Уравнение неразрывности, его вывод, физический смысл

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторная работа

Уравнение неразрывности, его вывод, физический смысл



Полная постановка задачи для течения однофазной жидкости в масштабе коллектора; граничные и начальные условия.

Алгоритм и численная схема решения задачи о стационарном течении однофазной жидкости в масштабе коллектора.

1. Уравнение неразрывности, его вывод, физический смысл.

Вводные замечания:

1) фильтрация жидкостей в пористых средах происходит в нестационарных условиях, т.е. характеристики течения - давление, скорость, плотность, температура, вязкость и т.д., меняются с течением времени в каждом узле рассматриваемой области;

2) задачи стационарного или нестационарного течений решаются методами математической физики. Для этого составляется система дифференциальных уравнений, число уравнений равно числу неизвестных - замкнутая система;

3) особую роль играют граничные и начальные условия;

4) в гидромеханике пористых сред различают модели, которые описывают течения в масштабе поровых каналов и масштабе коллектора.

Уравнение неразрывности - уравнение баланса массы в ячейке (объеме).

Для простоты вывода рассмотрим ячейку в двухмерном пространстве (толщина в направлении OZ равна 1, рис.1). Рассмотрим течение жидкости через ячейку; A_in, B_in - сечения, через которые жидкость втекает; A_out, B_out - сечения, через которые жидкость вытекает.



Рис.1. К вопросу о выводе уравнения неразрывности.

Шаг 1. Рассмотрим течение вдоль оси OX.

Массы флюида, втекающая и вытекающая через входное и выходное сечения площадью Дy·1 за время Дt, равны: и . Изменение массы вдоль оси OX составляет:

(1)

Рассмотрим течение вдоль оси OY.

Массы флюида, втекающая и вытекающая через входное и выходное сечения площадью Дx·1 за время Дt, равны: и . Изменение массы вдоль оси OY составляет:

(2)

Сумма слагаемых 1) и 2) определяет изменение массы в объеме Дx· Дy·Дz за время Дt.

Шаг 2. Масса флюида в ячейке в моменты времени t и t +Дt равна соответственно: и (m - пористость). Изменение массы за Дt составляет:

(3)

Шаг 3. Приравниваем сумму уравнений 1) и 2) к уравнению 3:

Устремляем Дx, Дy, Дt к нулю:

.

Это уравнение неразрывности.

Замечания:

1) Данное уравнение справедливо, когда в ячейке нет источников и стоков флюидов; если они есть то:

2) Если жидкость, как вода, несжимаема, т.е. ее плотность постоянна во времени, то:

3) Данное уравнение использовать не только для пористых сред, но и в случае, когда ячейка является порой: (отсутствует пористость).

Физический смысл уравнения неразрывности.

Рассмотрим двухмерную ячейку; жидкость течет вдоль оси OX, остальные грани будем считать закрытыми (непроницаемыми); жидкость несжимаема. Распишем уравнение неразрывности для ячейки.



Рис.2. К вопросу о физическом смысле уравнения неразрывности.

Сколько в ячейку втекает жидкости, столько и вытекает! Справедливо только для несжимаемых жидкостей и в отсутствии источников.

Следствие. Задача о сопле.

Сопло -- это канал переменного или постоянного поперечного сечения круглой, прямоугольной или иной формы, предназначенный для подачи жидкостей или газов с определённой скоростью и в требуемом направлении.

Из уравнения неразрывности следует:;



Зависимость скорости течения от площади сечения:.

Рис.3. Ячейка переменного сечения (сопло).

физический уравнение матричный фильтрация

Рис.4. Зависимость скорости течения от площади сечения.

2. Полная постановка задачи для течения однофазной жидкости в масштабе коллектора; граничные и начальные условия.

Рассмотрим простейший случай однофазной изотермической фильтрации несжимаемой жидкости. Математическая модель такого течения является: а) системой дифференциальных уравнений в частных производных; б) граничные и начальные условия.

- уравнение неразрывности;

- закон Дарси.

Задачи, в которых известны свойства флюидов, геометрические характеристики области фильтрации и ее фильтрационно-емкостные свойства, называют прямыми. Такие задачи решаются в переменных «скорость-давление».

Задачи, в которых известны свойства флюидов, распределение скорости и давления, а также геометрические характеристики области фильтрации, называют обратными. Для таких задач неизвестными считаются фильтрационные свойства области фильтрации.

Мы будем рассматривать только ПРЯМЫЕ задачи.

