Линейные цепи синусоидального тока

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Линейные цепи синусоидального тока

1.1 Общие сведения

В электроэнергетике используют в основном переменный ток. В настоящее время почти вся электрическая энергия вырабатывается в виде энергии переменного тока. Основное преимущество переменного тока по сравнению с постоянным током заключается в возможности просто и с минимальными потерями преобразовывать напряжение при передаче энергии. Генераторы и двигатели переменного тока имеют более простое устройство, надежней в работе и проще в эксплуатации по сравнению с машинами постоянного тока.

1.1.1 Амплитуда, частота и фаза синусоидального тока и напряжения

В современной технике широко используются переменные токи: синусоидальные, прямоугольные, треугольные и др. (рис. 2.1). Значение тока в любой момент времени называется мгновенным значением. Мгновенные значения тока, напряжения, ЭДС обозначаются буквами .

Рис. 2.1

Токи, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени, называют периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, называют периодом Т (рис. 2.1).

Если кривая изменения периодического тока описывается синусоидой, ток называется синусоидальным. Если кривая отличается от синусоиды - ток несинусоидальный. В электрических цепях переменного тока наиболее часто используют синусоидальную форму, характеризующуюся тем, что все напряжения и токи являются синусоидальными функциями времени. В генераторах переменного тока стремятся получить ЭДС, изменяющуюся во времени по закону синуса. Тем самым обеспечивается наиболее выгодный эксплуатационный режим работы электрических установок.

Все синусоидальные функции времени (например, ток) записывают в одинаковой форме:

(2.1)

где - мгновенное значение тока; - максимальное (амплитудное) значение тока (рис. 2.2); - угловая частота; - начальная фаза.

Аргумент синуса называется фазой. Угол равен фазе в начальный момент времени = 0 и поэтому называется начальной фазой. Фаза с течением времени непрерывно растет (рис 2.2). После ее увеличения на весь цикл изменения тока повторяется. В течение периода фаза увеличивается на . Поэтому отношение определяет скорость изменения фазы и называется угловой частотой

(2.2)

где - частота, равная числу периодов в секунду, Гц. При стандартной частоте = 50 Гц угловая частота За аргумент синусоидальной функции принимают время или угол .

Рис. 2.2

Таким образом, для определения мгновенных значений и необходимо определить их параметры: амплитуду, угловую частоту и начальную фазу.

Постоянный ток можно рассматривать как частный случай переменного тока, частота которого равна нулю. В современной технике используется широкий диапазон частот переменных токов от сотых долей до миллиардов Герц. В электроэнергетике нашей страны и Европы стандартная частота 50 Гц, США - 60 Гц.

Синусоидальные ЭДС в современной технике получают различными методами в электромашинных или электронных генераторах и других устройствах. Наглядным примером является наведение ЭДС за счет электромагнитной индукции в рамке, вращающейся в однородном магнитном поле (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Допустим, что рамка площадью содержит витков и вращается с постоянной угловой скоростью в магнитном поле с индукцией . Тогда потокосцепление рамки

.

По закону электромагнитной индукции в рамке наводится ЭДС

.

Следовательно, ЭДС изменяется по синусоидальному закону.

Рассмотренный способ получения ЭДС является лишь наглядной иллюстрацией и в технике не используется ввиду экономической нецелесообразности создавать достаточно сильное равномерное магнитное поле в таком большом воздушном промежутке.

В промышленности для получения синусоидальных ЭДС применяют электрические машины - синхронные генераторы, приводимые во вращение тепловыми, газовыми, гидравлическими и др. двигателями.

1.1.2 Действующее значение синусоидального тока

Мгновенное значение переменного тока все время изменяется от нуля до максимального значения. Однако переменный ток, как и постоянный, измеряется в амперах. Какой же смысл мы вкладываем в термин «переменный ток»? Можно было бы характеризовать переменный ток его амплитудой. Принципиально это вполне возможно, но практически очень неудобно, потому что трудно построить приборы, непосредственно измеряющие амплитуду переменного тока. Удобнее использовать для характеристики переменного тока какое-нибудь его свойство, не зависящее от направления тока. Таким свойством является, например, способность тока нагревать проводник, по которому он проходит. Представим переменный ток, проходящий по некоторому проводнику сопротивлением . В течение периода ток выделяет в проводнике определенное количество тепловой энергии

. (2.3)

Пропустим через тот же проводник постоянный ток, подобрав его таким, чтобы он выделил за то же время такое же количество тепловой энергии

. (2.4)

По своему действию оба тока равны, поэтому постоянный ток, выделяющий в проводнике то же количество теплоты, что и переменный ток, называют действующим значением переменного тока.

Приравняв (2.3) и (2.4), найдем действующее значение синусоидального тока

. (2.5)

Таким образом, действующее значение синусоидального тока определяется как среднее квадратичное за период. Установим связь между действующим током и амплитудой синусоидального тока

.

Следовательно

. (2.6)

Действующее значение синусоидального тока меньше его амплитуды в раз. Аналогично определяется действующее значение синусоидального напряжения

.

Номинальные токи и напряжения электротехнических устройств определяют, как правило, по их действующим значениям. Приборы электромагнитной, электродинамической и других систем показывают именно действующие значения токов и напряжений.

