Кристаллографические проекции. Стереографическая сетка Вульфа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторная работа

“Кристаллографические проекции. Стереографическая сетка Вульфа”

Цель работы: знакомство с графическими методами изучения кристаллографических свойств кристаллов.

Задание к работе.

1. Изучить к занятию следующие вопросы:

а) сферическая проекция.

б) стереографическая проекция. Сетка Вульфа. Полярная Сетка. А. К. Болдырева. Сетка Е. С. Федорова.

в) гномостереографическая проекция.

г) гномоническая проекция.

д) соотношение между сферической, стереографической, гномостереграфической и гномонической проекциями.

2. Решить предложенные преподавателем задачи.

Кристаллографические проекции

Метод кристаллографических проекций применяется для представления симметрии внешних форм и структуры кристаллов, анизотропии и симметрии их свойств, для расшифровки рентгенограмм. Согласно многогранника, симметрию и анизотропию его свойств можно характеризовать набором углов между его гранями или, как принято в кристаллографии, между нормалями к его граням.

Представим себе некоторую сферу, окружающую кристалл. Из ее центра О проведем нормали к граням кристалла, продолжив их до пересечения со сферой. Каждая нормаль спроецируется на сферу как “полюсная точка” (рис. 1, точка а₁). Любая плоскость, проходящая через центр О, пересекает поверхность сферы, по дугам окружностей. Если проектируемые плоскость или направление не проходят через точку О, их можно перенести параллельно самим себе, не нарушая угловые соотношения. Положение любой точки на поверхности сферы проекций определяется 2-мя сферическими координатами: - полярное расстояние, отсчитываемое по любому направлению от 0 (северный полюс N) до 180є (южный полюс S), - долгота, отсчитываемая по экватору от меридиана, принятого за нулевой меридиан (рис. 1, б). Получившаяся сферическая проекция, в свою очередь, проецируется на плоскость в виде стереографической, гномостереграфической или гномонической проекций.

Плоскостью стереографической и гномостереографической проекций служит экваториальная плоскость сферы проекций, а плоскость гномонической проекции касательная к северному полюсу сферы проекций.

Стереографическая проекция применяется главным образом для изображения элементов симметрии кристалла, а также симметрии и анизотропии его физических свойств. Плоскостью ее служит экваториальная плоскость Q сферы проекций, на которую проецируется в виде круга (рис. 2).

Что бы спроецировать прямую, например ОА, проводят линию AS от полюсной точки А на сфере проекций до южного полюса S сферы.

Точка пересечения линии AS с кругом проекций есть стереографическая проекция направления ОА. Стереографическая проекция прямой линии изображается точкой внутри круга проекций (рис. 3,а).

Наклонные направления, имеющие , проецируются внутри круга проекций.

кристалл симметрия рентгенограмма стереографический

Плоскость, проходящая через точку 0 (пересекающая сферу по окружности, рис.2), проектируется на стереографическую проекцию в виде дуги большого круга. Чтобы не загружать чертёж, обычно проектируется только пересечение плоскости или линии с верхней полусферой.

Стереографические проекции горизонтальных плоскостей совпадают с окружностями круга проекций (рис. 3б), вертикальных плоскостей - с диаметрами круга проекций (рис. 3а), а наклонных плоскостей - изображаются дугами, опирающимися на концы диаметра (рис. 3в). Вертикальная линия проектируется как точка в центре круга проекции, горизонтальная - как два выхода на окружности экватора.

Окружность, проведённая на сфере, изображается на стереографической проекции также окружностью или прямой линией. На стереографической проекции также не искажаются угловые соотношения, т.е. Угол между полюсами граней на сфере (измеренный по дугам больших кругов) равен углу между стереографическими проекциями тех же дуг.

Гномостереографическая проекция применяется главным образом для изображения форм кристалла, его граней и рёбер, т.е. совокупности симметрично эквивалентных плоскостей и направлений. Она тоже изображается как круг в экваториальной плоскости сферы проекций.

Чтобы получить гномостереографичскую проекцию кристаллографической плоскости (грани), проводят нормаль к этой плоскости (грани) до пересечения со сферой проекции, а затем линию, соединяющую эту точку пересечения и южный полюс этой сферы). Гномостереографическая проекция плоскости (грани кристалла) является точкой. Проекции нормалей к граням, расположенным выше плоскости проекции, обозначаются кружками, к нижним - крестиками.

Горизонтальные грани проектируются в центре круга проекций (верхняя - кружком, нижняя - крестиком), вертикальные грани проектируются на самом круге проекций, а косые грани - внутри круга проекций (рис.3).

Чем круче наклон косой грани, тем дальше от центра располагается проектирующая её точка. Проекции граней, принадлежащих к одной зоне, располагаются на одном большом круге проекций.