В представленной математической модели используется закон Дарси. Он применим только для стационарных течений. Поэтому система уравнений не содержит временной параметр t и от времени не зависит. Начальных условий в данной постановке задачи нет!

Для однозначности решения системы ДУ в ЧП необходимы граничные условия. Их разделяют на внешние и внутренние.

Внешние: а) кровля и подошва; б) контур питания (аквайфер):

1) на контуре питания известно давление: ;

2) на контуре питания известен дебит (расход или скорость): ;

3) на кровле и подошве условия непротекания (n - нормаль к поверхности): .

Внутренние: нагнетательные и добывающие скважины (источники и стоки):

1) на скважине известно давление: ;

2) на контуре питания известен дебит (расход или скорость): .

Аналитического решения системы (1) - (4) в общем случае не существует. Для решения системы (1) - (4) необходимо:

1) области фильтрации поставить в соответствие сетку;

2) записать систему уравнений (1) - (4) для каждого узла сетки;

3) для решения системы уравнений использовать численные методы.

Алгоритм и численная схема решения задачи о стационарном течении однофазной жидкости в масштабе коллектора

Этап №1. Создание сетки, нумерация узлов.

Для простоты мы будем рассматривать только двухмерный случай с прямоугольной сеткой. Свойства коллектора и флюидов известны:

геометрические размеры области течения: Lx· Ly;

количество узлов Nx и Ny.

Шаг сетки: hx=Lx/(Nx -1), hy=Ly/(Ny -1).

Рис.5. Расчетная область.

Важно наиболее удобно занумеровать узлы.

Вариант 1:



Рис.6. К вопросу о нумерации узлов (вариант 1).

Вариант 2:

Рис.7. К вопросу о нумерации узлов (вариант 2).

Можно придумать свою систему нумерации, но далее мы будем использовать именно эту.

Этап №2. Расположение переменных на сетке, их ассоциация с узлами.

Давление определяется в центре ячейки или узле, а компоненты скорости в середине ее боковых граней или в полушаге от соседних узлов.

Рис.8. Расположение переменных на сетке, их ассоциация с узлами.

Этап №3. Численная схема решения. Метод конечных разностей.

1) Распишем уравнение 1) из системы для узла (i+1/2, j) и применим метод конечно-разностной аппроксимации производных (производная вперед):

Все компоненты скорости в уравнении (**) ассоциированы с ячейкой

2) Распишем каждую компоненту скорости в уравнении (**) по закону Дарси, снова применив метод конечно-разностной аппроксимации производных (производная вперед):

Назовем данную систему (***).

3) Подставляем (***) в (**):

После приведения подобных слагаемых:

(0)

Это рабочее уравнение для узла сетки (i, j).

Замечания:

1) количество уравнений равно количеству узлов сетки;

2) сумма всех коэффициентов при давлениях равна 0. Это следствие физического смысла уравнения неразрывности - сколько в ячейку втекает, столько и вытекает.

Этап №4. Составление матричного уравнения и его решение.

Итак, мы получили систему из (N_x·N_y) линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (уравнение (0)). СЛАУ решаются точными и итерационными методами. Мы будем решать одним из точных методов - матричным:.

Матрица А равна:



;

Для решения матричного уравнения необходимо:

1) найти обратную матрицу A^-1 ;

2) умножить обе части уравнения на A^-1 слева (!!!), не справа:

Решением данного уравнения будет поле давления.

Этап №5. Граничные условия.

1) Рассмотрим условие, при котором на скважине известно давление P_c. Пусть скважина расположена в узле 5. Значит, справедливо следующее уравнение: P₅ = P_c.

Как отразить это условие в матричном уравнении?



2) Если на скважине известен дебит, то:

6) Этап №6. Нахождение компонент скорости.

Неизвестные компоненты скорости находятся на основе полученного на предыдущем этапе поля давления (система (***)).

Самым трудоемким этапом является составление матрицы А.

Простые правила для проверки:

1) строчка матрицы A соответствует узлу сетки;

2) ненулевые коэффициенты матрицы в данной строке будут расположены в столбцах, номера которых соответствуют узлам, соседствующим с данным узлом сетки (за исключением диагональных соседей); остальные коэффициенты в данной строчке равны нулю;

3) наибольшее по модулю число будет расположено по диагонали матрицы;

4) сумма всех коэффициентов в данной строке (за исключением тех, где есть скважина) равна нулю.

Примеры.

Девятиточечная система заводнения.

