Основные сведения из кристаллографии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

Основные сведения из кристаллографии

Цель работы: Изучить основные понятия кристаллографии, познакомиться с основными симметрическими операциями и точечными группами (классами) симметрии, изучить методы решения некоторых задач кристаллографии.

Задание к работе

Изучить к занятию следующие вопросы:

1. Структура кристалла и пространственная решетка.

а).Гомологичные точки. Радиус однородности кристалла.

б).Закон постоянства углов кристалла.

в).Трансляция. Элементарная ячейка. Трансляционная группа элементарной ячейки. Символ узла.

г).Кристаллографическое направление. Индексы Миллера. Символ Миллера для ряда.

д).Метрика кристалла. Кристаллографическая система координат. в).Структура кристалла. Пространственная решетка. ж).Взаимный векторный базис и обратная решетка.

2. Симметрия кристалла. Операции симметрии.

а).Простые конечные элементы и операции симметрии.

б).Сочетания симметрических операций. Точечные группы (классы) симметрии.

г).Предельные группы симметрии (.группы Кюри).

д).Сочетания элементов симметрии структур. Решетки Бравэ. Генерирование новых элементов симметрии. е).Пространственные группы симметрии.

3. Некоторые задачи геометрической кристаллографии. П. Решить 3-4 предложенные преподавателем задачи по кристаллографии из содержащихся в данном методическом описании.

Литература для подготовки к занятию:

1. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. Уч. пособие-2-е изд., перераб. - М.: Наука,1979, гл.1, §§1.3-12,14,15.

2. Шубников А.В. Избранные труды по кристаллографии. - М.: Наука, 1975, с.36-205.

3. Современная кристаллография (в четырех томах), т.4. Физические свойства кристаллов. - М.: Наука, 1981, гл.1.

4. Переломова Н.В., Ташева М.М. Задачник по кристаллофизике. - М.:

Наука, 1972, И и задачи.

5. Варикаш 8.М., Хачатрян Ю.М. Избранные задачи по физике твердого тела. - Минск: Вышэйшая школа, 1969, раздел I "Основы кристаллографии".

Отчет по работе должен содержать:

1. Название, цель работы.

2. Условия задач и их решения, снабженные чертежами и пояснениями.

СТРУКТУРА КРИСТАЛЛА И ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РЕШЕТКА

Пространственные соотношения атомов и междуатомных сил характеризуют правильность, закономерность и симметрию внутреннего строения кристалла. Вследствие закономерности и симметрии внутреннего строения симметричны и физические свойства кристаллов, и многогранные внешние формы кристаллов [I].

Следствием закономерности и симметрии структуры являются однородность, дискретность и анизотропия кристаллов.

Однородность кристалла проявляется в существовании так называемого радиуса однородности R; как бы ни размещать в данном кристалле шар радиуса R, в нем наряду с любой точкой содержится гомологичная ей(одинаково расположенная) точка, т.е. для кристалла NaCl в шаре однородности находится не меньше двух ионов Na⁺, не меньше двух ионов С^- и т.д.

В то же время кристалл дискретен - любую точку в кристалле можно окружить шаром дискретности столь малого радиуса, что внутри него не окажется ни одной точки, ей гомологичной.

Анизотропией называется неодинаковость свойств кристаллов по разным направлениям. Анизотропной является и скорость роста кристаллов, однако во всех кристаллах данного вещества при одинаковых условиях углы между соответствующими гранями кристаллов постоянны. В этом заключается закон постоянства узлов кристаллов (установлен в 1669 г. Н.Стеноном).

В структуре идеального кристалла все гомологичные точки располагаются бесконечными правильными симметричными рядами. Кратчайшее из расстояний между гомологичными точками в бесконечном ряду называется кратчайшей или основной трансляцией а, или периодом трансляции, периодом идентичности ряда, параметром ряда.

