Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»

Московский институт электроники и математики

Выпускная квалификационная работа

Оценка 3D эффектов при деформации пластин оконного материала в экспериментах по электрическому взрыву фольг

по направлению 01.03.04 Прикладная физика

Студент А.В. Иванов

Аннотация

В работе представлены теоретические основы экспериментальной методики по измерению адиабат Пуассона оконных материалов в диапазоне давлений 0.5 - 8 ГПа. Показано, что для разработки такой методики необходимо правильно оценивать трехмерные эффекты деформации пластин оконного материала в динамических экспериментах [1,2]. Для выполнения такой оценки были записаны уравнения теории упругости и граничные условия для задачи о сжатии упругого тела, которое имеет форму прямоугольного параллелепипеда, на одну из поверхностей которого давит поршень, а остальные поверхности свободны. Уравнения, описывающие динамику деформации пластины, решались методом последовательных приближений, рассматривая коэффициент Пуассона как малый параметр. В работе найдено решение уравнений в нулевом приближении, а также получена система уравнений и граничных условий для вектора смещения в первом приближении. Решение этой системы уравнений позволит изучить характер трехмерной деформации пластин оконного материала.

Abstract

In this work the theoretical background of an experimental technique for measuring of the Poisson adiabatics of window materials in the pressure range of 0.5 - 8 GPa is presented. It has been shown that for the development of such technique it is necessary to evaluate reasonably the three-dimensional effects of deformation of the window material plates in the dynamic experiments [1,2]. To carry out such an assessment, the equations of elasticity theory and the boundary conditions for the problem of compression of an elastic body, having the shape of a rectangular parallelepiped, one of the faces of which is pressed by a piston and all other faces are free, were written down. The equations describing the deformation dynamics were solved by the method of successive approximations, considering the Poisson coefficient as a small parameter. In this work, a solution of the equations in the zeroth approximation has been found, and a system of the equations and boundary conditions for the displacement vector in the first approximation has been derived. The solution of this system of equations will allow us to study the nature of the three-dimensional deformation of the window material plates.

Оглавление

• Введение
• Методика определения давления в образце
• Методика измерения адиабат Пуассона оконных материалов
• Характер трехмерной деформации пластин оконного материала в экспериментах по электрическому взрыву фольг
• Выводы
• Литература

Введение

Экспериментальная методика [1,2] позволяет изучать свойства расширенных жидких металлов и плотной плазмы при высоких давлениях (примерно, от 0.3 ГПа до 10 ГПа) и температурах (до 30 кК). Для этого образец исследуемого металла в виде прямоугольного параллелепипеда (отрезка фольги) толщиной 20-40 мкм, шириной и длинной 10 мм, помещается между двумя пластинами оптически прозрачного материала с известными оптическими и механическими свойствами (такие материалы часто называют оконными). Типичная экспериментальная сборка представлена на Рис. 3. Образец нагревается импульсом электрического тока и этот процесс является квазистатическим [3]. Во время эксперимента измеряется величина тока, который течет по образцу, падение напряжение на длине образца, смещение границы раздела между образцом и пластиной оконного материала, а также давление в образце. Этот набор измеряемых величин позволяет получить калорическое уравнение состояния исследуемого металла (зависимость удельной внутренней энергии от удельного объема и давления), а также зависимость удельного сопротивления от удельного объема и давления.

Рис. 1. Экспериментальная сборка: 1 - образец, 2 - один из концов образца (оба конца образца во время эксперимента прижимаются к плоским латунным электродам), 3 - две пластины оконного материала.

Методика измерения давления предполагает знание адиабаты Пуассона используемого оконного материала для случая одностороннего сжатия. Для используемых в динамических экспериментах [1,2] оконных материалов (сапфир и кварцевое стекло) адиабаты Пуассона определялись по данным ударно-волновых экспериментов [4]. Поскольку адиабата Пуассона и ударная адиабата имеют в исходном состоянии образца точку касания второго порядка, то при небольших давлениях их отличием можно пренебречь. Однако, при высоких давлениях это может вносить значительную ошибку в измерения давления.

