Применение общего уравнения динамики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«Уфимский государственный авиационный технический университет»

Кафедра теоретической механики

Расчетно-графическая работа

Применение общего уравнения динамики

Манцуров А.А.

Уфа - 2019



Оглавление

• 1. Колебание материальной точки
• 2. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы
• 3. Применение общего уравнения динамики
• 4. Применение уравнений Лагранжа второго рода к изучению движения механической системы с двумя степенями свободы


1. Колебание материальной точки

Груз Aприкрепленный к горизонтальной пружине совершает горизонтальные колебания под действием возмущающей силы F_B = F₀sinщt.Определить коэффициент cупругости пружины для заданного значения коэффициента динамичности k_Dпри k>щ, где k- круговая частота свободных колебаний без учета сил сопротивления.

Найти уравнение движения груза при заданных начальных условиях и найденном значении коэффициента упругости пружины. Начало отсчета на оси взять на конце недеформированной пружины.

Построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки для значений 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,0; 1,1; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0. колебание материальная точка лагранж

При решении задачи считать, что сила упругости пружины прямо пропорциональна ее деформации, а силами сопротивления движения пренебречь.

Определить зависимость амплитуды вынужденных колебаний от сопротивления движению, считая силу сопротивления пропорциональной величине скорости груза. При заданном значении коэффициента затухания, построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройкиz = для значений 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,0; 1,1; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0.

Дано:

F_B = F₀sinщt

m = 7кг;

F₀= 140H;

щ = 40c^-1;

x₀ = 0,2;

Определим коэффициент упругости пружины.

При отсутствии сил сопротивления коэффициент динамичности вычисляется по формуле

k_D = ;

k² = = = 3600c^-2;

Квадрат круговой частоты свободных колебаний без учета сил сопротивления равен:

k²= ;

Следовательно:

C = k²m = 36007= 25200H/м;

Амплитуда вынужденных колебаний:

B = л_стk_D= 0,00551,8 = 0,01 м;

Деформация пружины при статическом действии силы:

л_ст= = = 0,0055м

Составляем дифференциальное уравнение движения груза:

mx = Fв-Fупр;

mx = F₀sinщt - cx



В канонической форме:

X + k²x = hsinщt

h = = = 20м/с²

Это дифференциальное уравнение необходимо решать при начальных условиях:

X(0) = x₀ = 0,2

x(0) = V₀ = 0м/с;

Общее решение уравнения является суммой двух функций:

x = x₁ + x₂

где x₁ - общее решение однородного уравнения, а x₂- частное решение неоднородного уравнения.

Однородное уравнение имеет решение:

X₁ = C₁coskt + C₂sinkt

C₁C₂ - постоянные интегрирования

Частное решение неоднородного уравнения:

x₂ = sin(щt) = Bsin(щt)

Таким образом:

X = C₁coskt + C₂sinkt + Bsinщt

Постоянные интегрирования находим из начальных условий:

При t=0 X=X₀ = C₁ 1 + C₂0 + 0,01080 = 0,2

C₁ = 0,2м.

Определяем производную по времени от функции:

X = -kC₁sinkt + kC₂coskt+ Bcosщt

Тогда из второго начального условия:

При t=0 X(0) = -kC₁ + kC₂1 + B

C₂ = (0,2-0,4)/60 = -0,0067м

Уравнение колебательного движения груза окончательно примет вид:

X(t) = 0,2cos60t-0,0067sin60t+0,01sin40t, м

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки:

B =

Z	0	0,25	0,5	0,75	0,9	1,0	1,1	1,25	1,5	1,75	2,0
B 102	0,55	0,59	0,73	1,26	2,9	?	2,62	0,98	0,44	0,27	0,18

Величина амплитуды вынужденных колебаний находится по формуле:

B = ;

b- относительныкоэффициент затухания

b = = = 0,23

Z	0	0,25	0,5	0,75	0,9	1,0	1,1	1,25	1,5	1,75	2,0
B 102	0,55	0,58	0,7	0,87	1	1,01	0,98	0,68	0,38	0,25	0,17



По данным таблиц строим кривую, которая дает представление о влиянии сопротивления на амплитуду вынужденных колебаний груза:

Ответ: C = 0,2cos60t-0,0067sin60t+0,01sin40t, м

2. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

Дано

S_A = 2 м

m_A = 250 кг

m_B = 90 кг;

m_D = 30 кг;

M = 20Hм;

F = 150 H

с_B = 0,3см;

R_B = 0,8 м;

r_B = 0,5 м;

r_D = 0,2 м;

б= 30^o;

в = 60⁰;

k = 0,05R_B;

ѓ = 0,1.

