Аналіз джерел суперечності в апорії Зенона "Дихотомія"

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національний університет "Львівська політехніка" (Львів, Україна)

Аналіз джерел суперечності в апорії Зенона "Дихотомія"

Дуцяк І.З.

доктор філософських наук

кандидат технічних наук

професор кафедри

Суть пізнавальної проблеми є такою. Зенон Елейський намагався обґрунтувати неможливість руху. Цього він досягав стверджуючи, що будь-яка віддаль, на яку переміщується тіло, є нескінченно подільною. На цій підставі він робив висновок про неможливість руху. Оскільки такий висновок суперечить повсякденному досвіду, то, важливо, з'ясувати джерело цієї суперечності. Важливість знаходження джерела суперечності в будь-якому парадоксі чи апорії зумовлена тим, що наявність суперечностей, джерела яких не з'ясовано, є ознакою недосконалості логічної теорії. Тому кожен нерозв'язаний парадокс чи апорія є проявом пізнавальної проблеми, підставою для пошуку пояснень, які повинні призвести до поглиблення теорії логіки.

Дещо детальніше суть пізнавальної проблеми можна подати так. Відомості про апорію “Дихотомія” збереглися насамперед у праці Аристотеля “Фізика”. У його викладі ця апорія викликає потребу здобути пояснення принаймні щодо трьох проблем. Суть першої пізнавальної проблеми (першого варіанту апорії) зводиться до пояснення - яким чином може розпочатися рух, якщо не можна вказати першої його частини: “Є чотири розмірковування Зенона про рух, які завдають великих труднощів тим, хто намагається їх розв'язати. Перше - про неіснування руху на тій підставі, що рухоме [тіло] має дійти до половини перш ніж до кінця” [1, р. 323]. Справді, проходженню всієї віддалі повинно передувати проходження її частини, а проходженню частини - проходження частини від цієї частини. Оскільки внаслідок нескінченної подільності віддалі цей поділ навпіл триває нескінченно, то рух не може початися. Цю форму апорії називають регресивною (рис. 1).

Рис. 1. Регресивна форма апорії “Дихотомія”

Згідно з другим варіантом апорії, треба пояснити, яким чином може завершитись рух, якщо не можна вказати завершальну його частину: “Тому хибним є міркування Зенона, в якому припускають, що неможливо проминути нескінченних [за кількістю предметів] чи торкнутися кожного з них упродовж скінченного проміжку часу” [1, р. 315]. У цьому випадку, на противагу до попереднього, йдеться про те, що рух відбувається - спочатку тіло проходить частину (половину) віддалі, потім, щоб дійти до кінця, йому треба пройти половину з половини і так до нескінченності. Отже, відбувається нескінченна кількість частин руху, який ніяк не може завершитись. Цю форму апорії називають прогресивною (рис. 2).

Рис. 2. Прогресивна форма апорії “Дихотомія”

Третя пізнавальна проблема сформульована Аристотелем під час відтворення апорії Зенона у попередній цитаті: як можна проминути нескінченну кількість предметів (частин шляху) за скінченний проміжок часу.

Аналіз досліджень. Одним з перших критиків парадоксу “Дихотомія” став Аристотель, який стверджував, що нескінченній кількості зменшуваних частин віддалі відповідає така ж нескінченна кількість зменшуваних проміжків часу. Це пояснення зазнало критики. Для прикладу, заперечення викликало те, що Аристотелеве пояснення не дає змогу зрозуміти, яким чином нескінченна кількість часткових подій може трансформуватися в скінченну подію. Зокрема, згідно з Веслі Салмоном, спростовуючи апорію Зенона “Ахіллес і черепаха” Аристотель уповні обґрунтовано вказав, що проміжок часу, впродовж якого Ахіллес наздоганяє черепаху, “можна поділити на нескінченну кількість інтервалів відмінних від нуля, під час тривання яких можна подолати багато просторових інтервалів, відмінних від нуля. Однак, цю відповідь навряд чи можна прийняти як пояснення, оскільки питання все ще залишається: як може нескінченно велика кількість додатніх інтервалів часу чи простору скласти в сумі щось менше від нескінченності? Відповіді на це питання не було, поки Коші не запропонував задовільного запису межі збіжної послідовності у першій половині дев'ятнадцятого століття” [2, р. 132].