Симметрическое преобразование, с помощью которого точка, не поворачиваясь, повторяется в пространстве (параллельный перенос на "а") называется преобразованием с помощью трансляции или просто трансляцией. Повторяя с помощью трансляции какую-либо точку, получаем бесконечный ряд гомологических точек, характеристикой которого служит трансляция . Гомологичные точки, связанные между собой симметрическим преобразованием с помощью трансляции , называются узлами ряда. Трансляции можно выбрать различные (рис.1,а): , , … Любая пара трансляций, не лежащих на одной прямой, повторит гомологичные точки в виде плоской сетки, но в качестве основных параметров плоской сетки принято выбирать элементарные трансляции (рис.16) кратчайшие и отражающие симметрию решетки.

Параллелограмм, сторонами которого являются элементарные трансляции, называется элементарной ячейкой плоской сетки. Она примитивна, если внутри нее нет узлов.

Бесконечное повторение узла тремя некомпланарными трансляциями, дает пространственную решетку кристалла. Параллелепипед, сторонами которого являются три элементарные трансляции, называется элементарной ячейкой или элементарным параллелепипедом, который является примитивным, если внутри него нет узлов.

Трансляционная группа элементарной ячейки включает в себя три элементарные трансляции , , ,соответствующие трем ребрам ячейки и полностью характеризующие решетку.

Если известны три основные трансляции , , , то положение любого узла в решетке определяется вектором

где m, n, p- целые числа, а , , составляют векторный базис решетки. Символ узла записывается .

Кристаллографическое направление - это направление прямой, проходящей по крайней мере через два узла решетки. Один из узлов можно принять за начало координат . Кристаллографическое направление (ряд решетки) определится лежащим на нем узлом, ближайшим к началу координат. Символ направления пишется .Числа m, n, p здесь называются индексами. Миллера данного кристаллографического направления и всех параллельных ему направлений. Три индекса, записанные в квадратных скобках, называются символом Миллера для ряда, например, индексы Миллера графических осей координат таковы: ось Х- [100], ось Y- [010], ось Z- [001], независимо от углов между осями координат.

Длины элементарных трансляций (т. е. ребра элементарной ячейки) обозначают а, в, с(или , , ), а углы между ними (рис.2). Эти величины (параметры, метрика Кристалла) являются материальными константами каждого кристаллического вещества. В общем случае ,

Пространственные решетки являются естественной основой кристаллографических координатных систем. (Все применяемые в кристаллографии системы координат перечислены в[1], табл.4.1.). За начало координат выбирается какой-либо из узлов решетки, а три элементарные трансляции , , , пересекающиеся в этом узле, рассматриваются как ковариантные базисные векторы, определяющие кристаллографическую систему координат: их направления совпадают с ее осями X(), Y(), Z(), а длины их представляют естественные единицы измерений вдоль соответствующих осей. Векторы , , образуют правую тройку.

Наряду с основным ковариантным базисом , , применяется взаимный векторный базис, состоящий также из трех векторов

, , , называемых контравариантными базисными векторами или базисными векторами обратной решетки и определяемых из уравнений

.

Базисные векторы обратной решетки , , направлены по нормалям к координатным плоскостям кристаллической решетки. Длины их равны обратным величинам межплоскостных расстояний координатных плоских сеток решетки.

Параллелепипед, построенный на контравариантных базисных векторах, называется кристаллографической ячейкой обратной решетка, а векторы , , базисными векторами обратной решетки.5

Пространственная решетка- это схема трехмерной периодичности распределения частиц в структуре кристалла. Решетка отображает симметрию структуры независимо от того, совпадает ли узел с атомом того или другого типа или с промежутком между атомами.

Структура кристалла- это конкретное расположение материальных частиц в пространстве, симметрия, законы или мотивы этого расположения.

Симметрия кристалла. Операции симметрии.

Специфические особенности кристаллов связаны с симметрией и анизотропией кристаллической среды [4]

Геометрической симметрией кристаллического пространства называется свойство пространства совмещаться с самим собой путем некоторых симметрических преобразований. Операции, или преобразования симметрии- это отражения, вращения, переносы, приводящие пространство в совмещение с самим собой [1].

Элементы симметрии- это вспомогательные образы (точки, прямые линии, плоскости), с помощью которых обнаруживается симметрия фигуры или пространства.

Симметрические преобразования можно разделить на два типа:

1) конечные, или точечные, при которых хотя бы одна точка фигуры остается на месте, и 2) бесконечные, или пространственные, при которых не остается на месте ни одна точка фигуры.

