Кинематика сплошной среды

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Поле физической величины

Кинематика - раздел механики капельных жидкостей, в котором рассматриваются виды и формы движения жидкости без выяснения природы и сил, вызывающих это движение.

Чтобы описать движение жидкости, необходимо задаться определенными свойствами ее в каждой точке (скоростью, давлением, плотностью и др) Непрерывность распределения характеристик в сплошной среде приводит к понятию поля физической величины, под которым понимают часть пространства, в каждой точке которого физическая величина определена однозначно.

Если поле физической величины не зависит от времени, его называв стационарным, или установившимся. Поле физической величины нестационарно, если его параметры зависят от времени.

Поля могут быть скалярных, векторных и тензорных величин. Скалярное поле - поле скалярной величины, или множество:

К скалярам в механике жидкости относятся плотность, давление, температура и др. Значения этих параметров в данной точке и при данных условиях не зависят от выбора системы координат, т. е. скалярные величины инвариантны относительно системы координат.

С целью наглядного представления о поле вводят понятие поверхностей уровня, т. е. таких геометрических мест (в данный момент времени), в которых физическая величина имеет одно и то же значение (изотермы, изобары, изопотенциальные поверхности и др.).

Уравнение поверхности уровня:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 12

Рассмотрим поле физической величины мысленно «расслоив» пространство поверхностями уровня (рис. 12). Внешним пространством по отношению к данной поверхности уровня условимся называть область, где константа С имеет большее значение Нормаль, направленная в сторону возрастания функции (рис. 12), является главной, или внешней, нормалью, направление которой принимается за положительное.

Интенсивность поля скалярной величины (функции) определяется ее градиентом grad. Градиент функции есть вектор, направленный по внешней нормали к поверхности уровня и равный по величине производной от этой функции по внешней нормали:

Следовательно, несмотря на то, что скаляры определяются одним вещественным значением, изменение их в пространстве характеризуется векторно, т. е. фиксируется направление изменения физической величины. Градиент функции по внешней нормали, по определению производной, есть величина всегда положительная.

Кроме того, grad, взятый по направлению главной нормали (рис. 12), есть максимальное значение производной от функции.

С векторным полем связаны понятия линий и трубок тока, которые рассмотрим ниже.

Основные виды и формы движения жидкости

При изучении принимается, что жидкость является сплошной средой даже при бесконечно малых объемах. Предположение о сплошности позволяет считать все параметры движущейся жидкости непрерывными и дифференцируемыми функциями координат и времени.

Жидкость состоит из бесконечно большого числа частиц, которые при рассмотрении уравнений движения физически представляются как очень малая масса жидкости, занимающая соответственно малый объем. В процессе движения жидкости изменяются во времени взаимные положения ее частиц и их форма. Деформируемость частицы жидкости является ее главной кинематической особенностью как элемента сплошной среды.

Частица жидкости при движении характеризуется плотностью, скоростью и гидродинамическим давлением.

В проекциях на оси координат следует различать составляющие скорости и_х, и_y и и_г, тогда:

Полная производная каждой из составляющих скоростей может быть представлена в виде:

где , , - проекции скорости и на соответствующие оси, представляющие собой отношение проекции пути на соответствующие оси за время .

Первое слагаемое правой части равенства выражает изменение скорости по времени в некоторой фиксированной точке пространства, то есть местное изменение и поэтому называется локальной производной, или локальной составляющей, ускорения. Остальные слагаемые характеризуют изменение скорости при перемещении частиц жидкости из одной точки пространства в другую и называются конвективными производными, или конвективными составляющими, ускорения. Конвективное ускорение характеризует неоднородность распределения скоростей в точках пространства в данный момент времени.

Гидродинамическое давление р характеризует давление в данной точке движущейся жидкости (аналогично гидростатическому давлению) и по аналогии со скоростью представляет функцию от времени и координат пространства.

Если скорость зависит как от координат точек пространства, так и от времени, то такое движение называется неустановившимся, или нестационарным.

Если же скорость зависит только от координат точек пространства и не зависит от времени (постоянна по величине и направлению в каждой данной точке), то такое движение называется установившимся, или стационарным.

При движении жидкости происходят как перемещение, так и изменение формы (деформация) ее частиц. Различают следующие виды перемещения:

-простое перемещение по направлениям х и у (рис. 13, а);

-линейная деформация (растягивание) сторон частицы (рис. 13, б);

-угловая деформация - изменение каждого из четырех углов грани (рис.13, в);

-вращение - поворот биссектрисы угла между гранями в том или ином направлении (рис.13, г).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 13

Различают два вида движения:

-вихревое, при котором кроме поступательного движения происходит вращение частиц жидкости вокруг осей, через них проходящих;

-потенциальное, при котором отсутствует вращательное движение.

В общем случае компоненты скорости могут быть представлены в таком виде:

где, координаты х, у, z определяют центр частицы жидкости в данный момент времени.

Таким образом, движение частицы жидкости слагается из поступательного движения центра тяжести частицы со скоростью , из деформационного движения, обусловленного изменением формы самой частицы со скоростями деформации и из вращательного движения с угловыми скоростями .

При этом:

Составляющие скорости деформации частицы в процессе ее движения являются частными производными функции F:

то есть .

При движении частиц жидкости различают линию тока, элементарную струйку, вихревую линию и вихревую трубку.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 14

Линией тока называется линия, касательная к каждой точке которой в данный момент времени совпадает с направлением вектора скорости (рис. 14, а). Следовательно, линия тока отражает мгновенную картину движения в различных точках. Так как путь частицы жидкости представляет траекторию ее движения с течением времени, то только в случае установившегося движения линии тока совпадает с траекториями движущихся частиц жидкости.