Популярним стало пояснення відсутності суперечності збіжного ряду 1/2”, оскільки він має межу, яку можна обчислити. Однак і цей підхід зазнав критики, оскільки збіжний ряд ніколи не зазнає завершення, отже, використовуючи його, ми не зможемо спростувати думку, що рух не може початися чи завершитися: “Звикло цей парадокс намагаються обійти міркуванням про те, що сума нескінченної кількості цих часових інтервалів все ж збігається і, отже, дає скінченний проміжок часу. Однак це міркування зовсім не торкається одного істотно парадоксального моменту, а саме парадоксу, який зводиться до того, що якась нескінченна послідовність подій, які слідують одна за іншою, послідовність, завершуваність якої ми не можемо собі навіть уявити (не тільки фізично, але й в принципі), насправді все ж повинна завершитись” [3, р. 16].

Одним із підходів до усунення суперечності є прийняття квантованості (порційованості) руху, а, отже, часу і простору. Такий підхід має деякі підстави: “Теорія, згідно з якою простір є неперервним, мені здається хибною, тому що [йдеться про квантову механіку] вона призводить до нескінченно великих значень величин та інших труднощів. Крім того, вона не дає відповіді на питання про те, чим визначаються розміри всіх частинок. Я маю велику підозру, що поширення простих поглядів геометрії на дуже малі ділянки простору є хибним” [4, р. 166-167].

Найближчим до розв'язання парадоксу, на погляд автора, виявився підхід, запропонований Бертраном Расселом. У праці “Принципи математики” [5, р. 350] щодо парадоксу “Дихотомія” він відзначив, що “процес нескінченної регресії полягає лише у тому, що кожен відрізок дійсних або раціональних чисел має у собі частини, які також є відрізками чисел; однак ці частини не передують логічно батьківському відрізку, та нескінченна регресія є абсолютно нешкідливою”. Ці слова можна проінтерпретувати так: хоча ділити об'єкт ми можемо на нескінченну кількість частин, однак, рахуючи кількості об'єктів ми не можемо рахувати частини, бо вони вже один раз пораховані у складі об'єктів, частинами яких вони є. Рассел описував відношення частина-ціле за допомогою поняттєвого апарату теорії множин. Водночас, більш органічно описувати це відношення не в поняттях теорії множин, а в поняттях мереології. Бертран Рассел не запропонував формальних засобів недопущення та усунення подібних парадоксів. Адже, коли в наївній теорії множин було виявлено парадокси (після цього її застосування стало проблематичним), то, для недопущення виникнення суперечностей під час розмірковувань, було введено аксіоми. Подібні дії мали б бути виконані і в цьому випадку. Ця ідея, а також потреба уточнення суті парадоксу, стали підставою для формування мети дослідження.

Ціль статті. Метою дослідження є уточнення знань про джерела суперечності в апорії Зенона “Дихотомія”. Для цього виконано такі пізнавальні дії: 1) проаналізовано реальні прояви руху, в якому можна виокремити частини, і 2) зіставлено здобуті на підставі спостереження знання про відношення цілого руху та його частин з аргументацією Зенона в апорії “Дихотомія”.

Виклад основного матеріалу дослідження.

Розгляньмо, насамперед, реальні приклади руху, на підставі яких можна проаналізувати відношення цілого руху та його частин. Візьмімо, наприклад, знайомий кожному рух пасажирського поїзда. Поїзд рухається з пункту відправлення до кінцевої зупинки. Пасажири виходять на зупинках, розташованих на віддалі 1/16, 1/8, 1/4, 1/2 від пункту відправлення. На кожній зупинці поїзда виходить один пасажир. (Кількість пасажирів, яка виходить на зупинці, жодної ролі в аналізі не відіграє. Однак, приймемо це для хоч би й незначного спрощення пізнавальної ситуації). Отже, модель руху (її можна відтворити насправді) є такою. Перш ніж вийде останній пасажир на кінцевій зупинці, треба, щоб вийшов пасажир на зупинці, розташованій на половині віддалі (1/2). Перш ніж вийде цей пасажир, треба, щоб вийшов пасажир на віддалі 1/4 від початку руху. Цьому повинен передувати вихід пасажира на віддалі 1/8 від початку руху. А це не зможе статися, якщо поїзд не промине зупинку на віддалі 1/16 від початку руху (на якій повинен вийти перший пасажир).