Простые конечные операции симметрии- это отражения или вращения. Они описываются следующими элементами симметрии:

o плоскость симметрии (m)

o оси симметрии (n; n= 2, 3,4, 6)

o центр симметрии (I).

Плоскостью симметрии(m) называется плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части расположенные друг относительно друга зеркально симметрично.

Осью симметрии(n) называется прямая линия, при повороте вокруг которой фигура совмещается сама с собой. Число n, так называемый порядок оси. определяет, сколько раз фигура совмещается сама с собой при полном обороте вокруг оси. В кристаллах возможны оси симметрии только порядков 1,2,3,4 и 6.

Каждой оси симметрии соответствуют свои операции симметрии:

оси 3 - повороты фигуры на 120° и 240°, оси 4 - на 90°, 180°, 270°;

оси 6 - на 60°, 120°, 180°, 240°, 300°; оси 2 - на 180°.

Центром симметрии() (центром инверсии, центром обратного равенства) называется особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая проведенная через нее прямая встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры по обе стороны от нее и на равных расстояниях. Таким образом, симметрическое преобразование в центре симметрии - это отражение в точке, поворачивающее фигуру “с лица на изнанку".

В кристаллах, у которых есть центр симметрии, не может быть полярных прямых. Полярной называется прямая, у которой свойства различны по разным направлениям [1,2 ].

Операция отражения в плоскости симметрии m обозначается символом плоскости с индексом, указывающим ось координат, нормальную в плоскости: , или Операция инверсии, т.е. отражение в центре симметрии , обозначается символом

Кроме того, к числу операций симметрии относится также отождествление, или единичная операция. - это "операция преобразования фигуры в себя путем оставления ее на месте" [2]. Обозначается она символом 1.

Операции симметрии могут быть описаны аналитически как операции преобразования координатных осей [4]. Точку пространства, остающуюся неподвижной при всех симметрических операциях точечной группы, примем за начало ортогональной кристаллофизической системы координат x_1, x_2,.x₃. Любая симметрическая операция кристаллографического класса (см. стр.13) переведет оси x_1, x_2,.x₃ в новые положения x'_1, x'₂, x'₃(рис.3,4).

Углы между новыми (x'_1, x'₂, x'₃) и старыми (x_1, x_2,.x₃) осями определяются таблицей направляющих косинусов:

Оси! X₁! X₂! X₃!

X_1! C₁₁! C₁₂! C₁₃!

X_2! C₂₁! C₂₂! C₂₃!

X_3! C₃₁! C₃₂! C_33!

Первый индекс при символе C_IJ(I, J=1,2,3) относится к новым осям, второй - к старым. Так, например,C₂₃ - косинус угла между осью , и осью

Таким образом, любому симметрическому преобразованию можно поставить в соответствие свою матрицу направляющих косинусов C_IJ, т.е. записать его в матричном представлении. Угол поворота считается положительным, если при наблюдении из положительного конца оси в направлении к началу координат поворот от старой оси к новой происходит против часовой стрелки.

Девять коэффициентов C_IJ не являются независимыми. Т.к. каждая строка матрицы (C_IJ) представляет собой направляющие косинусы штрихованной оси координат по отношению к не штрихованным осям, то

C_IKC_JK=1 при i= j (1)

Т.к. каждая пара строк матрицы (C_IJ) является направляющими косинусами двух взаимно перпендикулярных направлений, то

C_IKC_JK=0 при (2)

Соотношения ортогональности (1) и (2) можно объединить в (З), используя символ Кронекера:

CIK CJK=

Для преобразований 1 рода, при которых правая система координат остается правой, левая - левой, определитель матрицы направляющих косинусов равен + 1. Для преобразований 2 рода =-1. [4]

Результаты всевозможных пар последовательно проведенных операций симметрии кристаллов различных групп собраны в таблицах умножения(1, гл.1, §§3,5]. Для умножения элементов симметрии справедливы следующие теоремы.

Теорема I. Если перпендикулярно к оси симметрии порядка /г/ проходит ось симметрии 2, то всего имеется n осей 2, перпендикулярных к оси n. Сочетание оси симметрии порядка n и перпендикулярной к ней оси симметрии 2 обозначается n₂.

