Применение фракталов при построении организационно-технической модели системы телекоммуникаций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Применение фракталов при построении организационно-технической модели системы телекоммуникаций

Бизин И. В.

При рассмотрении структуры глобальных вычислительных сетей на достаточно высоком уровне детализации становится возможным выделять подструктуры, имеющие общие признаки. Такие подструктуры можно выделять на текущем масштабе анализа, а также увидеть одинаковые подструктуры при изменении масштаба. Например, вся подструктура состоит из таких же или очень похожих, отличающихся лишь меньшими размерами, которые в свою очередь состоят из подобных еще более мелких подструктур.

Трудно не увидеть сходство с предложенными в 1982 году известным математиком Бенуа Мандельбротом фрактальными рисунками, а также с объектами реального мира, хорошо описываемыми фракталами, например, живыми деревьями. Пример моделирования фракталами естественных структур представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 - Построение фрактала дерева, выполненное Майклом Бэтти.

Под фракталами понимают множества, демонстрирующие на разных масштабах разрешения своей геометрической структуры свойства подобия в строгом или приближенном смысле, а также объекты в природе, обладающие этим свойством хотя бы приближенно, в достаточно широком интервале масштабов[1].

Самоподобие часто присуще иерархическим структурам, таким как филогенетические деревья. Примером могут служить математические деревья Кэли. Деревом Кэли называется граф без петель, имеющий в каждом узле одно и то же число ветвей. Самоподобие таких графов необязательно проявляется в их геометрическом представлении, но легко усматривается в их связности или топологии[2] .

Известно, что глобальная сеть Интернет состоит из подсетей. «Интернет - это сеть сетей»[3]. В свою очередь сеть региона состоит из подсетей городов, а города - из ЛВС предприятий и провайдеров. Необходимо заметить, что все подструктуры функционируют по одинаковым закономерностям и отличаются лишь масштабом. Закономерно будет смоделировать работу подсети, выводя параметры узлов из моделей меньших подсетей.

Одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты, очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря [4].

Пользуясь приведенными выше положениями, при известных основных параметрах подсети рассматриваемого масштаба, становится возможным построить стохастический фрактал, достаточно точно и детально имитирующий ее работу.

Возьмем общую схему типовой сети. В первом приближении это граф, узлами которого являются компьютеры или подсети, а дугами с весами - каналы связи с их пропускной способностью соответственно. На рисунке 2 изображен граф для фрагмента телекоммуникационной сети с симметричными каналами связи, в случае ассиметричных каналов дуги графа следует трансформировать в пары направленных дуг ориентированного графа. Вес дуг обозначен маленькими латинскими буквами и соответствует пропускной способности канала.

Рисунок 2 - Фрагмент графа, описывающего систему телекоммуникаций

Исходя из общих принципов построения и функционирования фрагментов сети, можно предположить, что:

(1)

гдеa,b,c,d,e,f,g,h,o,p,r,s,z,t,u,i,x,y - пропускная способность каналов,

k - коэффициент масштабирования пропускной способности текущей итерации.

Обычно, если узел обозначает подсеть, то при имитационном моделировании сети эту подсеть моделируют устройством, генерирующим заявки со средними статистическими параметрами подсети. На этапе вычисления средних статистических характеристик и последующей генерацией по ним заявок вносится достаточно большое число погрешностей измерений, обратно пропорциональных количеству модельных экспериментов с подсетью. При фрактальной модели ставить множество модельных экспериментов с подсетью нет необходимости, достаточно рассчитать параметры полной моделируемой сети.

Подсети в таком случае будут повторять полную сеть, отличаясь лишь коэффициентом масштабирования пропускной способности и случайными факторами. На определенной итерации рассматривание подструктур сети станет невозможно из-за их мелкого масштаба и огромного количества, но пренебречь ими нельзя, поэтому следует рассчитать предельные параметры, при условии бесконечного, или ограниченного реальным количеством итераций построения сети. На рисунке 3 можно заметить фрактальную природу топологии сетей.

Рисунок 3 - Фрактальная схема типовой сети в первом приближении

Любая сеть среднего масштаба является нелинейной системой, т.к. перегрузки или коллизии носят пикообразный характер.

Из-за того, что нелинейным системам часто присуща мультистабильность, карту динамических режимов, вообще говоря, надо представлять не как один лист, а как совокупность листов, перекрывающихся в тех областях параметров, где система имеет более одного аттрактора[1].

В связи с мультистабильностью фрактальной модели системы телекоммуникаций возможен анализ квазистационарных режимов работы сети, например, различные преобладающие направления трафика в зависимости от времени суток или появления новых медиаданных.

На фрактальной модели можно решать довольно широкий круг задач, начиная от аналогии классической задачи фрактальной геометрии о длине береговой линии, вычислять общую длину каналов в сети, и заканчивая моделированием расположения сервисных пунктов для обслуживания телекоммуникационного оборудования.

Описывая объекты посредством линейного фрактального диалекта, мы можем значительно уменьшить количество данных, необходимых для передачи данных по линиям связи или для хранения их в памяти компьютера. Независимо от природы или метода построения у всех фракталов есть одно важное общее свойство: степень изрезанности или сложности их структуры может быть измерена неким характеристическим числом -- фрактальной размерностью [5].

Вычислив Хаусдорфову размерность для моделируемой сети, мы математически опишем сложность ее структуры. Используя Хаусдорфову размерность для подстановки в качестве коэффициента в уравнения, аналитически моделирующие работу конкретного фрагмента сети, можно получить предельные значения параметров для всей моделируемой сети, не выполняя бесконечное количество итераций моделирования бесконечно малых масштабов. Можно увидеть в формах фрактальной схемы сети, приведенной на рисунке 3, все признаки кластера.

Фрактальная размерность кластера служит количественной характеристикой одной из особенностей кластера, а именно заполнения им пространства. Заметим, что фрактальная размерность кластера не описывает его форму. Существуют и другие характерные особенности кластера, которые также допускают количественное описание. Например, разветвленность кластера есть мера числа связей, которые нужно перерезать, чтобы изолировать произвольно большую часть кластера.[6]

Размерность Хаусдорфа-Безиковича для кластера можно вычислить, применив способ мономеров:

фрактал мономер граф

,(2)

где N - число частиц,

R0 - радиус мономера,

R - радиус наименьшей сферы, содержащий кластер внутри себя,

с - «плотность массы», с которой мономеры покрывают кластер,

D - размерность Хаусдорфа-Безиковича (размерность массы).

Плотность с зависит от того, как упакованы мономеры. Применим плотную упаковку мономеров-сфер, тогда . Положим радиус мономера , тогда образующий элемент кластера сети , а N=6. На n-ой итерации N=6n и R=3nR0, следовательно размерность Хаусдорфа-Безиковича для изображенной модели сети равна . Фрактальная размерность служит количественной характеристикой того, как кластер заполняет занимаемое им пространство. Плотность коммуникационной сети на радиусе r, изображенной на рисунке 3, определяется выражением:

,(3)

гдеD - размерность Хаусдорфа-Безиковича,

E - евклидова размерность пространства, в котором находится кластер,

r - радиус, на котором определяется плотность,

с(r) - плотность на радиусе r,

R0 - радиус мономера.

Применение фракталов оправдано не только при рассмотренном примере построения моделей сетей, но и при моделировании инфраструктуры, обеспечивающей их функционирование и развитие.

ЛИТЕРАТУРА

Кузнецов С.П. Динамический хаос (курс лекций) [Текст]. - М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001. - 296 с. -ISBN 5-94052-044-8.

Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, -528 с.

Размещено на Allbest.ru