Динамика вязкой несжимаемой жидкости

Размещено на http: //www. allbest. ru/

1. Динамика вязкой несжимаемой жидкости

Уравнения движения вязкой жидкости (уравнения Навье--Стокса)

Условия движения реальной (вязкой) жидкости удобно классифицировать в зависимости от соотношения влияния сил вязкости и динамических (инерционных) сил. Движение вязкой жидкости описывается уравнениями Навье -- Стокса, которые можно получить на основании уравнений Эйлера, если учесть действие сил вязкости.

Рисунок 1

В потоке жидкости выделим бесконечно малый объем жидкости в виде параллелепипеда (рис. 18) массой

.

Рассмотрим действие сил вязкости первоначально по оси х. Удельная сила трения на единицу поверхности, действующая на нижнюю плоскость, равна , а сама сила вязкости:

На верхней плоскости сила вязкости:

где - изменение по оси z, a dz -- расстояние.

Тогда результирующая сил трения равна их разности:

Отнесем силу к единице массы:

В общем случае удельная сила трения в соответствии с определением вязкости может быть записана как:

И тогда получим:

Если учесть влияние этой силы по всем направлениям, то получим вязкостный член в уравнении Навье -- Стокса

По аналогии можно записать выражения и для других осей у и х, заменяя составляющие скорости на и .

Добавляя соответствующие вязкостные члены в уравнения Эйлера, получим:

Первые слагаемые в левых частях уравнений выражают внутренние силы, вторые -- внешние силы, а третьи -- силы вязкости. Правые части уравнений выражают динамические (инерционные) силы.

Если ввести в рассмотрение оператор Лапласа:

,

уравнения Навье -- Стокса можно представить в таком виде:

Система уравнений Навье -- Стокса решается также, как и система уравнений Эйлера, то есть совместно с уравнением неразрывности. Обычно для определения искомых функций , и надо располагать начальными данными и принимать во внимание граничные условия. Следует отметить, что решения уравнений Навье -- Стокса существуют лишь для некоторых частных случаев, являющихся самостоятельной задачей. В то же время анализ этих уравнений позволяет правильно понять природу движения жидкости.

Уравнение Бернулли для потока вязкой несжимаемой жидкости

При движении вязкой жидкости часть энергии потока расходуется на преодоление сил сопротивления, т. е сил трения между потоком и стенками русла, между частицами жидкости. Следовательно, удельная энергия в любом последующем сечении по направлению движения будет меньше, чем в предыдущем. В общем случае уравнение Бернулли может быть записано с учетом потерь энергии hw в следующем виде:

Энергетическая интерпретация уравнения Д. Бернулли.

С энергетической точки зрения уравнение Д. Бернулли выражает закон сохранения энергии и представляет удельную энергию, отнесенную к единице веса жидкости и подсчитанную относительно произвольно выбранной горизонтальной плоскости (плоскости сравнения). Такая удельная энергия потока:

состоит из удельной потенциальной энергии , где z -- энергия положения, а -- энергия давления и удельной кинетическои энергии потока . С энергетической точки зрения затраты (потери) энергии hw на преодоление сопротивлений являются диссипацией (рассеиванием) энергии. Это означает, что при движении жидкости часть механической энергии переходит безвозвратно в тепловую энергию, то есть для потока теряется.

Геометрический смысл уравнения Д. Бернулли

Рисунок 2

В уравнение Д. Бернулли входят следующие линейные величины: z -- геометрическая высота положения (геометрический напор), или отметка точки от плоскости сравнения ;

-- пьезометрическая высота, отвечающая гидродинамическому давлению р; сумма

= Н

в каждом сечении называется пьезометрыческим или гидростатшеским, напором; -- -скоростной напор; сумма

называется гидродинамическим или полным напором; -- потеря напора на преодоление сопротивлений.

Геометрическое место точек верхних концов отрезков суммы -- называется пьезометрической линией (на рис. 19 показана штриховой линией). Изменение пьезометрической линии на единицу длины, то есть:

называется пьезометрическим уклоном. Пьезометрический уклон считается положительным, если по течению жидкости пьезометрическая линия понижается.

