Уровни Ландау в трехмерных топологических изоляторах с искаженным поверхностным состоянием

Размещено на http://www.allbest.ru/

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»

Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Выпускная квалификационная работа

Уровни Ландау в трёхмерных топологических изоляторах с искажённым поверхностным состоянием

Голубев Константин Андреевич

Москва 2020



Аннотация

В данной дипломной работе изучается влияние эффекта искажений (варпинга) на спектр и уровни Ландау электронов топологического изолятора. Для этой цели изучается и моделируется спектр топологического изолятора сначала без влияния варпинга, а затем с влиянием искажений. Изучаются уровни Ландау в случае классического металла, затем в случае топологического изолятора без варпинга, а затем с эффектом варпинга. На основе полученных математических моделей рассчитываются и строятся графики зависимостей энергии уровней Ландау от номера уровня, а затем от силы магнитного поля при различных значениях варпинга. Проводится анализ полученных результатов.

In this thesis, we study the effect of warping on ??the spectrum and Landau levels of electrons in a topological insulator. For this purpose, the spectrum of a topological insulator is studied and modeled first without the influence of warping, and then with the influence of distortions. Landau levels are studied in the case of classical metal, then in the case of a topological insulator without warping, and then with the effect of warping. Based on the obtained mathematical models, the dependences of the energy of the Landau levels on the level number, and then on the strength of the magnetic field at various warping values ??are calculated and plotted. The analysis of the results is carried out.



Оглавление

Введение

1. Основной проблемой физической реализации квантового компьютера

2. Топологический изолятор

2.1 Инверсия зонной структуры из-за сильного спин-орбитального взаимодействия

2.2 Топология в математике

2.3 Топология в физике

3. Материалы топологического изолятора:

4. Математическое моделирование топологических изоляторов

4.1 Гамильтониан для низкоэнергетических поверхностных состояний

4.2 Спектр топологического изолятора

4.3 Уровни Ландау

5. Актуальность

Выводы

Список литературы



Введение

Стремительное развитие электроники и электронных устройств во второй половине ХХ века было обусловлено исследованиями в физике твердого тела - многочисленные открытия полупроводниковых свойств веществ позволили создать транзисторы, которые стали первым этапом в продолжающейся миниатюризации вычислительной техники. В 1965 году, через несколько лет того, как была изобретена первая интегральная схема, один из основателей компании Intel Гордон Мур предсказал, что мощность вычислительных электронных устройств будет удваиваться каждый 18 месяцев. Дальнейшее наблюдение подтвердило эту гипотезу. Под вычислительной мощностью в данном случае подразумевается количество операций, которое может произвести устройство, то есть количество транзисторов на плате (рисунок 1).

Рисунок 1. График количества транзисторов выпущенных транзисторов [1]

Однако такое стремительной развитие не могло длиться вечно. Было предсказано, что рано или поздно производители интеграционных схем столкнуться с проблемой избыточного тепловыделения (рисунок 2), а также преобладание квантовых свойств с уменьшением размера плат.

Рисунок 2. Зависимость энергетической плотности от технологии. [2]

Если с перегревом еще можно что-либо сделать при помощи чисто технологических решений, то с квантовыми эффектами, которые активно проявляются уже в нанометровом диапазоне, что-либо сделать сложно. Поэтому уже с начала 90х годов ХХ века стали выдвигаться гипотезы, как можно обойти данные ограничения, которые являются плохо решаемыми в классической электронике. Стало понятно, что для того, чтобы решить данную проблему, придется найти совершенно новый подход. Самым реалистичным и физически обоснованным вариантом стало предложение о создании гипотетических квантовых вычислительных устройств, которые бы вместо классических битов использовали кубиты - квантовое представление битов, которое также имеет два итоговых состояния - 0 и 1, однако при этом может находится в суперпозиции обоих состояний. Этот вариант предполагает, что, в отличие от классических компьютерных вычислений, операции производятся на унитарном множестве состояний (квантовый набор определенных базисов), а не на конечных множествах, которые характеризуются логическими значениями напряжений.

