Гидростатика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Гидростатика

Силы, действующие в жидкости

Гидростатика -- раздел гидравлики, в котором изучается равновесие жидкостей и воздействие покоящихся жидкостей на погруженные в них тела и поверхности, ограничивающие жидкости.

Все реальные жидкости находятся под непрерывным воздействием различных сил. Как правило, эти силы оказываются распределенными по объему рассматриваемой жидкости или по ее поверхности. В соответствии с этим действующие силы разделяют на объемные (массовые) и поверхностные.

К массовым силам относятся: сила тяжести, силы электромагнитного происхождения и различные силы инерции. Примером поверхностных сил являются силы трения (обусловленные свойством вязкости), поверхностного натяжения (вызванные молекулярными силами сцепления), давления.

Для описания массовых (объемных) сил обычно используется понятие плотности их распределения внутри некоторого объема :

где - массовая сила, действующая на единицу массы жидкости ().

Гидростатическое давление

Если жидкость находится в состоянии покоя, то на нее не действуют касательные силы т. к. они привели бы к появлению касательных напряжений , которые возникают только при движении жидкости. Следовательно в покоящейся жидкости действуют только сжимающие нормальные напряжения, вызванные поверхностными силами натяжения и массовыми силами тяжести.

Общее значение нормальных напряжений в данной точке среды, взятое со знаком минус, называется давлением и обозначается буквой Р:

это давление называют гидростатическим давлением. Знак минус указывает на то, что нормальное напряжение , приложенное в точках поверхности выделенного объема, направлено в сторону, противоположную орту внешней нормали к данной поверхности, т. е. внутрь выделенного объема.

Следует отличать гидростатическое давление, отнесенное к данной точке и выражающее напряжение сжатия:

где р - давление в точке, dp - давление на элементарную площадку d,

от силы гидростатического давления, отнесенной к площади поверхности, которую в дальнейшем будем для краткости называть просто давлением:

, или

Гидростатическое давление р в любой данной точке одинаково по всем направлениям и не зависит от угла наклона площадки действия.

Уравнение равновесия жидкого тела

Пусть какое-либо жидкое тело массой М и плотностью , с центром тяжести в т. А (рис.) находится в равновесии под действием внешних сил, равнодействующая которых F. Разложив силу F на три составляющих, параллельных координатным осям Fx, Fy и Fz и поделив их на М, можно найти:

; ;

где X, Y и Z -- проекции ускорений, вызываемых внешними силами, на соответствующие координатные оси.

Рисунок 1

В точках 1 и 2 (центры тяжести граней, параллельных плоскости yOz) будут приложены силы dP1 и dP2, направленные навстречу друг другу вдоль оси (рис.1).

Поскольку жидкое тело находится в покое, то условия равновесия всех действующих в направлении оси х сил можно записать так:

dFx + dP1 -- dP2=0,

где dFx -- проекция на ось элементарной массовой силы,

dFx = dMX

где dM - элементарная масса:

dM = pdW

где dW - элементарный объем рассматриваемого параллелепипеда:

dW = dxdydz.

Силы гидростатического давления на площадки сторон:

dP1 = p1dydz

dP2 = p2dydz,

где p1 и p2 -- давление в точках 1 и 2. Считая давление в точке А (центре тяжести рассматриваемого параллелепипеда) равным р, и учитывая, что изменение гидростатического давления, приходящееся на единицу длины в направлении координатной оси х, может быть представлено частной производной , будем иметь

Подставляя полученные выражения в уравнение равновесия, получим

Если полученное уравнение отнести к единице площади, т. е. обе части уравнения разделить на dydz:



Аналогичным образом с учетом условий равновесия относительно двух других координатных осей, получены дифференциальные уравнения подобного же вида:

Сложив почленно все три уравнения, получим:

Из высшей математики известно, что сумма частных дифференциалов, стоящая в левой части, представляет собой полный дифференциал:

dp = (Xdx + Ydy + Zdz)

p =

Чтобы это общее выражение использовать для решения тех или иных задач, в каждом конкретном случае необходимо знать ускорение X, Y и Z.