Проаналізуймо цю модель руху. Коли пасажири їдуть у поїзді, то, незалежно від того, яку частину від цілої віддалі проїде кожен пасажир, всі вони починають рух одночасно. Більше того, це не є різні рухи, а рух одного й того ж поїзда. Цей факт виразніше візуалізується, коли зобразити кожну частину руху окремо (рис. 3). На такому зображенні виразно видно, що кожна частина руху починається одночасно з іншими частинами руху і з цілим рухом. Точніше сказати, що рух частин починається не водночас, а, що їх початок є взаємототожним і тотожним з цілим рухом (рухи всіх частин і цілого відбуваються як один рух). Адже вирушаючи водночас всі пасажири не виконують переміщень, незалежних один від одного (як би це було в разі їх руху в різних поїздах). Їхній рух це один і той же рух поїзда. Отже рух кожної з частин цілого руху є водночас проявом цілого руху.

Рис. 3. Зображення відношення між тривалістю цілого руху і його частин (від початку руху), на якому (зображенні) частини руху подано як незалежні

Тепер зіставимо описані спостереження з міркуваннями Зенона. Розгляньмо насамперед міркування Зенона про те, що між частинами описаного руху є умовні зв'язки (наступна частина руху не відбудеться перш ніж попередньо не відбудеться частина цієї частини). У кожній частині руху (як це виразно відображено на рис. 3) можна виокремити її початок, тривання та завершення. Очевидно, що між моментами завершення довільної частини руху і завершення попередньої частини руху такий умовний зв'язок є. Однак, між початками руху зображених частин руху такого зв'язку нема - вони всі починаються разом. Отже, на підставі умовного зв'язку між завершальним моментом проміжку руху та завершальним моментом його частини, не можна висновувати про подібний зв'язок між початками цих рухів. Тому сам собою факт умовного зв'язку між завершальними частинами руху довільного проміжку руху та його частини не може бути підставою для висновку про неможливість початку руху. Як приклад можна взяти також будь-який інший рух. Наприклад, щоб покласти листа в поштову скриньку в кінці шляху, листоноша повинен покласти в скриньку листа на половині шляху. Але, перед цим, він повинен покласти в скриньку листа на четверті свого шляху і так далі. Однак, рух листоноші на одну шістнадцяту, одну восьму, одну четверту, одну другу всієї віддалі, яку йому треба здолати, і рух на всю віддаль - це один і той самий рух. Коли секундна стрілка проходить першу секунду, то тим самим починається і хвилина, і година, і місяць, і рік, і тисячоліття і т.д.

Проаналізований приклад відрізняється від моделі руху Зенона тим, що в ньому взято скінченну кількість частин. У разі нескінченного поділу, уся нескінченна кількість частин руху повинна також починатись як один рух, а, отже, підстав для висновку про неможливість початку руху також не повинно виникати. Аналізований приклад, в якому порівнюємо частини одного руху, можна подати як модель множини самостійних рухів. Скажімо, можемо поставити шеренгу лучників, які стріляють одночасно, але, кожен на щораз меншу віддаль від початково заданої. Подібно, рух поїзда, в якому на кожному етапі руху виходить пасажир, можемо замінити відповідною кількістю поїздів, кожен з яких везе одного пасажира і їде на вдвічі коротшу віддаль, аніж попередній. Подібним буде також акорд з довільної кількості звуків, кожен з яких триває вдвічі коротше від попереднього. Отже, звідси треба виснувати: початок цілого руху є водночас початком нескінченної кількості частин цього руху, в якій немає першої частини (такої, що її не можна поділити навпіл).

Однак, наведені міркування стосуються не тільки нескінченої кількості точок поблизу інфімума, тобто нижньої межі інтервалу, але й супремума (верхньої межі інтервалу). Це всього лише обернена ситуація. У цьому разі листоноша не кладе листи у поштові скриньки, а збирає їх і несе у поштове відділення. Вони (ці листи) рухаються разом, це один і той самий рух листоноші, а завершать вони рух в один момент із завершенням руху листоноші. Подібне є з пасажирами - один зайшов у поїзд посередині дороги, другий - на віддалі 1/4 до кінця подорожі, третій - на віддалі 1/8 і т. д. Усі вони разом завершують (і завершать) рух на кінцевій станції. Тож, прибуття на кінцеву станцію того пасажира, який увійшов у поїзд останнім, не є умовою прибуття на цю станцію того, хто увійшов у поїзд посередині дороги - усі вони прибудуть одночасно (рис. 4).