1.1.3 Векторное представление синусоидальных токов и напряжений

Как известно из математики, синусоидальная функция аргумента определяется как проекция радиуса единичной длины на ось ординат, если этот радиус поворачивается против часовой стрелки на радиан. Синусоидальному току соответствует непрерывное вращение радиуса длиной с угловой скоростью против часовой стрелки. Синусоида в координатной плоскости () изображается (рис. 2.4) вращающимся вектором в декартовой системе (). Под углом , отсчитываемым от положительного направления оси абсцисс , строится вектор . Положительные начальные фазы при построении откладывают от оси против вращения часовой стрелки, отрицательные - по часовой стрелке. Проекция вектора на ось у в момент времени = 0 равна мгновенному значению тока . Пусть, начиная с момента = 0, вектор вращается вокруг начала координат 0 с постоянной угловой скоростью в положительном направлении (против движения часовой стрелки). К моменту времени вектор повернется относительно оси на угол , и его проекция на ось будет равна мгновенному значению функции . Таким образом, проекция вращающегося с угловой скоростью вектора на ось ординат в любой момент времени равна мгновенному значению синусоидальной функции в этот момент времени.

Рис. 2.4

При представлении синусоидальной функции вращающимся вектором достаточно изобразить его в координатах только в начальный момент времени (рис. 2.5). Этот вектор представляет или отображает синусоиду, т.е. дает информацию о двух ее параметрах - амплитуде и начальной фазе . Векторы, изображающие синусоидальные функции, лишены физического содержания и имеют совсем другой смысл, чем векторы, определяющие модуль и направление физических величин в точке. Задача суммирования (вычитания) синусоид упрощается, если изобразить их векторами на плоскости, и сводится к операции сложения (вычитания) векторов, изображающих эти функции. В качестве примера рассмотрим сложение двух токов:

и .

Размещено на http://www.allbest.ru/

На рис.2.5 токи и изображены в виде векторов на плоскости. Вектор, модуль которого равен , расположенный под углом к оси , является суммой этих векторов и изображает суммарную синусоиду

.

При расчетах электрических цепей синусоидального тока обычно оперируют не мгновенными, а действующими значениями токов и ЭДС. Поэтому складывают не векторы амплитуд, а векторы действующих значений.

1.2 Резистор, индуктивная катушка и конденсатор в цепи синусоидального тока

Составными элементами цепей синусоидального тока являются резистор, индуктивная катушка и конденсатор. Для упрощения исследования процессов в реальной электрической цепи переменного тока эту цепь, как и цепь постоянного тока, представляют схемой замещения, составленной из этих элементов. Элементы цепи переменного тока, в которых энергия выделяется в виде теплоты, называются активными. Элементы цепи, в которых периодически запасается энергия в электрическом или магнитном поле, называются реактивными, а сопротивления, оказываемые ими переменному току - реактивными сопротивлениями. Реактивные сопротивления имеют катушки и конденсаторы.

Рассмотрим соотношения между токами и напряжениями в простейших цепях.

1.2.1 Резистор в цепи синусоидального тока

Если синусоидальное напряжение (рис. 2.6 а) подключить к резистору с сопротивлением , то через него будет протекать синусоидальный ток

(2.7)

Следовательно, напряжение на зажимах и ток, проходящий через резистор, имеют одинаковую начальную фазу, или, как говорят, совпадают по фазе - они одновременно достигают своих амплитудных значений и соответственно одновременно проходят через нуль (рис. 2.6 б, в).

Разность начальных фаз двух синусоид называют углом сдвига фаз. В данном случае угол сдвига фаз между напряжением и током равен нулю

. (2.8)

Амплитуды и действующие значения тока и напряжения связаны законом Ома

; .

Рис. 2.6

Протекание тока через резистор сопровождается потреблением энергии от источников. Скорость поступления энергии характеризуется мощностью. Мгновенная мощность, потребляемая резистором

, (2.9)

изменяется с угловой частотой, удвоенной по сравнению с частотой напряжения и тока. Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и составляющую , изменяющуюся с частотой (рис. 2.6 г). Так как и совпадают по фазе, т.е. всегда имеют одинаковый знак, то их произведение всегда положительно, следовательно, > 0.

Среднее значение мгновенной мощности за период

(2.10)

называется активной мощностью и измеряется в ваттах. В данном случае активная мощность

. (2.11)

Отсюда активное сопротивление

. (2.12)

Известно, что сопротивление проводника переменному току больше, чем постоянному, вследствие явления поверхностного эффекта.

1.2.2 Индуктивная катушка в цепи синусоидального тока

Индуктивная катушка как элемент схемы замещения реальной цепи синусоидального тока дает возможность учитывать при расчете явление самоиндукции и явление накопления энергии в ее магнитном поле. Пусть в цепь переменного тока (рис 2.7 а) включена катушка с бесконечно малым сопротивлением провода = 0. Непрерывное во времени изменение тока вызывает появление в витках катушки ЭДС самоиндукции. В соответствии с правилом Ленца эта ЭДС противодействует изменению тока.