Гномостереографические проекции направлений (рёбер кристалла) изображаются дугами больших кругов. Большой круг, т.е. круг, центром которого является центр круга проекций, является геометрическим местом полюсов всех граней, нормали к которым лежат в одной плоскости (а именно в плоскости большого круга).

Стереографическую и гномостереографическую проекцию часто совмещают на одном чертеже.

Для решения задач с помощью стереографической и гномостереографической проекции пользуются градусными сетками. Из них наиболее употребительна сетка Вульфа - стереографическая проекция всей системы меридианов и параллелей с поверхности сферы на плоскость одного из меридианов.

Сетка Вульфа стандартно чертится на круге диаметром 20 см., а линии параллелей и меридианов, проектируемые как дуги окружностей, проводят через 2⁰. Расстояния между ними можно разделить ан глаз ещё на 4 части, т.е. работать с точностью до 0,5⁰.

Положение любой точки на сетке Вульфа определяется её координатами, и; полярные расстояния отсчитывается от центра чертежа, долготы - от нулевого меридиана по окружности проекций по часовой стрелке.

Полярная сетка А.К. Болдырева представляет собой стереографическую проекцию системы параллелей и меридианов с поверхности сферы на экваториальную плоскость. Точка зрения находится в южном полюсе. Линии проведены через 2⁰ или через 5⁰. Меридианы изображаются прямыми, радиально расходящимися из центра проекции; эти прямые, по существу, представляют дуги бесконечно большого радиуса. Начальный, нулевой меридиан отмечается цифрой 0, далее меридианы обозначаются цифрами через каждые 10⁰. Параллели изображаются концентрическими окружностями. Проекция экватора совпадает с окружностью проекции. Долготы отсчитываются от нулевого меридиана по часовой стрелке, полярные расстояния отсчитываются по меридиану от центра проекции.

Сетка Е. С. Фёдорова представляет собой сочетание двух сеток Вульфа, повёрнутых друг относительно друга на 90⁰, и полярной сетки Болдырева. Деления проведены через 5⁰ [1].

Соотношение между сферической, стереографической, гномостереографической и гномонической проекциями показано на рис.4. Проекция направления ОА (см. рис.1) даёт на сферической проекции радиуса r точку а, определённую координатами и, на гномонической проекции ( плоскость РР ) - точку а₁. На гномостереографической проекции плоскость a₁ - это проекция плоскости, перпендикулярной к направлению О. а - Угловые соотношения на проекциях видны на рисунке 4.

Соотношение между 3-мя типами проекций удобно же свести в таблицу 1.

Таблица 1.

Решение задач с помощью сетки Вульфа.

Сетка Вульфа с наложенной на нее прозрачной калькой дает возможность решать все задачи, относящиеся к измерениям углов, на сфере, т.е. Как раз те, к которым стереографическая проекция сводит вычисление кристаллов.

Выше было указано, что на полярной сетке очень легко отсчитывать углы по радиусам и по концентрическим окружностям. Если измерение кристалла было сделано на двукружном гониометре, то для полюса каждой грани мы получили две сферические координаты - полярное расстояние и долготу.

Полярным расстоянием называется дуга окружности большого круга, считаемая по меридиану от верхнего (северного) полюса шара до той точки, на которой лежит полюс данной грани (рис 1). Оно обозначается греческой буквой . Полярное расстояние точки, совпадающей с северным полюсом, равно нулю, все точки экватора шара имеют =90, точка южного полюса имеет =180. Для вычисления кристаллов, этот способ обозначается удобнее, чем принятая в географии широта. Последняя удобна в географии потому, что там мы различаем северную и южную широту, каждая из которых считается от нуля на экваторе до 90 на полюсе. Каким образом отличить эти широты на проекции? Если одну считать положительной, другую отрицательной и обозначить знаками плюс и минус, то при вычислении углов мы сразу сталкиваемся нелепостью - отрицательной цифрой, которая будет обозначать конкретную положительную величину.

Долгота, обозначаемая греческой буквой , считается так же, как в географии, по любому параллельному кругу. Удобнее всего по экватору, от точки пересечения с ним некоторого меридиана, условно принятого за нулевой, до того меридиана, на котором лежит полюс грани. Таким образом, полярное расстояние может изменяться в пределах от 0 до 180, а долгота от 0 до 360. Причем точки, обозначаемые и , совпадают. При этом необходимо установить направление отсчета, что бы не вышло путаницы. За такое направление в кристаллографии принято следующее. Крайний правый меридиан (т. е. Полуокружность) считается за нулевой и от него отсчет ведется влево.