Рис. 4. Зображення відношення між тривалістю цілого руху і його частин (перед завершенням руху), на якому (зображенні) частини руху подано як незалежні

Наведені міркування стосуються не тільки початку і кінця руху, а й будь-якого моменту руху в його середині. Адже на будь-якій станції всередині маршруту в поїзд заходять пасажири, які виходитимуть на різних віддалях від того місця, де вони почали рух (подібно до пасажирів, які зайшли в поїзд на станції відправлення). Аналогічно, на кожній станції виходять пасажири, які проїхали до цієї станції різні віддалі (від того місця, де вони заходили в поїзд). Той факт, що кількість частин руху, які починаються і завершуються в кожній точці простору і часу нескінченного всесвіту є нескінченною (на відміну від кількості пасажирів у поїзді, кількості листів у листоноші, кількості різнотривалих звуків у акорді), нічого в цих міркуваннях не змінює. Тривання секунди є триванням частини будь-якого періоду (хвилини, години, року, тисячоліття і т.ін.), який починається, триває чи завершується з цією секундою.

Отже, відсутність мінімальної віддалі, мінімального проміжку часу (упродовж якого відбувається зміна - чи на початку, чи в середині, чи в кінці руху), першої чи останньої частини в нескінченній кількості частин будь-якого явища, не суперечить природі. Тому, насправді, з висновку Зенона в апорії “Дихотомія” про відсутність першої чи останньої частин руху не випливає висновок про неможливість початку чи завершення руху.

Окрім розглянутого заперечення супроти уявної суперечності в апорії “Дихотомія” треба додати ще інші заперечення. У разі прогресивного варіанту апорії, Зенон приймає, що рух відбувся (на половину шляху). Тоді нема жодних проблем із проходженням усієї віддалі. Достатньо ще раз пройти таку саму віддаль, яку щойно пройшло переміщуване тіло. Неважливий лінійний розмір такого переміщення. Це може бути не половина, а довільна частина віддалі (повторюючи виконане переміщення якусь кількість разів, можна подолати будь-яку віддаль).

Зважаючи на другий аргумент, виникає й третє заперечення супроти аналізованої апорії. Зенон будує апорії подібним чином. Усі вони (в тому числі апорії про рух) мають таку структуру: 1) припустімо, що рух існує, 2) з цього припущення випливає висновок про неможливість руху. Однак Зенон лише декларує, що він припускає існування руху. Якби він справді робив таке припущення (що тіло здатне переміститися на якусь віддаль), то, висновок про неможливість руху долався б попередньо описаним контраргументом про трансляцію виконаного руху (а не його частини).

Ще одне заперечення виникає, якщо інтерпретувати зменшення проходжуваної віддалі на кожному наступному кроці переміщення як наслідок постійного зменшення швидкості. Водночас, з шкільного віку кожному відомо, що рух може бути не тільки сповільненим за закономірностями збіжного ряду, але й рівномірним чи прискореним. У цих двох інших випадках не виникає проблем із проходженням довільної скінченної віддалі, як і з можливістю наздогнати й перегнати тіло, яке рухається повільніше.

Для повнішого аналізу розгляньмо аргументацію в апорії “Дихотомія” з погляду елементарної механіки. Порівняймо графічну модель рівномірного руху (на рівні простих задач на механічний рух середньої школи) (рис. 5) з графічною моделлю руху, яка відтворює апорію Зенона (Рис. 6).

Рис. 6 Графік руху, згідно з апорією Зенона “Дихотомія” а) рух зі зменшенням тривалості етапів переміщення, б) рух зі зменшенням швидкості

У разі рівномірного руху упродовж кожного (однакової тривалості) проміжку часу (їх можна тлумачити як етапи руху) тіло проходить однакову віддаль. В такому разі це тіло може подолати довільну віддаль, як це і є насправді. У разі такого моделювання механічного переміщення кінцева точка кожного наступного етапу переміщення жодним чином не пов'язана з кінцевою точкою цілого переміщення. Іншими словами, не ставиться умова, щоб кінець довільного етапу переміщення був розміщений перед кінцем усього руху.