Теорема 2. Линия пересечения двух плоскостей симметрии является осью симметрии с углом поворота, вдвое большим, чем угол между плоскостями:m₂*m₁=n₂₂.

Теорема 2а. Поворот вокруг оси симметрии можно заменить двумя отражениями в плоскостях симметрии. При этом одна плоскость проводится вдоль оси произвольно, а вторая должна образовывать с первой плоскостью угол, равный половине угла поворота вокруг оси и притом в направлении этого поворота.

Теорема 3. Точка пересечения четной оси симметрии с перпендикулярной к ней плоскостью симметрии есть центр симметрии.

Сочетание оси симметрии порядка n и перпендикулярной к ней плоскости симметрии обозначается n/m.

Теорема 3а. Если на четной оси симметрии есть центр симметрии, то перпендикулярно к этой оси проходит плоскость симметрии.

Теорема 3б. Если через центр симметрии проходит плоскость симметрии, то перпендикулярно к этой плоскости через центр проходит четная ось симметрии.

Теорема 4. Если вдоль оси симметрии n-порядка проходит плоскость симметрии, то таких плоскостей имеется n Такое сочетание обозначается n/m.

Произведение элементарного поворота n и инверсии 1 в любом порядке представляет собой операцию симметрии, называемую элементарным инверсионным поворотом

Ось, вокруг которой производятся инверсионные повороты, называется инверсионной осью симметрии. В кристаллах возможны инверсионные оси только 1,2,3,4 и 6 порядков.

Теорема 5 (теорема Эйлера). Равнодействующей двух пересекающихся осей симметрии является третья ось, проходящая через точку их пересечения.

Теорема 6. Если вдоль четной инверсионной оси проходят плоскости симметрии, то между ними располагаются оси симметрии второго порядка.

Устойчивыми могут быть только следующие сочетания осей симметрии:

Углы	Сумма углов	Сочетания осей	Кристаллографич. система
90°,90°.90°	270°	2,2.2	Ромбическая
60°,90°,90°	240°	3,2,2	Тригональная
45°,90°,90°	225°	4.2,2	Тетрагональная
30°.180°,180°	390°	6,2,2	Гексагональная
60°,60°,90°	210°	3,3,27	Кубическая
450.600.900	195°	4,3,21

кристаллография симметрический решетка

Единственное, не повторяющееся в кристалле направление называется особенным или единичным.

Повторяющиеся в кристалле направления, связанные между собой элементами симметрии, называются симметрически эквивалентными.

В зависимости от числа особенных (единичных) направлений и от имеющихся осей симметрии кристаллы разделяются на три категории:

- высшая категория - нет особенных направлений, есть несколько осей симметрии порядка выше, чей 2;

- средняя категория - одно особенное направление, совпадающее с единственной осью симметрии порядка 3,4 или 6, т.е. выше, чем 2;

- низшая категория - несколько особенных направлений, нет осей порядка выше, чем 2.

В свою очередь, три категории разделяются на 7 систем по признаку их характерной симметрии и по сочетаниям осей симметрии.

Низшая категория делится на 3 системы:

- триклинная система - нет ни осей, ни плоскостей симметрии;

- моноклинная - есть лишь одна ось симметрии второго порядка, или одна плоскость симметрии, или и ось, и плоскость;

- ромбическая - у кристалла есть более одной оси второго порядка или более одной плоскости симметрии.

Средняя категория подразделяется также на 3 системы:

- Тригональная - одна основная ось симметрии 3 или 3;

- тетрагональная - одна основная ось симметрии 4 или 4;

- гексагональная - одна основная ось симметрии 6 или 6. Высшая категория состоит из единственной системы - кубической, которая характеризуется наличием четырех осей симметрии третьего порядка.

Вместо подразделения на 7 систем можно подразделять категории на 6 сингоний: триклинную, моноклинную, ромбическую, гексагональную, тетрагональную, кубическую.

Множество операций симметрии идеального кристаллического многогранника, т.е. преобразований, в результате которых этот многогранник совмещается сам с собой, образует класс (вид) симметрии, или точечную группу симметрии кристалла. Число различных операций симметрии, входящих в группу, называется порядком группы.