Первые научные работы по квантовым компьютерам стали появляться уже 1980-е, когда физик Пол Бениоф предложил первый квантовый вариант реализации машины Тьюринга. В 1994 году Петер Шор изобрел квантовый алгоритм факторизации целых чисел, который имел потенциал для расшифровки RSA-шифрованной информации. Несмотря на теоретический интерес к данной теме, каких-либо практических результатов достичь было затруднительно из-за технологических ограничений. Однако за последние несколько лет интерес опять вырос к этой теме, и множество компаний (Google, IBM, Росатом) стали вкладывать большие ресурсы в данную отрасль. Были представлены первые прототипы квантовых компьютеров, разработан специальный язык программирования, заточенный под квантовые алгоритмы (Q-sharp). Последней большой новостью в данном поле было заявление Google AI совместно с НАСА о том, что они смогли достичь квантового превосходства, то есть смогли найти и решить задачу с помощью квантового компьютера, которую не смог бы решить ни один классический компьютер за приемлемое время.



1. Основной проблемой физической реализации квантового компьютера

Основной проблемой физической реализации квантового компьютера является сложность поддержания кубитов в когерентном состоянии, так как, будучи квантовой системой, они очень сильно уязвимы к помехам и шумам (в частности, к квантовым шумам). Для решения проблемы декогерентности квантовой системы было предложено множество вариантов, один из которых заключается в использовании фермионов Майораны - частиц, являющихся своими собственным античастицами. Из-за этой особенности они всегда появляются парами.

Обладая спином, и при этом являясь намного более устойчивым к внешним шумам (так как квантовые шумы локальные, а для того, что сбить состояние фермионов Майораны необходимо подействовать на обе частицы одновременно, что в обычной ситуации практически невозможно), они представляются идеальными кандидатами для кодирования квантовой информации. Основной проблемой данного решения является то, что получить и обнаружить фермионы Майораны довольно сложно, так как в естественной среде их найти нельзя. Однако в физике конденсированного состояния это не является проблемой, так как любую частицу мы можем “сконструировать”. Для получения частицы Майораны нам необходим сверхпроводник, топологический изолятор и внешнее магнитное поле. В такой конфигурации мы можем получить желаемую частицу.

Самой необычной составляющей тут является топологический изолятор - относительно недавно открытый вид материала, который характеризуется поверхностной проводимостью, при этом являясь изолятором в объеме (это не все его уникальные свойства). Особенности данного материала кроются в его необычных топологических свойствах. В данной работе упор сделан на исследование необычных свойств топологических изоляторов, а также влияние данных свойств на уже изученные явления физике, как-то - влияние варпинга топологического изолятора на уровни Ландау.



2. Топологический изолятор

Простейшее объяснение топологического изолятора - это материал, который ведет себя как изолятор внутри, но при этом имеет проводящие состояния на поверхности. Данная формулировка представляет лишь качественное объяснение. Для того, чтобы объяснить физический механизм этого явления, необходимо погрузиться глубже.

Если начать с обратного конца, простейший классический изолятор представляет собой атом, где электроны связаны в замкнутых оболочках и не могут перемещаться. Рассматривая изолятор с точки зрения зонной теории, можно сказать, что это зонная структура, у которой полностью занятая валентная зона и полностью свободная зона проводимости отделены друг от друга энергетической щелью. В классическом изоляторе не существует свободных состояний в энергетической щели. Этот момент отличается в случае топологического изолятора, у которого имеются топологически защищенные поверхностные состояния в энергетической щели, что гарантируется наличием сильного спин-орбитального взаимодействия между тяжелыми атомами вместе с симметрией по обратному обращению времени (Т-симметрией). Если рассматривать это ключевое отличие еще глубже, то можно сказать, что топологический изолятор характеризуется наличием определённого топологического инварианта, истоки которого можно проследить в математике и который будет рассмотрен позднее. Сначала мы рассмотрим, что, собственно, создает поверхностные состояния в топологическом изоляторе.