Допустим, ток через катушку изменяется по закону

. (2.13)

В этом случае ЭДС самоиндукции

. (2.14)

Поэтому напряжение на катушке

. (2.15)

Сравнивая формулы (2.13) и (2.15), можно сделать вывод о том, что напряжение на катушке опережает ток на угол или ток отстает от напряжения по фазе на угол (рис 2.7 б). Угол сдвига фаз в этом случае положительный (рис. 2.7 в) .

Параметр цепи - индуктивное сопротивление, имеющее размерность Ом. Оно зависит от частоты и представляет собой величину, с помощью которой учитывается явление самоиндукции.

Из анализа (2.14) видно, что амплитуды напряжения и тока связаны законом Ома:

.

Аналогично для действующих значений

.

Мгновенная мощность цепи с катушкой

. (2.16)

Из графика (рис 2.7 г), построенного по уравнению (2.16), видно, что за первую четверть периода, когда > 0 и > 0, площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс, пропорциональна энергии, потребляемой катушкой на создание магнитного поля. Во вторую четверть периода (ток убывает от максимума до нуля) энергия магнитного поля катушки передается источнику питания. При этом мгновенная мощность отрицательна, а процесс повторяется. Таким образом, происходит колебание энергии между источником и катушкой, причем активная мощность, поступающая в катушку, равна нулю. Амплитуду колебания мгновенной мощности в цепи с катушкой называют реактивной (индуктивной) мощностью

.

Реактивную мощность в отличие от активной мощности измеряют в вар (вольт-ампер реактивный).

1.2.3 Конденсатор в цепи синусоидального тока

Включение конденсатора в цепь переменного тока не вызывает разрыва цепи, так как ток в цепи все время поддерживается за счет заряда и разряда конденсатора. Пусть напряжение (рис. 2.8 а)

.

Тогда

(2.17)

Формула (2.17) показывает, что ток опережает приложенное напряжение на угол (рис. 2.8 б, в). Нулевым значениям тока соответствуют максимальные значения напряжения. Физически это объясняется тем, что при достижении электрическим зарядом и соответственно напряжением максимального значения ток становится равным нулю.

Под фазовым сдвигом тока относительно напряжения здесь, как и раньше, подразумевается разность начальных фаз напряжения и тока, т.е.

.

Таким образом, в отличие от цепи с катушкой, где , угол сдвига фаз в цепи с конденсатором отрицателен.

Из (2.17) видно, что амплитуды тока и напряжения связаны законом Ома

,

где - емкостное сопротивление, имеющее размерность Ом.

Мгновенная мощность, поступающая в конденсатор

,

колеблется синусоидально с угловой частотой 2, имея амплитуду, равную (рис. 2.8 г). Поступая от источника, энергия временно запасается в электрическом поле конденсатора, затем возвращается источнику при исчезновении электрического поля. Таким образом, здесь, как и в цепи с катушкой, происходит колебание энергии между источником и конденсатором, причем активная мощность = 0. Амплитуду колебания мощности в цепи с конденсатором называют реактивной (емкостной) мощностью

.

1.3 Анализ цепей синусоидального тока с помощью векторных диаграмм

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные ЭДС, напряжения и токи одной частоты и построенных на плоскости с соблюдением их ориентации друг относительно друга, называют векторной диаграммой. Векторные диаграммы широко применяются при анализе режимов работы цепей синусоидального тока, что делает расчет цепи наглядным.

1.3.1 Цепь, содержащая резистор и индуктивную катушку

Реальная катушка в цепи переменного тока представляет сочетание активной и индуктивной составляющих сопротивления. Схема замещения индуктивной катушки представлена на рис 2.9 а. Пусть по катушке протекает ток .

а)	б)	в)

Рис. 2.9

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для мгновенных значений

, (2.18)

где - напряжение на активном сопротивлении; - напряжение на индуктивном сопротивлении.

Для действующих значений уравнение (2.18) можно записать

. (2.19)

Построим векторную диаграмму в соответствии с (2.19) в такой последовательности. Изобразим вектор тока (основной вектор) на координатной плоскости - (рис. 2.9 б). Затем строим вектор напряжения на активной составляющей сопротивления . Он совпадает по фазе с током. Вектор напряжения опережает вектор тока на 90°. Сумма двух векторов дает вектор напряжения источника, который опережает вектор тока на угол . Из векторной диаграммы следует

отсюда

,. (2.20)

где z - полное сопротивление цепи R, L.

Треугольник ОАВ (рис. 2.9 б) назовем треугольником напряжений. Составляющая напряжения, находящаяся в фазе с током, называется активной составляющей напряжения

. (2.21)

Составляющая напряжения, перпендикулярная вектору тока, называется реактивной составляющей напряжения

. (2.22)

Если стороны треугольника напряжений (рис. 2.9 б) разделить на действующее значение тока, то получим треугольник сопротивлений (рис. 2.9 в). Из треугольника сопротивлений получают соотношения для угла сдвига фаз, а также связь между параметрами цепи

;(2.23)

Цепь имеет индуктивный характер, если 0<<. Крайние значения
= 0 и = соответствуют чисто активной и чисто индуктивному характеру нагрузки.