Группы, порождаемые одним элементом симметрии, т.е. состоящие из одной-единственной операции, называются циклическими. Циклические группы бывают первого (1), второго (I, m, 2), третьего (3), четвертого (4,4) и шестого (6,3,6) порядков.

Если некоторая операция совмещает многогранник сам с собой и, следовательно, является операцией симметрии, то и операция, возвращающая его в первоначальное положение, также является операцией симметрии, она называется обратной по отношению к исходной. Произведение взаимно обратных операций есть отождествление I. Любые две операции, произведение которых есть отождествление, взаимно обратны.

Если каждая из некоторых двух операций преобразует кристаллический многогранник в самого себя, то и в результате последовательного выполнения обеих операций многогранник преобразуется в себя; наряду с любыми двумя операциями в группу входит и их произведение (или оба произведения, если они не совпадают).

Если умножения в группе не зависят от порядка сомножителей, то группа называется коммутативной (таблица умножения такой группы симметрична относительно главной диагонали); если не все умножения в группе коммутативны, группа называется некоммутативной.

Операции, порождающие группу, называют генераторами группы.

Бывает, что часть операций, входящих в группу, сама по себе составляет группу. Эта группа по отношению к исходной называемся подгруппой, исходная же по отношению к ней - надгруппой.

Отношение порядка группы к порядку подгруппы называется индексом подгруппы.

Совокупность операций, входящих одновременно в две группы, называется пересечением этих групп. Пересечение групп - наиболее общая подгруппа этих групп [I].

Кристаллографические группы (классы) симметрии удовлетворяют следующим аксиомам [4]:

I. Произведение двух симметрических операций А и В, входящих в группу симметрии, эквивалентно симметрической операции С, входящей в ту же группу: АВ=С.

Произведению симметрических преобразований относительно системы осей, жестко связанных с кристаллом, отвечает произведение соответствующих матриц (в смысле обычного матричного умножения).

Результат двух последовательных симметрических преобразований может зависеть от порядка проведения операций, поэтому необходимо следить за порядком записи соответствующих матриц.

2. Умножение операций ассоциативно:

(АВ)*С = А*(ВС)

3. Среди операций симметрии существует такая операция отождествления Е, что АЕ=ЕА=А для любой из операций группы. Операция Е в данном случае называется единичной.

Для симметрических преобразований единичной операцией является поворот на 360° вокруг произвольного направления в кристалле - ось симметрии первого порядка.

4. Для каждой операции А существует обратная операция А^-1, входящая в группу симметрии и удовлетворяющая соотношению

АА^-1 =A^-1A = Е

Совокупность матриц (C_IJ) построенная для всех неэквивалентных симметрических операций, входящих в конкретную точечную группу симметрии, называется матричным представлением этой группы. Некоторая система операций симметрии, входящих в данную группу, называется системой образующих (генераторов), если эти операции при перемножении всеми способами дают все операции, входящие в эту группу.

Если группа имеет только свойства, перечисленные в аксиомах, то она называется абстрактной.

Кристаллографически различные точечные группы могут быть абстрактно одинаковыми, т.е. иметь одинаковые таблицы умножения. Такие точечные группы называются изоморфными.

Возможные сочетания симметрических операций кристаллических многогранников образуют 32 класса симметрии (точечные группы) (обозначения их см. в табл.1 в[4], и 6. 1 в [1]). Среди них различают простейшие (примитивные), центральные, планальные, аксиальные, планаксиальные, инверсионно -примитивные и инверсионно -планальные классы (см. [2 ],6).

Кроме деления на системы и сингонии 32 класса симметрии можно группировать по более крупным подразделениям в зависимости от следующей характерной симметрии.

1. Наличие или отсутствие центра симметрии. В классах центральных и планаксиальных не может быть полярных направлений, а значит, не может быть и свойств, характеризуемых полярной симметрией. Остальные 21 класс - ацентрические.

2. Энантиоморфизм. Кристаллы» принадлежащие к классам, в которых есть только поворотные оси симметрии, но нет инверсионных осей, поперечных плоскостей и центра симметрии, могут иметь правые и левые разновидности. В них возможны правые и левые формы и такие свойства, как вращение плоскости поляризации. Энантвоморфными являются примитивные и аксиальные классы.