Розгляньмо модель руху Зенона. Такий рух, щоб тіло проходило щораз удвічі мешу віддаль, можна досягти тільки двома способами: а) якщо рух є рівномірним, тобто таким, що відбувається з однаковою швидкістю; у такому разі постійне скорочення віддалей навпіл можна досягти лише скорочуючи інтервали етапів руху (ми ніби не дозволяємо тілу рухатись довше, а постійно скорочуємо тривалість наступного етапу переміщення) (Рис. 6 а); б) якщо рух є сповільненим, причому закон сповільнення швидкості є таким самим як і закон зменшення проводжуваної віддалі, - на кожному наступному етапі швидкість зменшується удвічі; у такому разі тіло походить удвічі меншу віддаль (Рис. 6 б).

Зенон “примушує” (в обох можливих випадках моделювання руху, зображених на рис. 6) тіло рухатись етапами, кінцеві точки яких повинні бути розміщені обов'язково перед кінцем усього руху. Він обґрунтовував це так: перед тим, як тіло досягне кінцеву точку, воно повинно проминути всі попередні. Однак тут нема відношення обов'язковості - адже тіло досягне і промине всі попередні точки і тоді, коли останньою точкою останнього етапу руху буде кінцева точка руху. Ця підміна (тлумачення необов'язкового зв'язку як обов'язкового) є ще одним джерелом суперечності в апорії “Дихотомія”. Отже, умова, що перш ніж дійти до кінцевої точки, треба досягнути і проминути проміжні точки, не призводить до умови, що кінцеві точки всіх наступних етапів руху повинні лежати тільки в межах між початком і кінцем руху. В апорії ця друга умова використовується, однак не проголошується в явному виді, як і не проголошується в явному виді те, що вона, мовляв, випливає з першої умови.

Щоб створити формальний інструмент для запобігання виникненню суперечностей на зразок апорії “Дихотомія” проаналізуймо мереологічне відношення між цілим і частиною. Нехай маємо віддаль між початком і кінцем руху 2 метри. Після першого поділу на частини отримаємо два відрізки, довжиною один метр. Після цього поділимо кожен з метрів на дециметри - отримаємо 20 дециметрів. Наступним кроком поділу розділимо кожен з дециметрів на сантиметри. Далі розділимо отримані сантиметри на міліметри і так до нескінченності.

Маємо різні структурні рівні поділу: перший рівень поділу - поділ на метри; другий рівень поділу - на дециметри, третій рівень поділу - на сантиметри і так далі. Для того, щоб зібрати ціле (початкова ціла віддаль), треба або об'єднати їхні частини у вигляді 2-х метрів, об'єднати їхні частини у вигляді 20-ти дециметрів, або об'єднати їхні частини у вигляді 200 сантиметрів, або об'єднати їхні частини у вигляді 2000 міліметрів (і так далі під час об'єднання між собою частин від частин). Унаслідок кожного з таких об'єднань частин отримаємо початкове ціле. Кількість частин на кожному рівні поділу, внаслідок об'єднання яких отримаємо початкове ціле, буде завжди скінченною (2 метри, 20 дециметрів, 200 сантиметрів, 2000 міліметрів і так далі). Отримані внаслідок таких об'єднань сумарні віддалі завжди будуть скінченними, і дорівнюватимуть довжині початково розділеної віддалі - двом метрам. Отже, хоча подільність може бути до нескінченності, однак кількість частин (на кожному зі рівнів поділу) є скінченна і жодного парадоксу під час їх об'єднання у початкове ціле не виникає. Більше того, у цьому разі нема проблеми пошуку першого переміщення.

Парадокс виникне, коли об'єднуватимемо ціле з його частинами. Коли до частин початкової цілої віддалі у вигляді двох відрізків, кожен з яких має довжину метр, додамо 20 дециметрів, з яких вони складені, то отримаємо не початкове ціле (два метри), бо об'єднуючи в одне ціле два метри ми вже об'єднали й дециметри, з яких складені (чи які уміщують) ці метри. Унаслідок описаного об'єднання цілого з його частинами ми багаторазово додаємо одні й ті ж віддалі (чи проміжки часу) - коли ми об'єднували дециметри, то об'єднали тим самим в одне ціле і сантиметри, з яких складені ці дециметри, і міліметри, з яких складені ці сантиметри, і всю решта нескінченну кількість віддалей, вкладених одна в одну. Саме внаслідок об'єднання цілого з його частинами, з частинами цих частин ми отримуємо ті нескінченні кількості частин (елементів тіла, віддалей, проміжків часу), які відповідають уже не одному цілому, яке початково ділили на частини, а нескінченній кількості таких цілих. Зворотне “механічне” об'єднання цієї нескінченної кількості частин призводить до парадоксу.