1.3.2 Цепь, содержащая резистор и конденсатор

Напряжение на входе цепи (рис. 2.10 а) согласно второму закону Кирхгофа для действующих значений определяется по уравнению

. (2.24)

Рис. 2.10

Построим векторную диаграмму, полагая, что в цепи протекает ток и < 0. Вектор тока откладываем под углом к оси в отрицательном направлении - по часовой стрелке (рис. 2.10 б). Вектор напряжения на резисторе совпадает по фазе с вектором тока, а вектор напряжения на конденсаторе отстает от вектора тока на 90°. При сложении двух векторов согласно уравнению (2.24) получим вектор напряжения источника (рис. 2.10 б). Из векторной диаграммы

, (2.25)

где - полное сопротивление цепи .

Вектор напряжения источника отстает от вектора тока на угол , поэтому говорят, что цепь носит емкостный характер (- 90°< <0).

Для треугольника напряжений (рис. 2.10 б) и треугольника сопротивлений (рис. 2.10 в) можно записать соотношения, аналогичные (2.20), (2.21) и (2.23).

1.3.3 Последовательное соединение резистора, катушки и конденсатора

При протекании синусоидального тока по цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов (рис. 2.11 а), на ее зажимах создается синусоидальное напряжение, равное алгебраической сумме синусоидальных напряжений на отдельных элементах (второй закон Кирхгофа):

.

Для действующих значений это уравнение имеет вид

.

Построим векторную диаграмму с учетом известных фазовых соотношений (рис. 2.11 б). Вектор напряжения на резисторе совпадает по фазе с вектором тока, на конденсаторе он отстает от вектора тока на 90°, а на катушке опережает вектор тока на 90°. Сумма этих векторов напряжения на элементах цепи, даст вектор напряжения источника.

а)	б)	в)

Рис. 2.11

Из векторной диаграммы определяем входное напряжение



откуда ток и полное сопротивление

, (2.26)

где - разность индуктивного и емкостного сопротивлений, называемая реактивным сопротивлением.

Сдвиг фаз определим из треугольника напряжений или сопротивлений:

.

Если , т.е. > 0, то цепь имеет индуктивный характер. В этом случае (рис. 2.11 б), а сдвиг фаз > 0. Если , т.е. < 0, то цепь имеет емкостный характер и сдвиг фаз < 0 (рис. 2.11 в). Таким образом, реактивное сопротивление может быть положительным ( > 0) и отрицательным ( < 0).

Особый случай цепи, когда , т.е. реактивное сопротивление . В этом случае цепь имеет чисто активный характер, а сдвиг фаз = 0. Такой режим называется резонансом напряжений.

Условием резонанса напряжений является

_.

Эти условия показывает, что резонанс напряжений в цепи можно получить изменением частоты напряжения источника, или индуктивности катушки или емкости конденсатора.

Угловая частота, при которой в цепи наступает резонанс напряжений, называется резонансной угловой частотой

Полное сопротивление цепи минимальное и равно активному

Ток в цепи, очевидно, будет максимальным

Напряжение на резисторе равно напряжению источника: .

Резонанс напряжений, как правило, нежелателен в электроэнергетике, но широко применяется в радиотехнических устройствах, автоматике, телемеханике, связи, измерительной технике и др..

1.3.4 Неразветвленная цепь синусоидального тока

Рассмотрим цепь из трех последовательных токоприемников (рис. 2.12 а): первые два имеют активно-индуктивный характер, третий является последовательным соединением резистора и конденсатора. Проведем анализ цепи по векторной диаграмме. Произвольно строим вектор тока, который является базовым для всех векторов диаграммы. В соответствии со вторым законом Кирхгофа

,

где ; ; .

Рис. 2.12

Строим составляющие векторы, модули которых определяются по закону Ома. Суммарный вектор строим по правилу многоугольника. Векторы напряжений на активных сопротивлениях цепи совпадают по фазе с вектором тока, векторы опережают вектор тока на 90°, а вектор отстает от него на угол 90° (рис. 2.12 б). Действующее значение напряжения источника (модуль вектора ) по диаграмме находится из треугольника напряжений ОАВ

. (2.27)

В формуле (2.27) - активное сопротивление цепи, равное арифметической сумме сопротивлений последовательно включенных резисторов. В общем случае для последовательных приемников

.

является реактивным сопротивлением цепи, равным алгебраической сумме реактивных сопротивлений последовательно включенных элементов. В общем случае

.

В приведенной схеме сумма векторов индуктивных напряжений меньше вектора напряжения на конденсаторе, поэтому < 0. В таком случае говорят, что реактивное сопротивление (или цепь в целом) носит емкостный характер.

1.3.5 Параллельное включение приемников энергии

ток напряжение энергия приемник

Рис. 2.13

Рассмотрим цепь из двух параллельных ветвей (рис. 2.13 а). Допустим, что известны напряжение источника и параметры схемы. Нужно определить ток , потребляемый от источника, и угол сдвига на входе цепи. Для получения расчетных соотношений построим векторную диаграмму токов. Предварительно рассчитаем токи в параллельных ветвях и углы их сдвига относительно приложенного напряжения. У первой ветви характер нагрузки индуктивный, ток отстает от на угол

; ; .

У второй ветви характер нагрузки емкостный, вектор опережает на угол

; ; .

В качестве основного вектора принимаем вектор напряжения источника , являющегося общим для двух параллельных ветвей (рис. 2.13 б). Тогда относительно него нетрудно сориентировать векторы токов .