3. Лауэвские классы симметрии, или подсистемы. Согласно закону Фриделя, или закону центросимметричности дифракционного эффекта, из-за симметрии отражения рентгеновских лучей дифракционная симметрия кристалла выше, чем его точечная симметрия. Она отвечает точечной группе плюс центр инверсии и плюс элементы симметрии, порождаемые из-за добавления центра инверсии[1].

В группы симметрии кристалла как сплошной непрерывной среды входят только оси порядков 2,3,4,6, но в группы симметрии свойств такой среды могут входить также оси симметрии бесконечного порядка(). Кроме того, оси могут входить в группы симметрии физических полей: электрического, магнитного, поля механических напряжений.

Точечные группы симметрии, в которые входят бесконечные оси симметрии, называются предельными группами симметрии или группами Кюри. Их 7 [I].

Симметрия структуры кристаллов. Сочетания элементов симметрии структур

В структуре кристаллов к конечным преобразованиям симметрии, входящим в точечную группу симметрии, добавляются еще бесконечные симметрические преобразования.

Основное бесконечное преобразование - трансляция, т.е. бесконечно повторяющийся перенос вдоль одной прямой на одно и тоже определенное расстояние называемое периодом трансляции. Сочетание трансляций с каждым из элементов симметрии генерирует новые элементы симметрии, бесконечно повторяющиеся в пространстве. Так, совокупность совместно действующих плоскости симметрии и параллельного ей переноса на величину равную половине периода трансляции вдоль плоскости - это плоскость скользящего отражения. Симметрическое преобразование плоскостью скользящего отражения можно описать, указав, как при этом изменяются координаты произвольной точки X, Y, Z. Совокупность оси симметрии и переноса вдоль этой оси, действующих совместно дает винтовую ось симметрии. Винтовые оси в кристаллическом пространстве могут быть только порядков 2,3,4 и 6. Различают левые и правые винтовые оси.

Для каждой структуры характерен ее набор элементарных трансляций или трансляционная группа, которая определяет пространственную решетку.

В зависимости от отношения величин и взаимной ориентации трех основных трансляций а, в, с получаются решетки, отличающиеся друг от друга по своей симметрии. Симметрия органичивает число возможных решеток. Все кристаллические структуры описываются 14 трансляционными группами, соответствующими 14 решеткам Бравэ. Решеткой Бравэ называется бесконечная система точек, которая образуется трансляционным повторением одной точки.

14 решеток Бравэ отличаются друг от друга по форме элементарных ячеек и по симметрии и подразделяются на 6 сингоний (см. таблицу).

Элементарные ячейки в решетках Бравэ выбираются так, чтобы 1) их симметрия соответствовала симметрии всей решетки (точнее; она должна совпадать с симметрией голоэдрического класса той системы, к которой относится кристалл), 2) число прямых углов и равных сторон было максимальным и 3) объем ячейки минимальным.

В структуре кристалла решетки Вравэ могут быть вставлены одна в другую, а в узлах различных решеток могут стоять как одинаковые, так и различные атомы, как сферически симметричные, так и имеющие реальную кристаллографическую симметрию. Все типы структур описываются 230 пространственными группами симметрии, которые образуются из сочетаний элементов симметрии бесконечных структур. (Пространственной группой симметрии называется сочетание всех возможных преобразований симметрии кристаллической структуры).

Умножение элементов симметрии структур подчиняется теоремам 1-6. Кроме того, из-за добавления бесконечных повторений появляются новые сочетания.

Теорема 7. Последовательное отражение в двух параллельных плоскостях симметрии эквивалентно трансляции на параметр t=2а, где а-расстояние между плоскостями..

Теорема 7а. Любую трансляцию t можно заменить отражением в двух параллельных плоскостях, относящихся друг от друга на расстояние T/ 2.

Теорема 8. Плоскость симметрии и перпендикулярная к ней трансляция с параметром t порождают новые "вставленные" плоскости симметрии, параллельные порождающей, аналогичные ей по типу и отстоящие от нее.

