Математическая модель асинхронного двигателя при несимметричном подключении к сети

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическая модель асинхронного двигателя при несимметричном подключении к сети

Колоколов Ю.В.

Введение

Фундаментом современной теории асинхронного электропривода является модель обобщенного двухфазного идеального двигателя. Эта модель адекватно описывает электромеханическое преобразование энергии в установившемся режиме при удовлетворении целого ряда допущений. Широкое распространение модели обобщенного двигателя связано с минимально возможным порядком системы дифференциальных уравнений, составляющих эту модель.

Вместе с тем попытки применения модели обобщенного двигателя в условиях, нарушающих те или иные допущения, могут привести к возникновению ошибок в описании электромеханического преобразования энергии. Как будет показано в настоящей работе, именно такие ошибки появляются при использовании обобщенной модели для описания несимметричных режимов работы асинхронного двигателя. Выход из этой ситуации может быть найден в использовании модели двигателя, полученной в трехфазной (непреобразованной) системе координат (б-в-г).

Получение моделей электрических машин в системе координат (б-в-г) до настоящего времени было затруднено трудоемкостью преобразований, которые требовалось выполнять, приводя итоговую систему уравнений к нормальной форме Коши. Применение инструментов системы символьной математики “Maple 10.0”® (Waterloo Maple Inc.) позволило решить эту задачу.

Постановка проблемы

Эксплуатация электрических машин связана с возникновением в их динамике несимметричных режимов (НР). С одной стороны, такие режимы могут сопровождать аварийные ситуации (обрыв фазы, короткое замыкание и т.д.), с другой стороны, являются особенностью работы некоторых преобразователей регулируемого электропривода. В связи с этим очевидна необходимость корректного описания несимметричных режимов как для стационарных, так и для переходных процессов функционирования электрических машин.

Из всего многообразия НР, возникающих в практике электропривода, для анализа в данной работе нами был выбран режим отключения одной фазы трехфазного асинхронного двигателя (АД) от сети переменного тока бесконечной мощности. Такой выбор обусловлен необходимостью построения адекватной модели тиристорного регулятора напряжения с системой импульсно-фазового управления, алгоритм функционирования которой, как известно, связан с поочередной сменой двухфазного, трехфазного режима работы АД и режима отключения двигателя от сети [1,2].

В подавляющем большинстве литературных источников несимметричные переходные режимы описывают с использованием обобщенной двухфазной модели АД, полученной на основе классических уравнений Парка-Горева [1-3]. При этом на исходную систему уравнений, записанную чаще всего в неподвижной системе координат (б-в), накладываются дополнительные условия, отражающие тот или иной вид несимметрии. Для описания отключения одной фазы двигателя от сети в ряде работ предлагается обнулять соответствующие проекции обобщенного вектора тока и напряжения статорных обмоток двигателя [2]. Находят применение и другие методы, например, в работе [1] используется прием, при котором отключение фазы двигателя от сети моделируется приложением напряжения, обеспечивающего равенство нулю тока в отключенной фазе. Как будет показано далее, способы описания несимметричных режимов, имеющие в своем основании модель обобщенной двухфазной машины, могут привести к существенным погрешностям.

В данной работе предлагается альтернативный метод математического описания режима двухфазного подключения АД к трехфазной сети, основанный на составлении уравнений двигателя в заторможенной трехфазной системе координат (б-в-г).

Математическая модель несимметричного подключения трехфазного АД к сети переменного тока

Порядок вывода уравнений несимметричного режима продемонстрируем на примере описания двухфазного подключения АД к сети переменного тока бесконечной мощности. При этом к источнику тока, не имеющему внутреннего сопротивления, предполагаются подключенными две фазы двигателя - “В” и “С”. Такой вариант подключения иногда называют “режим ВС” [1,2].

На основании первого закона Кирхгоффа составим систему уравнений, описывающую баланс напряжений в статорных и роторных обмотках трехфазного АД с короткозамкнутым ротором. Такая система уравнений в матричной форме будет иметь следующий вид:

,(1)

где векторы размерностью 3Ч1 напряжения, приложенного к статорным обмоткам, тока и потокосцепления статорных обмоток соответственно;

Rs - активное сопротивление статорных обмоток (предполагается, что двигатель симметричный и активное сопротивление обмоток статора (равно как и ротора), размещенных по различным осям, одинаково). Аналогичные обозначения приняты для цепи ротора.

Выражение потокосцепления, например, статорной обмотки, размещенной по оси “А”, будет иметь в этом случае следующий вид:

(2)

где - индуктивность рассеяния статорной обмотки “А”;

- пространственный угол между статорными и роторными обмотками двигателя;

МАА, МAB, МАC, МAa, МАb, МАс - взаимоиндуктивности между статорной обмоткой “А” и прочими статорными и роторными обмотками. В рамках представления об идеальной модели АД эти взаимоиндуктивности считаются равными максимальной взаимоиндуктивности (М) между двумя любыми статорными или роторными обмотками двигателя.

Традиционно для упрощения интегрирования системы дифференциальных уравнений (1) посредством исключения периодических коэффициентов перед переменными из уравнений потокосцеплений обмоток (2) принято от системы координат, связанной с вращающимся ротором (a-b-с), переходить к системе координат, неподвижной относительно статора (б-в-г). Эта процедура осуществляется с использованием матрицы трансформации (где ) [3]. Такая трансформация инвариантна к форме и симметрии напряжений, прикладываемых к статорным обмоткам АД, поскольку направлена на преобразование цепей ротора. При этом вращающийся ротор заменяется на неподвижный путем введения ЭДС вращения в уравнения баланса напряжений роторных обмоток.