При выборе направления тока второй ветви угол откладываем от вектора в направлении, параллельном вектору , поскольку начала этих векторов не совмещены. В соответствии с первым законом Кирхгофа () определяем входной ток. В дальнейшем все расчетные соотношения получим из векторной диаграммы. Для этого представим каждый вектор проекциями на взаимноперпендикулярные оси. Проекцию вектора тока на вектор напряжения назовем активной составляющей тока , а перпендикулярную проекцию - реактивной составляющей . На диаграмме (рис. 2.13 б) эти составляющие показаны для всех векторов. Составляющие токи и физически не существуют и должны рассматриваться только как расчетные. По диаграмме активная составляющая входного тока определяется как сумма активных составляющих токов в параллельных ветвях

(2.28)

где - активная проводимость цепи, равная арифметической сумме активных проводимостей отдельных ветвей

где - активная проводимость -й ветви.

Только в частном случае, когда ветвь представляет собой чисто активное сопротивление .

Реактивная составляющая входного тока определяется как алгебраическая сумма реактивных составляющих токов в параллельных ветвях. Реактивную составляющую ветви с катушкой считают положительной, а с конденсатором - отрицательной. Знаки учитывают при подстановке соответствующих значений

(2.29)

где - реактивная составляющая проводимости цепи, равная алгебраической сумме реактивных проводимостей отдельных ветвей.

В общем случае

где - реактивная проводимость отдельной -й ветви,

. (2.30)

Если рассматриваемая ветвь чисто реактивная: , проводимость является обратной реактивному сопротивлению. Ток на входе цепи (см. векторную диаграмму на рис. 2.13 б) с учетом (2.28, 2.29)

(2.31)

где - полная проводимость цепи, равная геометрической сумме активной и реактивной проводимостей.

Угол сдвига фаз также определяется из векторной диаграммы. На рис. 2.14 а изображена векторная диаграмма входного тока , его составляющих и и напряжения источника . Треугольник, образованный вектором тока и его проекциями , и , называется треугольником токов (рис. 2.14 а). Если стороны этого треугольника разделить на напряжение , получится треугольник, подобный треугольнику токов - треугольник проводимостей. Он образован проводимостями , модули которых равны соответствующим проводимостям, а стороны совпадают с векторами , , треугольника токов (рис. 2.14 б).

а) б) в)

Рис. 2.14

На рис. 2.14 в показан треугольник проводимостей при <0. Из него находим соотношения между параметрами и формулы для определения угла сдвига фаз

; ; ; ; ; . (2.32)

Чтобы учесть знак , следует использовать формулы тангенса и синуса.

В этой цепи, когда общий ток совпадает по фазе с напряжением, а входная реактивная проводимость или , может возникнуть явление резонанса. При противоположные по фазе реактивные составляющие токов равны, поэтому резонанс в такой цепи получил название резонанса токов.

Пример 2.1. Определить действующее значение входного тока по известным токам в параллельных ветвях (риc. 2.15 а) = 3 A; = 1 A; = 5 A.

Решение находим по первому закону Кирхгофа

,

в соответствии с которым строим векторную диаграмму.

Рис. 2.15

Направления трех слагаемых тока выбраны по отношению к вектору . Из диаграммы (рис. 2.16 б) определяем ток

А.

1.3.6 Мощности цепи синусоидального тока

Энергетические соотношения в отдельных элементах рассматривались в предыдущей теме. Рассмотрим участок электрической цепи, напряжение на котором , а ток .

Определим мгновенную мощность

.

Полученное уравнение содержит две составляющие: постоянную и синусоидальную, имеющую удвоенную частоту по сравнению с частотой тока и напряжения. Мгновенные значения тока, напряжения и мощности при индуктивном характере цепи ( > 0) показаны на рис. 2.16 а.

В промежутках времени, когда и имеют одинаковые знаки, мгновенная мощность положительна, энергия поступает от источника в приемник, потребляется резистором и запасается в магнитном поле катушки. Когда же и имеют разные знаки, мгновенная мощность отрицательна и энергия частично возвращается от приемника к источнику. Активная мощность, поступающая в приемник, равна среднему значению мгновенной мощности за период

. (2.33)

Тригонометрическая функция называется коэффициентом мощности. Как видно из (2.33), активная мощность равна произведению действующих значений напряжения и тока, умноженному на коэффициент мощности. Чем ближе угол к нулю, тем ближе к единице и, следовательно, тем большая при заданных значениях напряжения и тока активная мощность передается от источника к нагрузке.

Формулу активной мощности можно преобразовать с учетом полученных ранее соотношений

Вт. (2.34)

Произведение действующих значений тока и напряжения на входе цепи называется полной мощностью и измеряется в вольт-амперах (ВА)

. (2.35)

Графически полная мощность характеризует амплитуду колебаний мгновенной мощности относительно средней (активной) мощности (рис. 2.16 а). Полная мощность является расчетной мощностью электрических установок (генераторов, трансформаторов и др.), для которых она указывается в качестве номинальной, например, для генератора номинальная (полная) мощность равна его активной максимальной мощности, которая может быть получена при = 1. Однако для большинства потребителей < 1. Поэтому даже при номинальных значениях напряжения и тока энергетические возможности источника используются не полностью, так как .