2.1 Инверсия зонной структуры из-за сильного спин-орбитального взаимодействия

Составы, содержащие в себе атомы тяжелых элементов в общем случае подвержены более сильному спин-орбитальному взаимодействию, чем те, которые не содержат. Спин-орбитальный эффект появляется при переходе от системы покоя атомного ядра к системе покоя электрона. Заряженное ядро, вращающееся вокруг электрона, можно рассматривать как ток в круговой проволоке, и этот ток будет индуцировать магнитное поле. Такое магнитное поле представляется следующим выражением:

,

где представляет собой фактор Лоренца и

,

где V - это потенциал атомного ядра в материале. Если записать импульс как

,

где спин-орбитальное поле есть:

,

Спин-орбитальный гамильтониан:

,

при условии, что мы имеем следующее:



,

Возникающий эффект Рашбы обусловлен нарушением инверсионной симметрии на поверхности материала, где ограничивающий потенциал перпендикулярен поверхности,

,

Результирующий гамильтониан получается таким:

,

Вместе с потенциалом из (7) спин-орбитальное поле представлено на рисунке 3.

Рисунок 3. Изображение направлений векторных полей и их связь с движением электрона, находящегося на поверхности топологического изолятора [13]

Если спин-орбитальное взаимодействие в материале достаточно сильное, то это может привести к смещению, и в конечном счете, пересечению атомных орбиталей. Например, в топологическом изоляторе, созданном на основе , пересекающимися орбиталями являются и . Они пересекаются, когда появляется спин-орбитальное взаимодействие таким образом, что после пересечения орбиталь , имеет более высокую энергию чем -. Здесь ± означает парность орбиталей в точке Г. Это явление проиллюстрировано на рисунке 4: (I) Сначала орбитали висмута гибридизируются с орбиталями селенида, что в свою очередь разрушает вырождение орбиталей. Затем (II) формируются связные и антисвязные состояния из-за симметрии по обратному обращению времени, после чего (III) из-за кристаллического поля разрушается ротационная симметрия, что приводит к дальнейшему расхождению орбиталей. В конце концов (IV) спин-орбитальное взаимодействие разрушает спиновое вырождение, что порождает отрицательную энергетическую щель. Этот механизм инверсии ведет к пересечению энергетических зон, что в свою очередь является истоком топологической защищенности краевых состояний в двумерном случае и поверхностных состояний в случае трехмерного топологического изолятора.

Рисунок 4. Происхождение зонной структуры [4].

В отличие от других квантовых состояний, которые характеризуются спонтанными нарушениями симметрии, например спонтанное нарушение трансляционной симметрии в кристаллах, инверсия зонной структуры не характеризуется каким-либо спонтанным нарушением симметрии. Вместо этого, данное явление характеризуемся топологическим фазовым переход - основополагающая симметрия решетки остается такой же до и после перехода, однако изменяется основное состояние топологического изолятора.

2.2 Топология в математике

Чтобы лучше понять, что такое топологический инвариант, который является определяющим свойством данных материалов, стоит немного посмотреть на математические основы топологии. В математике - топология изучает свойства пространства, которые не меняются при непрерывных деформациях. Таким образом, топология изучает объекты по общим для целого класса объектов свойствам. Для примера обычно приводят два объекта, которые, будучи принадлежащими к одному топологическому роду, выглядят с точки зрения простого наблюдателя довольно разными объектами. В данном случае, можно рассмотреть кружку и тор: эти два объекта принадлежат к одному и тому же топологическому классу, так как один объект можно превратить в другой путем гладких деформаций. Данный процесс представлен на рисунке 5.

