V = R T = const, (3.4)

где газовая постоянная R равная работе, совершаемой 1 кг газа при Р=const и изменении температуры Т на 1 градус.

Для универсальной газовой постоянной R₀ нужно рассматривать работу, совершаемую 1 киломолем (м, кг) газа при Р = const и изменении температуры Т на 1 град:

,

то есть универсальная газовая постоянная R₀ связана с газовой постоянной R соотношением

, (3.5)

где м - молекулярная масса газа.

Универсальная газовая постоянная определяется также соотношением Майера

. (3.6)

Соотношение теплоемкостей определяет постоянную адиабатного процесса k

k = C_p /C_V. (3.7)

Молекулярная масса (вес) смеси - это молекулярный вес такого воображаемого однородного газа, который имеет одинаковые со смесью массу и число молей.

Молекулярная масса смеси определяется в зависимости от способа задания смеси выражениями

У(м_i r_i) = м_CM, (3.8)

. (3.9)

Тогда аналогично можно записать формулы для определения для газовой постоянной смеси

R_i = R₀ / м_i, (3.10)

и для определения теплоемкости смеси

С_СМ = У(С _i g_i) (3.11)

где С_i - средняя теплоемкость газа.

4. УРАВНЕНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

Политропному процессу, то есть для которого Х - любой параметр состояния, соответствует условие

X = сonst, и С_х = dQ (/dT)_x = const. (4.1)

Частные случаи политропного процесса определяются условиями

Т = const, Р = const, V = const.

Используем определение теплоемкости произвольного процесса или уравнения 2.9, 2.10

или ,

или .

Разделим уравнение 2.9 на уравнение 2.10, получим выражение

. (4.2)

Преобразуя полученное выражение 4.2, выразив

, и (4.3)

получим уравнение политропы , (4.4)

Для идеального газа С_v, C_p = const, и ,

тогда показатель политропы n равен

. (4.5)

Таким образом, теплоемкость политропного процесса равна

, (4.6)

где k = C_p /C_V.

Так как в политропном процессе С_n = const, то и показатель n = const. Тогда уравнение 4.4 интегрируется и примет вид

Р Vⁿ = const. (4.7)

Количество теплоты, получаемое 1 кг идеального газа при политропном процессе равно:

q = C_х(T₂ -T₁), (4.8)

. (4.9)

Заменив температуру из выражения Т = РV/R и учитывая, что

R = C_v (k-1), k = C_p /C_V ,

получим выражение для количества теплоты

(4.10)

Из представленных уравнений следует, что значения теплоемкости С_n, количества теплоты на 1 кг q и разность температур Т₂ - Т₁ будут меньше или больше нуля в зависимости от величины показателя политропы n.

5. ИЗМЕНЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ПОЛИТРОПЫ И ТЕПЛОЕМКОСТИ ПРОЦЕССОВ

термодинамический теплоемкость политропа газообразный

Показатель политропы n может изменяться в пределах от - ? до + ?. Если показатель политропы равен определенному числу, то процесс переходит в один из известных процессов (рисунок 2б).

При n = для удобства анализа процесса уравнение политропы записывается в виде .

Так как 1/n > 0, то уравнение процесса примет вид

V = const - уравнение изохоры, Т/Р = const

Значение теплоемкости при этом равно

, С=С_V.

Рисунок 2 Изменение параметров: а - теплоемкости, в зависимости от значения показателя политропы, б - давления и объема от значения показателя политропы

При n = k уравнение процесса примет вид

PV^k = const - уравнение адиабаты, q= const.

Теплоемкость процесса равна С = 0.

При n = 1 уравнение процесса Р Vⁿ = const примет вид

Р V = const, уравнение изотермы, T = const.

Теплоемкость процесса равна С = .

При n = 0 уравнение Р Vⁿ = const процесса примет вид

P = const, уравнение изобары, Т/V = const

Теплоемкость процесса будет равна С= kС_V = С_р.

При n = ? уравнение Р Vⁿ = const, процесса примет вид

V= const, уравнение изобары, Т/Р = const

Теплоемкость процесса равна С= С_V.

Изменение теплоемкости при значении показателя политропы в интервале 1 < n < k можно определить из уравнения 4.6 .

Так как разность (n-1) >0 и (n-k) < 0 для интервала 1 < n < k,

то (n-1)/ (n-k) < 0, и значение теплоемкости С < 0 будет отрицательным,

то есть подводимой к системе теплоты не хватает для осуществления процесса и процесс протекает как за счет подводимой внешней теплоты, так и за счет внутренней энергии системы.