Следующим шагом получения уравнений несимметричного режима “ВС” является размыкание фазы “А” статора двигателя (рисунок 1).

Рисунок 1 - Схема статорных цепей трехфазного АД при

несимметричном режиме “BC”

Согласно законам Кирхгоффа (при условии обхода контура “I” против часовой стрелки), можно записать:

(3)

(4)

.(5)

В уравнениях (3-5) и на рисунке (1) индексы зависимых переменных изменены в соответствии с обозначениями осей в рассматриваемой системе координат (б-в-г). Подставив уравнение (4) в уравнение (5), получим:

.(6)

Для составления полной системы уравнений режима “BC” необходимо дополнить уравнение (6) тремя уравнениями баланса напряжений роторных обмоток АД, которые не изменяются по форме и совпадают с уравнениями симметричного режима. Кроме этого, необходимо преобразовать выражения потокосцеплений статорных и роторных обмоток с учетом условий (3) и (4).

Для перехода к двухфазной модели АД, соответствующей несимметричному режиму “BC”, воспользуемся традиционным правилом проецирования результирующего вектора на ортогональную неподвижную систему координат (б`-в`) [3]. Записав итоговую систему уравнений через токи в нормальной форме Коши, получим:

(7)

где- момент инерции вращающихся масс ротора;

- константы, связанные с параметрами схемы замещения АД;

Mc - момент сопротивления на валу двигателя.

В системе уравнений (7) для удобства опущено обозначение зависимости от времени переменных модели и опущен знак “штрих” при обозначении принадлежности переменной к соответствующей оси.

На рисунке 2 приведен график изменения абсолютной ошибки во времени между результатом численного интегрирования системы уравнений в трехфазных координатных осях (б-в-г) и системы уравнений (7) для тока статорной обмотки, размещенной по оси “B”. Параметры схемы замещения соответствуют асинхронному двигателю 4А225М4Y3 (номинальный статорный ток стационарного режима Iном = 100 А). Пуск осуществлялся в режиме холостого хода при следующих начальных условиях:

,(8)

где - частота вращения поля в воздушном зазоре АД.

Значение абсолютной ошибки рассчитывалось по следующей формуле:

,(9)

где - мгновенное значение тока статорной обмотки “B” модели, записанной в координатах осях (б-в-г);

- мгновенное значение тока статорной обмотки “B” системы (7), записанной в координатах осях (б`-в`).

Численное интегрирование проводилось с использованием алгоритма одношагового адаптивного явного метода Рунге-Кутта 4-ого порядка.

Рисунок 2 - График изменения абсолютной ошибки (9) для исследуемых моделей

Возникновение ошибки E(t) в данном случае связывается с погрешностью алгоритма интегрирования, поскольку, как показало наше исследование, значение этой ошибки изменяется при изменении алгоритма.

Сравнение полученной модели с классическими моделями несимметричных режимов

асинхронный двигатель ток модель

Как отмечалось во введении, одной из причин, порождающих необходимость моделирования несимметричных режимов, является потребность разработки моделей систем асинхронного электропривода (АЭП), в которых несимметричное подключение двигателя к источнику ЭДС является характерной особенностью работы силового преобразователя. Наиболее ярко такая особенность выражена в системах импульсно-фазового управления (СИФУ) тиристорным регулятором напряжения (ТРН). В нашей стране проблемами разработки СИФУ ТРН для АЭП в основном занимаются две научных школы: кафедра электропривода и автоматизации промышленных установок Уральского государственного технического университета под рук. д.т.н, проф. И.Я. Браславского и кафедра силовой электроники Санкт-Петербургского государственного университета телекоммуникаций под рук. проф., д.т.н. В.И. Хрисанова.

Для выявления расхождений между моделью, описанной выше, и моделями, предложенными в [1] и в [2], построим график функции (9) для модели (7), модели [1, стр. 137-138] и модели [2, стр. 37-39], используя для анализа условия (параметры схемы замещения АД, алгоритм интегрирования, начальные условия (8)), описанные выше. Полученный график приведен на рисунке 3.

Рисунок 3 - График изменения абсолютной ошибки (9) при интегрировании уравнений (7), [1, стр. 137-138] и [2, стр. 37-39]

Заключение

В статье показан порядок получения модели несимметричного режима АД на основании законов Кирхгоффа и полной трехфазной модели двигателя в заторможенных относительно статора координатных осях (б-в-г). Выполнение трудоемких промежуточных преобразований оказалось возможным благодаря использованию системы символьной математики “Maple 10.0”®.

Сравнение результатов интегрирования уравнений предложенной выше модели и уравнений несимметричного режима, имеющих в своем основании модель двухфазного обобщенного двигателя, приводит к возникновению существенной погрешности, достигающей 35-40% от значения переменных установившегося режима (рисунок 3).

Литература

Браславский И. Я. Асинхронный полупроводниковый электропривод с параметрическим управлением / И. Я. Браславский. - М. : Энергоиздат, 1988. - 224 с.;

Глазенко Т. А. Полупроводниковые системы импульсного асинхронного электропривода малой мощности / Т. А. Глазенко, В. И. Хрисанов. - Л. : Энергоатомиздат, Ленингр. отд-ние, 1983. - 176 с.;

Копылов И. П. Математическое моделирование электрических машин: учеб. для вузов / И. П. Копылов. - 2-е изд., испр. - М. : Высш. шк., 1994. - 311 с.

Размещено на Allbest.ru