Рис.9. Поле давления. Девятиточечная система заводнения.

2. Добывающая скважина (по центру) с контуром питания.

Рис.10. Добывающая скважина (по центру) с контуром питания



3. Добывающая (слева) и нагнетательная (справа) скважины.

Рис.11. Добывающая (слева) и нагнетательная (справа) скважины.

4. Нагнетательные (слева и справа) и добывающие (сверху и снизу) скважины.



Рис.12. Нагнетательные (слева и справа) и добывающие (сверху и снизу) скважины.

Пример решения типовой задачи.

Общая постановка задачи: рассчитать поле скоростей и поле давления для однофазного течения жидкости в двухмерном геологическом пласте с произвольным расположением добывающих и нагнетательных скважин. Внешние границы считаются непроницаемыми.

Решение: рассмотрим простейший случай. Имеется сетка размером 5 на 5 узлов. Для простоты примем kxx= kyy = 1 Да, шаги сетки hx= hy=50 м. Жидкость - вода. Размеры пласта в таком случае равны 200*200 м.

Этап 1. Нумерация сетки. Рекомендуется нумеровать сетку, согласно предложенному в лекции методу. Добывающую скважину расположим в узле 25, нагнетательную в 1. На них будем считать известным давления: 100 и 180 атм, соответственно (1 атм = 105 Па).



Этап 2. Построим матрицу A и правую часть B для решения системы линейных алгебраических уравнений ():

Это уравнение для узла (i, j). Поскольку поле однородно, шаги сетки равны, все коэффициенты при давлениях можно сократить (в остальных случаях сокращать коэффициенты нельзя):

Правила при построении матрицы A и проверка правильности построения:

1) строчка матрицы A соответствует узлу сетки;

2) ненулевые коэффициенты матрицы в данной строке будут расположены в столбцах, номера которых соответствуют узлам, соседствующим с данным узлом сетки (за исключением диагональных соседей); остальные коэффициенты в данной строчке равны нулю;

3) наибольшее по модулю число будет расположено по диагонали матрицы;

4) сумма всех коэффициентов в данной строке (за исключением тех, где есть скважина) равна нулю.

Матрица A для нашей задачи имеет следующий вид (для ее построения рекомендуется использовать MS Excel):

Скважины расположены в 1-ой и 25-ой строчках: по диагонали стоят единицы, остальные элементы в данной строчке равны нулю; сумма чисел в каждой строчке, за исключением тех, где есть скважины, равна нулю; максимальное число расположено на главной диагонали матрицы.

Столбец B (правая часть) уравнения имеет следующий вид. В 1-ой и 25-ой строчке указаны давления на скважинах (граничные условия).



Этап 3. Вычисление обратной матрицы A-1 для решения уравнения (). Для вычисления рекомендуется воспользоваться средствами MS Excel (оператор МОБР).



Этап 4. Решение матричного уравнения : . Умножаем полученную обратную матрицу A-1 на столбец B (умножение слева). Для вычисления рекомендуется воспользоваться средствами MS Excel (оператор МУМНОЖ).

Получено следующее поле давления. Красным выделены скважины.

Этап 5. Вычисление поля скорости фильтрации при помощи закона Дарси для следующей ассоциации переменных с узлом сетки:

Поле компоненты u_x.

Поле компоненты uy.

Обратите внимание, что размерности сеток для компонент скорости равны 4·5 и 5·4, соответственно.

Форма представления результатов. Результаты должны быть представлены в виде:

а) таблиц со значениями давления (1 таблица) и двух компонент скорости фильтрации (2 таблицы), см. этапы 4 и 5;

б) графического представления результатов в редакторе SURFER; для поля давления обязательно построение изобарических линий.

Пример для рассмотренной задачи (на координатных осях отмечены номера):

Поле давления



Поле скорости

Задачи для самостоятельного решения.

Рассчитать поле скоростей и поле давления для однофазного течения воды в двухмерном геологическом пласте с произвольным расположением добывающих и нагнетательных скважин. Внешние границы считаются непроницаемыми.

Обязательные условия при выполнении задачи и рекомендации:

1) размер сетки не менее 50*50 ячеек, шаг - 50 м;

2) общее количество добывающих и нагнетательных скважин не менее 6 штук; значения давления на них произвольные;

3) приветствуется построение неоднородной геологической модели с областями пониженного коэффициента проницаемости вблизи мест бурения скважин; коэффициент абсолютной проницаемости должен составлять не более 1 Да.

Размещено на Allbest.ru

...