6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГИИ

6.1 Схемы перераспределения потоков энергии в термодинамических процессах

Определим изменение давления, температуры, внутренней энергии, количества теплоты и энергии работы от изменения объема, для этого продифференцируем уравнение политропы

Р Vⁿ = const VⁿdP + nV^n-1 PdV = 0,

dP = - n dV, (6.1)

T V^n-1 = const V^n-1 dT + (n-1) V^n-2 T dV =0,

dT = -(n-1) dV. (6.2)

Для внутренней энергии можно записать

du =C_V dT du = - C_V (n-1) dV. (6.3)

Для изменения количества теплоты можно записать

dq = C_V (n-k) / (n-1) dT dq = -C_V (n-k) dV. (6.4)

Работа процесса определяется выражением dl = PdV (6.5)

Рассмотрим процессы при увеличении объема - расширении, dV > 0 (рисунок 3).

Изохорный процесс dV =0 n = С=С_V

При постоянном объеме и подводе теплоты, за счет увеличения температуры возрастает внутренняя энергия и давление - dq, dT, dP, du > 0.

Изобарный процесс dP= 0 n = 0 С= С_р

Из уравнений 6.2 - 6.4 dT = (-) (-1) dV >0

du>0, dq>0

- подводимая теплота расходуется на совершение работы при постоянном давлении и увеличение температуры и внутренней энергии.

Изотермический процесс dT =0 n = 1 С = .

Из уравнений 6.1-6.4 dP<0 du=0 dq>0

- подводимая теплота идет только на совершение работы, dl>0.

Адиабатный процесс dq =0 n = k С = 0

Из уравнений 6.1-6.4 dP<0 dT<0 du<0 dl<0

- работа совершается за счет уменьшения внутренней энергии и уменьшения температуры системы.

Изохорный процесс dV =0 n = - С=С_V

dP, dT, dq, du <0

- уменьшение давления системы связано с уменьшением температуры, внутренней энергии при отводе теплоты от системы во внешнюю среду.

Проведенный анализ позволяет выделить характерные области по изменению показателей процесса.

Изохора n = ± делит процессы по знаку изменения объема dV, при увеличении объема dV > 0, процессы справа от изохоры, совершается работа расширения, ей присваивается знак плюс dl > 0, 1 - 4 части графика.

При dV < 0 совершается работа сжатия dl<0, 5 -8 части графика.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3 Изменение параметров процессов

А - область, где в процессах теплота подводится к системе dq>0 - справа от адиабаты, в области расширения 1-3 + 8 (+ соответствует области расширения).

Б - область, где в процессах теплота отводится от системы 4+(5-7)

В - область, где в процессах внутренняя энергия возрастает du>0 - справа от изотермы, 1-2 + (7-8)

Г - область, где в процессах внутренняя энергия уменьшается 3-4+(5-6).

С -область между изотермой и адиабатой

- область 3 при расширении dq >0 dT<0

- область 7 при сжатии dq < 0 dT >0,

где располагаются процессы, для которых знаки изменения теплоты и температуры не совпадают.

Таким образом, можно выделить три группы политропных процессов.

Три группы политропных процессов

	Расширение, dl >0	Сжатие, dl <0
1	Теплота подводится dq>0, Внутренняя энергия возрастает du>0	±? <n <1	dq<0 du<0
2	Теплота подводится dq>0, Внутренняя энергия уменьшается du<0	1 < n < k	dq<0 du>0
3	Теплота отводится dq<0, Внутренняя энергия уменьшается du<0	k<n<±?	dq>0 du>0

Группа 1 - ± ? < n < 1 (рисунок 4)

Размещено на http://www.allbest.ru/

При расширении dV>0

За счет подвода теплоты увеличивается внутренняя энергия и совершается работа. При стремлении показателя политропы n >1 большая доля теплоты расходуется на совершение работы. В пределе, для изотермического процесса вся теплота идет на совершение работы

При сжатии dV<0

Размещено на http://www.allbest.ru/

Отвод теплоты осуществляется за счет уменьшения внутренней энергии и совершении работы сжатия.

В пределе, для изотермического процесса вся теплота отводится за счет совершение работы.

Группа 2 - 1 < n < k (рисунок 5)

Размещено на http://www.allbest.ru/

При расширении dV>0

Работа совершается за счет подвода теплоты и уменьшения внутренней энергии.

По мере роста показателя политропы на совершение работы расходуется все меньшее количество теплоты. В пределе в адиабатном процессе работа совершается только за счет внутренней энергии. Теплоемкость процесса отрицательная.

При сжатии dV<0

Размещено на http://www.allbest.ru/

Отвод теплоты и увеличение внутреннее энергии осуществляется за счет совершения работы сжатия.

В пределе все энергия работы сжатия идет на увеличение внутренней энергии системы.

Группа 3 - k < n < ± ? (рисунок 6)

Размещено на http://www.allbest.ru/

При расширении dV>0

За счет уменьшения внутренней энергии осуществляется отвод теплоты и совершение работы.