Геометрическое место точек, имеющих одинаковое давление р = const, dp = О, называется поверхностью равного давления, или поверхностью уровня.

Равновесие жидкости под действием силы тяжести. Давление в точке покоящейся жидкости

Если жидкость находится в равновесии под действием собственного веса, то проекции ускорений, вызываемых силой тяжести, для выбранных координатных осей:

X = 0; Y = 0; Z = - g,

где g -- ускорение свободного падения.

Тогда получим:

где С -- постоянная интегрирования, или иначе

Найдём зависимость для определения давления в произвольной точке жидкости А (рис. 2), имеющей отметку z и находящуюся на глубине h под поверхностью жидкости.

Рисунок 2

Для выбранной точки А и точек на поверхности жидкости (с координатой z0) можно записать равенство:



Учитывая, что

получим практическое выражение для определения гидростатического давления в любой жидкости:

P = P0+h

В технической механике часто используется понятие абсолютного давления, определяемого последним выражением, где Р0 называют внешним, или поверхностным, давлением, а величину yh, обусловленную весом столба жидкости на единичную площадь, при Р0 = Ратм называют избыточным, или манометрическим. Тогда можно переписать в виде:

Рабс=Р0+Ризб

В случае если внешним давлением является атмосферное (Р0 = Ратм) и при

Ра6с < Ратм, давление, определяемое выражением:

Рвак=Ратм-Рабс

называют вакуумным или вакуумметрическим.

Давление жидкости на плоские поверхности

Рассмотрим произвольную плоскую фигуру, лежащую внутри жидкости в пределах боковой стенке, наклонной под углом а к горизонту (рис. 3). Выберем начало координат на свободной поверхности жидкости в месте ее пересечения с боковой стенкой; ось х считаем горизонтальной и направленной нормально к плоскости чертежа. Для удобства рассмотрения мысленно совместим боковую стенку с плоскостью чертежа. Выделим в пределах рассматриваемой плоской фигуры произвольную точку А с координатой х, находящуюся на глубине h под свободной поверхностью жидкости и отстоящую от оси х на расстоянии l.

Рисунок 3

Выделим у этой точки элементарную площадку площадью. Элементарная сжимающая сила, действующая на эту площадку,

где - абсолютное гидростатическое давление в точке А:

Искомая сила абсолютного гидростатического давления, действующая на рассматриваемую плоскую поверхность:

Считая, что в рассматриваемых условиях , получим:

Как известно из теоретической механики:

где Sx - статический момент плоской фигуры относительно оси х. Следовательно,

Учитывая, что:

где hц - глубина погружения центра тяжести смоченной части плоской поверхнoсти, получим

Таким образом, сила абсолютного гидростатического давления жидкости на погруженную в нее плоскую поверхность равна произведению площади этой поверхности на давление в ее центре тяжести.

Поскольку сила весового давления жидкости на плоское горизонтальное дно сосуда, в который она заключена, зависит только от плотности этой жидкости, площади дна и глубины, его погружения под свободной поверхностью, то вес жидкости, налитой в сосуд, может отличаться от силы давления, оказываемого ею на дно.

Рисунок 4

Это явление, парадоксальное с точки зрения житейских представлений, впервые подмеченное французским физиком Б. Паскалем, носит название «гидростатический парадокс» (Рисунок 4).

Центр давления

Вернемся к рисунку 3 и определим местоположение центра давлений.

Центром давления называется точка приложения равнодействующей силы избыточного давления.

Элементарная сила избыточного давления, действующая на элементарную площадку выделенную вокруг этой точки:

.

Элементарный момент этой силы относительно оси х:

.

Тогда суммарный момент силы избыточного давления, действующей на рассматриваемую плоскую поверхность:

Из теоретической механики известно, что:

где IХ - момент инерции плоской фигуры относительно оси х. Но тот же момент силы

где - расстояние от оси х до точки приложения силы избыточного давления, то есть искомая координата центра давления.

Сила избыточного давления:

.

