Размещено на http: //www. allbest. ru/

Министерство образования и науки России

ФГБОУ ВО ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра теоретической механики

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО РАЗДЕЛУ "Динамика"

«Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы»

Тула 2019

Оглавление

Аннотация

1. Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы

2. Определение закона движения системы

3. Определение реакций внешних и внутренних связей

4. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа

5. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода

Выводы

Литература

Аннотация

Исследуется движение механической системы с одной степенью свободы при наличии упругой связи, сил сопротивления и возмущающей гармонической силы

.

Силы сопротивления моделируются парой сил

,

пропорциональной угловой скорости тела, и силой

,

пропорциональной скорости точки ее приложения. Упругую связь моделируем силой

,

подчиняющейся линейному закону упругости Гука. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Кулоновским трением качения и скольжения пренебрегаем. С помощью основных теорем динамики системы и аналитических методов теоретической механики определен закон движения первого тела, а также реакции внешних и внутренних связей. Схема механизма и данные для выполнения задания



Рис. 1 Схема механизма и исходные данные

ДАНО: m1 = 2 кг m2 = 1 кг m3 = 4 кг m4 = 5 кг

m = 0,5 кг/с = 1,0 Н м с c = 3500 Н/м F0 = 20 Н

p = 3/2 рад/с s0 = 0,08 м v0 = 0,02 м/с fсц=0,25

= 30o

r2 = 0,075 м i2 = 0,075 м

масса цилиндра распределена по ободу радиуса «rk»

r3 = 0,1 м R3 = 0,2 м i3 = 0,1 м

однородный сплошной цилиндр радиуса «rk»

r4 = 0,05 м R4 = 0,075 м i4 = 0,075 м

однородный сплошной цилиндр радиуса «Rk»

1. Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы

Изобразим расчетную схему (рис. 2)

Рис. 2 Расчетная схема

механика лагранж движение динамика

На рис. 2 обозначено:

- силы тяжести,

- нормальная реакция опорной плоскости,

- сила натяжения нити,

- упругая реакция пружины,

- сила сцепления катка с опорной плоскостью,

- реакции подшипника блока 3,

- сила вязкого сопротивления,

- момент вязкого сопротивления,

- возмущающая сила.

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы. Будем определять положение системы с помощью координаты S. Начало отсчета координат совместим с положением статического равновесия груза 1.

Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в форме:

(1.1)

где обозначено:

Т - кинетическая энергия системы,

- сумма мощностей внешних сил,

- сумма мощностей внутренних сил.

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел, образующих механическую систему.

Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:

(1.2)

Блок 2 и каток 4 совершают плоскопараллельное движение, поэтому

(1.3)

где или , или

- моменты инерции блока 2 и катка 4 соответственно.

Блок 3 совершает вращательное движение около неподвижной оси. Его кинетическая энергия определяется по формуле:

, (1.4)

где или - момент инерции блока 3.

Кинетическая энергия всего механизма будет равна:

(1.5)

Так как система имеет одну степень свободы и в качестве координаты, определяющей ее положение, ранее принято перемещение груза 1, то кинематические характеристики всех тел механизма легко выражаются через кинематические параметры груза 1 соотношениями:

(1.6)

Подставляя (1.2), (1.3), (1.4) в (1.5) с учетом (1.6), окончательно получаем:

, (1.7)

где (1.8)

называется приведенной массой.

Теперь вычислим правую часть уравнения (1.1) - сумму мощностей внешних и внутренних сил.

Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки приложения силы, а мощность момента силы - алгебраическому произведению момента силы на угловую скорость вращения тела, к которому приложен момент:

Знак "+" берется в том случае, если направления момента и угловой скорости одинаковы, а знак "-" если их направления противоположны.

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, не деформируемы и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому мощности внутренних сил будут равняться нулю .

Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы .

Сумма мощностей остальных сил равна:



Или

С учетом кинематических соотношений (1.6) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:

(1.9)

где (1.10)

называется приведенной силой.

Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. Полное удлинение пружины равно сумме статического и динамического удлинений

.

Тогда упругая сила будет равна:

.

Сила вязкого сопротивления

,

момент вязкого сопротивления

.

Тогда приведенная сила (1.10) в развернутой форме будет определяться выражением:

(1.11)

В состоянии покоя и условием равновесия системы будет служить уравнение

. (1.12)

Из уравнения (1.12) определяется статическое удлинение пружины

. (1.13)

Таким образом, окончательное выражение для приведенной силы (1.11) будет иметь вид:

. (1.14)

Подставим выражения для кинетической энергии (1.7) и сумму мощностей всех сил (1.9)с учетом (1.14) в уравнение (1.1). Тогда, после дифференцирования, получаем дифференциальное уравнение движения системы: где введены следующие обозначения

,

- приведенная жесткость пружины,

- приведенный коэффициент сопротивления.

Общепринято такие уравнения представлять в виде:

, (1.15)

где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл:

- частота собственных колебаний,

- показатель степени затухания колебаний.

Начальные условия:

при . (1.16)

Уравнения (1.15), (1.16) представляют математическую модель для решения второй задачи динамики.

2. Определение закона движения системы

Возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:

где - амплитуда возмущающей силы, - циклическая частота возмущения. Дифференциальное уравнение движения механической системы (1.15) с учетом выражения для возмущающей силы примет вид:

(2.1)

где .

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (2.1) складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (2.1), имеет вид:

. (2.2)

Решение этого уравнения ищем в виде функции

, (2.3)

где и - неопределенные постоянные величины.

Подставляя (2.3) в (2.2), получим:

.