В пределе для изохорического процесса уменьшение внутренней энергии осуществляется только за счет отвода теплоты.

При сжатии dV<0

За счет подводимой теплоты и энергии работы сжатия увеличивается внутренняя энергия.

Размещено на http://www.allbest.ru/

При увеличении показателя политропы увеличение внутренней энергии происходит за счет подводимой теплоты.

6.2 Работа процесса определяется условием

. (6.6)

Подставляя в выражение 6.6 значение давления, выраженное из уравнения процесса, определяют значение работы.

Для политропного процесса при интегрировании используем метод постановки Р Vⁿ = а р = а/Vⁿ, тогда

,

. (6.7)

Используя уравнение состояния, можно записать

Р₁ V₁ = RT₁ Р₂ V₂ = RT₂ тогда . (6.8)

Работа адиабатного процесса равна

и . (6.9)

Для изотермического процесса запишем P V = а, тогда работа процесса равна .

После подстановки получим

l = PV ln (V₂ / V₁) = RT ln (V₂ /V₁) = PV ln (P₁/P₂) = RT ln (P₁ /P₂) (6.10)

Для изобарного процесса работа процесса определяется выражением

l = P (V₂ - V₁). (6.11)

В изохорном процессе работа по изменению объема не совершается

l =0.

6.4 Изменение внутренней энергии и энтальпии

Изменение внутренней энергии и энтальпии определяется выражениями

Дu = С_V (t₂ - t₁), Дh = C_p (t₂ -t₁). (6.12)

6.3 Теплота, участвующая в процессе

Для политропного процесса теплота, участвующая в процессе, равна

. (6.13)

Адиабатный процесс протекает без теплообмена, то есть без подводы теплоты.

В изотермическом процессе вся теплота определяется работой процесса

q = l.

Для изобарного процесса количество теплоты переходит в изменение внутренней энергии q = Дh.

Для изохорного процесса количество теплоты переходит в изменение внутренней энергии q = Дu.

6.5 Проверка расчетов

Расчет проверяется выполнением первого закона термодинамики

ДU + l ? Дq. (6.14)

7. Графический метод определения геометрических мест точек термодинамических процессов - политропы (адиабаты) и изотермы

7.1 Построение политропы (адиабаты)

Графический метод определения геометрических мест точек политропы Р Vⁿ = const осуществляется по известным значениям параметров давления, объема и показателя политропы Р₁, V₁, n.

1 Из начала координат, под углом б = 15 … 20⁰ к оси абсцисс проводится вспомогательная линия ОМ (рисунок 7).

2 Под углом в к оси ординат проводится вспомогательная линия ОК. Угол в определяется по уравнению

. (7.1)

3 Наносится точка 1 по заданным значениям Р₁ и V₁.

4 Точку 1 проектируем на ось ординат, получаем точку а.

5 Из точки а под углом 45⁰ к ординате проводится вторая прямая до пересечения со вспомогательной линией ОК, получаем точку в.

6 Из точки в проводим прямую, параллельную оси абсцисс, получаем линию в-с.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 7 Построение политропы

7 Точку 1 проектируем на ось абсцисс, получаем точку р и далее до пересечения со вспомогательной прямой ОМ, получаем точку г.

8 Из точки г проводим прямую под углом 45⁰ к оси абсцисс, получим точку е.

9 Из точки е параллельно оси ординат проводим прямую до пересечения с линией в-с, точка пересечения - точка 2 принадлежит кривой политропного процесса.

Затем точку 2 принимаем за начальную точку и строим точку 3 политропы и т.д.

Способ построения основан на выполнении следующего условия.

откуда

откуда

Тогда из условия 7.1 получаем

и , то есть получили уравнение политропы.

7.2 Построение изотермы

Графический метод определения геометрических мест точек изотермы PV = const осуществляется по известным значениям параметров давления, объема Р₁, V₁.

Из начала координат проводим лучи под произвольными углами. Из точки 1 с координатами Р₁ и V₁ проводим вспомогательные линии параллельно осям абсцисс - 1- К и ординат 1 - М (рисунок 8).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 8 Пример построение изотермы

Из точек пересечения линий 1-К и 1-М с лучами а₁ и а₂ (в₁ и в₂) восстанавливаем перпендикуляры.

Точки пересечения перпендикуляров - точки изотермы 2, 3, и т.д.

Способ построения основан на выполнении следующего условия.

в₁Н / в₂М = ОН / ОМ, но

в₁Н = Р₁ в₂М = Р₂

ОН = V₂ ОМ = V₁

P₁ / P₂ = V₂ / V₁, то есть получили уравнение изотермы.

Размещено на Allbest.ru

...