Настоящая работа посвящена разработке теоретических основ экспериментальной методики измерения адиабат Пуассона для оконных материалов, используемых в динамических экспериментах [1,2]. Однако, как оказалось, для решения этой задачи необходимо оценить трехмерные эффекты деформации пластин оконного материала в этих экспериментах. В связи с этим ставится следующая задача. Одну из поверхностей пластины оконного материала, которая имеет форму прямоугольного параллелепипеда, толкает плоский поршень в нормальном к этой поверхности направлении, а все остальные 5 поверхностей пластины - свободны. Предполагая, что поршень движется по известному закону, необходимо определить характер деформации пластины в течение времени t < 3t, где t есть акустическое время распространения звукового возмущения от поршня к свободной поверхности пластины.

Методика определения давления в образце

Образец в экспериментах [1,2] находится в контакте с пластиной оконного материала. Следовательно, если определить давление в пластине вблизи этой контактной поверхности, то мы, тем самым, определим и давление в образце. В образце давление одинаково во всех его точках [3]. В течение эксперимента образец, который можно рассматривать как поршень, испытывающий одномерное тепловое расширение, изэнтропически сжимает пластину оконного материала. Отметим, что зависимость смещения контактной поверхности от времени X(t) регистрируется во время эксперимента. Таким образом, для определения давления в образце необходимо решить задачу о движении сплошной среды, сжимаемой поршнем, движущимся по заданному закону.

Выберем систему координат, начало которой в центре масс образца, а ось x направим нормально к контактной поверхности, т.е. вдоль направления расширения образца. Положим, что движение среды в волне сжатия одномерное и происходит вдоль оси x. Запишем законы сохранения массы и импульса в дифференциально форме, тогда уравнения движения запишутся в виде:

где v - скорость частиц среды, - плотность, t - время, с - скорость звука в среде. Как было сказано выше, процесс деформации пластины является адиабатическим, поскольку между образцом и пластиной оконного материала находится слой клея толщиной 1 мкм. Тепло из образца передается лишь в тонкий слой клея вблизи поверхности образца. Можно показать, что если энтропия среды при её движении остается постоянной и выполнены законы сохранения (1), (2), то закон сохранения энергии будет выполняться и его можно не записывать. Кроме того, считаем, что известна адиабата Пуассона среды (зависимость давления от плотности при постоянной энтропии):

Будем рассматривать движение среды в течение времени, пока волна сжатия еще не вышла на свободную поверхность пластины оконного материала. Учитывая то, что движение среды начинается из состояния покоя, решение уравнений (1), (2), (3) имеет вид простой волны [6]. В простой волне скорость частиц и плотность связаны соотношением

где - плотность при нормальных условиях, c - скорость звука, которая, как известно, определяется как производная давления по плотности вдоль изэнтропы:

Следовательно, если мы знаем адиабату Пуассона, то мы можем определить зависимость c(r). Подставив эту зависимость в уравнение (4), мы получим зависимость плотности от скорости частиц, а используя (3) определим зависимость давления от скорости частиц в простой волне. Скорость частиц среды на поршне должна быть равна скорости самого поршня:



где точка означает производную по времени. Подставляя в полученную выше зависимость давления на адиабате Пуассона от скорости частиц среды, скорость поршня, мы получим давление на поршне как функцию времени. Поскольку давление по обе стороны контактной границы раздела образец - пластина оконного материала должно быть одинаковым, то мы получаем временную зависимость для давления в образце.

Рассмотрим случай, когда пластина оконного материала представляет собой монокристалл сапфира, кристаллографическая осью c которого направлена нормально к поверхности пластины. Эффектами анизотропии в сапфире пренебрегаем и рассматриваем пластину как изотропную среду. Покажем, как в этом случае можно определить адиабату Пуассона, а также выведем формулу для зависимости давления на поршне от его координаты X(t).