Рисунок 5. Преобразование кружки в тор

Чисто качественно понять принадлежность объекта топологическому классу можно по количеству отверстий в нем: так как только объекты с одинаковым количеством отверстий можно привести посредством деформаций к одному и тому же виду. Математически это можно вычислить по теореме Гаусса-Бонне, которая постулирует, что интеграл от гауссовой кривизны по замкнутой поверхности произвольной фигуры представляет собой инвариант, не меняющийся при гладких деформациях и выражающийся следующим образом:

,

где K - гауссова кривизна, G - род фигуры. Теперь, поняв, что есть топологический инвариант в математике, можно продемонстрировать какая аналог есть у этой теоремы в физике конденсированного состояния.

2.3 Топология в физике

В 1982 физик-теоретик Д.Д. Таулесс написал статью, в которой предложил объяснение физическим свойствам квантового эффекта Холла. Его концепция сводилась к тому, что природу особого состояние электронного газа можно объяснить тем, что их состояние принадлежит к определенному типу (“роду”), который и отличает его от обычных материалов. Был предложен способ как можно посчитать данное фазовое состояние:

Соединение Берри:

Кривизна Берри:

TKNN инвариант:

Аналогично случаю математического инварианта, TKNN-инвариант рассчитывается через интегрирование кривизны Берии (или соединения) по поверхности Бриллюэна, которая свертывается в тор (рисунок 6). Таким образом, можно получить численное значение состояния фазы электронного газа. изолятор гамильтониан низкоэнергетический металл



Рисунок 6. Представление зоны Бриллюэна с топологической точки зрения [5]

На поверхности зоны Бриллюэна топологического изолятора находятся четыре инвариантных по обратному обращению времени точки (TRIM) . По теореме Крамера, которая постулирует, что все собственные значения Гамильтонина по обратному обращению времени как минимум двукратно вырождены, поверхностные состояния топологического изолятора дважды вырождены в этих TRIM точках, перечисленных ранее. Из-за похожести данной конической зонной структуры в TRIM точках на конус Дирака в релятивистских системах, эти точки пересечения называются точками Дирака. Тот факт, что точка Дирака находятся на TRIM точке, гарантирует устойчивость Дираковского конусовидного спектра к слабым пертурбациям. Упрощенный зонный спектр представлен на рисунке 7, также как и модель трехмерного топологического изолятора с двунаправленным движением поверхностных электронов, что является следствием его спин-поляризованности и спин-орбитальной свзяности.

В щели между валентной зоной и зоной проводимости топологического изолятора находятся защищенные поверхностные состояния. В данном случае топологическая защищенность означает, что электронные зоны этих поверхностных состояний не могут быть разделены, то есть не может образоваться поверхностных энергетических щелей из-за плавных пертурбаций, например из-за внешнего электрического поля.



Рисунок 7. а) Схематичное изображение зонной структуры ТИ б) Двунаправленный поверхностный ток [6]

Стоит иметь в виду, что симметрия по обратному обращению времени не должна быть нарушена, например из-за магнитного поля или магнитных примесей. В качестве примера топологической устойчивости материала можно привести в пример подавления обратного рассеивания Дираковских поверхностных электронов на поверхности топологического изолятора на немагнитных примесях. Данный эффект происходит из-за того, что обратное рассеивание по своей сути означает, что импульс электрона переворачивается на , что в свою очередь требует, чтобы спин электрона также поменялся на . Однако для того, чтобы спин поменялся, нужно нарушить симметрию по обратному обращению времени, что немагнитные примеси сделать не могут.

Если рассматривать материал с точки зрения топологии, то все изоляторы могут быть разделены на четыре топологических инварианта .

Этот инвариант, как и в математической топологи, не может быть изменен под воздействием слабых пертурбаций, то есть из-за неупорядоченности, геометрических деформаций, межэлектронных взаимодействий и других помех. Существует два класса топологических изоляторов: слабые топологические изоляторы и сильные топологические изоляторы. Как показано на рисунке 8, Ферми поверхность слабого ТИ окружает четное число точек Дирака (ноль). Этой конфигурации отвечает топологический инвариант . Для сильного топологического изолятора Ферми поверхность в зоне Бриллюэна окружает нечетное число точек Дирака (в данном случае одна точка на рисунке 8)

Рисунок 8. Точки Дирака в спектре топологического изолятора. [7]

В данной работе преимущественно рассматриваются сильные топологические изоляторы с .