Геометрическое место точек верхних концов отрезков суммы называется напорной линией, или линией удельной энергии (на рис. 19 показана сплошной линией), которая для потока невязкой жидкости (без учета потерь энергии) горизонтальна. При движении вязкой жидкости изменение напорной линии на единицу длины называется гидравлическим уклоном:

Так как приращение dH0 всегда отрицательно (гидродинамический напор уменьшается вдоль движения), то гидравлический уклон всегда положительный.

Примеры практического применения уравнения Д. Бернулли

Уравнение Д. Бернулли является основным уравнением гидродинамики, с его помощью выводятся расчетные формулы для различных случаев движения жидкости и решается много практических задач.

Рисунок 3

Для измерения скорости применяется специальная гидродинамическая трубка, которая называется трубкой Пито (рис. 20). Эта трубка помещается в измеряемой точке потока жидкости изогнутым концом против течения и работает в комплексе с обыкновенным пьезометром. В связи с набеганием жидкости на отверстие трубки Пито (поз. 2 рис. 20), то есть под воздействием скоростного напора, вода в ней поднимается на большую высоту, чем в пьезометре (поз. 1 рис. 20). Проведем плоскость сравнения через центр отверстия в изогнутом конце трубки. На рискнке 20, а показан горизонтальный след плоскости сравнения O1 -- O2. Выберем два сечения: 1--1 -- перед входом в трубку, и 2--2 -- на поверхности воды в трубке, и запишем для них уравнение Д. Бернулли:

Так как в трубке Пито вода не движется, потери энергии в уравнении Д. Бернулли учитывать не надо. Это уравнение записано в форме для элементарной струйки, так как трубкой измеряется скорость в точке, в которой она установлена. В данном случае

 , ,

поскольку в трубке вода не движется. Манометрическое давление на поверхности жидкости в трубке и тогда получим:

Как видно из чертежа:

где h -- разность показаний отметок воды в трубках, и поэтому:

.

Рисунок 4

Расход воды в трубопроводах обычно определяют с помощью пьезометрического водомера, или расходомера Вентури (рис. 21), представляющего собой вставку в основную трубу диаметром D трубы меньшего диаметра d с плавным входом и выходом. В суженной части скорость увеличивается, а давление уменьшается, по сравнению с основной трубой.

Плоскость сравнения О1 -- О1 выбираем по оси трубы, а сечения 1--1 и 2--2 до сужения и в суженной части. Для этих сечений уравнение Д. Бернулли может быть представлено в виде:

Потерями энергии пренебрегаем ввиду малости расстояния между сечениями и плавности сужения. Для горизонтальной трубы (z1 = z2) принимаем коэффициент . Тогда:

Или

Используя уравнение неразрывности, можно записать:

,

где и . Тогда:

.

Показания пьезометров:

,

и, следовательно

.

Зная, что

,

можно записать:

,

а искомая величина:

.

Фактический расход будет несколько меньше теоретического вследствие потерь энергии и может быть представлен зависимостью:

,

где -- тарировочный коэффициент, значение которого обычно принимают от 0,95 до 0,97.

Два режима течения вязкой жидкости

Детальные экспериментальные исследования режимов движения жидкости выполнил английский физик О. Рейнольдс в 1883 г.

Рисунок 5

Рисунок 6

Прибор Рейнольдса изображен на рисунке. Конструкция его состоит из резервуара В с исследуемой жидкостью и стеклянной горизонтальной трубы t, начало которой находится в резервуаре, а в конце ее имеется кран К для регулирования расхода. Расход измерялся с помощью мерного бака С. Над резервуаром В располагается маленький бачок Д, наполненный раствором краски той же плотности, что и вода. От бачка Д отходит тонкая трубка t1 изогнутая внизу так, что ее заостренный выходной конец вдвинут во входной участок стеклянной трубы t. Расход краски регулируется краном Р.