Возьмем адиабату Пуассона сапфира в виде [8]:

где n - показатель адиабаты Пуассона, который определяется с помощью ударной адиабаты, представленной в работе [4]. Плотность сапфира при нормальных условиях r₀ равна 3.985 г/см³, а скорость звука при нормальных условиях c₀ равна 11.19 км/c. Адиабата Пуассона и ударная адиабата имеют касание второго порядка при нормальных условиях. Разложим выражение (7) и ударную адиабату сапфира из работы [4] в ряд Тейлора по степеням r - r₀. Приравняв коэффициенты при первых двух членах разложения получим, что n для сапфира равно 3. Тогда для сапфира соотношение (4) примет вид:



Таким образом, в этом случае давление в образце определяется следующей формулой:

В связи с тем, что в ударной волне энтропия возрастает, возникает необходимость оценить разницу между давлением на ударной адиабате и адиабате Пуассона при заданном значении объема. Обратимся к соотношению для адиабаты Гюгонио [6]:

где E и V - внутренняя энергия и объем, отнесенные к единице массы, а индексы 1 и 2 относятся к величинам перед ударной волной и за ней соответственно. Предполагая, что скачки всех величин в ударной волне малы, оценка для скачка энтропии, согласно [6]:

Разность между адиабатой Пуассона и ударной адиабатой оценим как:

где p₂ - давление на ударной адиабате, p - давление на адиабате Пуассона. Используем термодинамическое соотношение:

Производная температуры по объему вдоль изэнтропы может быть вычислена с помощью уравнения состояния сапфира [10], которое связывает эту производную с коэффициентом Грюнайзена Г:

При давлении 8 ГПа плотность сапфира составляет около 4.048 г/см³, эта величина была определена из уравнения (6), коэффициент Грюнайзена положим равным Г = 1.12 [9]. Подставляя (15) и (13) в уравнение (14) получим, что относительная разница давлений на ударной адиабате и адиабате Пуассона (по отношению к давлению на ударной адиабате) при 8 ГПа порядка 10^-11 %, что гораздо меньше погрешности измерения давления (<2%) в экспериментах [1,2].

Однако, если в качестве оконного материала используется кварцевое стекло, то такая замена изэнтропы может вносить существенную ошибку в результаты измерений. Результаты работы [4] показали, что кварцевое стекло является сильно нелинейным материалом. Нет оснований полагать, что адиабата Пуассона кварцевого стекла будет слабо отличаться от адиабаты Гюгонио для интересующего нас диапазона давлений 0.3 < p < 3 ГПа.

Использование в экспериментах [1,2] двух оконных материалов обусловлено необходимостью расширения диапазона давлений, при которых проводятся измерения свойств изучаемых металлов. Если закон движения поршня задан, то давление в образце зависит от величины акустического импеданса оконного материала. Покажем это используя акустическое приближение. Линеаризуем систему (1), (2), тогда выражение (4) запишется как:

В акустическом приближении давление и плотность связаны соотношением:

Подставим (17) в (18), тогда давление в образце определяется выражением:

где - акустический импеданс. Закон движения поршня определяется мощностью нагрева образца (плотностью тока, который течет по образцу). Следовательно, если фиксирована зависимость плотности тока через образец, то чем больше акустический импеданс оконного материала, тем больше будет давление в образце. Для проведения экспериментов при давлениях p < 3 ГПа используется кварцевое стекло. Чтобы погрешность определения давления в таких экспериментах была приемлемой (не превышала 5%), как показано выше, необходимо провести измерения адиабаты Пуассона кварцевого стекла для случая его односторонней деформации. Экспериментальная методика [1,2] позволяет провести такие измерения.