Тогда выражение для момента силы давления:

Момент инерции относительно горизонтальной оси, параллельной оси, проходящей через центр тяжести фигуры:

где - момент инерции относительно центральной оси. Подставляя, получим:



Таким образом, центр давления лежит ниже центра тяжести плоской фигуры на величину:

Центр тяжести и центр давления могут совпадать только тогда, когда рассматриваемая плоская поверхность лежит в горизонтальной плоскости.

Напомним выражения для определения момента инерции Iц для наиболее распространенных плоских фигур:

для квадрата со стороной а:

для прямоугольника шириной b и высотой Н:

для круга диаметром d:

Давление жидкости на криволинейные поверхности

Пусть какая-то криволинейная цилиндрическая поверхность находится внутри покоящейся жидкости с плотностью.

Рисунок 5

Для нахождения силы избыточного давления на эту поверхность (силы внешнего давления равны с обеих сторон этой поверхности и не принимаются во внимание) выделим внутри жидкости некоторый ее объем, проведя вертикальную и горизонтальную секущие плоскости по крайним образующим (рис. 9), и мысленно отбросив окружающую жидкость, заменим ее действие соответствующими силами: горизонтальной , вертикальной , весом отсека G и искомой силой Р, действующей на рассматриваемую криволинейную поверхность, которую разложим на две составляющие Рх и Рг.

Запишем условия равновесия в направлении каждой из координатных осей:

в направлении оси х:

откуда следует, что горизонтальная составляющая

в направлении оси z:

откуда вертикальная составляющая:

Таким образом, для цилиндрической криволинейной поверхности сила избыточного гидростатического давления



Горизонтальная составляющая силы избыточного давления равна силе давления на вертикальную проекцию криволинейной цилиндрической поверхности . Следовательно,

где - глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции криволинейной поверхности; - площадь вертикальной проекции криволинейной поверхности.

Вертикальная составляющая Рг численно равна весу жидкости в объеме тела давления, то есть тела, ограниченного вертикальными плоскостями, проходящими через крайние образующие цилиндрической поверхности, самой цилиндрической поверхностью и свободной поверхностью жидкости или ее продолжением (рис. 6).

Относительное равновесие жидкостей

Рисунок 6

Жидкость, заключенная в открытый сверху цилиндрический сосуд, вращающийся с постоянной угловой скоростью (рис.6), находится в покое относительно сосуда. Для решения вопроса о форме поверхности жидкости в этом случае выберем начало координат в точке пересечения свободной поверхности жидкости с осью сосуда.

Тогда проекции ускорений на координатные оси:

.

Подставляя в уравнение равновесия:

,

после интегрирования получим:

.

Для начала координат, лежащего на оси вращения на свободной поверхности, координаты х = 0; у = 0; z = 0. Следовательно, постоянная интегрирования С = ра.

Поскольку , где r - расстояние от оси до рассматриваемой точки, то получим:

.

Тогда:

Для свободной поверхности жидкости манометрическое давление:



и ее уравнение примет вид:

жидкость тело архимед закон

Таким образом, в рассматриваемом случае свободная поверхность жидкости представляет собой параболоид вращения.

Закон Архимеда

Закон Архимеда обычно формулируется так: на всякое тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу вытесненной им жидкости. Зная основные законы гидростатики, установим за счет чего эта сила образуется и уточним, на всякое ли тело в жидкости она действует.

Рисунок 7

Рассмотрим три цилиндрических тела, вес которых G1, G2 и G3 и сечение : одно из них частично погружено в жидкость, второе плавает внутри жидкости и третье покоится на дне (рис. 7). Равнодействующие силы избыточного давления, действующие по этим плоскостям:

в первом случае:

гдe W1 - объем погруженной части цилиндра (в этом случае Р1 > G1);

во втором:

где W2 - объем полностью погруженного в жидкость тела (в этом случае Р2 = G2).

В третьем же случае, если цилиндр стоит на водонепроницаемом дне и плотно прилегает к нему (отсутствует доступ жидкости к нижней поверхности цилиндра) сила гидростатического давления Рн = 0 и никакой выталкивающей силы не будет, наоборот, тело, под действием собственного веса и веса вышележащего столба жидкости и внешнего давления, будет прижиматься ко дну.

Размещено на Allbest.ru

...