Поверхность, образованная линиями тока, проведенными через все точки бесконечно малого замкнутого контура, называется трубкой тока (рис. 14, б). Масса жидкости, протекающей внутри трубки тока, называется элементарной струйкой. Таким образом, элементарную струйку можно рассматривать как движущийся бесконечно малый объем жидкости вокруг линии тока. В условиях установившегося движения элементарная струйка обладает свойствами:

-ее форма остается неизменной с течением времени;

-поверхность элементарной струйки является непроницаемой, то есть частицы жидкости не могут войти или выйти через нее;

-вследствие малости поперечного сечения струйки скорости во всех его точках принимаются одинаковыми.

Вихревая линия (рис. 14, в) - это линия, касательная во всех точках к векторам угловой скорости частиц. Вихревая линия аналогична линии тока. Поверхность, ограниченная вихревыми линиями, проведенными через все точки какого-нибудь бесконечно малого простого замкнутого контура, находящегося в области движущейся жидкости, называется вихревой трубкой. Вихревая трубка аналогична трубке тока. Массу движущейся жидкости внутри вихревой трубки называют вихревым шнуром. Вихревой шнур обладает свойствами:

-его сечение нигде не может стать равным нулю, так как в этом сечении скорость вращения должна стать бесконечной, что физически невозможно;

-вихревые шнуры не могут заканчиваться внутри жидкости - они либо замыкаются на себя, образуя вихревые кольца (рис. 14, г), либо «опираются» на стенку 1 или свободную поверхность 2 (рис. 14, д, е).

Два метода кинематического исследования течения жидкости

жидкость физический деформация движение

В гидромеханике существуют два метода изучения движения жидкости: метод Лагранжа и метод Эйлера. Метод Лагранжа заключается в изучении движения каждой отдельной частицы жидкости. В этом случае движение определяется положением частицы жидкости в функции от времени . В начальный момент времени ее положение определено начальными координатами . При движении частица перемещается в новую точку пространства с координатами . Движение частицы будет определено, если можно установить координаты в заданный момент времени в зависимости от начальных координат :

Эта система уравнений дает возможность построить траектории движения частицы жидкости. Величины являются переменными Лагранжа, а их изменение за время dt позволяет получить значения dx, dy и dz, а затем путь .

Таким образом, метод Лагранжа сводится к определению семейства траекторий движения частиц движущейся жидкости. Метод Лагранжа в гидравлике не нашел широкого применения ввиду его относительной сложности.

Метод Эйлера основан на изучении поля скоростей под которым понимается вся система векторов, представляющих величину и направление скоростей в соответствующих точках пространства, занятого движущейся жидкостью, в данный момент времени. Построение поля скоростей в разных точках для разных моментов времени достаточно полно характеризует движение жидкости.

Переменными Эйлера являются значения скоростей и_х, и_у и и_z, которые определяются в зависимости от координат точек пространства х, у, z и времени t:

Метод Эйлера нашел широкое применение в гидравлике. Он позволяет определить: скорость в любой точке пространства в любой момент времени; скорость в данной точке пространства (х = const, у = const, z= const) с течением времени; скорость в фиксированный момент времени (t = const) в различных точках пространства.

Расход жидкости

Бесконечно малым элементом движения обычно считают элементарную струйку (рис. 15).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 15

Если пересечь элементарную струйку ортогональной к линии тока плоскостью, то получим живое сечение струйки площадью . Количество жидкости, протекающее через это живое сечение в единицу времени, называется объемным элементарным расходом dQ, или расходом элементарной струйки:

.

В инженерной практике обычно имеют дело с конечным объемом движущейся жидкости, который называется потоком. Поток жидкости (рис. 16) состоит из бесконечно большого числа бесконечно малых элементарных струек, то есть является их совокупностью. Поверхность в пределах потока жидкости, нормальная к каждой линии тока, называется живым сечением потока.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 16

Объем жидкости, проходящий в единицу времени через живое сечение потока, называется расходом Q:

.

В большинстве случаев нельзя получить теоретическую зависимость распределения скорости и по живому сечению, что вызывает затруднения при вычислении интеграла. Для удобства практических расчетов вводится понятие средней скорости в живом сечении потока V, под которой понимается такая одинаковая (реально не существующая) для всех точек живого сечения скорость, при которой расход равен действительному:

Потоки жидкости по своему характеру могут быть разделены на три категории:

-безнапорные потоки -- потоки, имеющие свободную поверхность жидкости, в точках которой внешнее давление обычно равно атмосферному (например, движения жидкости в каналах, реках и т. д.);

-напорные потоки, в которых жидкость соприкасается во всех точках с твердыми стенками русла, они не имеют свободной поверхности, движение происходит под влиянием давления (например, движение жидкости в напорных трубопроводах);

-гидравлические струи, ограничиваемые только жидкостью или газовой средой, и в отличие от предыдущих потоков имеющие в газовой среде со всех сторон свободную поверхность (например, струя, вытекающая из сосуда через отверстие).

У безнапорных потоков смоченный периметр X составляет только часть периметра живого сечения, у напорных -- равен всему периметру, а у струй -- отсутствует.

Неравномерным движением называют такое, при котором элементы потока изменяются в пространстве. Следует отметить, что неустановшееся движение всегда является неравномерным, но неравномерное движение может быть и установившимся. Неравномерное движение может быть ускоренным или замедленным.

Равномерное движение это такое, при котором элементы потока не изменяются ни во времени, ни в пространстве. Отсюда следует, что равномерное движение всегда является установившимся. Ускорения при равномерном движении равны нулю.

Размещено на Allbest.ru