При расчетах электрических цепей и эксплуатации электрооборудования пользуются также понятием реактивной мощности, которая вычисляется по формуле

вар. (2.36)

Реактивная мощность характеризует собой энергию, которой обмениваются генератор и приемник. Она определяется максимальным значением мощности на участке цепи с реактивными элементами

.

Реактивная мощность цепи может быть положительной и отрицательной в зависимости от знака угла . При индуктивном характере входного сопротивления () реактивная мощность положительна, при емкостном характере () - отрицательна.

Сравнив формулы (2.34)...(2.36), нетрудно установить связь между активной, реактивной и полной мощностями

. (2.37)

Соотношение (2.37) удобно представить в виде прямоугольного треугольника мощностей (рис. 2.16 б), который можно получить из треугольника напряжений умножением сторон на ток. Из треугольника мощностей имеем соотношения, широко используемые при расчетах

; tg = Q/P; cos = P/S. (2.38)

Активная мощность, потребляемая приемником, не может быть отрицательной, поэтому всегда > 0, т. е. на выходе цепи . Активная мощность отображает совершаемую работу или передаваемую энергию в единицу времени.

1.4 Комплексный метод расчета цепей синусоидального тока

Широкое распространение на практике получил метод расчета цепей синусоидального тока, который принято называть комплексным. Сущность метода состоит в том, что синусоидальные токи, напряжения и ЭДС изображаются комплексными числами, а геометрические операции над векторами заменяются алгебраическими операциями над комплексными числами. Этот метод позволяет рассчитывать цепи синусоидального тока алгебраически аналогично цепям постоянного тока.

1.4.1 Векторное представление синусоидальных величин

Вращающийся вектор, который изображает синусоидальную функцию, можно поместить на комплексную плоскость, в систему перпендикулярных осей: - действительных чисел, - мнимых чисел. Положительные направления осей на комплексной плоскости обозначаются индексами: +1 - ось действительных чисел; + - ось мнимых чисел, где = - мнимая единица (рис. 2.17).

а) б) в)

Рис. 2.17

Известно, что координаты точки на комплексной плоскости определяются радиусом-вектором этой точки, т.е. вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке, соответствующей заданному комплексному числу (рис. 2.17 а).

Показательная форма записи

,

где - модуль; - аргумент или фаза, отсчитываемая от оси +1 против часовой стрелки.

Применив формулу Эйлера, можно получить тригонометрическую и соответственно алгебраическую форму записи комплексного числа:

,

где ; .

Очевидно

; .

Заменим в уравнении для показательной формы записи на , а на . Получим комплекс тока

, (2.39)

который является символическим (комплексным) изображением функции и называется комплекс мгновенного значения тока.

Комплексы обозначаются теми же буквами, что и их действительные оригиналы, только с чертой внизу. Модуль комплекса мгновенного значения равен амплитуде синусоидального тока , а его переменный аргумент () является аргументом изображаемой синусоиды (рис. 2.17 б). Из формулы (2.39) можно записать комплекс тока в тригонометрической форме

,

а также получить изображение функции (оригинала)

, (2.40)

т.е. мгновенное значение тока равно мнимой части комплекса мгновенного значения тока. Ток (2.39) можно представить в виде

,

где является другим символом, называемым комплексом амплитудного значения. Это аналитическое представление неподвижного вектора, длина которого равна амплитуде тока, а угол между направлениями вектора и осью «+1» на комплексной плоскости равен начальной фазе (рис. 2.17 в). Комплексом действующего значения называют изображение

Пример 2.2. Записать комплексы действующих значений напряжения и тока, если их мгновенные значения представлены уравнениями

, А.

Решение. Действующее значение напряжения =200 В, начальная фаза = -120°. В соответствии с определением комплекс действующего значения напряжения

В.

Аналогично для тока = 14,1 А, начальная фаза тока = -60°, а комплекс тока

А.

Пример 2.3. Для комплекса действующего значения напряжения

B

записать мгновенное значение.

Решение. От алгебраической формы переходим к показательной

B,

где В; .

Комплекс находится во второй четверти комплексной плоскости.

Мгновенное значение напряжения

, B.

В заключение рассматриваемого вопроса рекомендуем усвоить следующие очевидные равенства

; ; и т.д.

;

.

Отметим, что умножение на оператор означает поворот вектора на 90° против часовой стрелки, а умножение на означает поворот вектора на 90° по часовой стрелке.

1.4.2 Комплекс полного сопротивления и комплекс полной проводимости. Законы Кирхгофа в комплексной форме

Отношение комплекса напряжения к комплексу тока называется комплексом полного сопротивления цепи

. (2.41)

Модуль комплексного сопротивления равен полному сопротивлению , его аргумент - углу сдвига фаз . Комплексное сопротивление в алгебраической форме выглядит следующим образом

. (2.42)

Следовательно, активное сопротивление есть вещественная часть, а реактивное - мнимая часть комплекса полного сопротивления цепи. Частные случаи формулы (2.42) приведены в таблице 2.1

Таблица 2.1

Участок электрической цепи	Комплексное сопротивление

Величина, обратная комплексу полного сопротивления, называется комплексом полной проводимости

, (2.43)

где , , - полная, активная, реактивная проводимости цепи соответственно.