Методика измерения адиабат Пуассона оконных материалов

Для измерения адиабат Пуассона используется следующая экспериментальная методика. Отрезок металлической фольги длина и ширина которого составляют 10 мм, а толщина 20-40 мкм, помещается между двумя пластинами исследуемого оконного материала такой же длины и ширины и толщиной 10 мм. Одна из пластин состоит из двух склеенных вместе пластин толщиной 5 мм. На склеиваемую поверхность пластины, которая не контактирует с образцом нанесено диэлектрическое зеркало. Последнее используется для точного измерения смещения этой поверхности во время деформации пластины. На поверхность пластины оконного материала, которая расположена с противоположной стороны отрезка фольги и имеет такую же толщину 10 мм, также нанесено диэлектрическое зеркало (на поверхность, которая контактирует с образцом). Через образец пропускается импульс электрического тока, вследствие чего он нагревается и испытывает тепловое расширение, расталкивая пластины оконного материала.

Рис. 2. Схема эксперимента для измерения адиабаты Пуассона оконного материала (сечение перпендикулярное к направлению тока через образец): 1 - пластины оконного материала, 2 - отрезок металлической фольги (образец), нагреваемый импульсом электрического тока, 3 - диэлектрические зеркала, Int, Int2 -лучи лазера интерферометров Майкельсона, используемых для измерения смещения зеркал.

Смещение двух зеркал регистрируется с помощью интерферометров Майкельсона. Схема такого эксперимента представлена на Рис. 2, где также отмечено направление осей используемой нами системы координат. Измеряемый в эксперименте закон смещения зеркала 1, которое находится вблизи образца (поршень) будем обозначать X_p(t), а закон движения зеркала 2, которое удалено от образца будем обозначать X_m(t). Ввиду наличия симметрии относительно плоскости, которая проходит через центр масс образца и перпендикулярна оси x, мы имеем хорошо поставленную задачу о движении частицы среды (внутреннего зеркала 2) под действием волны сжатия, рожденной движением поршня (поверхности образца). До выхода волны сжатия на свободную поверхность эта волна будет простой и общее решение уравнений (1), (2) будет иметь вид [6]:

деформация пластина электрический взрыв

где f(v) - произвольная функция скорости. Поскольку смещение поршня как функция времени X_p(t) измеряется, т.е. эта зависимость известна, то дифференцируя эту зависимость мы можем определить скорость поршня как функцию времени. Рассматривая скорость поршня как параметр, мы можем представить смещение поршня X_p(v) и соответствующий момент времени t_p(v), как функции скорости. Тогда, согласно (20), мы имеем

Соотношение (20) может быть записано также и для частицы среды, которая находится вблизи второго зеркала

Вычитая уравнение (21) из уравнения (22), получим

В левой части уравнения (23) стоят только измеряемые величины и, следовательно, мы можем определить из этих измерений скорость звука как функцию скорости.

Учитывая, что в простой волне имеет место соотношение (4), для приращений скорости и плотности получим

Интегрируя обе части уравнения (24), используя при этом измеренную зависимость скорости звука от скорости среды, получим зависимость плотности от скорости среды

где r₀ - плотность среды в области, где её скорость равна нулю. Следовательно, имея зависимость скорости звука от скорости частиц среды, можно получить зависимость скорости звука от плотности. Поскольку давление вдоль адиабаты Пуассона связано со скоростью звука соотношением

то используя полученную зависимость скорости звука от плотности мы можем определить адиабату Пуассона оконного материала в виде (3).

Стоит обратить внимание на то, что, записывая уравнения (1), (2) мы предполагаем, что движение среды пластины оконного материала происходит только в направлении оси x. Но, поскольку пластины имеют конечную ширину и длину, то неизбежно должно возникать движение в поперечном направлении.