3. Материалы топологического изолятора:

Селенид висмута и теллурид висмута представляют собой полупроводники, обладающие топологически защищенными поверхностными состояниями, что и делает из них топологические изоляторы. Кристаллическая структура , представлена на рисунке 9, является ромбоэдрической с пятикратными слоями, ориентированными перпендикулярно тригональной оси с, демонстрирует тройную симметрию вращения. Ковалентная связь внутри каждого слоя намного сильнее чем силы Ван-дер-Вальса, связывающие соседние слои.

Рисунок 9. Кристаллическая структура [8].

Что делает эти соединения особенными, так это то, что поверхностная зона Бриллюэна содержит только единичный конус Дирака, тем самым значительно облегчая его изучение. Также к их преимуществам можно отнести большое значение энергии ширины запрещенной зоны, разделяющей валентную зону и зону проводимости. Можно добавить, что данные материалы давно зарекомендовали себя в качестве основы для создания топологических изоляторов, и нам досконально известны многие их квантовые свойства.



4. Математическое моделирование топологических изоляторов

Во время исследования топологических изоляторов всегда нужно помнить, что существует разделение между высокоэнергетической конфигурацией и низкоэнергетической. В первом случае для корректных расчётов требуется включать члены высокого порядка. Также стоит сказать, что электроны, проходящие через точку Дирака, называются Дираковскими электронами и подчиняются уравнению Дирака. Электроны с более высокими энергиями приобретают нелинейную дисперсионную зависимость и будут называться электронами топологического изолятора.

4.1 Гамильтониан для низкоэнергетических поверхностных состояний

Как было выяснено [4], построение модели гамильтониан можно осуществить исходя из принципов симметрии или из k p метода. Поверхностные состояния Дираковских электронов хорошо описываются гамильтонианом Рашбы

,

где это импульс Дираковского электрона со скоростью Ферми представляет собой матрицы Паули, определяемые как

,

Из уравнения (4.1) можно напрямую увидеть эффект спин-орбитального взаимодействия, что приводит к спин-импульсной “блокировке” (то есть спин поверхностного электрона имеет определенный фиксированный угол по отношению к импульсу).

Гамильтониан из уравнения (4.1) можно переписать как:

,

Через матрицы Паули данный гамильтониан можно представить в следующем виде:

,

и используя лестничный оператор для импульса получаем

,

Диагонализируя гамильтониан Рашбы можно получить собственные значение в низкоэнергетическом пределе:

,

где энергия точки Дирака представляется членом . В случае топологического изолятора, играет роль химического потенциала. Как видно из уравнения (4.6) существует два значения для энергии, которую может иметь Дираковский электрон: состояние с положительной спиральностью и состояние с отрицательной спиральностью .

Пока что рассматривалась простейшая аппроксимация энергетического спектра топологического изолятора. В реальных топологических изоляторах в энергетическом спектре могут присутствовать искажение - варпинг. Эффект варпинга вносит анизотропный эффект в зонную структуру топологического изолятора. Его сила будет измеряться коэффициентом . Данный эффект крайне выражен в топологических изоляторах из сплава , где он принимает вид искажений в импульсном пространстве в виде “снежинки” (представлено на рисунке 10).