Для цепей синусоидального тока законы Кирхгофа формулируются так же, как и для цепей постоянного тока, но только для комплексных значений токов и напряжений. Первый закон Кирхгофа: «алгебраическая сумма комплексов тока в узле электрической цепи равна нулю»

. (2.44)

Второй закон Кирхгофа: «в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех пассивных элементах этого контура»

. (2.45)

Таким образом, при комплексном представлении всех параметров методы расчета сложных цепей постоянного тока, основанные на законах Ома и Кирхгофа (контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора, преобразования и др.), можно применять для расчета цепей синусоидального тока.

1.4.3 Мощности в комплексной форме

Формулы для определения полной, активной и реактивной мощностей записаны раньше

Рассмотрим простой прием, позволяющий найти активную и реактивную мощности по комплексным напряжению и току. Для этого умножим комплекс напряжения на сопряженный комплекс тока

(2.46)

Полученное значение называют комплексом полной мощности. Из (2.46) видно, что вещественная часть комплексной мощности равна активной мощности, мнимая часть - реактивной:

(2.47)

Пример 2.4. Определить активную, реактивную и полную мощности, если мгновенные значения тока и напряжения заданы уравнениями

Решение. Запишем комплексы действующих значений напряжений и тока

Комплекс полной мощности

+

Таким образом, = 500 ВА, = 433 Вт, = 250 вар.

1.5 Повышение коэффициента мощности в цепях синусоидального тока

Большинство современных потребителей электрической энергии имеют индуктивный характер нагрузки, токи которой отстают по фазе от напряжения источника. Активная мощность таких потребителей при заданных значениях тока и напряжения зависит от



Следовательно, повышение коэффициента мощности приводит к уменьшению тока.

Если обозначить сопротивление проводов линии , то потери мощности в ней можно определить так:

Таким образом, чем выше потребителя, тем меньше потери мощности в линии и дешевле передача электроэнергии. Коэффициент мощности показывает, как используется номинальная мощность источника. Так, для питания приемника 1000 кВт при = 0,5 мощность генератора должна быть

кВА,

а при = 1 = 1000 кВА.

Следовательно, повышение увеличивает степень использования мощности генераторов. Чтобы повысить экономичность энергетических установок, принимают повышают - используют батареи конденсаторов, подключаемые параллельно индуктивной нагрузке (рис. 2.18 а).



Рис. 2.18

Емкость конденсатора, необходимую для повышения от существующего значения до требуемого , можно определить по диаграмме (рис. 2.18 б, в). При построении векторной диаграммы в качестве исходного вектора принят вектор напряжения источника. Если нагрузка представляет собой индуктивный характер, то вектор тока отстает от вектора напряжения на угол . Активная составляющая тока совпадает по направлению с напряжением, реактивная составляющая тока отстает от него на 90° (рис. 2.18 б).

После подключения к потребителю батареи конденсаторов ток определяется как геометрическая сумма векторов и . При этом вектор емкостного тока опережает вектор напряжения на 90° (рис. 2.18 в). Из векторной диаграммы видно, что , т.е. после включения конденсатора коэффициент мощности повышается от до .

Емкость конденсатора можно рассчитать при помощи векторной диаграммы токов (рис. 2.18 в)

.

Учитывая, что , запишем емкость конденсатора

.

На практике обычно коэффициент мощности повышают не до 1,0, а до 0,90...0,95, так как полная компенсация требует дополнительной установки конденсаторов, что часто экономически не оправдано.

1.6 Электрические цепи с взаимной индуктивностью

1.6.1 Общие сведения

При рассмотрении цепей синусоидального тока до сих пор учитывалось только явление самоиндукции катушек, обусловленное током в цепи. Цепи, в которых наводятся ЭДС между двумя (и более) взаимно связанными катушками, называются индуктивно связанными цепями. Рассмотрим явление возникновения ЭДС в одном из контуров при изменении тока в другом.

Рис. 2.19

Контуры (рис. 2.19) представляют собой плоские тонкие катушки с числами витков и . Поток самоиндукции , созданный током , может быть представлен в виде потока рассеяния , пронизывающего только первый контур, и потока , пронизывающего второй контур

= + .

Аналогично определяем поток самоиндукции второго контура

= + .

Потоки и называют потоками взаимной индукции. Их принято обозначать двумя индексами: первый индекс указывает, с каким контуром сцепляется поток, второй - номер тока, вызвавшего данный поток. Например, поток вызван током , сцепляется с первым контуром. Если направление потока взаимной индукции совпадает с направлением потока самоиндукции данного контура, то говорят, что магнитные потоки и токи контуров направлены согласно. В случае противоположного направления говорят о встречном направлении потоков. Суммарные потоки, пронизывающие первый и второй контуры

= ; = ,

где «+» соответствует согласному направлению потоков, «-» - встречному направлению.

Полные потокосцепления первого и второго контуров

(2.48)

(2.49)

Отношение потокосцепления взаимной индукции в одной цепи к току в другой называется взаимной индуктивностью

Для линейных электрических цепей всегда выполняется равенство

.