На сетке полярного типа долготы считаются по основному кругу от 0 - точки пересечения горизонтального диаметра с правой полуокружностью основного круга. Нижняя точка пересечения с ним вертикального диаметра имеют соответственно , верхняя - 270. Точки пересечения горизонтального диаметра имеют соответственно и 180.

Для того, что бы отложить полюс грани с данными координатами и на кальке, пользуясь сеткой экваториального типа, необходимо сперва отложить долготу, повернуть кальку около центра так, чтобы отмеченная долгота попала на один из диаметров сетки, а потом уже по этому диаметру отложить от центра (у которого ) соответствующее полярное расстояние. Из сказанного видно, что наносить полюсы граней по измеренным и гораздо удобнее и быстрее по сетке полярного типа. Но, как указано выше, на ней нельзя измерять углов между двумя произвольно взятыми точками. Поэтому была предложена сетка, соединяющая в себе оба типа -экваториальный и полярный (рис. 2.5). Один полукруг служит для нанесения на кальку полюсов граней по измеренным и , другой полукруг - для измерения углов и решения всех задач, связанных с графическим методом вычисления кристаллов. В дальнейшем будем вести изложение в расчете на применение сетки Г. В. Вульфа.

Перейти к решению тех основных задач, которые решаются при помощи этой сетки.

Задача 1. Нанести на проекцию 2 точки по данным координатам

;

Предварительные замечания. Точки, лежащие в верхнем полушарии, имеют полярное расстояние от 0 до 900; точки южного полушария имеют от 090 до 1800. Если нам надо и те и другие наносить на одном и том же чертеже, необходимо обозначить их различными знаками. Точки верхнего (северного) полушария принято обозначать точками обведенными маленькой окружностью (), точки нижнего полушария - крестиками (x).

Решение задачи.

Берем лист кальки, и кладем на сетку. Отточенным тонко средней твердости (ТМ или М2) карандашом намечаем на кальке центр сетки и крайнюю точку экватора . Около центральной точки (на кальке) надо наметить четыре небольшие черточки в виде +. Все время следим за тем, что бы калька плотно прилегала к сетке. Теперь мы можем снимать и вновь накладывать кальку, потому, что нанесенные две точки дают возможность совершенно точно поместить ее в начальное положение.

Отсчитываем долготу первой точки и затем второй , помня, что каждое деление сетки равно 2⁰. В обоих случаях делаем отметки на основном круге. Затем, вращая кальку, приводим отметки на нижнюю точку пересечения основного круга с вертикальным диаметром и отсчитываем от центра для первой точки 73⁰ и для второй 58⁰. При отсчетах надо все время следить за тем, чтобы центральная отметка, сделанная на кальке, точно совпадала с центром сетки.

Точки на кальке лучше всего обозначать вышеуказанной отметкой, ставя рядом цифру в скобках, например, (2). Чем меньше будет серединная точка знака , тем точнее окажется работа.

Задача 2. Измерить угол между точками один и два.

Предварительные замечания. Все измерения угловых расстояний на сфере делаются по большим кругам, т. е. Кругам, опирающимся на диаметр сферы. На сетке большими кругами являются все меридианы и экватор, остальные (параллели) суть малые круги. Следовательно, если мы желаем измерить угол между точками 1 и 2, то их надо привести на один и тот же большой круг (меридиан и по нему сделать отсчет).

Решение задачи

Вращаем кальку до тех пор, пока точки 1 и 2 не окажутся на одном и том же меридиане. Вращение надо делать совершенно свободно, не придерживая кальку в центре сетки и отнюдь не скрепляя их булавкой или кнопкой. Только когда точки окажутся приведенными на один меридиан, следует проверить, совпадает ли центральная отметка с центром сетки. Если нет, то меридиан найден неверно, начинают сначала и вновь проверяют центры. Начинающих часто смущают те случаи, когда точки не укладываются ни на один из имеющихся на сетке кругов. Надо всегда помнить, что на сетке проведены лишь четные круги и что между ними надо себе вообразить остальные с расстояниями примерно в 0,50. В тех случаях, когда точки не попадают на готовый круг, их надо помещать на одинаковые от него угловые расстояния, т.е. на один и тот же воображаемый меридиан. Отсчитав по меридиану расстояние между точками 1 и 2, получаем 750 ( 1/20, 1/30 и 1/40 оцениваются на глаз ). Правильность такой оценки зависит от опытности и глазомера работающего, а также от того, насколько аккуратно сделаны отметки точек.

Проверим найденную величину по формуле

т.е. косинус искомого угла равен произведению косинусов полярных расстояний плюс произведение синусов тех же расстояний, умноженное на косинус разности долгот.

В нашем случае полярные расстояния были для первой точки =73⁰ и для второй =58⁰ - долготы соответственно равны 198⁰ и 115⁰.

Обозначим искомый угол через , получим

Измерение на сетке дало нам 750, т. е. величину отличающуюся от вычисленной всего на .