При незначительном открытии крана К из резервуара начинает вытекать жидкость через трубу t, в которой устанавливается средняя скорость, соответствующая данному расходу. Затем, слегка открывается кран Р и из верхнего бачка выпускается раствор краски. При одновременном открытии двух кранов К и Р внутри трубы движется тонкая окрашенная прямолинейная струйка, не смешиваясь со всей массой жидкости (рис. 23, а). При изменении положения тонкой трубки меняется и положение окрашенной струйки относительно стенок стеклянной трубы t, но раствор краски по-прежнему будет двигаться отдельной струйкой. Следовательно, в стеклянной трубе жидкость движется отдельными струйками или слоями.

После определенного открытия крана К струйка начинает приобретать волнообразное очертание -- путь ее становится извилистым и неправильным, хотя струйка продолжает двигаться самостоятельно (рис. 23, б).

При дальнейшем медленном открытии крана на отдельных участках струйки появляются разрывы и струйка теряет свою отчетливую форму (рис. 23, в).

Большее открытие крана К приводит к тому, что окрашенная струйка разрушается полностью и исчезает, а вся масса исследуемой жидкости в стеклянной трубе оказывается окрашенной, то есть частицы жидкости при движении перемешиваются (рис. 23, г) и движутся беспорядочно. Такую скорость движения жидкости называют верхней критической скоростью . Дальнейшее открытие крана К и связанное с этим увеличение скорости в стеклянной трубе не приводит к внешнему изменению характера движения: вся масса движущейся жидкости будет оставаться окрашенной, увеличивается только степень беспорядочности движения частиц.

При обратном ходе опыта, то есть при постепенном закрытии крана, явление повторяется в обратном порядке, хотя переход от беспорядочного движения в струйное, упорядоченное, происходит при более низких значениях критической скорости в трубе. Эта скорость называется нижней критической скоростью

Режим движения, при котором имеет место слоистое движение жидкости, называется ламинарным (от латинского слова lamina -- слой), и в этом случае частицы жидкости не перемешиваются.

Беспорядочный режим движения, при котором происходит перемешивание частиц жидкости, называют турбулентным.

Следовательно, при скорости потока всегда будет ламинарный режим движения , а при -- турбулентный. При скоростях в пределах движение может быть и ламинарным и турбулентным. Оно зависит от изменения скорости движения жидкости. Если скорость уменьшается, то в зоне будет турбулентный режим движения, то есть такой, какой был до этой зоны. И наоборот, при увеличении скорости в этой зоне сохранится ламинарный режим движения.

Рисунок 7

С переходом ламинарного течения в турбулентное изменяется распределение скоростей по сечению трубы. На рисунке 24 показаны эпюры распределения скоростей в круглой трубе при ламинарном (рис. 24, а) и турбулентном (рис. 24, б) режимах движения.

При турбулентном течении распределение скоростей по сечению трубы более равномерное. Это объясняется турбулентным перемешиванием вследствие наличия поперечных составляющих скорости в отличие от ламинарного режима. В результате этого перемешивания происходит интенсивный энергообмен между частицами жидкости в поперечном потоку направлении, вследствие чего эпюра скоростей в ядре потока выравнивается. Вблизи стенок трубы имеется тонкий слой жидкости с высоким градиентом скорости, изменяющейся от нуля на стенке до максимума в ядре потока. Этот тонкий слой называют пограничным слоем, - толщина пограничного слоя (рис. 24, б).

Число Рейнольдса

Значения и были установлены О. Рейнольдсом:

;

где -- нижнее критическое число Рейнольдса; -- верхнее критическое число Рейнольдса.

Критические числа Рейнольдса -- безразмерные численные параметры, не зависящие от рода жидкости и размеров живого сечения потока. Опытами установлено, что для трубопроводов нижнее критическое число Рейнольдса = 2320. Верхнее критическое число Рейнольдса изменяется в пределах от 4000 до 20 000.

Сопоставляя верхнее и нижнее критические числа, следует отметить, что они значительно отличаются друг от друга. Между ними имеется зона, в которой, как отмечено выше, в зависимости от условий может быть как ламинарный режим движения, так и турбулентный.