Эффект варпинга можно ввести, используя следующий гамильтониан:

,

Итоговый гамильтониан для поверхностных проводящих состояний трехмерного топологического изолятора имеет вид:

,

Рисунок 10. Эффект гексагонального искажения на поверхности , полученный при разных срезах энергии от Из [9]

где гамильтониан Рашбы из (4.3). Таким образом, если расписать, то полный гамильтониан выглядит так:



,

где обозначает единичную матрицу. Так как , то гамильтониан можно переписать как

,

4.2 Спектр топологического изолятора

Из гамильтониана (4.9) можно получить уравнение для построения энергетического спектра топологического изолятора [10]:

,

или

,

, где положительная или отрицательная энергия

скорость Ферми

импульс электрона

коэффициент варпинга

полярный угол импульса к оси х

По формуле (4.12) был смоделирован энергетический спектр топологического изолятора при различных срезах При больших значениях энергии, энергетический контур спектра топологического изолятора приобретает все более деформированную форму. Поскольку эффект варпинга деформирует поверхность Ферми, вектор спина приобретет конечную компоненту вне плоскости [11]. Полученные результаты представлены на рисунках 11-12.

Рисунок 11. E_0 (k)=20 mEv, л=3

При моделировании параметры задавались вручную, однако в случае реальной дисперсии значение параметров можно получить прямо из эксперимента.

Рисунок 12. На разных срезах энергии и при разной силе варпинга можно заметить, как проявляются гексагональные искажения.

Если взять энергию в качестве переменной, можно получить трехмерное представление энергетической дисперсии, где при изменении параметра варпинга можно получать различные результаты варпинга (рис. 13):

Рисунок 13. Трехмерная дисперсия топологического изолятора без варпинга и с варпингом.

Эффект варпинга имеет серьезное влияния на физические свойства топологического изолятора и прямо сказывается на дальнейшие расчеты.

4.3 Уровни Ландау

В данном разделе рассматривается влияние варпинга на свойства топологического изолятора, к которому приложено внешнее магнитное поле. Будет рассмотрено изменение собственных значений энергии топологического изолятора, также как и влияние варпинга в присутствии и отсутствии внешнего магнитного поля. Для начала рассматриваются уровни Ландау для системы в классическом случае (обычный металл), а затем рассчитывается случай топологического изолятора с влиянием сильного внешнего магнитного поля.

Уровни Ландау в традиционном металле

В квантовой механике состояние частиц описывается волновой функцией, а динамика - уравнением Шредингера. Собственные значения уравнения Шредингера могут быть дискретны, образуя тем самым спектр разрешенных энергий, тем самым электроны в магнитном поле также могут иметь только дискретные значения энергии.

При прикладывании внешнего магнитного поля перпендикулярно к поверхности двумерного металла энергетический спектр дискретизируется, а орбитальное движение электронов квантуется. Эти дискретные энергетические уровни заряженной частицы в магнитном поле называются уровнями Ландау [12].

Начальная точка - гамильтониан свободной частицы:

,

Влияние магнитного поля выражается через магнитный векторный потенциал A, который изменяет импульс p следующим образом:

,

Используя калибровку векторного потенциала , уравнение Шредингера будет выглядеть следующим образом:

,

,

являются плоские волны . Вставляя решение в (4.15) дает следующий результат:



,

Полученное уравнение верно для электрона с энергией E, ограниченным в гармоническом осцилляторе

,

со сдвинутым минимумом

,

где магнитная длина

,

Энергетический спектр для простого гармонического квантового осциллятора известен:

,

где n - индекс Ландау и циклотронная частота равна

,

Разница между уровнями по энергии не зависит от индекса Ландау, то есть энергетический спектр эквидистантный:



,

Волновая функция простого гармонического осциллятора равна:

,

где - это n-ый порядок полинома Эрмита. Волновая функция для n-ого уровня Ландау:

,

Магнитную длину можно понимать как радиус классической циклотронной орбиты.