Задача 3. Через точки 1 и 2 провести большой круг, найти его полюс и определить координаты его полюса.

Предварительное замечание. Полюсом большого круга на сфере называется точка, отстоящая от всех точек этого круга на 900. На проекции полюс должен, очевидно, лежать на прямой, перпендикулярной к диаметру, стягивающему данную дугу. Кроме того, мы знаем из геометрии, что она отстоит на 900 от трех точек взятого круга. Отсюда ясен способ её нахождения.

Решение задачи

Приводим кальку в то же положение, которое она занимала в конце второй задачи: точки 1 и 2 лежат на одном меридиане. Наносим на кальку весь этот меридиан не от северного до южного полюса сетки. Если бы этот меридиан не совпадал ни с одним из имеющихся на сетке меридианов, пришлось бы вести нашу дугу между двумя соседними меридианами сетки. При проведении дуг надо всегда держать кальку так, чтобы рисующая рука находилась с вогнутой стороны дуги. Диаметром, стягивающим определённую дугу, будет, очевидно, средний меридиан сетки, а перпендикуляром к нему является экватор сетки. Найдем на экваторе точку, отстоящую от одной из точек дуги на 90⁰, т. е. от места пресечения дуги с экватором отсчитаем вправо 90⁰. Полученная точка будет искомым полюсом, так как она отстоит на 90⁰ от трех точек взятого круга. Обозначаем его Р_(1,2) приводим кальку в первоначальное положение и отсчитываем и . В нашем случае получим =340 и =3160.

Задача 4. Найти большой круг для данного полюса (точки 1).

Предварительное замечание. Очевидно, что эта задача является обратной для только решенной задачи 3. Рассуждая совершенно аналогично найдем, что данную точку надо привести на экватор сетки и по нему отсчитать 90. Меридиан, проходящий через точку, полученную отсчетом, будет искомым большим кругом.

Решение задачи

Вращением кальки приводим точку 1 на экватор сетки. Отсчитаем по экватору вправо 90 и через найденную точку проводим медиан. Помня правило указанное в задаче 3, повернем сетку вместе с калькой (в том случае, если чертим правой рукой) так, что б карандаш пришелся с вогнутой стороны. Дуги следует проводить, возможно тонкими линиями.

Задача 5. Найти точку, диаметрально противоположную данной (1).

Предварительные замечания. Две точки называются диаметрально противоположными, если они лежат на концах одного и того же диаметра сферы. Отсюда ясен путь решения задачи. Следует привести точку на один из диаметров сетки, отсчитать по нему ее расстояние от центра и это же расстояние отложить в обратную сторону. В частных случаях, когда точка находится в центре или на основном круге, задача решается еще проще. Само собой разумеется, то, если заданная точка лежит в верхнем полушарии, точка, диаметрально противоположная, должна лежать в нижнем. Решение задачи. Вращая кальку проводим точку 1 на горизонтальный диаметр. Ее расстояние от центра известно (). Отсчитываем от центра в противоположную сторону 73 и находим искомую точку, отмечаем крестиком, так как она лежит в нижнем полушарии.

Задача 6. Найти угол между двумя большими кругами.

Предварительные замечания. При пересечении двух дуг на сфере получаются четыре попарно равных угла. Возьмём для измерения больший угол . Выше было сказано, что все отсчеты в сфере делаются по большим кругам, так мы поступали и при решении всех предыдущих задач. В данном случае, когда нам надо измерить угол между двумя дугами, следует держаться того же правила. Этого достигнем, если будем вести отсчет по дуге того круга, для которого вершина нашего угла является полюсом. Тогда дуга, заключенная между кругами, образующими стороны угла даст искомую величину в угловых единицах.

Решение задачи

Наносим на кальку точку 3 с координатами и . Через точку 1 и 3 проводим большой круг. Дуги (1,2) и (1,3) пересекаются в точке 1, т.е. эта точка является вершиной четырех углов. Возьмем для измерения угол . Вращая кальку, приводим точку 1 на экватор сетки (это положение нам известно из задачи 4). По дуге, отстоящей от точки 1 на 900, нам следует вести отсчет. Дуга эта была проведена при решении задачи 4. Теперь считаем число градусов этой дуги, заключенное между дугами (1,2) и (1,3), получаем угол =.

Литература

1. Сиротин Ю. И., Шаскольская М. П. Основы кристаллофизики. Уч. пособие 2-е изд., перераб. - М.: Наука, 1979, гл. 1, §2, табл. 6,3, §7

2. Г. Мильбурн. Рентгеновская кристаллография. - М. Мир, 1975, гл. 1.

3. Миркин. Индицирование рентгенограмм.

Размещено на Allbest.ru