Найти: v_A, a_A

Применим теорему об изменении кинетической энергии:

T - T₀ = Aⁱ + A^e

- угол поворота колеса В.

S_cи S - это перемещения центра масс тел А и В.

М_т.р.к - направлен против качения колеса.

- угловые скорости тел В и D.

T- кинетическая энергия всей механической системы в момент времени.

T₀- начальная кинетическая энергия

Т.к

Aⁱ и A^e- суммарные работы внутренних и внешних сил, приложенных к системе, при ее переходе из первого положения во второе.

Аⁱ = 0, т.к. тела твердые, а тросы нерастяжимые.

ТогдаT = A^e

Вычислим кинетическую энергию системы:

T = T_A + T_D + T_B

Груз A движется поступательно со скоростью V_A, поэтому:

T_A =



Диск В совершает плоскопараллельное движение:

Т_В =

Шкив Dвращается с угловой скоростьющ_D:

T_D =

Вычислим моменты инерции:

J_O1 =

Вычислим силу трения:

F_тр.А =

Вычислим М_тр.к:

Кинематические связи:

_D=



Подставим полученные выражения и получим:

Вычислим работу внешних сил:

, т.к. точка О₁ неподвижна.

Подставляя значения М_тр.к, F_тр.А,S_c, получим:

Т.к.

Выразим скорость и ускорение из этого равенства:



Уравнение представим в виде:

Определяем ускорение:

Т.к.

Возьмём производную по времени от левой и правой части:

Ответ:

3. Применение общего уравнения динамики

Дано

S_A = 2 м

m_A = 250 кг

m_B = 90 кг;

m_D = 30 кг;

M = 20 Hм;

F = 150 H

с_B = 0,3 см;

R_B = 0,8 м;

r_B = 0,5 м;

r_D = 0,2 м;

б= 30^o;

в = 60⁰;

k = 0,05R_B;

ѓ = 0,1.

Найти: v_A, a_A

Общее уравнение динамики:

Сумма работ активных сил:

Выразим возможные перемещения через :

С учётом подстановок:

Сумма работ сил инерции:

Силы инерции:

Главные моменты сил инерции:

С учётом всех подстановок:

Ускорение груза:

Определим определим натяжение в тросах:

Принцип Даланбера:

Делим на

Ответ:

4. Применение уравнений Лагранжа второго рода к изучению движения механической системы с двумя степенями свободы

Дано:

m₁= 24 кг;

m₂=4 кг;

M= ;

;

А= 4 м.

Данная механическая система имеет две степени свободы, в качестве обобщённых координат назначим угол поворота стержня и путь точки М относительно стержня.

Составим уравнение Лагранжа 2-го рода.

Вычислим кинетическую энергию.

T_M - кинетическая энергия материальной точки.

T_С- кинетическая энергия стержня.

Вычислим обобщенные силы.

Первое возможное перемещение:

Второе возможное перемещение:

Вычислим частные производные по обобщённым скоростям от Т:

Вычислим производные по времени от частных производных:

Вычислим частные производные по обобщенным координатам и :

Составим уравнения Лагранжа:



Список литературы

1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. В двух томах-СПб.: Издательство “Лань”, 2000-736 с.

2. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.1-М.: Наука, 1990- 672 с.

3. Дронг В.И., Дубинин В.В., Ильин М.М., Колесников К.С., Космодемьянский В.А., Назаренко Б.П., Панкратов А.А., Русанов П.Г., Саратов Ю.С., Степанчук Ю.М., Тушева Г.М., Шкапов П.М.; под редакцией Колесникова К.С. Курс теоретической механики: учебник для вузов- М.: Издательство МГТУ имени Баумана Н.Э., 2000- 736 с. (Серия “Механика в теоретическом университете”: Т.1).

4. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике- Санкт- Петербург - Краснодар-Москва: Издательство “Лань”,2004- 448 с.

5. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Учебник для технических вузов- Санкт- Петербург - Краснодар-Москва: Издательство “Лань”,2004- 768 с.

6. Яблонский А.А., Норейко С.С., Вольфсон С.А., Карпова Н.В., Квасников Б.Н., Минкин Ю.Г., Никитина Н.И., Павлов В.Е., Тепанков Ю.М., Аким-Перетц Д.Д., Доев В.С., Доронин Ф.А., КрасносельскийК.Ю.; под редакцией Яблонского А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Учебное пособие для технических вузов- М.: Интеграл- Пресс, 2000- 384 с.

Размещено на Allbest.ru

...