Подводя итог, электроны с квадратичным дисперсионным отношением

,

заключенные в двумерном пространстве и помещенные в сильное внешнее магнитное поле имеют квантованное движение по циклотронным орбитам. В таком случае энергетический спектр дискретен, имеет следующий вид:

,

Уровни Ландау поверхностных электронов Дирака в топологическом изоляторе

Теперь рассмотрим случай внешнего магнитного поля и топологического изолятора. Сначала возьмем случай без варпинга, то есть . Запишем гамильтониан поверхностных состояний топологического изолятора

,

,

Представляет собой гамильтониан свободного электрона с химическим потенциалом , где энергия в точке Дирака,

,

- гамильтониан Рашбы. Гамильтониан свободного электрона включен для получения более общего решения, так как электроны в объеме топологического изолятора могут иметь квадратическую дисперсионную зависимость. Таким образом, матричная форма поверхностного гамильтониана для электронов выглядит так:

,

При прикладывании внешнего магнитного поля два эффекта влияют на квантование энергетических уровней: орбитальный эффект, связывающий угловой момент и магнитное поле

,



и эффект Зеемана от внешнего магнитного поля

,

Орбитальный момент привнесет магнитную составляющую в импульс:

,

Так как операторы повышение и понижения для импульса записываются как

,

что можно записать через оператор создания и уничтожения

,

,

где - магнитная длина. Используя подстановку Пайерлса можно получить:

, ,

Выбирая калибровку Ландау , которая сохраняет трансляционную инвариантность по y оси. Также присутствует квадратичный импульс:



,

где . Подставляя результат в уравнение (4.31) получаем:

,

Используя анзац волновую функцию, которая является решением, состоящая из волнового решения в y-направлении и решения квантового гармонического осциллятора в x-направлении, получаем

,

где - это n-ая собственная функция в x-направлении,

,

где n - Ландау индекс. Используя операторы повышения или понижения, можно изменить уровень n следующим образом:

,

,

В частности, для последующих расчетов используются следующие операторы:



,

,

Можно переписать следующим образом:

,

, ,

Гамильтониан для орбитального эффекта можно записать в базисе гармонических собственных состояний .

,

В случае, когда магнитное поле направлено вдоль оси z, гамильтониан Зеемана записывается:

,

где магнетон Бора для электрона с массой . Используя этот гамильтониан, итоговый гамильтониан для поверхностных состояний уровня Ландау становится:



,

Диагонализируя этот гамильтониан, получаем энергетический спектр:

,

,

Свойства квантованных поверхностных состояний.

Из энергетического спектра видно, что энергия Зеемана выступает в роли массы из изначального уравнение Дирака, так как она делит энергетическую зону на две ветки. При отсутствии расщепления Зеемана энергетический спектр становится безмассовым, в таком случае существует нулевая мода в точке Дирака, то есть . Эта мода не зависит от силы поля.

Для селенида висмута

,

,

Энергетический спектр для квантованных поверхностных состояний представлен на рисунке 14.

Квантованный энергетический спектр для поверхностных Дирак-электронов топологического изолятора получается:



Рисунок 14. Уровни Ландау для n=0,1,2…,10. Синие и красные линии показывают значения энергий для положительной и негативной спиральности. Точка Дирака лежит на meV.

Энергетическая разность между соседними уровнями в данном случае равна:

,

Таким образом видно, что энергетический спектр для уровней Ландау в случае Дираковских электронов, перестает быть эквидистантным в отличие от случая классического металла, где энергетическая разница равна:

,

Уровни Ландау с эффектом варпинга

Аналитическое выражение для гамильтониана поверхностных состояний с эффектом варпинга представляется следующим образом:



,

Используя лестничные операторы

,

,

Можно переписать гамильтониан (4.60):

,

Рисунок 15. Уровни Ландау с численным решением эффекта варпинга. Уровни Ландау с влиянием варпинга изображены синим (сильное влияние варпинга) и красным (умеренное влияние варпинга) цветами. Уровни без варпинга представлены зеленым цветом



Так как члены, содержащие кубические лестничные операторы описывают негармонический осциллятор, то аналитически решить данную задачу невозможно. Поэтому решение будет численное.

Энергетический спектр первых 200 уровней Ландау представлен на рисунке 15 с варпингом и без него.

Зависимость энергии электронов от силы магнитного поля представлено на рисунке 16.

Рисунок 16. Зависимость энергии уровней Ландау от силы магнитного поля при различных значениях варпинга

Таким образом, можно заметить, что присутствие варпинга сдвигает уровни по энергии.