Створимо символьну (і водночас графічну) модель розділення на частини. Початкове ціле, яке ділитимемо на частини, позначимо символом “о” з нижнім індексом t (перша літера латинського слова Шіш - ціле) - (рис. 7). (В аналізованому прикладі цим цілим є початкова віддаль). Отже, аналізоване ціле складене з двох частин (двох метрів). Позначимо ці частини оіх1о\1 і 2°і,г- Верхнім індексом позначено віддаль, частинами якої є ця частина. Оскільки цим цілим є початкова розділювана віддаль, то верхній індекс - і Нижній рівень індексів містить два числа. Першим з них позначатимемо рівень поділу. Оскільки це перший крок поділу, то перше число в нижньому індексі - 1. Оскільки внаслідок поділу цілого на частини ми отримали дві частини (два метри), то другим числом нижнього індексу позначимо перший метр (одну з частин) числом 1, а другий - числом 2 (рівні поділу на рис. 1 позначено штрихованою лінією). Нульовий рівень - це рівень діленого, тобто цілого об'єкта.

Рис. 7. Графічна модель поділу на частини

На другому рівні поділу кожне з двох метрів розділюємо на дециметри. Символьний запис членів поділу будуємо за такою загальною схемою 0ч. де і - рівень поділу віддалі, який для даного об'єкта є цілим; j - порядковий номер згаданого цілого на рівні поділу і, k - рівень поділу (на якому кроці поділу отримано позначувану частину); І - порядковий номер позначуваної частини на рівні поділу k. На рис. 7 зображено, що перший об'єкт (перша частина) першого рівня поділу, тобто перший метр містить три частини на другому рівні поділу (якщо це сприйняти буквально, то перший метр містить заміть десяти дециметрів, три). Подібно зображено, що другий метр містить два дециметри замість десяти. Це очевидне спотворення, однак ця умовність зображення (починаючи з другого рівня поділу) зумовлена труднощами під час зображення більшої кількості частин.

Кожен віддаль першого рівня (0Ј; є частиною цілої віддалі о, (яку ділимо на частини). Водночас, кожна віддаль першого рівня є цілою щодо своїх частин на другому рівні. Верхні індекси частини співпадають з нижніми індексами цілого. Наприклад, той факт, що віддаль 0^оІ' є частиною віддалі 0ід0і-і, проявляється у тотожності значень верхніх Індексів (і = 2, у = 1) познаки частини віддалі зі значеннями нижніх індексів у познаці цілої віддалі ^ = 2, І = 1).

Кількість елементів на кожному рівні q q q qn є скінченним числом (вона належить множині натуральних чисел N і дорівнює максимальному значенню індекса І, тобто Ітах на кожному конкретному рівні). В аналізованому прикладі: на першому рівні Ітах = 2; на другому - Ітах = 5, на третьому …

Для запису операцій розділення на частини і зворотного об'єднання частин у ціле введемо символьні познаки: Ш - розділення цілого на частини, © - об'єднання частин у ціле.

Коректний запис операцій розділення на частини і зворотного об'єднання частин у ціле.

Операція розділення цілого на частини у вигляді метрів:

(початкова віддаль) Ш метри О (метр1), (метр2).

Операція розділення цілого на частини у вигляді дециметрів:

(початкова віддаль) Ш дециметри (дециметр1, дециметр2, ... дециметр20).

Операція об'єднання частин (частинами взято метри) в ціле:

метр1 © метр2 =* (початкова віддаль).

Операція об'єднання частин (частинами взято дециметри) в ціле:

дециметр1 © дециметр2 © . © дециметр20 =* (початкова віддаль).

Некоректний запис операції об'єднання частин у ціле:

метр1 © метр2 © дециметр1 © дециметр2 © .

© дециметр20 ==> (початкова віддаль).

Унаслідок об'єднання нескінченної кількості частин, на які (на підставі принципу нескінченної подільності) можна поділити будь-яку віддаль чи проміжок часу, отримаємо нескінченну кількість частин. Однак, об'єднавши їх, ми отримаємо не ціле, а нескінченну кількість таких цілих. Саме в такому разі виникає псевдопроблема пошуку першого чи останнього переміщення під час аналізу парадоксу “Дихотомія”.