Так как мы ищем нетривиальное решение, то . Следовательно, должно выполняться условие

. (2.4)

Уравнение (2.4) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (2.2). Это уравнение имеет два корня:

, (2.5)

где .

В этом случае () общее решение уравнения (2.2) имеет вид:

.

Данное выражение нетрудно представить в виде

, (2.6)

где , - постоянные интегрирования.

Определим частное решение неоднородного дифференциального уравнения (2.1). Частное решение ищем в виде правой части

, (2.7)

где .

Подставляя (2.7) в (2.1), после несложных преобразований получим

.

Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных и :

.

Решая эту систему алгебраических уравнений, получаем выражения для коэффициентов , и , :

; ;

.

Таким образом, решение (2.7) найдено. Складывая (2.7) и (2.6), получаем общее решение неоднородного уравнения (2.1)

. (2.8)

Константы и определяются из начальных условий (1.16). Для этогонайдем производную по времени от (2.8)

. (2.9)

Подчинив (2.11) и (2.12) начальным условиям, получим систему уравнений относительно искомых констант

Решая эту систему, получаем:

 (2.10)

И, подставляя (2.10) в (2.8), получаем закон движения механизма, выраженный через перемещение груза.

.

3. Определение реакций внешних и внутренних связей

Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и изображаем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис.3).

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Рис. 3 Расчетные схемы для каждого тела механизма

К каждому телу, изображенному на расчетной схеме (рис. 3), применяем две из основных теорем механики материальной системы: теорему об изменении количества движения и теорему об изменении кинетического момента

(3.1)

(3.2)

Для каждого тела уравнения (3.1) и (З.2) записываем в проекциях на оси координат соответственно схемам рис. 3:

Тело 1: (3.3)

тело 2: (3.4)

тело 3: (3.5)

тело 4: (3.6)

С учетом кинематических соотношений (1.6) систему уравнений (3.3) - (3.5) преобразуем к виду:

,

,

,

, , ,

,

,

. (3.7)

Уравнения (3.7) составляют систему алгебраических уравнений относительно функций , , , , , , , , .

4. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа

Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа

. (4.1)

Здесь

- сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы;

Рис. 4 Расчетная схема

- сумма элементарных работ всех сил инерции на возможном перемещении системы.

Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис. 4).

Сообщим системе возможное перемещение.

Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:

. (4.2)

Сумма элементарных работ указанных сил вычисляется, как и мощность по формуле (1.9)

. (4.3)

Найдем возможную работу сил инерции:

. (4.4)

Для величин главных векторов и главных моментов сил инерции имеем следующие выражения:

, ,

, ,

, . (4.5)

Используя кинематические соотношения (1.6), можно записать

(4.6)

Тогда возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду

, (4.7)

Или

, (4.8)

где .

Аналогичное выражение для приведенной массы системы было получено ранее (1.8). Подставляя выражения (4.3) и (4.8) в общее уравнение динамики (4.1) получим

. (4.9)

Разделив (4.9) на , получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:

, (4.10)

где

,

, .

Дифференциальное уравнение (4.10) полностью совпадает с уравнением (1.15) полученным ранее.

5. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода

Составим теперь уравнение Лагранжа 2-го рода. В качестве обобщенной координаты примем перемещение груза 1 - . Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид:

, (5.1)

где - кинетическая энергия системы; - обобщенная сила; - обобщенная координата.

Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее (1.7):

, . (5.2)

Для определения обобщенной силы сообщим системе возможное перемещение, при котором координата получит приращение , и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении.

Такая сумма работ ранее вычислялась (4.3):

.

В тоже время известно, что

. (5.3)

Из (5.3) получаем выражение для обобщенной силы:

. (5.4)

Подставляя кинетическую энергию (5.2) и обобщенную силу (5.4) в уравнение Лагранжа получаем

,

или , (5.5)

где , , .

Дифференциальное уравнение (5.5) полностью совпадает с уравнением (1.15), полученным ранее.

Выводы

При выполнении данной курсовой работы мы приобрели навыки исследования и анализа динамического поведения механической системы с упругими связями, формулировки задач, а также построения расчетной схемы и математической модели. Используя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, мы определили закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей. То, что при использовании различных теорем мы получили одинаковые законы движения, свидетельствует о правильности полученных результатов.

Таким образом, в результате решения дифференциального уравнения движения системы (1.15) при начальных условиях (1.16) определены: закон движения груза 1 - , его скорость и ускорение как функции времени t:

,

,

,

а также реакции внешних и внутренних связей

, ,.

, , , ,

,,

Литература

1. Учебное пособие для студентов машиностроительных, строительных и приборостроительных направлений подготовки всех форм обучения «Динамика механической системы с упругой связью и вязким трением». В.Д. Бертяев, О.А. Ткач. - 7-е изд., перераб. и доп. - Тула: изд-во ТулГУ, 2018. - 208с.

2. Бертяев В.Д. Краткий курс теоретической механики: учебник для вузов / В. Д. Бертяев [и др.] - Ростов-на-Дону: Феникс, 2010.- 200 с.

3. Бертяев В.Д. Теоретическая механика. Курсовые работы с использованием Mathcad: учеб. пособие для вузов / В.Д. Бертяев [и др.] - М.: АСВ, 2010. - 320с.

4. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: учебник для втузов / С. М. Тарг. - 15-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2005. - 416с.

5. Яблонский А.А. Курс теоретической механики: Статика. Кинематика. Динамика: учеб. пособие для вузов / А.А. Яблонский, В.М. Никифорова. - 13-е изд., испр. - М.: Интеграл-Пресс, 2006. - 608с.

Размещено на Allbest.ru

...