В работе [5], была решена задача об определении движения свободной поверхности пластина сапфира по заданному закону движения поршня и при заданной адиабате Пуассона. В экспериментах, представленных в работе [5], измерялось смещение поршня, а также смещение свободной поверхности пластины. Схема такого эксперимента представлена на Рис. 3.

Рис. 3. Схема эксперимента для одновременного измерения движения поршня и свободной поверхности пластины оконного материала; обозначения те же, что и на Рис. 2.

Сравнивая вычисленную временную зависимость для смещения свободной поверхности с измеренной зависимостью, можно оценить точность адиабаты Пуассона, использованной при вычислениях.



Рис. 4. Измеренная (красная линия) и рассчитанная (черная линия) временные зависимости смещения свободной поверхности пластины оконного материала.

Сравнение рассчитанного закона движения свободной поверхности пластины с измеренной зависимостью представлено на Рис. 4. Из рисунка видно, что после некоторого момента времени зависимости начинают заметно отличаться. Разница между этими зависимостями (по давлению) достигает 4%, что превышает погрешность этих измерений (< 2%). Выше мы оценили, что для сапфира адиабата Пуассона отличается от ударной адиабаты не более чем на 1% (при давлениях p < 8 ГПа) и поэтому разница между зависимостями на Рис.4 объясняется, скорее всего, тем, что движение пластины трехмерное, а не одномерное, как предполагалось в вычислениях. Как видно из Рис. 4, измеренная зависимость лежит несколько ниже вычисленной и причиной этого поведения вполне может быть волна разрежения, отраженная от боковой поверхности. Однако, для того чтобы сделать окончательный вывод о причине расхождения зависимостей, представленных на Рис. 4, необходимо выполнить оценку трехмерных эффектов деформации пластины оконного материала и их влияние на закон движения свободной поверхности пластины.

Характер трехмерной деформации пластин оконного материала в экспериментах по электрическому взрыву фольг

Для оценки трехмерных эффектов деформации пластины оконного материала в динамических экспериментах [1,2] обратимся к методам теории упругости. Рассмотрим деформацию изотропного упругого тела, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, на одну из поверхностей которого давит абсолютно жесткий плоский поршень, а остальные поверхности свободны. Положим, что напряжение на поршне имеет только нормальную компоненту и задано как функция времени P(t). В начальный момент времени среда покоится. Будем использовать систему координат, ось x которой направим перпендикулярно к поверхности поршня, ось y направим вдоль его поверхности, а начало координат поместим на плоскости симметрии задачи в точке, где поршень находился в начальный момент времени. Будем считать, что движение поршня таково, что волна сжатия, рожденная движением поршня, вызывает только малые деформации среды. В таком случае, согласно [7], движение среды может быть описано следующими уравнениями:

где - вектор смещения частиц упругого тела, c_l - продольная скорость звука, с_t - поперечная скорость звука. Граничные условия для нашей задачи определяются выражениями:

где - компоненты тензора напряжений, i, k принимают значения x, y, z, n_i - компоненты единичного вектора, направленного по нормали к границе, P_i - компоненты внешних сил, приложенных к поверхности (отнесенные к единице площади). Во время движения среды её граница будет деформироваться. В начальный момент времени каждая из поверхностей тела, которое имеет форму параллелепипеда, ограничивающего среду в нашей задаче, перпендикулярна одной из осей координат, а единичные векторы нормали к границе лежат на этой оси. Поскольку мы рассматриваем только малые деформации среды, то изменением вектора нормали к границе при движении среды, мы будем пренебрегать. Тогда, как следует из равенств (28), на поршне должны быть выполнены соотношения:

На свободных поверхностях, перпендикулярных оси z, учитывая, что вектор нормали направлен вдоль z, имеем:

На боковых поверхностях, перпендикулярных осям x и y граничные условия выразятся:

Компоненты тензора напряжений можно выразить через компоненты тензора деформации

где u_ik - компоненты тензора деформации, индекс l - немой, E - модуль Юнга, - коэффициент Пуассона, - символ Кронекера. Учитывая соотношения (32), перепишем граничные условия (29-31). Таким образом, учитывая, что

на поршне будем иметь:

На боковых поверхностях, перпендикулярных оси x:

На остальных свободный поверхностях граничные условия выписываются аналогично.