Теорема 9. Плоскость симметрии и трансляция t, составляющая с плоскостью угол , порождают плоскость скользящего отражения, параллельную порождающей и отстоящую от нее в сторону трансляции на величину(t/2), sinвеличина скольжения вдоль порожденной плоскости равна t*cos

Теорема 10. Ось симметрии с углом поворота и перпендикулярная к ней трансляция Т порождает такую же ось симметрии, параллельную данной, обстоящую от нее на расстояние (t/2) sin() и расположенную на линии, перпендикулярной к трансляции t в ее середине.

Теорема 11. Винтовая ось симметрии с углом поворота и переносом t и перпендикулярная к ней трансляция t порождают винтовую ось с тем же углом и тем же переносом, параллельную данной, отстоящую от нее на(t/2) sin(/2) и расположенную на линии, перпендикулярной к трансляции t в ее середине.

Теорема 12. Ось симметрии с углом поворота и трансляция t составляющая с ней угол , порождают винтовую ось симметрии.

Теорема 13. Винтовая ось симметрии с углом поворота и переносом t₁ и трансляция t, составляющая с осью угол порождает винтовую ось симметрии с тем же углом поворота.

Теорема 14. Инверсионно- поворотная ось с углом поворота и перпендикулярная к ней трансляция порождают ту же инверсионно -поворотную ось, параллельную порождающей.

Теорема 15. Инверсионно - поворотная ось с углом поворота и трансляция , составляющая с этой осью угол , порождают инверсионную ось с тем же поворотом параллельную данной.

ЗАДАЧИ

1. Записать матричное представление всех операций симметрии, входящих в точечную группу mmm.

2. Найти матричное представление и порядок группы симметрии низкотемпературной модификации кварца.

3. Известна теорема Эйлера: равнодействующей двух пересекающихся осей симметрии является третья ось симметрии, проходящая через точку пересечения первых двух. Пользуясь матричным представлением элементов симметрии, проиллюстрировать теорему Эйлера на примере класса 4 2 2.

4. Кристалл поворачивают на 90° с последующим отражением в центре инверсии, затем поворачивают на 180° вокруг направления, перпендикулярного оси первого поворота. Найти матричное представление операции симметрии, которая приводит к тому же результату.

5. Кристалл поворачивают на 120°, затем отражают в центре инверсии. Найти матричное представление операции симметрии, которая приводит к тому же результату. В группу какого элемента симметрии входит эта операция?

Все сведения о кристаллах, необходимые для решения задач, см. в таблицах, помещенных в конце описания.

6. Используя матричное представление элементов симметрии, найти такую операцию симметрии, действие которой давало бы тот же результат, что и действие двух осей второго порядка, пересекающихся под углом 90°.

7. Найти матричное представление операции симметрии, действие которой дает тот же результат, что и действие осей второго порядка, расположенных под углом 60° друг к другу. В группу какого элемента симметрии входит эта операция?

8. Найти матричное представление и порядок точечной группы симметрии дигидрофосфата калия (КДР) для стандартного и нестандартного (4m2) выбора кристаллофизических осей координат.

9. Найти матричное представление точечной группы симметрии 6 2 2.

10. Найти матричное представление и порядок группы 6.

11. Пользуясь матричным представлением операций симметрии, проверить справедливость теоремы ЭЙЛЕРА НА ПРИМЕРЕ точечной группы 2 2 2,

12. Убедиться в справедливости теоремы Эйлера на примере осей второго порядка, располагающихся под углом 45° друг к другу.

13. Каков порядок следующих групп симметрии: m т, 2 2 2, 4 m m, 422?

14. Записать систему генераторов для группы 4/mmm.

15. На примере точечной группы симметрии 2/m проверить, выполняются ли все групповые аксиомы.

16. Используя матричное представление операций симметрии, проверить справедливость теоремы: сочетание оси четного порядка и перпендикулярной ей плоскости дает центр симметрии.

17. Доказать, что в кристаллической решетке отсутствует ось симметрии пятого порядка.

18. Чему равно число атомов в элементарной ячейке в случае а) простой, б) объемноцентрированной и в) гранецентрированной кубических решеток?

19. Чему равно число атомов в элементарной ячейке гекcагональной плотноупакованной решетки?