Взаимная индуктивность двух катушек зависит от числа витков, геометрических размеров магнитопровода и взаимного расположения катушек, а также от абсолютной магнитной проницаемости среды (материала магнитопровода). Индуктивную связь двух катушек характеризуют коэффициентом связи

.

Этот коэффициент всегда меньше единицы, так как магнитный поток взаимной индукции всегда меньше потока самоиндукции и может быть увеличен за счет уменьшения потоков рассеяния бифилярной намоткой катушек (двойным проводом) или применением для магнитопровода материала с высокой абсолютной магнитной проницаемостью.

1.6.2 ЭДС взаимной индукции

ЭДС, индуктируемые в первом и втором контурах, с учетом (2.48, 2.49) можно записать в виде



Таким образом, ЭДС каждой катушки определяется алгебраической суммой ЭДС самоиндукции и взаимной индукции. Для определения знака ЭДС взаимной индукции размечают зажимы индуктивно связанных элементов цепи. Два зажима называют одноименными, если при одинаковом направлении токов относительно этих зажимов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции складываются. Такие выводы обозначают на схемах одинаковыми условными значками, например, точками или звездочками (рис. 2.20 а, б). Одинаково направленные токи и (рис. 2.20 а) относительно зажимов и вызывают совпадающие по направлению потоки самоиндукции () и взаимной индукции (). Следовательно, зажимы и являются одноименными. Одноименной является и другая пара зажимов и , но условными значками обозначают только одну пару одноименных выводов, например, и (рис. 2.20 а). Если токи и направлены неодинаково относительно одноименных зажимов (рис. 2.20 б), то имеет место встречное направление потоков самоиндукции и взаимоиндукции.

На схемах магнитопроводы, как правило, не показывают и ограничиваются только обозначением одноименных зажимов (рис. 2.20 в, г).

Одноименные зажимы можно определить опытным путем. Для этого одну из катушек включают в цепь источника постоянного тока, а к другой присоединяют вольтметр постоянного тока. Если в момент подключения источника стрелка измерительного прибора отклоняется, то зажимы индуктивно связанных



Рис. 2.20

катушек, подключенные к положительному полюсу источника и положительному зажиму измерительного прибора, являются одноименными.

Определим знаки ЭДС и напряжения взаимной индукции. Допустим, первая катушка (рис. 2.20 а) разомкнута, а во второй протекает ток . Выберем положительные направления для одинаковыми относительно одноименных зажимов. ЭДС и напряжение взаимной индукции равны, но противоположны по знаку. Действительно, когда 0, потенциал зажима b больше потенциала зажима а, следовательно, 0.

По правилу Ленца знаки и всегда противоположны, поэтому

.

В комплексной форме уравннеие имеет вид

(2.50)

При встречном включении катушек (рис. 2.20 б)

. (2.51)

Из (2.50) и (2.51) видно, что вектор напряжения на взаимной индуктивности сдвинут по фазе относительно вектора тока на угол 90°.

Сопротивление называется сопротивлением взаимной индуктивности, а - комплексным сопротивлением взаимной индуктивности.

Таким образом, при согласном направлении токов падение напряжения на взаимной индуктивности имеет знак «плюс», при встречном - знак «минус».

1.6.3 Последовательное соединение двух индуктивно связанных катушек

Рассмотрим две катушки, соединенные последовательно и имеющие активные сопротивления , индуктивности и взаимную индуктивность . Возможны два вида их включения - согласное (рис. 2.21 а) и встречное (рис. 2.21 б). При согласном включении ток в обеих катушках направлен одинаково относительно одноименных зажимов, поэтому падение напряжения на взаимной индуктивности в уравнениях Кирхгофа для мгновенных значений запишем со знаком «плюс»

Эти же уравнения в комплексной форме

(2.52)

а)б)

Рис. 2.21

Полное сопротивление цепи при согласном включении

При встречном включении (рис. 2.21 б) ток в катушках направлен противоположно относительно одноименных зажимов, поэтому напряжения на взаимной индуктивности записывают со знаком «минус». В этом случае уравнения Кирхгофа в комплексной форме имеют вид

(2.53)

Полное сопротивление цепи при встречном включении

Полное сопротивление цепи при согласном включении больше, чем при встречном. Этим можно пользоваться для определения опытным путем одноименных зажимов индуктивно связанных катушек.

На рис. 2.22 построены векторные диаграммы для согласного и встречного включения катушек. Начальная фаза вектора тока, являющегося общим для всех элементов цепи, принята равной нулю. По вектору тока сориентированы в порядке записи все слагаемые напряжений и (2.52, 2.53). Упрощает выбор направления векторов правило о том, что умножение комплекса на соответствует его повороту на 90°. Многоугольники векторов , , , построенные на диаграмме соответственно с законом Кирхгофа, для наглядности заштрихованы.

Векторная диаграмма (рис. 2.22 б) при встречном включении катушек построена в предположении, что . При таком соотношении параметров в первой катушке наблюдается емкостный эффект, т.к. напряжение отстает от тока . В цепи нет конденсаторов, но индуктивность первой катушки получается отрицательной, что равноценно включению конденсатора. Однако в целом цепь всегда имеет индуктивный характер, т.к. вектор тока отстает от вектора напряжения на входе в виду того, что .

При согласном включении катушек емкостный эффект невозможен.

Размещено на Allbest.ru

...