Важно отметить, что длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда, это величины одного порядка, а, значит, случай тонкой пластины, который существенно упрощает уравнения движения, здесь не применим.

Для начала будем рассматривать ситуацию, когда упругое тело в начальный момент времени ограничено плоскостями x = 0 и y = 0. На поверхность x = 0 давит поршень, двигающийся по направлению оси x, а поверхность y = 0 свободна. Будем решать уравнения (27), предполагая, что коэффициент Пуассона является малым параметром. Решение будем искать в виде разложения по этому параметру:

где - решение в нулевом приближении, - решение в первом приближении и так далее. Основной интерес для решения задачи об оценке трехмерных эффектов деформации пластины оконного материала представляет решение уравнений движения в линейном приближении. Это решение даст информацию о виде волны разрежения, рожденной на свободной поверхности пластины. Получим уравнения движения, определяющие решение задачи в линейном приближении при малом коэффициенте Пуассона. Для этого разложим в ряд Тейлора по правую часть уравнения (32) и отбросим нелинейные челны. Тогда для выражения компонент тензора напряжений через компоненты тензора деформаций получим:

По оси z среда не ограничена, поэтому искомое решение не зависит от координаты z. Запишем уравнения движения упругого тела в виде:

где i принимает значения x, y. Подставляя (39) в (40), получим искомые уравнения движения:



Используем следующую формулу векторного анализа:

Тогда уравнения (41) примут вид:

Перейдем к записи граничных условий для уравнений (43). Как было сказано выше, под действием поршня граница x = 0 будет смещаться вдоль оси x, а граница y = 0 будет деформироваться. Нас интересует решение для интервала времени t < 3t, где t - акустическое время. Предположим, что скорость смещения поверхности такова, что смещения точек границ среды на рассматриваемом интервале времени малы и в граничных условиях ими можно пренебречь. Такое предположение имеет смысл, поскольку в экспериментах [1,2] скорость поршня является величиной порядка 100 м/c, а продольная скорость звука, к примеру, в сапфире равна 11.19 км/c. Исходя из этого и выражения (39), на поверхности x = 0 имеем:

На поверхности y = 0:

Приступим к решению уравнений (43) в нулевом приближении. Для этого подставим (38) в уравнения (43) и граничные условия (44-47), и оставим только те слагаемые, которые не содержат . При этом получим следующие уравнения для вектора :

где с₀² = E / . Граничные условия для вектора :

Используя граничные условия попытаемся понять какой вид имеет решение в нулевом приближении. Решение уравнений (48) будем искать в виде плоской монохроматической волны:

где k_x, k_y - проекции волнового вектора, - частота, - постоянный вектор с проекциями A_x, A_y на оси координат x и y соответственно. Закон движения поршня представим в виде:



где A₀ - постоянная. Подставим (53), (54) в граничные условия:

Из соотношений (55) видно, что для выполнения граничных условий необходимо, чтобы A_y и k_y в выражении (53) были равны нулю. Поскольку любую волну можно представить в виде суперпозиции монохроматических волн, то проекция решения уравнений (48) на ось y равна нулю, а проекция на ось x является функцией только координаты x и времени t. Тогда, для того чтобы определить решение в нулевом приближении нужно решить задачу:

Запишем общее решение для волнового уравнения из задачи (56):

где f и g - произвольные функции. Мы рассматриваем решение на полуоси, причем в начальный момент времени среда покоится, тогда из граничного условия задачи (56) следует, что функция g (характеризующая волну, бегущую в отрицательном направлении оси x) должна быть равна нулю.