20. Определить отрезки, которые отсекает на осях решетки плоскость (125).

21. Найти индексы плоскостей, проходящих через узловые точки кристаллической решетки с координатами 9 10 30, если параметры решетки а=3, b =5 и с==6.

22. Даны грани (320) и (11О). Найти символ ребра их пересечения,

23. Даны два ребра [1ЗО] и [201]. Найти символ грани, в которой они лежат одновременно.

24. Положение плоскостей в гексагональной системе определяется с помощью четырех индексов. Найти индекс i в плоскостях (100), (010), (110) и (211) гексагональной системы.

25. Элементарная ячейка магния принадлежит к гексагональной системе и имеет параметры a=3,20 и с=5,20. Определить векторы обратной решетки.

26. Выразить углы между векторами обратной решетки через углы прямой решетки.

27. Показать, что решетка, обратная кубической объемноцентрированной, будет кубической гранецентрированной.

28. Найти векторы обратной решетки для кристалла кальцита (СаСО₃), если a=6,36 , =46°6'.

29. Доказать, что расстояние между плоскостями (hkl) решетки кристалла равно обратной величине длины вектора r*hkl из начала координат в точку hkl обратной решетки.

30. В триклинной решетке кианита (Al₂O₃, SiO₂) параметры a, b, c и углы , , элементарной ячейки соответственно равны 7,09; 7,72; 5,56 и; 90°55; 101°2; 105°44. Определить расстояние между плоскостями (102).

31. Чему равны расстояния между плоскостями (100), (110) и (111) в кубической решетке с параметром a

32. Определить угол между плоскостями (201) и (310) в ромбической сере с параметрами решетки a=10,437 , b=12,845 и, С. =24,369

33. Вычислить угол между плоскостями (111) и (102) тетрагонального кристалла галлия с параметрами решетки a=4,50 ,c= 7.64 8.

34. Найти угол, образуемый гранями (100) и (010) кубического кристалла.

35. Доказать, что в кубическом кристалле любое направление [hkl]перпендикулярно к плоскости (hkl) с теми же значениями индексов Миллера.

36. Определить угол между телесной диагональю и ребром куба.

37. Определить угол между двумя направлениями [102] и [210] в кристалле триглицинсульфата ((NH₂CH₂COOH)₃*H₂SO₄) с параметрами элементарной ячейки a=9,42, b=12,64, c=5,73 и углом моноклинности =ПО°23.

38. Вычислить угол между двумя прямыми [101] и [012] в ромбической решетке медного купороса с параметрами решетки a =4,88 , b=6,66 и. С =8,32 .

Справочные данные о кристаллах.

Кальцит, СаСО₃, Зm, =2,6-2,8 г/см³. Нормаль к граням ромбоэдра составляет с осью 3 угол, равный 44°.n₀=1,658, n_e= 1,486 для =588,9 нм.

Кварц, SiO₂. Симметрия низкотемпературной модификации 32, высокотемпературной - 622. =2,648 г/см³; n₀ =1,544, n=1,553 для =589 нм.

КДР, дигидрофосфат калия, КН₂РО₄, 42 m. =2,338 г/см³;

n₀=1,511, n_e=1,469 для =546 нм.

Рубин,.- Al₂O₃, 3m (Рубином называют кристаллы корунда - Al₂O₃окрашенные в красный цвет примесью (^г). ^^ =1,768, //^=1,759 для) =589,0 нм.

Титанат бария, /^(у Т(С)^ ^> =5,9 г/см³; При / ^ 120°С имеет симметрию ^1 3 ^. При 5°С ^^ ^- 120°С стабильна фаза с симметрией 4^^. При -90°С Ч ^ 5°С - ^^. При ^ ^- 90°С - за^.

Т¹ (т- ^ « триглицинсульфат. Симметрия сегнетофазы 2, парафазы - 2.

Таблица: 14 решеток Бравэ

Сингония	Решетка
	Примитивная	Базоцентрованная	Объемоцентрированная	Гранецентрированная
Триклинная
Моноклинная
Ромбическая
Тригональная (ромбоэдрическая)
Тетрагональная
Гексагональная
Кубическая

Размещено на Allbest.ru

...