Так как в переходной зоне ламинарный режим неустойчив и легко переходит в турбулентный, то принимают одно расчетное критическое число Рейнольдса Reк = 2320. Для конкретных условий движения жидкости всегда можно установить действительное число Рейнольдса:

где V -- средняя в сечении скорость, определяемая при заданном расходе Q и диаметре трубопровода d:

.

Затем полученное число Рейнольдса сравнивается с критическим и определяется режим движения:

при Re < Reк -- режим течения ламинарный;

при Re > Reк -- режим движения турбулентный.

Кавитация

Возникновение кавитации

Кавитацией принято называть явление парообразования и выделение водуха, обусловленное понижением давления в жидкости, или так называемое «холодное кипение» жидкости. При неравномерном распределении скоростей в движущейся жидкости в областях потока, где давление падает до давления насыщенных паров при данной температуре жидкости, возникает гидродинамическая кавитация. Появление кавитационных полостей в жидкости происходит в отдельных «слабых» точках--зародышах, «ядрах» кавитации. Таковыми зародышами могут быть газовые микропузырьки, внесенные из атмосферы, парогазовые включения в микротрещинах на твердых поверхностях, твердые частицы.

Интенсивность процесса кавитации характеризуется числом кавитации:

где Pd --давление насыщенного пара над плоской поверхностью жидкости; Ро--статическое, или среднее давление в жидкости.

Попадая в область с давлением жидкости Р0 кавитационный пузырек схлопывается. Существуют два представления о схлопывании пузырька. Первое - пузырек находится далеко от твердой поверхности. В таком случае наблюдется симметричное схлопывание пузырька. Второе - пузырек находится в близи к твердой поверхности. В этом случае происходит несимметричное замыкание пузырька с образованием кумулятивной микроструйки (рис. 20).

Рисунок 8

Численное решение задачи о схлопывании парового пузырька в идеальной жидкости с образованием кумулятивной струйки около стенки приводит к следующим зависимостям для скорости струйки и времени схлопывания (по Рэлею):

;

где - разность давлений в жидкости и в пузырьке.

Кинетика кавитационного воздействия

Кинетика кавитационного воздействия заключается в следующем. При коллапсе кавитационного пузырька в локальном объеме вблизи него и внутри образуются поля высоких давлений (до 1000 МПа) и температур (до 1-2 тыс. °С). Одновременно в жидкости генерируются волны разрежения - сжатия, а вблизи твердых границ потока образуются кумулятивные микроструйки со скоростями движения 100-500 м/с. Гидродинамической кавитации сопутствуют процесс интенсивного турбулентного перемешивания, диспергирования жидких и твердых компонентов потока, различные химические реакции, инициируемые коллапсом кавитационных микропузырьков. кавитация вязкий жидкость бернулли

Разрушительные эффекты развитой кавитации

Глобально существует два механизма, оказывающих разрушительное воздействие на тела в зоне развитой кавитации: механизм образования кумулятивной струйки вблизи стенки или обтекаемой током поверхности, обусловливающий кавитационную эрозию; механизм воздействия сферичных ударных волн, возникающих при симметричном схлопывании пузырьков в отсутствии в жидкости достаточно больших по размеру твердых примесей.

Как правило эффекты, связанные с кавитацией, крайне нежелательны в технике (разрушение рабочих органов насосов, гидротурбин, корабельных винтов; вибрация оборудования; износ трубопроводов и гидроарматуры и многое другое).

Механизм рушения материала конструкции в целом можно представить следующим образом: при воздействии на обтекаемую поверхность, производимом кумулятвными струйками (процесс является импульсным и нестационарным), происходит деформация поверхности и, как следствие снижения усталостной прочности материала, выкрашивание, выбивание отдельных частиц. Начиная с этого момента, интенсивность эрозии резко возрастает и существенную роль начинают играть гидродинамические факторы, определяющие разрушения в рамках теории ударной волны: вибрация, акустическое излучение и в определенных случаях химические и коррозионные факторы. Опыты показали, что кавитационному разрушению подвержены даже самые прочные и твердые материалы.

Размещено на Allbest.ru