Вид функции f определим из граничного условия задачи:

здесь штрих обозначает производную по аргументу функции f. Введем обозначение:

Придем к соотношению

Откуда определим f:

Решение в нулевом приближении описывает деформацию пластины для случая, когда отсутствует боковое движение, т.е. в направлениях, перпендикулярных оси x. При этом предполагается, что коэффициент Пуассона среды равен нулю. Для искомых оценок необходимо понять то, какие деформации будут возникать при наличии у среды ненулевого коэффициента Пуассона. Для этого нужно найти решение в первом приближении.

Подставим (38) в (43) и приравняем нулю слагаемые при коэффициенте Пуассона:

Заметим, что для решения в нулевом приближении справедливо уравнение:

Тогда уравнения движения для решения в первом приближении (62) запишутся:

Граничные условия, согласно (44-47):

Представим уравнения (64) в более простой форме. Известно, что любой вектор можно разложить на сумму двух векторов, один из которых является градиентом некоторого скаляра, а другой является ротором некоторого вектора [11]:

Подставим (69) в (64):

Применим операцию div к обеим частям уравнения (72). Учитывая (71) и соотношение

получим уравнение для :

Из условия (70) следует, что

Если дивергенция и ротор вектора равна нулю на всем пространстве, то этот вектор тождественно равен нулю [11]. Получаем уравнения:

Возьмем ротор от левой и правой части уравнения (72). Условие (70) и формула

приводят к уравнению

Представим в следующем виде:

где - некоторая скалярная функция, а - некоторый вектор. Выше было сказано, что решение не может иметь зависимость от координаты z, а, значит, все производные по z должны быть так же равны нулю. Тогда для компонент вектора , с учетом (79), (80), будем иметь:

где - проекция вектора на ось z. Поскольку нас интересует только эта компонента вектора , то индекс z мы в дальнейшем будем опускать. Таким образом, решение в первом приближении определяется двумя скалярными функциями, которые описываются следующей системой волновых уравнений:

с граничными условиями:



Анализируя решение уравнений (83), (84) с граничными условиями (85-88), мы сможем понять какова деформация пластины оконного материала в экспериментах [1,2]. Это даст нам возможность сделать необходимые оценки.

Выводы

Заложены теоретические основы экспериментальной методики по измерению адиабат Пуассона оконных материалов. Задача об оценке трехмерных эффектов деформации пластины оконного материала сведена к решению системы волновых уравнений. Анализ решения этой системы предоставит информацию о виде волны разрежения, рожденной на боковой поверхности пластины.

Литература

[1]. А. М. Кондратьев, В. Н. Коробенко, А. Д. Рахель, Термодинамические функции и удельное сопротивление флюида свинца в области перехода металл-неметалл, ЖЭТФ 154, 1168 (2018)

[2]. M. Kondratyev, A. D. Rakhel, Melting Line of Graphite, Phys. Rev. Lett. 122, 175702 (2019)

[3]. V. N. Korobenko, A. D. Rakhel, A. I. Savvatimskiy, and V. E. Fortov, Plasma Physics Reports, 28, 12, 1008 (2002)

[4]. L. M. Barker and R. E. Hollenbach, Shock-Wave Studies of PMMA, Fused Silica, and Sapphire, J. Appl. Phys. 41, 4208 (1970)

[5]. Иванов А.В., Адиабата Пуассона для сапфира, МКР, ВШЭ (2019)

[6]. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Гидродинамика (М.: Наука, 1986)

[7]. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теория упругости (М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003)

[8]. V. N. Korobenko and A. D. Rakhel, Phys. Rev. B 75, 064208 (2007)

[9]. Goto T., Anderson O. L., Ohono I. and Yamamoto S., J. Geophys. Res. 94 7588, (1989)

[10]. Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (М.: Наука, 1966)

[11]. Н. Е. Кочин, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, (М.: Наука, 1965)

Размещено на Allbest.ru

...