5. Актуальность

Топологические изоляторы являются предметом повышенного интереса в силу своих уникальных физических свойств, которые имеют перспективы как практического применения, так и научного. После 2010 года, когда был получен первый трехмерный топологический изолятор, были выдвинуты несколько направлений использования данного материала - в квантовых компьютерах для получение фермионов Майораны, которые теоретически являются более устойчивыми частица для хранения квантовой информации, и в спинтронных устройствах.

Рисунок 17. Топологический транзистор [13].

Уникальное свойство топологического изолятора - спин-поляризованный ток, вследствие которого на поверхности материала электроны перемещаются в двух противоположных направлениях в зависимости от спина, позволяет проектировать электронику, где в качестве единицы информации используется спин. Также возникла идея создания топологического транзистора, где протекание тока можно контролировать с помощью перевода топологического материала из проводящей фазы в непроводящую фазу [13]. Это достигается через управляемое магнитное поле, которым можно разрушать топологический инвариант материала. Так как поверхностный ток двумерного изолятора является “квазисверхпроводящим” (то есть из-за невозможности обратного отражения электронов о немагнитные примеси ток течет без сопротивления), то и эффективность таких транзисторов должна быть очень высокой. Концептуально, такой транзистор представлен на рисунке 17.

В области квантовых вычислений топологические изоляторы представляют интерес, так как могут служить средством получения фермионов Майораны. Так как данная частица обладает спином, и является более устойчивой к пертурбациям, то с ее помощью можно передавать квантовую информацию. Для этого требуется конфигурация, представленная на рисунке 18, при котором к топологическому изолятору и s-сверхпроводнику прикладывается внешнее магнитное поле, в результате чего можно теоретически получить фермион Майораны.

Рисунок 18. Получение фермиона Майораны [14].



Выводы

В данной работе были изучены физические основы топологических изоляторов, проанализировано влияние эффекта варпинга на спектр и уровни Ландау электронов в топологических изоляторах, а также приведены некоторые перспективы использования их на практике.



Список литературы

1. Loftager, Simon and Jens Lindelof Paaske. “Electron dynamics on the surface of a three-dimensional topological insulator.” (2012).

2. C.-X. Liu, X.-L. Qi, H. Zhang, X. Dai, Z. Fang, and S.-C. Zhang. Model Hamiltonian for topological insulators. Phys. Rev. B, 82(4):45122, 2010

3. Colloquium: Topological insulators M. Z. Hasan and C. L. Kane Rev. Mod. Phys. 82, 3045 - Published 8 November 2010

4. H. Zhang, C.-X. Liu, X.-L. Qi, X. Dai, Z. Fang, and S.-C. Zhang. Topological insulators in Bi2Se3, Bi2Te3 and Sb2Te3 with a single Dirac cone on the surface. Nat. Phys., 5(6):438-442, 2009.

5. M. Z. Hasan and C. L. Kane. Colloquium: Topological insulators. Rev. Mod. Phys., 82(4):3045-3067, 2010.

6. Liang Fu // «Hexagonal Warping Effects in the Surface States of Topological Insulator Bi2Te3» - Phys. Rev. Lett. 103, 266801 (2009)

7. S. Souma, K. Kosaka, T. Sato, M. Komatsu, A. Takayama, T. Takahashi, M. Kriener, K. Segawa, and Y. Ando. Direct Measurement of the Out-of-Plane Spin Texture in the Dirac-Cone Surface State of a Topological Insulator. Phys. Rev. Lett., 106(21):216803:1-4, 2011.

8. Ландау уровни // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. -- М.: Советская энциклопедия (т. 1--2); Большая Российская энциклопедия (т. 3--5), 1988--1999. -- ISBN 5-85270-034-7.

9. L. Fu, C. L. Kane, and E. J. Mele. Topological Insulators in Three Dimensions. Phys. Rev. Lett., 98(10):106803:1-4, 2007.

Размещено на Allbest.ru

...