Якщо кількість частин, отримуваних на кожному рівні поділу позначатимемо символом q, індекс якого позначатиме рівень поділу, то, парадоксальне, тобто некоректне об'єднання частин у ціле, матиме такий вигляд:

q1(метрів) © q2(дециметрів) © q3(сантиметрів) © q4(міліметрів) © . © qm (частин віддалей на рівні поділу т, т ^ да) ==> (початкова віддаль).

Для того, щоб у процесі міркувань не виникали суперечності аналізованого типу, до операцій над цілими і частинами треба ввести аксіому, подібну за змістом до правила поглинання під час об'єднання множин - якщо якась множина S є під- множиною множини Р, то внаслідок об'єднання цих множин отримаємо множину S, тобто, якщо ^ ? Р), то ^ и Р) = S. Наприклад, якщо множину меблів об'єднаємо з множиною столів (коли хтось мовить “столи і меблі”), то це те саме, що сказати меблі, бо перераховуючи меблі ми порахуємо і столи.

Аналогічну мереологічну аксіому поглинання (тобто аксіому для операцій над частинами і цілими) сформулюємо так:

об'єднання цілого з його частинами тотожне цілому.

Формально цю аксіому можна записати одним з, для прикладу, трьох таких способів:

Якщо записувати, що х є частиною у формулою y = Px, як це є в частині видань з мереології, то аксіома матиме вигляд: 3. y © x = x.

Для унаочнення джерела суперечності в апоріях про нескінченну подільність на частини можемо розглянути і такий приклад. Нехай кравцю, щоб пошити предмет одягу, треба поміряти талію замовника. Помірявши метром талію він отримав, скажімо, 7 дм. Однак в кожному дециметрі є по 10 сантиметрів, а кожен сантиметр має свої частини - міліметри (і так далі до нескінченності). Тож, для того щоб поміряти талію, йому треба додати всю цю кількість відрізків вона, відповідно, виявиться нескінченною. Чому ж кравець так не поступає, коли хоче поміряти розміри? Тому, що, маючи кількість дециметрів, до них не треба додавати їхні частини (сантиметри), бо всі ці частини вже враховані під час підрахунку в дециметрі. Коли ж ми до дециметра додамо його частини сантиметри, то одні й ті ж елементи виявляться поміряними двічі, якщо додамо ще й частини цих частин (міліметри), то одні й ті ж відрізки міститимуться в сумарній кількості мір (тобто в сумарному розмірі) тричі. Коли рівнів поділу на частини буде нескінченна кількість, то одні й ті ж відрізки увійдуть в сумарний розмір нескінченну кількість разів.

На підставі виконаного дослідження можна зробити такі висновки.

Аргументація Зенона має таку структуру: 1) припускаємо, що рух існує; 2) приходимо на підставі цього припущення до висновку про неможливість руху. Однак, Зенон тільки декларує, що припускає існування руху. Якби він насправді припускав існування руху, то мав би почати з того, що рух вже відбувся на якусь віддаль. В такому разі, повторюючи припущене переміщення довільну кількість разів, тіло можна перемістити на будь-яку велику віддаль (якщо переміщувати нескінченно, то на нескінченну віддаль). Отже, суперечність не мала б виникнути.

У довільному виконаному русі можна виокремити нескінченну кількість частин цього руху, які почалися разом з початком руху, нескінченну кількість частин, які завершились під час завершення руху, і нескінченні кількості подій, які починаються, тривають і завершуються у проміжку між початком і завершенням цього руху. Для аналізу початку руху треба брати фізично обґрунтовані для кожного конкретного виду руху проміжки часу, розміри та швидкості змінюваних параметрів.

Використання сформульованої мереологічної аксіоми про об'єднання частин і цілого дає змогу усунути можливість виникнення у процесі міркувань суперечностей нескінченного поділу на частини на зразок “Дихотомії”.

Список використаних джерел

рух механіка мереологія

1. The Works of Aristotle. - Vol. I. - Chicago, London, Toronto: Encyclopedia Britannica, Inc., 1952. - /26 p.

2. Salmon W. The Paradoxes of Motion / Salmon W. C. Space, Time, and Motion. - Minneapolis: University of Minnesota Press, 1980. - 129-149.

3. Hilbert D Bernays P. Grundlehren der Mathematic. Band - Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1968. - 473 p.

4. Feynman R.P. The Character of Physical Law. - Cambridge, Massachusetts, London: The M.I.T Press, 1985. - 173 p.

5. Russell B. The Principles of Mathematics. - Vol. 1. - Cambridge: University Press, 1903. - 534 p.

Размещено на Allbest.ru